高考数学二轮复习专项突破（全国版文）三角函数的图象与性质

第2讲三角函数的图象与性质

［考情分析］1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象

的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题2主要以选

择题、填空题的形式考兖，难度为中等或偏下.

考点一三角函数的运算

【核心提炼】

1.同南关系：sin2a4-cos2a=I,“=tana

VOo(X

zWZ).

2.诱导公式：在华+a,4WZ的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.

例1⑴(2022・荷泽检测)已知角a的终边经过点(-1,2),则cos2a等于()

A.B.-|

C.D.j

答案B

解析因为角a的终边经过点(-1,2),

22

所以.0=后声=有’

8s『昌卷=一3，

—43

------

555

且0<a<^,贝ijsina=,cosa=,

34

答案--

55

（甘-a）cos（-竽+a）

解析sin

=­cos«•（—sina）

.12

=sin«cosa=亏

0<sin«<cosa.

二级结论(1)若QW0

(2)由(sina±cosa)2=l±2sinacosa知,

sina+cosa,sina—cosa,sinacosa知一可求二.

跟踪演练1(1)(2022.山西联考)若sin10°=«sin100。,则sin20。等于()

a-a

b--7+T

Q2“D―2a

Ca2+1D・/+]

答案C

解析由题可知4>0,

sin100=asin100°=«sin(90°+10°)=«cos10°,

又因为5访210。+以)$210。=1,

解得sin10°=

cos0=房!’

所以sin20°=2sinI00cos10°

_a______1______2a

=2q/+]荷+广开？

(2)已知2cos(a+=cos(a-7t),

则sin2a+cos2a=

答案"I

解析=cos(a—n),

:.2sina=_cos(/.,

Alana-

2sinaccsa+cos%—sin%

Asin2a+cos2«=

cos%+sin%

2tana+1—tan2a1

=---

1+tair«5

考点二三角函数的图象与解析式

【核心提炼】

由函数>=sinx的图象变换得到j=/4sin(caA-btp)(A>0,QJ>0)图象的步骤

例2（1）（2021•全国乙卷）把函数y=/（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不

变，再把所得曲线向右平移力个单位长度，得到函数尸$in（x—的图象，则於）等于（）

C.sin（2x-为

D.$也（2丫+合）

答案B

解析依题意，将》=。］（工一：）的图象向左平移,个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐

标扩大到原来的2倍，得到人幻的图象,

所以j=sinl

将其图象向左平岭个单位长度.（｛吟山内4所有点的横坐标犷大到原来的2倍.M吟山向

---------------------*），=sing:+司的图象----------------------*y=sm|j+五J的图

象.

⑵函数4x）=Asin（①x+e）（A>0）的部分图象如图所示，则/U）=.（填序号）

①2sin（〃+专）;

,贝I」8（%）=$&0（工+9+曰=545+（为+都,

解析记曲线。的函数解析式为g(x)因为函

数g(x)的图象关于y轴对称，所以k+三=&兀+界WZ),得e=2&+；(k£Z).因为切>D,所

p._1

以COmin-y

⑵(2022•黄山模拟涵数月尸Asin(①x+o)(A>O,⑦>0,一兀<8<0)的部分图象如图所示，为了

得到)，=/*)的图象，需将函数g(x)=4cos3r的图象至少向右平移()

A.W个单位长度

B5个单位长度

个单位长度

D号个单位长度

答案A

解析由图象可知A=2,八外的最小正周期

（Tt.

7=2X（j+%J=解得切=2,

・"俘）=2sin管+力=2,

，T27r+9=3%+2E（k£Z）,

解得0=一菅+2E伏£Z),

又一兀v3V0,/.^=—7»

.\/（A）=2sin

=2si

*/（J＞（A）=2COS2¥=2sinl

=2城2（工+圳，

・••将g（x）的图象至少向右口移:+方=衿单位长度可得益）的图象.

