概率统计的综合问题-2026高三一轮复习讲与练

10.8概率统计的综合问题

考试要求

1

会综合利用概率统计知识，解决频率分布直方图、回归模型、独立性检验与分布到的综

合问题.

匡键能力提升互动探究•考点精讲

考点1频率分布直方图与分布列的综合

【例1】为提高学生的环保意识，某大学举办了一次环保知识竞赛，并从所有参赛大

学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛分数均分布在［450,950］内，根据调资的结

果绘制了竞赛分数的频率分布直方图，如图所示.分数不低于850分的学生被称为“特优选

手”.

(1)求。的值，并估计该校学生竞赛分数的第70百分位数和平均数(同一组中的数据用

该组区间的中点值作代表〕：

(2)现采用比例分配的分层随机抽样的方式从分数在［750,850),［850,950］内的两组学

生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中“特优选手”的人

数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.

【解】(1)由频率分布直方图知(0.0015X2+«+0.0025+0.0010)X100=1=4=0.0035.

设第70百分位数为超，前两组所占频率为(0.0015+0.0035)X100=0.5,

前三组所占频率为(0.0015+0.0035+0.0025)X100=0.75,则m位于第三组数据中，

所以‘"-65°=750-w=〃?=73o,即第70百分位数的估计值为730.

70%-50%75%-70%

平均数x=(500X0.0015+600X0.0035+700X0.0025+800X0.0015+900X0.0010)

X100=670,

即该校学生竞赛成绩的平均数的估计值为670.

(2)由⑴知分数在［750,850),［850,950］内的两组学生分别有100X0.0015X100=15：人),

100X0.0010X100=10(人)，

所以各自抽取的人数分别为10X15=6,10X10=4,

15+1()15+1()

显然“特优选手”有4人,

故X可取0,1,2,3,4,则P(X=())=?=1,尸(X=l)=a，=8,0(*=2)=&了=

CTO14CTO21CTO

/小=*―)嘴=2；0,

所以X的分布列为

X01234

18341

P

1421735210

E(A,)=0X1+1X8+2X3+3X4+4X1=8.

规律总结L

高考中常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起进行考查，解题时要正确理解撅率分

布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据.概率问题以计算为主，往往和实际

问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来.

【对点训练1】某甜品店为了解某款甜品的销售情况，进而改变制作工艺，根据以往

的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.假设每天的销售量相互独立，

用频率估计概率.

(1)估计某一天此款甜品销售量不超过60个的概率.

(2)用X表示在未来3天里，此款甜品日销售量超过60个的天数，求随机变量X的分布

列和数学期望.

(3)该店改变了制作工艺以后，抽取了连续3()天的销售记录，发现这其中有2()天的销售

量都超过7()个，根据抽查结果，能否认为改变工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化？请

说明理由.

解：(1)设事件力为“某一天此款甜品销售量不超过60个”，

所以0(4)=(0.01+0.03)X10=0.4.

(2)根据题意得X~Z?(3,0.6),则

P(X=0)=04=0.064,

P(X=1)=C3X0.6X0.42=0.288,

P(X=2)=C3X0.62X().4=0.432,

P(^=3)=0.63=0.216,

所以X的分布列为

X0123

P0.0640.2880.4320.216

所以£(A9-0X0.064-lX0.288+2X0.432+3X0.216-1.8.

(3)可以认为改变制作工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化.理由如下：

改变制作工艺前，设事件C表示“日销售量超过70个”，用y表示30天内日销信量超

过70个的天数，

由频率分布直方图可得P(O=0.2,则y〜8(30,0.2),

所以E(r)=30X0.2=6<20,

所以可以认为改变制作工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化.

考点2回归模型与分布列的综合

【例2】(2025•山东淄博二模)汽车尾气排放超标是导致全球变暖、海平面上升的重

要因素.我国近几年着重强调可持续发展，加大新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽

车产业迅速发展.某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调杳，得到下面的统

计表：

年份，20202021202220232024

年份代码X12345

销量w万辆1012172026

(1)计算销量y关于年份代码x的样本相关系数尸，并判断是否可以认为y与x有较强的

线性相关关系(若川20.75,则认为有较强的线性相关关系).若是，求出y关于x的经验回

归方程；若不是，请说明理由.

