高考数学一轮复习讲义：基本不等式

§1.4基本不等式

【课标要求】1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.基本不等式：

⑴基本不等式成立.的条件：心0,历>0.

⑵等号成立的条件：当且仅当4=6时,等号成立.

(3)其中号叫做正数出力的算术平均数，偃叫做正数小的几何平均数.

2.利用基本不等式求最值

(1)已知x,都是正数，如果积外等于定值P,那么当x=y时，和X+y有最小值24巳

(2)已知x,y都是正数，如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积孙有最大值依.

注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.

【常用结论】

几个重要的不等式

(\)a2-^-h2^2ab(a,〃£R).

(2g+/2(4,b同号).

(3)abW,Z?£R).

(4)“”3'b£R).

以上不等式等号成立的条件均为a=b.

【自主诊断】

1.判断卜列结论是否止碓.(请在括号中打“J”或“义”)

(1)不等式与7等号成立的条件是相同的.(X)

(2)1y=工+1的最小值是2.(X)

X

(3)若.r>0,)>()且x+y=xy,则孙的最小值为4.(J)

⑷函数产sin.r+提7，xG(0,今)的最小值为4.(X)

sinA\乙)

2.(必修第一册P48习题Tl(l)改编)若函数./U)=X+TE(Q2)在x=a处取最小值，则G等于

A.1+也B.1+^3

C.3D.4

答案C

解析当x>2时，A—2>0,./^)=。-2)+±+222\/。-2>±+2=4,当且仅当x~2

=±(x>2),即x=3时，取等号，即当«r)取得最小值时x=3,即4=3.

.X*Z

3.已知00<1,则Ml—力的最大值为()

A.1B.|C.七D.1

答案A

解析因为0<x<1,所以1—x>0,

八-6v+1-x\I

所以x(l-xv)W(~j―/y=4»

当且仅当x=l—x,即时，等号成立，

故x(1—X)的最大值为

4.(2023・重庆模拟)已知CO,)>0,x+y=1,则“y的最小值为_______.

答案4

解析由x+)，=1得±+：=0：+称+｝，)=2+/;22+2邸1=4,

当且仅当x=y=J时，等号成立，即的最小值为4.

■探究核心题型

题型一基本不等式的理解及常见变形

例1(1)若0<。4,则下列不等式一定成立的是()

a+Z?I-

A.b>—^—>a>^ab

b>\[ab>l~^^>a

B.

a+b.-

C.b>-^—>^ab>a

D.b>a>~ab

答案C

解析・：0<a<b,：.2b>a+b,

a~\~b

b>~

V/?>«>0,:.ab>a1,yfab^i.

(2)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依

据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现

有图形如图所示，C为线段48上的点，且AC=〃，BC=b,。为48的中点，以4B为直径

作半圆，过点C作A/3的垂线交半圆于点。，连接OD,AO,80,过点C作。。的垂线，垂

足为点E,则该图形可以完成的无字证明为()

.I—

A.—2~^yJab(a>0,b>0)

B.a2+A?22ab(a>0,b>0)

C.yfab^—jX〃>0，b>0)

D.2b>。)

答案C

解析根据图形，利用射影定理得

C»=DE0D,

又OO=%8=^(a+〃)，CD?=ACCB=ab,

酝I'J八夕-CD?ab

所以DE—8一〃+〃'

~1~

由于OD2CD,

所以纬/?>o).

由于CD-DE,

叫）,贝铝卜心孚!）=*±2£誓宜工三近

B选项，当〃+历＞0时,

即空w卷星恒成立,

W0恒成立,当a+bWO时，原不等式恒成立，故B选项正确;

、,.(a+Z?)2—(a—b)2,el一3+〃)22ab1匚上、

C选项，当。+/?>0时，2x:b——L5~=---5乙----W0,即2aZ?W-z/~，F4"7IuW-y乙-恒戌立,

.（。+力）2—（。-6）2一ir（a-^-h）22ab、a+b..

当a+XO时，2ab——z2-=---z2~~^0,即2a》W-z2—.,一a-^v二b二一2，故C选项错i天;

cr~\~tr

D选项，由重要不等式可知，a,b£R,，心W——恒成立，故D选项正确.

题型二利用基本不等式求最值

命题点1直接法

例2（1）（多选）下列代数式中最小值为2的是（）

A.x--人B.2*+2]

C.*+%

Dg+点

答案BC

解析选项A中，当MO时，函数y=x—J单调递增，无最小值，不符合题意：

•儿

选项B中，2'+2r22镜声=2，当且仅当x=o时，等号成立，满足题意；

选项C中，层=2,当且仅当工=±1时，等号成立，满足题意；

X产品2,当且仅当环=言时'等号

选项D中，2+^==^

成立，但此方程无实数解，不符合题意.

