高考数学二轮复习专项突破（全国版文）三角恒等变换与解三角形

［考情分析］1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主:要考查求边长、角度、面积等,

三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.2.三角恒等变

换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度.

考点一三角恒等变换

【核心提炼】

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(l)sin(a±/O=sinacos£±cosasin0;

(2)cos(a±/0=cos«cos股sinasin夕:

tana±tan[i

(3)tan(«±^)=

l+tanatan§

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(l)sin2a=2sinacosa;

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-I=1-2sin2a;

-_2tana

(3)tan2«=~—：~

1-tanzct

例1(1)(2022•新高考全国H)若sin(a+夕)+cos(a+夕)=2&cos(a+《)sinB，则()

A.tan(a—/?)=I

B.tan(a+少)=1

C.tan(a—^)=—I

D.tan(a+/?)=—1

答案C

解析由题意得sinacos夕+cosasin夕+cosacos/?—sinctsin夕=2吸X4-(cosa-sina)sin/?,

整理，得sinacos尸一cosasin£+cosacos£+sinasin/?=(),即sin(a—0+cos(a一6)=0,所以

tan(a-^)=­1.

⑵(2021•全国甲卷)若。lan2a=£二,贝ljtana等于()

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案A

解析方法一因为

_sin2a2sinacosa

tan2a——-="7分・~A

cos2a1—2sin~a

cosa

且tan2a=

2—sina

LL,、，2sinacosacosa解得sina=1.

所以；—r.：

1—2sin2«=52-—---s—ina

因为aS

所以cos。=邛^sinaVr5

tana—

cosa~15

2sina

_A_j_e、，-2tiinacosa

方法—因为tan2a=----------=-------r-5-

1—:an-a,sirra

cosa

2sinacosa2sinacosa

cos2a—sin2otI—2sin2a5

-_cosa

且tan2a=~：,

2—sina

2sinacosa

所以

1—2sin*2a2—sina,

解得sina=1.

因为a£(0.

6sina6

所以cosa=4,tana=—=,5.

规律方法三角恒等变换的“4大策略”

⑴常值代换：特别是“1”的代换，I=sin%+cos%=tan45。等；

(2)项的拆分与角的配凑：如sin2«+2COS2«=(sin2a+COS2G)+cos2a,a=(a—，)+夕等：

(3)降簇与升簌：正用二倍角公式升寐，逆用二倍角公式降寐；

(4)弦、切互化：一般是切化弦.

跟踪演练1⑴(2022•张家口模拟)已知sin依os0+小cos2e=cos0+坐夕电。则夕=

n荣6一乂18

解析sinHeos0+小cos2。

52升上冷出

=cos（2J_*）+坐

故cos（29-§=cos

0,

所以2。-曰=。+2e或2。一曰=一。+2依(％£2),

故9=1+2E或。=表+华伏WZ).

又6£(0,g,所以。兰或合.

35

(2)已知a,0都是锐角，sina=g,cos(a+£)=一百，则cos万等于()

A*-65B*-65©用D.eq

答案C

解析因为a,〃都是锐角，

所以0＜。+作兀，

35

-

一C

513

z=

4

0I2-

予-

13

所以cos/?=cos[(a+/?)—«]

=cos(a+^)cosa+sin(a+万)sina

54H2316

X---X-

-5+■H35-65

13

考点二正弦定理、余弦定理

【核心提炼】

1.正弦定理：在△48C中，告?=/^=兰7=2%欠为△43C的外接圆半径).

sinr\sinrisinL

变形：a=2Rs\nA,b=2R\inB,c=2/?sinC,sinA=/，sin8=益，sinC=或，a',b'.c=

sinA：sin8：sinC等.

2.余弦定理：在△ABC中，a2=b2-\-(r—2bccosA.

Z>2+Q—CT

变形：b24-c2-a1=2bccosA,cosA=--------------.

3.三角形的面积公式：5=z«/?sinC=7acsinB=TocsinA.

例2(1)(2022・济南模拟)若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知Asin2A

=asinB,且c=2b,则彳等于()

A.3B.cq

C.eqD.eq

答案D

解析因为Z?sin2A="sinB,

所以2/?sinAcosA=asinB,

利用正弦定理可得2abcosA=ab,

所以COSA=5，又C=2〃，

一一b2+c2~a2护+4从一〃1

所以c°sA=-赤—=-4P—=2

解得£=布.

(2)(2022•全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(。-B)=

sinBsin(C_A).

①若A=23,求C；

②证明：2a2=b2+c2.

