高考数学二轮复习专项突破（全国版文）球的切接问题

微重点10球的切接问题

空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、建点，也是高考命题的热点，一般是

通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体枳法求内切球半

径等，一般出现在压轴小题位置.

考点一空间几何体的外接球

例1（1）（2022•保定模拟）已知三棱锥P-A3C,其中以_L平面A4C,ZBAC=\20°,PA=AB

=AC=2,则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.1271B.167rC.20兀D.24兀

答案C

解析・・・%_L平面A8C,所以把三棱锥P-A8C补成直三棱柱PB'C-ABC,

如图所示，

设E,产为上、下底面三角形的外心,

则"的中点O为直三棱柱「8,C一A8C的球心，在8c中，由余弦定理知3C=2小,

•”榜BC2事.

•2M-sinZBAC-^-4,

2

；・以=2,

VM=2,又0户=/%=1,

设该三棱锥外接球半径为R,

・•・R=OA=勺。产+-2=*,

・工表面积S—47tA2—20兀

（2）（2022・临川模拟）已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PABL

底面4BCD,且△以8为等边三角形，则该四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为（）

人9B姆

A.33

C.64兀D.16几

答案A

解析如图所示，在四棱推尸一ABC。中，取侧面△物8和底面正方形ABC。的外接圆的圆

心分别为。I,。2,分别过。，。2作两个平面的垂线交亍点0,

则由外接球的性质知，点。即为该球的球心，

取线段A8的中点石，连接石，0止,onOD,

则四边形OlEQO为矩形，

在等边△外8中，可得PE=2小,

则。七=¥，即。。2=¥，

在正方形ABCO中，因为AB=4,

可得。2。=26，

在Riz^OOzO中，可得002=003+。?。?，

21

即R=OOHO2D=-Y，

所以四棱锥P一人8C。的外接球的表面积为

规律方法求解空间几何体的外接球问题的策略

(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径：

(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及

体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；

(3)求半径下结论：根据作出我面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

跟踪演练1(1)已知四面体ABC。中，AB=CD=2&AC=BD=yf^,AD=3C=迎，则

四面体ABCD的外接球的表面积为.

答案45兀

解析设四面体A8CO的外接球的半径为R,将四面体八8C。置于长、宽、高分别为a,b,

—=20,

c的长方体中，故，护+/=29,

./+。2=41,

故a耳运

故四面体ABCD的外接球的表面积为4兀/？2=45TL

(2)如图，在三棱锥A—BCD中，△BCD为等腰直角三角形，BC1CD,侧面A3。为边长为2

的等边三角形，且平面46O_L平面BCD,则三棱锥A-BCO外接球的体积为.

答案

27

解析如图，取3。的中点为Q,连接4。1,由题意知，AAB。为等边三角形,

C

记0为△A3。的外心，・・・。为AOi的三等分点，且怒=]又A8=2,・・.AO]=小,A0=¥，

又。1为等腰直角三角形4c。的外心，且平面A3。J_平面BCD,

OA/3

・・・0即为三棱锥4—BC。外接球的球心，设外接球半径为R,则R=OA=-^-,

・••外接球的体积为^=%川=喈5.

考点二空间几何体的内切球

例2（1）（2022.酒泉模拟）在三棱锥A—ACO中，AB_L平面8CQ,BCA-CD,且A8=a）=4,

8C=3,则该三棱锥内切球的体积为（）

A里乎「也门里

八1664J93

答案A

解析由A3_L平面3C。，CQU平面3CQ,得4B_LCD

又BCLCD,且AB,8CU平面ABC,ABQBC=Bt

所以CO_L平面ABC,

又ACU平面ABC，

为4,4.6,棱柱的高为2,则V的最大值为（

兀「36兀,c4花

A.一右一C.4兀D."

答案D

解析依题意，△ABC如羽所示，令48=AC=4,BC=6,

BD3C

则BC边上的高AD=币,

设8c的内切圆半径为r,

则Jx（4+4+6）r=；X6X巾，解得,=邛,

乙乙/

故在直三棱柱内部的球的半径最大为1,此时球的体积V取最大值苧.

（2）（2022・西安模拟）六氟化硫，化学式为SF6,在常温常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃

的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫的分子结构为正八

面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示.若此正八面体的棱长为2,

则它的内切球的表面积为（）

答案C

解析设正八面体内切球半径为R,给正八面体标出字母如图所示，连接AC,3。交于点O,

连接EO,

因为£4=EC,ED=EB,

所以EOJ_AC,EOLBD,

又AC和8。交于点0,

所以EO_L平面46C。，所以。为正八面体的中心，所以。到八个面的距离相等，且距离即

为内切球半径,

设内切球与平面E8C切于点“，所以。”_1_平面仍C,

所以0月即为正八面体内切球半径,

所以R=0H,因为正八面体的棱长为2,

所以EB=EC=BC=2.OB=OC=yf2,

22

EO=ylEB~OB=y[2f

所以S&£8C=3,SM)BC="，

因为VE-OBC=V。-EBC=1义S^OBCXE0

=9SdEBcX0H,

所以OH=坐，即R=幸,

所以正八面体内切球的表面积为4"号.