考点三三角函数的性质

【核心提炼】

函数），=Asin（cor+8）（A>0,①>0）的性质

⑴单调性：由一汁2EWG）X十户丹2版伙GZ）可得单调递增区间，由扛2E05+时挈+

2E伏WZ）可得单调递减区间.

TT

⑵对称性：由sx+9=E（A£Z）可得对称中心；由S:+9=E+5（*£Z）可得对称轴.

TT

⑶奇偶性：°=E（k£Z）时，函数y=Asin（5+p）为奇函数：*=kr+5（%£Z）时，函数y=>4sin（wx

+（p）为偶函数.

例3（I）（2022•新高考全国I）记困数Ki）=sin，ox+£）+/K①>0）的最小正冏期为丁.若竽<7<冗，

且），=於）的图象关于点侍2）中心对称，则/⑨等于（）

35

A.1B.zC.zD.3

乙乙

答案A

解析因为知<代兀，所以条条兀，解得2<口<3.

JJLAZ

因为y=7U）的图象关于点（平，2）中心对称，所以b=2,且sin（彳Z+：）+b=2,即sin（M>+；）

=0,所以9%+：=E（A£Z）,

rCC工713兀3兀7119兀

又2<（o<3,所以丁①一疗，-，

所以斗少+十=4兀，解得①=|,

所以7U）=sin（|x+y+2,

所以/（号=5由©乂今+£）+2=5皿:+2=1.

（2）（2022・赣州模拟）已知函数yU）=sin（Q»+*（3>0）相邻两条对称轴之间的距离为2兀，若J[x}

在（一加，〃?）上单调递增，则〃?的取值范围是（）

A（0,£|B.（0,5

C.（o,华D（0,y

答案B

解析因为_/U）=sin（tox+：）（①>0）相邻两条对称轴之间的距离2兀，

则灯=2兀，即7=4兀，则W=7Z=T,

247c2

则/U）=sin&+£）,

由2E—

得4E—"^WxW4E+亲&EZ）,

所以府）在［一学，目上单调递增，

由（一加，〃?）q［一当，得o<〃?w5，

所以机的取值范围是（o,\.

规律方法研究三角函数的性质，首先化函数为火x）=Asin（①x+s）+力的形式，然后结合正

弦函数y=sinx的性质求,/（x）的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sinx的性质求出fix）

的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得/=/x+*的范围，然后由），=sini

的性质判断各选项.

跟踪演练3（1）（2022・桂林模拟）已知函数yU）=cosx（sin.r—小cosx）,贝ij（）

A.yu）的周期为2兀

B.府）在区间［一去"上单调

C.府）的图象关于直线尸一自对称

D.府）的图象关于点僚（）对称

答案C

解析由题意，得y（x）=cosx（sinx—，5cosx）

对于选项A,府）的周期为7=竽=兀，A选项错误;

二

兀

兀

W-一N-

22.V3一2

对于选项C,由2x—W=E+3（*Z）,解得K=~7+V（A*=Z）,当人=-1时，x=一击，所以

——I4I一

./（x）的图象关于直线1=一合对称，C选项正确；

对于选项D,由2工号=丘（正Z）,解得工=与+枭£Z）,当左=0时，工=/，所以7U）的图象

关于点七，一明对称，D选项错误.

⑵（2022・广州联考）若函数y=tan（s+g在］一?三|上单调递减，且在［一小外上的最大值为

巾，则8=.

答案一

解析因为函数尸tan（s+；）在一三，号上单调递臧，

所以4<0,而2尊则一*8<0,

又因为函数在［芍，目上的最大值为小，

所以一却+£=1+E,keZ,

即①=一；—3女，A£Z,

所以①=一；.

