高考数学一轮复习题型突破：不等式（综合练）解析版

专题2.4不等式综合练

题号—二三四总分

得分

练习建议用时：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（2023春•黑龙江佳木斯・高三校考开学考试）设x>（）.y>0,且知=9,则x+y的最小

值为（）

A.18B.9C.6D.3

【答案】C

【分析】根据基本不等式，即可求解.

【详解】Vx>0,y>0

••・x+），N2而=6,（当且仅当x=y=3,取“=”）

故选：C.

2.（2021秋・江苏苏州•高一统考期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书

中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“V"和符号，并逐渐被数

学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若&瓦ceR,则下列命题正确的是（）

A.若〃〃工0且则

ab

B.若a>b,c>d,贝ljac>bd

C.若a>6>0且c<0：则/

D.若a>/",>“，Ma-ob-d

【答案】C

【分析】对A.B,D举反例，对C利用不等式的基本性质判断即可.

【详解】对A,当。=-l,b=l时，!<|,故错误；

对B,当a=2,Z?=l,。=-1/=一2时，ac=bd,故错误；

11cC

对C,v«>/?>0,a~>b~>0^则r<7T，Vc<0.则=>不，故C正确；

a-b-a~b-

对D,当a=2,〃=l,c=0,d=-2，满足前提a>Z?,c>d,但此时a-c=2,Z?-d=3,a-c<b-d.

故错误.

故选：C.

3.（2022秋・广东佛山•高三佛山市荣山中学校考期中）若命题“对任意的xe（0,+oo）,

x+_L一〃〉。恒成立，，为真命题，则〃?的取值范围为（）

A.[2,-KO)B.(2,+oo)C.(YO,2]D.(-00,2)

【答案】D

【分析】首先参变分离，转化为机,再利用基本不等式求最值，即可求解.

kMin

【详解】由题意可知，对任意的xw（0，y）,〃?<x+L恒成立，即用<「1+”,

当x>0时，x+—>•—=2,当工=,，即x=l时，等号成立，

所以〃7<2.

故选：D

4.（2023・全国•高三专题练习）若集合M={玳X-3）GN。},N={玳x-3）（x7）20},

则McN=（）

A.{*iN3}B.{小41或x23}C.{x|x=l或％23}D.{巾=1或x=3}

【答案】C

【分析】通过解不等式得集合用,N,再求交集即可.

【详解】因为知={玳工-3）外20}=卜卜=1或工23},

A^={A-|（X-3）（X-I）>01={X|X>3,

所以McN={中=1或xN3},

故选：C.

5.（2023・天津南开•南开中学校考模拟预测）已知。，TR,则天"”是“02>从，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】由充分必要条件的定义举反例判定即可.

【详解】若。=。>〃，则不成立，若且。<0=6,此时/推不出[>〃，所

以“心L是”/>户’的既不充分也不必要条件.

故选：D

6.（2021秋•广东惠州•高三惠州一中校考期中）已知命题闪2工-3区x,q：x2-2x+\-m2<0,

若〃是。的必要不充分条件，那么实数m的取值集合是（）

A.{0}B.（2,+00）C.[-2,2]D.（f2）

【答案】A

【分析】解不等式|2x-3归x,?-2x+l-/n2<0,再利用〃是4的必要不充分条件，列出

不等式组，解之即得.

,[2x-3>0⑵t—3vO

【详解】由2x-3C得，或，

112x-3<x[-2x+3Kx

解得1WXW3,即p：XG|1,31；

由f-2x+l—〃/近0得0一1+〃。“一1一"。工。，

，当〃?>0时，xe[l-/n,l+/7z],当〃?=0时，x=l,当〃?〈（）时，+

又〃是4的必要不充分条件，

m>0m<0

・•.'1-机之1或〃?=0或T-〃叱1,且不等式组中等号不同时成立,

1+///<31-///<3

••・〃?=（）,即实数，〃的取值集合｛（）｝.

故选:A.

7.（2023春・江苏南京•高三南京市中华中学校考期中）在53。中，。为线段8c上一点,

19

且=若EO=x/18+.yAC,则一十一的最小值为（）

A.—B.16C.48D.60

3

【答案】C

【分析】先由AE=2ED,得出七。二京。再得出3x+3y=I，最后常值代换应用基本不等式可

解.

【详解】vAE=2ED,.\ED=^AD,

•.^AD=.xAB+yAC,AD=3xAB+3yAC,又B,D,C三点共线,

/.3.r+3>,=l,x>0,y>0,

.•.-+-=|-+-)(3X+3J0=3+—+—+27>273^27+30=48,

xJ(xy)xy

io327rii

.•.一+—N48,当且仅当一=——，即当)，二二工二有时取最小值.

xyxy412

故选:C.

(a-b)caa+c

所以<0,即:—<-----故D项错误.

b(b+c)bb+c

故选：AB.