专题强化练

1.（2022・九江模拟）如图，在边长为2的正方形A8CD中，E,尸分别为线段AB,8C的中点，

连接DE,DF,EF,将丛CDF,△/?石r分别沿。E,DF,七尸折起，使A,B,C三

点重合，得到三棱锥O-DEF,则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.37rB.-\/67CC.6兀D.24兀

答案C

解析在正方形ABC。中，AD1.AE,CD1CF,BEA.BF,折起后00，OE,O尸两两垂直,

故该三棱锥外接球即以。。，OE,。产为棱的长方体外接球.

因为。。=2,OE=\,OF=\,

所以2/?=、。＞+。E2+。尸=巡,所以R=坐,

所以该三棱锥外接球的表面积为4"R2=6TL

2.（2022・佛山模拟）如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆

锥的顶点均在体积为36兀的球面上，若圆柱的高为2,则圆锥的侧面积为（）

A.2求冗

C.16兀

答案

解析依题意，做球的轴我图如图所示,

4

其中，。是球心，上是圆钱的顶点，EC是圆锥的母线，由题意可知和正=36%，

解得R=3,由于圆柱的高为2,

则。0=1,。石=3-1=2,OC=取=？=2啦，

母线EC=y/22+8=2y/3,

故圆锥的侧面积为S=TIDCEC

=兀x2ylix25=4址兀

3.（2022・济宁模拟）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球

的表面积的比值为（）

A.2：1B.3：2

C.7：3D.7：4

答案C

解析如图，设。，。2分别为正六棱柱的底面中心，「为内切球半径，R为外接球半役，

。为002的中点，。为A8的中点,

设正六棱柱的底面边长为2,

若正六棱柱有内切球，则。0|=0|。=小,

即「=小.

。筋=。0彳+0泊2=7,即/?=巾，

则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为4兀R2：4兀3=/?2：4=7：3.

4.（2022・怀化模拟）已知A,B,。三点均在球O的表面上，AB=BC=CA=2,且球心。到

平面ABC的距离等于球半径的小则下列结论正确的是（）

A.球。的半径均

B.球。的表面积为3兀

C.球。的内接正方体的棱长为加

D.球。的外切正方体的校长为加

答案D

解析设球。的半径为r,△ABC的外接圆圆心为O',半径为凡则/?=¥，

114

因为球心。到平面ABC的距离等于球。半径的水所以r-^r=^

得户所以A不正确；

所以球。的表面积5=4加产=4兀X彳=6兀，选项B不正确；

设球。的内接正方体的棱长为。，则。满足小。=2几显然选项C不正确；

设球。的外切正方体的棱长为伍则满足力=2/，显然选项D正确.

5.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为

（）

B.16兀C.9兀

答案A

解析如图，正四棱锥P—ABCO的底面中心为，.

在底面正方形ABC。中，AH=y[2,

又PH=4,

故在Rl△%”中，序+442=142+（派）2=3W.

则由正四棱辕的性质可得，其外接球的球心在P"所在的直线上，设其外接球的直径为PQ

=2r.

又A在正四棱锥外接球的球面上，所以APL4Q.

又4H_LP〃，由射影定理可得以2=P“XPQ,

9

所以--

r4

故该球的表面积为5=4^=47rxg)2=^.

6.(2022・武汉质检)己知球O是三棱锥P—A6C的外接球，PA=AB=PB=AC=2,CP=2也

点。是P8的中点，且CD=巾，则下列说法正确的是.

①三棱锥P—ABC最长的棱的棱长为2回

②AC_L平面力B；

③球心O到底面PAB的距离为小;

④球。的表面积为竽.

答案①②④

解析如图，因为%=AC=2,CP=2也

所以PA2AC2=CP2,

得CA_L以，

由。是PB的中点，

得AQ_LP8,AD=j2—12=®

又CO=#，

所以人。2+人力2=。02,得人c_L4。,

又以HAZ)=A,PA,4Z)U平面小B,

所以ACL平面以8,故②正确；

由AB=AP,得CB=CP=2巾,

故三棱锥P一八8C最长的棱的棱长为26，故①正确;

取等边三角形%B的中心G,连接OG,04,

则OG=^AC=\,

即球心O到底面小6的距离为1,故③错误;

底面△以8外接圆的半径「=¥，

外接球的半径R=

所以球0的表面积为S=4TIX（粤）=竽，

故④正确.

7.（2022•漳州模拟）某中学开展劳动学习，学习加工制作包装盒.现将一张足够用的正方形硬

纸片加工制作成轴截面的顶角为60。，高为6的圆锥形包装盒，若在该包装盒中放入一个球

形冰淇淋（内切），则该球形冰淇淋的表面积为.

答案16兀

解析如图，由题意知，/BAC=60。，AOi=6,

故在RtZXAOC中，AC=44，0C=2小，

设内切球球心为0,半径为R,

则OD=OO\=R,

在RtZ\A。。中，/。4。=30°,

所以2K=6—R解得R=2,

所以5=4TTR2=]6兀

8.（2022・烟台质检）如图，在四棱锥P-ABCD中，△陶。是边长为4的等边三角形，四边形

A4C。是等腰梯形，AD//BC,ZABC=60°,AB=AD,若四棱锥P—ABC。的体枳为24,则