(2)为了解购车车主的购车种类(分为新能源汽车与传统燃油汽车)的情况，该企业调查

了该地区4位购买新能源汽车车主和4位购买传统燃油汽车车主，现从这8位购车车主中随

机抽取3位，用X表示抽取的3位购车车主中购买新能源汽车的人数，求随机变量X的分布

列与均值.

附：对于一组数据(xi,y\),(力，J。…，(x”，yn),变量x,♦的样本相关系数r=

X*y，一心丫

错误!=7^''-------.n经验回归方程£=短+。中，3=错误!=

乙-nx•_Zjy-~"

♦

一〃zy

/_|AA

-----------------------,a=y-bx.

个2-2

【解】⑴由题意得X=1x(l+2+3+4+5)=3,

y=*X(10+12+174-20+26)=17,错误!仙=295,错误9=55,错误『=1609,

一错误=295TX3XI7=心。-g

55-5X32X1609-5X1724141

因此，销量y与年份代码x有较强的线性相关关系.

0295-5X3X17

)=错误!==44,

55-45

一

②经验回归方程y=bx+”中，b=--；----------------。=y-bx.

X--1IJC2

③若随机变量X〜N(〃，O2),贝|J尸("一(7<X<〃+G*0.6826,尸(〃一2户六〃+2(7)40.9544,

P(/i-3K—+3a)Q0.9974.

解：(I)依题意，随机变量X服从超几何分布，且X的可能取值为0,I,2,3,则尸(X

=0)=5,=4?(>=1)=©，=18

©35G35

CIC\\2

P(X=2)==

G-35'

aa1

P(X=3)==

C)"35'

由此可得尸(X=l)=；最大，即X=l的可能性最大，故X最有可能的取值为I.

(2)(i)依题意，y=Qcx两边取对数，得In_y=cx+lnA,即z=cx+In尤其中工=

32+41+54+68+74+80+92

=63,

7

由提供的参考数据，可知c"0.02,

又一0.642=0.02X63+1112,故一扭=一69,所以入七广？

由提供的参考数据，可得2-0.15,故/=0.15Xe03r.

当x=60时，^A=O.I5Xeoo2X6°^O.498,即估计其绩效等级优秀率为0.498.

(ii)由(i)及提供的参考数据可知，产x=63,。="20,

又片20.78,即0.15Xe。吟0.78,可得0.02r21n5.2,即喘;心83.

又〃+。=83,且05—M¥%+。)比0.6826,

由正态分布的性质，得P(x283)=；［l—尸缶一公q+㈤尸;X(1-0.6826)=0.1587,

记”绩效等级优秀率不低于0.78”为事件4则P(4)=P(x283)=0.1587,

所以绩效等级优秀率不低于0.78的概率等于0.1587.

考点3独立性检验与分布列的综合

【例3】(2024•山共青岛三模)为了研究高三年级学牛的件别和身高是否低干170cm

的关联性，随机调查了某中学部分高三年级的学生，整理得到如下列联表：

身高

性别合计

低于170cm不低于170cm

女生14519

男生81018

合计221537

⑴依据小概率值《=()」的独①性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关

联？

(2)从身高不低于170cm的15名学生中随机抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人

数为X,求X的分布列及期望反㈤.

(3)若低于170cm的8名男生身高数据的平均数为x=166.5cm,方差为4=9,不低于

170cm的10名男生身高数据的平均数为V=180cm,方差为s?=18.请估计该中学男生身高

数据的平均数和方差.

附：尸=〃(ai)2，〃-+6+c+a

(a+-X。+-+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【解】(1)零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联.

根据列联表中的数据，经计算得

、37X(14X10-5X8)2

/=^3.278>2.7O6=xo.i,

19X18X22X15

由此可知根据小概率值a=0.1的独立性检验，零假设不成立，可以认为性别与身高有关

联.