（2）已知x,y为正实数，且满足4x+3y=12,则个的最大值为.

答案3

解析由已知，得12=4%+3），22麻豆，

即1222匹而，

解得xyW3（当且仅当4x=3y时取等号）.

命题点2配凑法

例3（1）（2023・许昌模拟）已知a,b为正数,4/+〃=7,则。万序的最大值为（）

A.#B.小

C.2^2D.2

答案D

解析因为4/+/=7,则川1+力2=3乂2々义41+/?2='4。2(1+//户3><4"工”=2,

当且仅当4/=1+〃，即〃=1,〃=小时，等号成立.

(2)已知x>l,则吉的最小值为()

*A1

A.6B.8C.10D.12

答案A

解析因为工>1,所以X—1>0,

f+3(%—1尸+2(%—1)+4,4..r4~i,r/i,

-------------=4―1+2+—7^2+2A(x-1)--7=6,当且仅当x-l=

x-1x—1x—1丫'7x—i

二7,即x=3时，等号成立.

X—1

■微拓展■--------------------------------------------------------------------------

与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型

如图，对于函数凡¥)=工+§,k>0,x^[a,h],[a,Z?]C(0,4-°°).

(1)当我£[a,3时，，/(x)=%+§22#,,/(x)min=yhA)=#+a=2#:

⑵当地Va时，府)=4+§在区间伍，加上单调递增，/U)Fin=m)=4+4；

人C4

(3)当时，yu)=x+(在区间必，句上单调递减，yu)Fin=/s)=/?+/

因此，只有当出£[〃，加时，才能使用基本不等式求最值，而当乖口，切时只能利用对勾函

数的单调性求最值.

3

典例函数./U)=f+wK的最小值是______.

AIL

答案＜3

解析由41)=1+舌;=『+2+舌77—2,

3

令占2=*2),则有角)=-7—2,

3

由对勾函数的性质知，人。在[2,+8)上单调递增，所以当/=2时，人/后尸子

即当X=0时，,AA-)min=1.

命题点3代换法

例4⑴已知正数小〃满足楙8+24=1,则8〃+〃的最小值为()

A.54B.56C.72D.81

答案C

解析8“+匕=(8。十力(方十

64a14bls/64«4/?…一

=方+丁+*2y丁1+।4。=72,

当且仅当华=号，即。=6,Q24时取等号.

延伸探究已知正数m〃满足8a+46=血则84+〃的最小值为—

答案72

X4

解析・・・8。十48=岫，«>0,b>0,・•・]+£=1，

••・8〃+匕=(8。+加

4b一八一164a4b,一

=丁64a+।工+4。22y丁"+40=72,

Azl//Ab

当且仅当詈=半即。=6,Q24时取等号.

12

(2)已知正数小〃满足。+28=3恒成立，则本+后的最小值为(

39

A.5B.jC.2D.3

答案B

解析由〃+2人=3得(〃+1)+28=4,

干泉，+"C+马("+1)+2〃

十，+1十厂Q+1十”4

Ji+空卷]

4+2^/^1]=J

当且仅当2(“：D=-^lp且4>(),/?>(),即4=；,人=,时，等号成立.

—29

所以-

一

人4

a+1

命题点4消元法

例5已知正数。，〃满足万一2+4=0,则〃一市的最小值为()

A.1B.小C.2D.2/

答案B

,•SO,b>0,片一加〃+4=0,贝・"一点=，+/:=今+於2^^|=让,

解析

当且仅当?=：，即。=2#时，等号成立，此时〃=平.

■1(乙

命题点5构造不等式法

例6若a>0,b>(),且R?=a+A+3,则〃〃的最小值为［)

A.9B.6C.3D.12

答案A

解析因为eO,b>0,所以〃+622屈，当且仅当。=6时，等号成立.

又ab=aI〃I3,所以IbI362点I3,整理可得ab2洞3£0,

解得d茄23或，1(舍去).

所以我23,所以"29.所以当4=8=3时，"的最小值为9.

思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.

(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的开式，然后再利用基本不等式.

(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“I”代

换的方法；三是消元法.