①解由A=28,A+8+C=m

2L2C

可得4=-3--

将A=2B代入sinCsin(A-R)=sinBsin(C-A),

可得sinCsinB=s\nBsin(C—A).

因为4£(0,兀)，所以sinBRO,

所以sinC=sin(C—/A).

又A,Ce(0,TT),所以C+C—A=m

加.2TT—2C、

即A=2C—7T,与4=——联立，

解得。=吊".

②证明方法一由sinCsin(4—/?)=sin/?sin(C—4).

可得sinCsinAcosB—sinCeosAsinB

=sinBsinCeosA—sinBco5CsinA,

结合正弦定理可得，

accosB-bccosA=bccosA—abcosC,

即“c'cosB+abcosC=2b(xosA.(*)

由余弦定理得，

〃十/一〃a2+b2-c2

accosB=,abcosC=5,

2/?ccosA=庐+/—/,

将上述三式代入(*)式并整理，

得2/=〃+。2.

方法二因为A+B+C=J[,

所以sinCsin(A—B)=sin(A+B)sin(A—B)=sin2Acos2B—cos2Asin2B=sin2A(1—sin%)—(1—

sin2A)sin2B-sin2A—sin2B,

同理有sin5sin(C—A)=sin(C4-A)sin(C—A)=sin2C—sin2A.

又sinCsin(A—8)=sinBsin(C—A),

所以sin2A-sin2B=sin2C_sin2A,

即2sin2A=sin2fi+sin2C,

故由正弦定理可得2/=〃+/.

规律方法正、余弦定理的适用条件

(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理.

(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.

注意：应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.

7

跟踪演练2(1)在△A8C中，若cosC=§,力cos人+“cosB=2,则外接圆的面积为()

A.eqB.eq

C.eqD.eq

答案D

解析根据正弦定理可知b=2RsinB,

〃=2RsinA,

得27?sin8cos人+2/?sinAcosB

=2Rsin(4+B)=2,

因为sin(A+B)=sin(n—C)=sinC

=,^1—cos2C=

所以R—g»

所以△ABC外接圆的面积S=兀R2=需.

(2)(2022・衡水中学模拟)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为小b,c,且当瞿

IdllD0

①求角A的大小：

②若。=2,求△48C面积的最大值及此时边Ac的值.

解①在△ABC中，由正弦定理得c=2RsinC,b=2RsmB,喘鬻-1，1=

2sinC

sinB'

化简得cosAsinB+sinAcos8=2sinCeosA.即sin(八+8)=2sinCeosA,

VA+B=TC—C,.,・sin(4+8)=sinCWO,AcosA=^,V0<A<n,/.A=J.

②在△ABC中，由余弦定理得/=〃+，-2〃ccosA,又A=1,・,•从+，-Z?c=4,

又从+(?22儿，/.Z?c<4,则SGAsc=/'inAW；X4义孝=小，

•••△ABC面积的最大值为不，当且仅当》=c=2时等号成立.

即此时〃=2,c=2.

考点三解三角形的实际应用

【核心提炼】

解三角形应用题的常考类型

(I)实际问题经抽象榻括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦

定理求解.

(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些

三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角

形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.

例3(1)滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代

诗人王勃的诗句“落霞与孤鹫齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，小明同学为测量

滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物人氏高为12m,在它们的地面上的点

M(B,M,D三点共线)测得楼顶A、滕王阁顶部C的仰角分别为15。和60。，在楼顶A代测得

滕王阁顶部C的仰角为30。，则小明估算滕王阁的高度为(精确到1m)()

A.42mB.45m

C.51mD.57m

答案D

解析由题意得，在R12XAAM中,

AB

AM=

sin15°

在△ACM中，NC4M=300+15°=45°,

Z/\MC=180°-15°-60°=105°,

所以N4CM=30。，

由正弦定理得./「二=.

sin/ACMsinZ%CAWM

匕—sinNCAMpAB

所以CM=sinZACMAM=

sin15°

又sinl5°=sin(45o-30°)

小昱出1证一陋

'2222-4

巫AB12%

在RtA中，CQ=CMsin600==36+12-73^57(m).

2sin15°#一/

2X

4

（2）（2022・宜宾模拟）如图所示，为了测量A,8处岛屿的距离，小明在。处观测，48分别在

。处的北偏西15。，北偏东45。方向，再往正东方向行驶40海里至。处，观测8在C史的正

北方向，A在C处的北偏西60。方向，则人，3两处岛屿间的距离为（）

A.20＞尼海里

C.20（1+小）海里D.40海里

答案A

解析由题意可知CQ=40,ZADC=105°,NBDC=45。,N8CO=90。，ZACD=30c,

所以NC4O=45°,ZADB=60°,

在△/!(7/)中，由正弦定理得=，得AO=20\/^,

111V*111■■J

在RtaBCO中，因为N8OC=45。，NBCD=90。,

所以BD=pCD=4（）叵

在△AB。中，由余弦定理得

800+3200-2X20V2X40V2x1

=、2400=20^.