(2)由题意，可得随机变量X的可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=C?=24,p(.Y=l)

Ch91

_m_45MY_6_QCIO_2O冏丫_八_或_2

"C0-]，"-2)-c-]，。…飞-加，

所以随机变量X的分布列为

X0123

2445202

Lp

91919191

所以期望为fCA^-OX24+1X45+2X20+3X2

91919191

(3)由题意知，18名男生身高数据的平均数

4S

z=^X166.5+^Xl80=174(cm),

18名男生身高数据的方差

；55—-』尸=；［£(—+-)2+错误!@

1Ou-J10I|

1-1

一y+y—Z)2］=I［错误！(为一人)2+8(X—z)2+错误！(以一y)2十［0()■一Z)

18

]=；X原+(x—z)2]+：x[0+(V—z))=59,

所以估计该中学男生身高数据的平均数为174cm,方差为59.

/规律总结

高考中常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查，解决独立性检脸问题，要注意

过好“三关”：假设关、公式关、对比关.解决概率问题要准确地把握题中所涉及的事件,

明确所求问题所属的事件类型.

【对点训练3】(2024•山东临沂二模)“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为

了解年轻人对“赶大集”的态度(态度分为非常喜欢和感觉一般)，随机调查了200位年轻人,

得到的统计数据如卜面的不完整的2X2列联表所示.

对“赶大集”的态度

性别合计

非常喜欢感觉一般

男性3/100

女性t

合计60

⑴求/的值，试根据小概率值。=0.01的独立性检验，判断能否认为年轻人对“赶大集”

的态度与性别有关.

(2)从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2

名女性非常喜欢“赶大集”.现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X

为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X的分布列及数学期望

参考公式")+/箸篇3+万其中

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

解：(1)由题意可知3f+(60—1)=10(),解得/=20,

零假设：年轻人对“过大集”的态度与性别无关，2X2列联表如下:

对“赶大集”的态度

性别合计

非常喜欢感觉一般

男性6040100

女性802010()

合计14060200

200X(60X2()-40X80)^200X200023$24>6635

100X100X140X60140X60X100X100

根据小概率值a=0.01的独立性检脸，零假设不成立，可以认为年轻人对“赶大集”的

态度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于().()1.

(2)设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为〃?，女性中非常喜欢“赶大集”

的人数为〃，则且X的所有可能取值为1,2,3,4.

Clclcl21

P(X=l)=P(/〃=0,w=l)=,,P(X=2)=P(m=ln=l)+P(/M=0,〃=2)

CgQ3015t

=隼叩+坐=13P­=2,〃=1)+尸(叩1,C3CJC1CIC1C?C312

ciacia30''/i，W=2)=c^c?+cia=30

=2,P(X=4)=P(〃?=2,八=2)=C号?=3=1.

5'ClCl3010

所以X的分布列为

X1234

11321

P

1530510

所以%)=IX#2吟+3＞：；+4＞＜萨：；.

课时作业75

▲jl/基础巩固.

1.(13分)(2025•北京东城区一模)某中学为了解高二年级学生阅读水平现状，从该年

级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字

数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到频率分布直方图：

(1)若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分及以上的人数；

(2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字

/分及以上的人数为X,求X的分布列与数学期望可㈤；

(3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度的数据如下:506,516,553,592,

617,632,667,693,723,776,从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到

540字/分及以上的人数为匕试判断数学期望E(K)与(2)中的E(㈤的大小，并说明理由.

解；(1)1500X(0.00375+0.00100J-0.00025)X80=600,

故可估计阅读速度达到620字/分及以上的人数为6(X).

(2)从中随机抽取一人，其阅读速度达到540字/分及以上的概率为(0.0050()+0.00375+

0.00100+0.00025)X80=0.8,

X的可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)=C?X0.23=0.008,

P(X=1)=C!X0.8X0.22=0.096,

P(X=2)=QX0.82X().2=0.384,

〃(X=3)=5XU.H3=(J.5I2,

则X的分布列为

X0123

P0.0080.0960.3840.512

期望为E(X)=3X0.8=2.4.