跟踪训练2(1)(多选)下列四个函数中，最小值为2的是()

'•尸sinx+#)4wf)

4

B.y=2-x~^x<0)

f+6

仁产不言

D.y=4x+4~x

答案AD

解析对于A,因为0<x<?,所以OVsinxW1,则y=sin当且仅当sinx=^—,

4oil1人^111人

即sinx=1时取等号，符合题意；对于B,因为xVO,所以一x>0,一工+(一

22-\/(-x)X(—()=4,当且仅当一工=一*即x=—2时等号成立，所以y=2—x—922+4

=6,即y=2一工一女rVO）的最小值为6,不符合题意；对于C,y=-^^=4K+~T"=,

xyV+5V"5

设否则，2小，则小+也=竽，其最小值不是2,不符合题意；对于D,），

=4'+4、=4'+*2244人£=2,当且仅当x=O时取等号，故丁=4'+4]的最小值为2,符

合题意.

（2）（多选）已知正实数m〃满足刈+"+）=8,下列说法正确的是（）

A.时的最大值为2

B.的最小值为4

C.a-\-2b的最小值为（r\[2~3

D篇币+柒最小值吗

答案BCD

解析对于A,因为+

即+8W0,铎得一

又因为。＞0,b＞0,所以0＜历或2,

则时W4,当且仅当〃=〃=2时取等号，故A错误;

对于B,+(〃+力),

即（〃+份2+4（.+〃）-3220,解得〃+/日一8（舍）或。+力24,当且仅当4=6=2时取等号,

故B正确；

对于C,由题意可得伙a+l）=8一”,

8—a

所以〃=在7＞。，解得°々＜8,

8一〃18

所以a+2Z?=o+2义2

i+$3

a十1

22、/(a+1)指一3=6色一3,

1Q

当且仅当。+1=昔，即〃=3•一1时取等号，故C正确;

对于D,；^+《=lb^n5+"m1s+i)+/H=i[12ib〃S+1)>|x(2+2)=1,

S“3+I)+b

当且仅当尚F吟2即Q4,“U时取等号，故D正确.

课时精练

知识过关

一、单项选择题

1.已知〃?>0,〃>0,"〃?=81,则〃?+〃的最小值是（）

A.9B.18C.9^3D.27

答案B

解析因为心0,〃>0,

由基本不等式嬴得，

加+〃218,当且仅当"?=n=9时，等号成立，

所以〃?+〃的最小值是18.

2.已知公>0,b>0,且（+3=1,则4〃+汕的最小值是（）

A.23B.26C.22D.25

答案D

解析由题意得a>0,b>0,^+1=1,

故4。+9〃=&+｛）（44+%）=智华+1322避中+13=25,

55

Qh即--

当且仅当雪23

故4〃+9人的最小值是25.

3.若正数x,y满足文+3『=5町，，则3x+4），的最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

答案D

解析对原条件式转化得：+：=5,

则3x+S=舞+£)(3x+4y)

斗9+4+中+裁

SK13+2A/?5）=5>

当且仅当华=乎且x+3y=5孙,

即x=l,时取等号.

故3x+4y的最小值为5.

4."VxG(l,4b不等式一一根+机>0恒成立”的充分不必要条件是(

A.m>4B.C.m<4D.ni<2

答案D

解析已知Wx£(l,4],由不等式F—〃?x+〃?>0恒成立，得匾〉加恒成立,

XI

当।+-4+222、/(1).-4+2=4,

X—1X—1X—1\j1

当且仅当X-1=±,即工=2时取等号，

X1

所以m<4,

所以m<2是帆<4的充分不必要条件.

5.若心>0,y>0,x+3y=\,则不匕，的最大值为()

3AIy

A9B12C-16D.古

答案C

解析因为心>0,V>O,x+3y=l,

mi更±231

则

=价%+3),)

=7+？+10

>2第?+10=16,

当且仅当平=平，

y人

即时，等号成立，

所以吗告wL

即丁土的最大值为七.

3x-ryIo

12

已知且则:;--+」的最小值为()

6.x/>y>04x+'3y=1,2x~yx-v20y

A.10B.9C.8D.7

答案B

解析由x>y>0得2x—_y>0,x+2y>0,

令O=2x—y,b=x-\-2y,则a+2〃=4x+3.y,

由4.r+3y=1得a+2b=1.

故——+M=(1+章)("+2〃)

2A-yx-r2y"

2b2al2bla八

=5,+、了+、石2、5…+27下不=9,

当且仅当于=与，且。+2b=l,

即时取等号，

也即2r—y=1,x+2y=g,

即尸衣尸七时，等号成立，

故丁」+咛丁的最小值为9.