规律方法解三角形实际问题的步骤

跟踪演练3（1）如图，已知人，B,C,D四点在同一条直线上，旦平面碗£）与地面垂直，在

山顶尸点测得点A,C,。的俯角分别为30。,60°,45°,并测得AB=200m,CD=100m,

现欲沿直线AO开通穿山隧道，则隧道4c的长为()

A.100(^3+l)mB.200(小+l)m

C.200^3mD.100^3m

答案C

解析由题意可知A=30。，。=45。，ZPCfi=60°,

所以NPC7)=I2O。，Z4PC=90°,ZDPC=I5°,

因为sin15°=sin(45°-30°)

<3_^21_V6-A/2

~2X22X2~4，

CD_PC

所以在△PC。中，由正弦定理得sinZDPC=sinD*

口010()PC

J斤gF解得PC=100(^3+l)m,

42

所以在Rt△两。中，

AC=2PC=200（^3+Dm,

所以I3C=AC-A8=2（）（hfi（m）.

（2）如图是建党百年展览的展馆——国家博物馆.现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面

的高度。尸（点O在柱楼底部）.现分别从地面上的两点A,B测得点P的仰角分别为30°,45。,

且NA8O=60。，AB=6O^2米，则OP等于（）

A.40米B.30米

C.3Oj2米D.30\/5米

答案C

解析如图所示，设。「=力，

p

由题意知NQ4P=3O。，

NO4P=45°.

在RtAAOP中,

OP

°4=通而=小儿

在Rt^BOP中，OB=h.

在△A8O中，由余弦定理，

得OA2=AB2+OB2-2ABOI3COS60°,

代入数据计算得到力=3即（米）.即0~=32（米）.

专题强化练

一、选择题

1.（2021•全国甲卷）在△ABC中，已知4=120。，4C=皿，AB=2f则4c等于（）

A.1B.eqC.eqD.3

答案D

解析由余弦定理AC2=4^+8C2-2A®8Ccos&得15=0,

解得BC=3或BC=-5（舍去）.

2.（2021•全国乙卷）cos哈一cos喈等于（）

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案D

解析cos哈一COS喂

,,H,571

1+COS4I+cos

=-2—-2

222,

3.（2022・榆林模拟）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为邛W

b—c=1,cosA=；,则a等于（）

A.10B.3C.eqD.eq

答案C

解析因为cosA=；，所以sinA=中^,

所以bc=6,又b—c=1,

可得b=3,c=2,

所以/=〃+/—2力ccosA=10,即a=qT6.

4.已知cosa="^Ssin0—a)=-去pa，夕均为锐角，则夕等于()

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案c

解析Va,4均为锐角，即a,4£((J,习，(甘，3，

._n--------b2小

・・cos(尸1sin~0a)—sina—yj1cos"a—J,

……3V10VV5(^10\,2^5范

cos/?=cos[(^—a)+a]=cos(^—a)cc>sa-sin(/?-a)sina—JQX5-1-17rJX5-o，

又蚱(o,9，・“=：.

5.设角a,p的终边均不在坐标轴上,且tan(«—p)+tan/5—tana,则卜列结论正确的是()

A.sin(a+Q)=0B.cos(a—0)=1

C.sin%+sin%=1D.sin2«+cos2y7=1

答案D

tana—tan/?八

解析由题意可得，tan(a—")=tana-tan0,即H-tanmanrlaneZ-tan^

八lanman£八

(tan«-tan^1+tanatan//=O,

,.Fanalan夕WO,.*.tana=tan:,a=kZB，kRZ.A,B不恒成立;

又sin%=sin2(&7c+0=sin%,.*.sin2a+cos2/?=sin2/?+cos2/?=1.

6.(2022•张家口质检)下列命题中，不正确的是()

A.在△A6C中，若贝iJsinA>sin/

B.在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立

C.在△ABC中，若〃cosA=Aos&则△ABC是等腰直角三角形

D.在8c中，若加=ac,则△A3C必是等边三角形

答案C

解析对于A,由A>B,可得〃>仇利用正弦定理可得sinA>sin8,正确;

对于B,在锐角△ABC中，A,8£(0,9,

•••A+喈

.•令4>亨一8>0,

sinA>sin《-B)=cosB,

因此不等式sinA>cos8恒成立，正确；

对于C,在△ABC中，acosA=bcosB,利用正弦定理可得sinAcosA=sinBcos8,

/.sin2A=sin28,

〈A,gO,兀)，

・・・2A=2B或2A=7T-2B,

•\A=B或A+B=4，

•••△ABC是等腰三角形或直角三角形，错误；

2

对于D,由于3=/,b=act由余弦定理可得

b1=ac=a1-\rc2,—acy

可得(〃-C)2=0,解得〃=C,

则4=C=B=?