(3*(X)=E(y),理由如下：这10名学生中，阅读速度达到540字/分及以上的人数为8,

则丫的可能取值为1,2,3,

C&Q=567

p(y=2)=

Clo—12()15'

ac?567

p(r=3)===

C]o—12()-15'

则F(F)=1X1+2X7+3X7=2.4,故可㈤=E(K).

151515

2.(13分)(2024•江西鹰潭三模)某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择.为

了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度，随机调查了20()名学生，数

据如下：

性别

态度合计

男生女生

同意7050120

不同意305080

合计100100200

(1)能否有99%的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮身R”这种观点的态度与性别

有关？

(2)现有足球、篮球、跳绳供学生选择.

①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种，且他们的选择互不影响.记事件力为

“甲学生选择足球”，事件〃为“甲、乙两名学生的选择不同”，判断事件44是否独立,

并说明理由.

②若该校所有学生每分钟跳绳个数X〜M185,169).根据往年经验，该校学生经过训冻后,

跳绳个数都有明显增加.假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数增加10,该校有

1000名学生，预估经过训练后该校学生每分钟跳182个以上的人数(结果四舍五入到整数).

_n(ad-bc)2

附:7其中〃=a+b+

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0250.0100.005

Xa5.0246.6357.879

若X〜N@,次)，则P(W一”＜。)、0.6827,尸(小一川＜2。)和0.9545,P(W一川＜3田=0.9973.

解：(1)由题设列联表，有

200X(70X50-50X30)2=25=&33＞6.635,

120X80X100X1003

故有99%的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关.

(2)①事件力，8独立，理由如下：

P⑷=\尸(8)=咨常,尸(阴=*=：,则P(AB)=P(mP(B),故事件4B独立.

3CrC139

②训练后X〜N(195,132),P(X>182)=P(X>^~o)=^r_+rT)

1+0.6827

=0.84135,

2

故预估经过训练后该校学生每分钟跳182个以上的人数为0.84135X10004841.

3.(17分)(2024•江苏南通模拟)某高校统计的连续5天入校参观的人数(单位：千人)

如下:

第X天12345

参观人数w千人2.42.74.16.47.9

并计算得错误!必=85.2,错误弓=55,戈=3,V=47

（1）求y关于戈的经验回归方程，并预测第10天入校参观的人数.

（2）已知该校开放1号、2号门供参观者进出，参观者从两门进校的概率相同，且从进校

处的门离校的概率为:，从另一处门离校的概率为:•假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，

已知甲、乙两名参观者从I号门离校，求他们从不同门进校的概率.

附：经验回归方程为：：=短+2其中沙=错误!，。=y-bx.

解：⑴依题意，号错误!=错误!=歌2-5义3：4.7=]47,

55-5X32

V-bx=0.29,所以（=1.47x+0.29.当x=10时，（=14.99,

故第10天入校参观的人数约为14.99千人.

（2）记“两名参观者从不同门进校”为事件力，“两名参观者都从1号门离校”为事件8,即

求P（AIB）.

+1X2X1X24-CX3X2X3]X2=1,

232323234

ill?1

P（/1i?）=x,x*x^x2=，,

23239

所以P（A|B）=P（幽=t

P（B）9

故他们从不同门进校的概率为4

9

理素养提升4

4.（17分）（2024•河北沧州模拟）“南澳牡蛎”是我国地理标志产品,产量高、肉质肥、

营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉.2024年某基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投

入增量x（单位：人）与年收益增量y（单位：万元）的数据如下：

人工投入增量力人234681013

年收益增量w万元13223142505658

该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了），关于x的两个回归模型.

模型①：由最小二乘公式可求得y关于x的经验回归方程：^=4.1x4-11.8；

模型②：由散点图的样本点分布（如图），可以认为样本点集中在曲线：y=2x+＞的附

近，对人工投入增量x做变换，令，=x,则卜="+〃，且有/心2.5,%38.9,错误！（力

-1）（弘一）心81.0,错误！（八一I）2*3.8.

人工投入增量”人

(1)(i)根据所给的统计量，求模型②中y关于x的经验回归方程(精确到0.1)；

(ii)根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数改，并选择拟合精度更高、更可

靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量.

回归模型模型①模型②