2x—yx-\-2y

二、多项选择题

7.已知x,y是正数，且叶y=2,则()

A..G+2y)的最大值为4

B.Iog2x+logzy的最大值为0

C.2、+2)'的最小值为4

D.J+：的最小值为巨+也

答案BCD

解析由％,y是正数，且x+y=2,可得0vxv2,0v.y<2,

x(x+2y)=(x+y-y)(x+y+y)=(x+y>-y2=4—y1,

由()<)2<4可得0<4—)?<4,

所以x(x+2_y)无最大值，故A错误；

由x+y=222•历，得0<a)Wl,当且仅当x=y=l时，等号成立,

所以Iog2.r+log2y=log2xy<log2l=0,故B正确；

由基本不等式可得2'+2'22归9=2破耳=4,

当且仅当x=)，=l时取等号，故C正确：

那=品+凯+»=始+"专)昌(3+2非第=弃小,

当且仅当工=26—2,丁=4-26时取等号，故D正确.

8.(2022・新高考全国II)若ASy满足f+)?—xy=1,则()

A.x+)WlB.x+y2一2

c.f+ywzD.『十丁21

答案BC

解析因为（a,》£R),

由f+y2一孙=i可变形为

(x+.y)2—1=34£3(^^}

解得-2W4+yW2,

当且仅当x=y=—1时，x+y=-2,

当且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B正确:

由x2+y2-xy=1可变形为

212、―/

Cr+y2）—1=x）＜-2*

解得当且仅当x=），=±l时取等号，所以C正确;

因为f+y2—xy=I可变形为

X-lP+»2=|,

、九V八近..八

ixx—2=cos0,2；v=sin0,

所以x=cos〃+半sin0,j=^^sin0,

JJ

因此A2+>,2=cos2^4-Tsin2Z?+^^sin"cos0

JJ

=5十多in（28一翡修2,所以D错误.

三、填空题

9

9.若欢2,则x+告的最大值为

人乙

答案一4

99

解析x+l5fT+u+Z,

由于x＜2,所以2—工＞0,

故2-x+言2」（2一6（六）=6，

a

当且仅当2-x=六，即彳=一1时，等号成立,

所以工_2+号=_（2_1+热）W—6,

9Q

故x+—；=r-2+—~+2<-4,

x—2x~2

9

所以x+W的最大值为-4.

人4

10.函数外尸.；二：1在（1，+8）上的最大值为

3

案

答-

7

3v—3

解析因为/a）=2F，］卜1，%£（1，+8）,

令X—1=，，则f>0,

则用=2«+1)2—“+1)+1=2尸+3/+2=

2

当且仅当2f1=1,即％=2时，等号成立.

故7U）在（1,+8）上的最大值为5.

I4

11.已知4>1,力>2,a+b=5,则一r+:-7的最小值为________.

a—Ib~2

答案I

解析因为a>1.b>2,

所以a—1>0,b-2>0,

又a+b=5,

所以伍一1）+（〃-2）=2,即;［3—1）+（匕-2）］=1,

所以74+&=丸（“一1）+（6-2）］・（吉+&）=；1+胃+*1^1+4］>5

.5+2郊字穹］="（5+4）=今

当且仅当==攀千，即a*,时取等号，

a—1b~2JJ

149

所以-

4T22

12.已知正数小〃满足3+5份（%+/?）=36,则〃+2人的最小值为

答案4

解析因为a>0,bX),配以36=m+5〃)(2a+A)W""出幺｝=*。+2与2,所以。

。十十。，22

+2后4,当且仅当(,即。=发力号时，等号成立，所以。+2匕的最小

1(。+53)(2〃+/?)=36,33

值为4.

四、解答题

13.已知x>0,>>0,x+2y+xy=30,求：

(1的的最大值；

(2)〃+)，的最小值.

解(1)因为心>0,>>>0,

根据基本不等式，30=x+2y+孙(当且仅当上=2y=6时取等号)，

令而=々>0)，则/2+2^2/-30^0,

解得一56忘/忘3，5,又分0,

所以0</<3巾，即0<«(36，

所以0<gW18,故封的最大值为18.

30—x30—x32

⑵由X+2)，+Q=30可知，)，=37厂>0,0令〈30,2%+)，=级+3厂=2。+2)+"一

4I人4I人4I人

522y2(x+2)•桑一5=11,

39

当且仅当2(x+2)=占，即x=2时取等号，

4I人

所以2x+y的最小值为II.

14.中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路

在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧

原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室,

由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙

体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及

其他报价共计720()元，设屋子的左右两面墙的长度均为x