专题强化练

一、选择题

也’一明，则角。可以为（

1.（2022•日照模拟）已知角6的终边经过点

型区

/A>•6oR»3Lr/・1162LLnx.23

答案D

解析•・•角夕的终边经过点心,

・・・。是第四象限角,

且cos7,sin8=一坐,

贝Ije=丁+2k兀，k6,

结合选项知角夕可以为笔

2.（2022•惠州模拟）已知tana=2,兀<。<”~,则cosa—sina等于（）

A半B.C芈D.-唔

JJ-坐JJ

答案A

解析由由0=鬻=2,

（J.

37r

且sin2rz4-cos2«=1,7r<«<^-,

3.(2022・济宁模拟)如图，某时钟显示的时刻为9：45,此时时针与分针的夹角为仇则［sin6

+cos0)(sinZ?—cos。)等于()

A坐B.—乎C坐D.一半

答案B

解析时针指向9时，分针指向12,当分针转到指向9时，旋转了圆周的宗因此时针旋转

323

兀4

所以

了

个小时-

夕X-

一---

124

458,

近

兀

OS一

42

4.(2022.开封模拟)已知点你0)是函数人r)=2sin(wx+§图象的一个对称中心，其中

09G(0,6),将函数启)的图象向右平移驾个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)等于()

A.2sin（2x+§

B.—2sin4,r

C.-2cos2xD.—2cos4x

答案D

解析由题意知sin(，+3=0,所以韵+^=E(代Z),所以"=6A—2(A£Z),又①£(0,6),

所以s=4,即/)=2sin(4x+§,将/(x)的图象向右平移符个单位长度后得尸2sin(4x—平+§

=-2cos4,v的图象，即g(x)=-2cos4x.

・

si•n3〃—_sina

5.(2022・邯郸模拟)已知tana=-3,则;3等于()

3n3c3n3

A--4B-4CTOD.一而

答案C

解析因为tana=—3,

〔sin%—sinnsin%-sina(siMa-1)sinn-sinncosa-lann__3_

、.(।琦cosacosacos2a+sin2a1+ian2a10'

sinla+2)

6.(2022.福州质检)已知函数/U)=sin(3一的部分图象如图所示，则於)的单调递

增区间为()

A.[E—/，E+焉，kGZ

B12E—/，2E+亮,kWZ

r15

C女-A-

t-6+■6

-5-

泉-»ez

6_

_

答案D

解析由图象可知，函数尸;⑴的最小正周期了满足六,一91,・・・T=2,O=竽=兀,

，於)=sin(ILL9),

­/v

—3=E,得■8=§—E,A£Z,

..兀兀.71

•一2<0^^,•*(p—3,

•W)=si

由2E-,WTLV一三或2女兀+亨，k£Z,

得2女一；《女+幺

oo

因此，函数产”）的单调递增区间为悭一/2&+胃，AWZ.

7.（2022•全国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长

度的“会圆术”.如图，A8是以。为圆心，Q4为半径的圆弧，C是AB的中点，Dt.AB

CD2

上，CD1AB.“会圆术”给出A8的弧长的近似值5的计算公式：s=AB+光■.当。4=2,

（7/1

NAO8=60。时，s等于（）

11一3小

A;

2

9一3小9一4小

C.2D.2

答案B

解析由题意知，△OA8是等边三角形，

所以A8=（M=2.

连接。。（图略），因为C是AB的中点，

所以OC_LA8,OC=7O#—AC2=4

又CQ_LA5,所以。，C,。三点共线，

所以CO=O。-OC=2一小，

宙”—（2—小尸11—4小

所以s—AB~r0A—2+?—?.

8.已知凡t）=cos（2x+3+l,工£（0,引，则函数尸咒丫）的图象与直线y=|交点的个数为

（）

A.2B.3C.4D.5

答案A

3

解析令/U）=g,

即cos（2x+1）+1=,,则cos（2x+1）=J

所以21+鼻=亨+2尿或2x+^=—^+2E,k《Z,

所以x=A兀或x=一冷+履，kGZ,

又x£(0,劣，所以x=j［或x=穹，

所以函数y=/W的图象与直线)=5交点的个数为2.