•••△A8C必是等边三角形，正确.

7.故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群，故宫宫殿房檐设计恰好

使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约

为75。，冬至前后正午太阳高度角约为30。.图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱

柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐的长度（单位：米）约为（）

A.3米B.4米

C.6（小一1冰D.3（小+D米

答案C

解析如图,根据题意得/4CB=15。.

Z4CD=105°,

ZADC=30°,

NC4O=45。，

CO=24米，

所以NCAQ=45。，

在△AC。中，由正弦定理得

CD_______AC

sinZCAD=sinZADC

即_^_=上_

/45。sin30。，

解得AC=12近（米），

AB

在RlZXACB中，sin/ACB=n，

即“第

解得48=12•sin150=12gsin（60°—45°）

=36（加一陋）=6（小一1）米.

8.（2022•运城模拟）已知sin6+a）+A/5sina=#,则lan2a等于（）

A.一2建B.2^2C.一5D.eq

答案A

解析由题意得cosa+*\/isina=小，所以小sin（a+e）=小，其中sin*=乎，cos9=\

所以sin（a+e）=1,所以a+0=^+2E,A£Z,所以a=^一3+2E,A£Z,所以sina=sin

巫、.S"7sinar：”…42tana

=fcos=-

=cos<p2«cosl5l=sin所以tana=~~~=y)2,所以tan2«=._2

1-(a)2-2隹

二、填空题

9.(2022♦烟台模拟)若sina=cos(a+^),则tan2a的值为.

答案小

解析由sina=cos(a+

可得sina=cosacossinasin专

S1.

—ocosa—*ina,

nil亚

则tana=q",

2X

c2tana____半3__r-

tan2Q="J"~=/心工=73・

1-taira.坤

10.(2022・泰安模拟)已知sin停一a)=；，则sin6_2a)=.

答案-I

11.(2022•开封模拟)如图,某直径为5小海里的圆形海域上有四个小岛,已知小岛8与小岛

4

C相距5海里，cos/B4D=-g.则小岛B与小岛D之间的距离为海里；小岛B,C,

D所形成的三角形海域BCD的面积为平方海里.

答案3415

解析由圆的内接四边形对角互补，得

cosZBCD=cos(n—Z.BAD)=—cosZBAD=^>0,

又NBCD为锐角，所以sinNBCD=y/1—cos?/BCD=5,

在△BC。中，由正弦定理得

nr\Dr\

^7^5=-=^则瓦）=3板海里）.

5

在△BC。中，由余弦定理得

（3V5）2=CD2+52-2XCDX5XJ.

整理得CD2-8CD-20=0,

解得CO=10（负根舍去）.

13

所以S^BCD=2XIOX5Xq=15（平方海里）.

12.（2022•汝州模拟）在△RBC中,角A,B,C所对的边分别为。,b,c,a=2,cos2C=

cos2A+4sin2«,则△ABC面积的最大值为.

2

答案3

解析由cos2C=cos2A-\-4shrB得，

1—2sin2C=1—2sin2A+4sin?B,

即sin2A=sin2C+2sin2B,

由正弦定理得标=，+2〃=4,

由余弦定理得a2=Z）2+c2-2Z?ccosA=4,

:.c2+2〃=〃+/-2/?ccosA,

4\1。喈一投

•・"+2护=4,・・.C2=4—»2,

SLABC=RI/r（4-2b2）-^b4

=11-，+4/，

Q

则当序=3时，

y

（一粉+402）max=-^X部+4x/=竽,

142

-X---

233

三、解答题

13.(2022・新高考全国H)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,

为边长的三个正三角形的面积依次为S，S2,S3.已知S|—S2+S3=乎，sin«=|.

(1)求△A8C的面积；

(2)若sinAsin。=乎，求b.

巧

解(1)由Si—$2+83=2，

得乎(/-〃+/)=坐，

即/一户+d=2,

又(r—Z?2+c2=2accosB,

所以accos8=1.

由sin

得cos或cos8=一斗3舍去)，

所以"=品=乎，则△ABC的面积

S=；acsin8=义义^^乂＜=乎.