乙

9.将函数yU)=2sin(cox—§(①>°)的图象向左平移金个单位长度，得到函数,y=g(x)的图象，

若)，=g(x)在［。，上单调递增，则口的最大值为()

A.2B.3C.4D,5

乙

答案A

解析依题意，得g(x)=2sin［①(1+/)一生|

=2sins,由一依@xW，3°得一会会，于是得产g(x)的一个单调递增区间是

乙一乙U14a2

_一焉？却因为产g(x)在_0'：上单调递增’因此仇和［一券制，即有券衿，解

得0<sW2,即口的最大值为2.

10.(2022•山东联考)已知曲线G：y=cos2r,C2：>,=-sin^x+^J,则下面结论不正确的是

()

A.把曲线G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移普

个单位长度，得到曲线C2

B.把曲线G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移点个

单位长度，得到曲线C2

C.把曲线G向左平移居个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，

纵坐标不变，得到曲线C2

D.把曲线G向左平移自个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，

纵坐标不变，最后把得到的曲线向右平移兀个单位长度，得到曲线C2

答案B

解析对于选项A,把曲线G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的

曲线向右平移普个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为

=-sing+第，故A正确；

对于选项B,把曲线G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向

右平移专个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为

y=cosQ-3=cos(r+竽-为W-sinQ+争)，

故B错误；

对于选项C,把曲线G向左平移居个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来

的2倍，纵坐标不变，所得曲线对应的函数解析式为

=-sin(x+皇)，故C正确；

对于选项D,把曲线G向左平移出个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来

的2倍，纵坐标不变，最后把得到的曲线向右平移几个皇位长度，所得曲线对应的函数解析

式为

=-sin(x+会)，故D正确.

11.已知函数/U)=sinx+cosK的定义域为[a,b],值域为[―1,y[2],则b—a的取值范围是

B

A序fl[rfl

「「工—1D「囱—1

Ct2,2J叫4，2」

答案D

解析J(x)=sinx+cosx=\/2sin(x4-^J,因为b],所以七〃+£，〃+：，因为一

Iw，5sin(x+：)W霹，所以一乎Wsin(x+S)Wl.

正弦函数尸sinx在一个周期内，要满足上式，则S+2E,乎+2同，kSZ、

所以S—a)max=^+2E—(—：+2E)=¥，(A—a)min=^+2E—e+2E)=¥，4£Z,所以

。一〃的,,取值/上范廿围h是曰［「彳3兀，—3伍.

12.已知函数,/（x）=|sin.t|+cosx,下列结论正确的是（）

A.凡。为偶函数

B.人此为非奇非偶函数

C.O在［0,汨上单调递减

D.7U）的图象关于直线\=今对称

答案A

解析由题意得函数的定义域为R,

关于原点对称.

/（—X）=|sin（—x）|+cos（—X）=|sinx|+cosx=fix）,所以人。为偶函数，所以选项A正确，选项

B错误；

当（X，时，Ar）=sinx+cosx=，5sin（x+；）,令2E+与Wx+g2E+与，L£Z,所以2E

+；WxW2E+,，kQZ,

令左=0若WxW苧,

令2=—1得一,WxW一苧，

所以此时函数的单调递减区间为，，兀］,所以选项C错误；

/（一*sin（—；）+cos［—；）=也，/图斗E乎卜cos芋=（）#《-：）,即於）的图象

不关于直线％=：对称，所以选项D错误.

二、填空题

13.（2022・黄山模拟）已知（an缺一，=已-^,则sinx=,

答案咛1

解析由tan软_'=之，

爆近砥―"）!

仔，3兀「cos%'

cost~~XI

m―COSX1-rr

即即cos-尸sin-

整理得si/x+sinx—BO,

而一1WsinxW1,

E,0.\/5—1

解得sinx=^~^-.

14.(2022・石家庄模拟)已知角a的