1（）.（2021秋・湖南邵阳•高三武冈市第二中学校考阶段练习）下列说法正确的是：（）

A.平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比''，它是平板电脑外观设计中一个

重要参数，其值通常在（0.1）间，设计师将某平板电脑的屏幕面枳和整机面积同时减少相同

的数鼠，升级为一款“迷你”新电脑的外观，则该电脑“屏占比”和升级前比变小了.

B.小明两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，

每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的

钱数一定.则小明用第一种策略划算.

C.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先

将5g的祛码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的祛码

放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天立平衡：最后将两次称得的黄金交给

顾客，我认为顾客吃亏了.

D.设矩形ABCD（AB>AD）的周长为24cm,把△ABC沿AC向△AOC折叠，折过去后

交0c于点P,则4人。〃的最大面积为108-72x/5cm2.

【答案】AD

【分析】设法列出升级前后的屏占比表达式，由作差法可比较大小可判断A：利用基本不等

式可判断BD的正误；设天平左臂长为m右臂长为。（不妨设〃>力），先称得的黄金的实际

质量为网，后称得的黄金的实际质量为〃?2,利用杠杆的平衡原理，由〃町=4X5,〃〃4=/?x5〃,

求得叫,叫，再利用作差法比较可判断C：

【详解】对于A,设升级前屏幕面积为，，整机面枳为"

则屏占比为货=，（0<〃<3，设减小面枳为〃?

则升级后屏占比为：吗=公，则叫f4.益=豺皿即…，屏占比变小，

故A正确；

对于B，设两次购买此种商品的单价分别为P2（都大于0），

第一种方案每次购买这种物品数量为r>0：

第二种方案每次购买这种物品的钱数为）>0.可得:

第一种方案的平均价格为：叫*=吗区;

2x2

2.V-2Plp2.2PR=f—<7^,+P2

第二种方案的平均价格为上+上四+〃2-26兄“।2-2

PiPi

当且仅当8=%时取等号，所以用第二种策略比较经济，故B不正确；

对于C,因为天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a,右臂长为〃（不妨设〃>力）,

先称得的黄金的实际质量为㈣，后称得的黄金的实际质审为:%，

由杠杆的平衡原理：加％=ax5,a叫=bx5b,

解得町=当，叱=曳,

ba

m、r5。5b

所以町+〃4=—+一,

ba

nms5a5b...5（b

则叫+7%-1。=——+----10=------»

baab

因为山〃，所以止江>（），

ah

所以町+%>10,则顾客所得黄金大于10g,商店亏•了，故C不正确；

对于D,由题意可知，矩形的周长为24,AB=x,即AD=12—x,

因为A8>AO>0,故6vxvl2.

设?C=a,则/»=AP=a,而△ALJP为直角三角形，

：,（\2-x）2+（x-a）2=a2,

：.a=x+一―12,ADP=\2一一，其中6vxvl2,

xx

：.S®=:xAOxQP=gx（12-x）x（12_/）

=108一半-6x4108-2^p^

=108-72夜.

当且仅当*=6x,即x=6夜时取等号，

x

即x=6夜时△ADP取最大面积为108-72血，故D正确.

故选：AD.

11.（2023・云南曲靖・统考模拟预测）若实数X，），满足2、+2向=1，则（）

A.xvO且V<TB.4+y的最大值为一3

C.出'+出"的最小值为7D,0+出.2f<2

【答案】ABD

【分析】对于AD,利用指数函数的性质即可判断；对于BC,利用指数的运算法则与基本

不等式的性质即可判断.

【详解】由2'+2•向=1，可得2川=1-2'>02=1—2用>0,所以xvO且）Y-1,故A正

确；

由2、+2、*=1之2,2*•=2，可得&"向ip2V+V+1<^=2~2,所以x+y«-3，

当且仅当％=y+1=-1,即x=-l,y=-2时，等号成立，所以K+V的最大值为-3,故B正

确；

当且仅当x=y=-log23时，等号成立，

所以的最小值为9,故C错误；

因为2V=l-2v+,，则2.=2（l-2v+,）=2-4-2\

所以d）+（1—川=2-32<2,故D正确.

故选：ABD.

12.（2023春・内蒙古赤峰高三校考阶段练习）下列命题不正确的是（）

A.集合A={Mar2_2x+“=（）MeR},若集合A有且仅有2个子集，则。的值为±1

B.若一元二次方程履2-6履+&+8>0的解集为R，则火的取值范围为OvAMl

C.设集合M={1,2},N={/},则“a=l”是”N±M”的充分不必要条件

12

D.正实数MN满足x+2y=l,则一+—29

【答案】AB

【分析】结合条件可知集合A中只有一个元素，分类讨论。=0和。工0两种情况，求出。的

值,即可判断A选项;一元二次不等式收-6"+左+8>0的解集为R，可得左>0且△<（），

求出攵的取值范围，即可判断B选项；根据子集的含义和充分不必要条件的定义，即可判断

C选项：根据基本不等式求和的最小值，即可判断选项D.

【详解】对于A,因集合人二卜|公2-21+4=0间£区}有且仅有2个子集，则集合A中只有

个元素,

当。=0,A={。},符合题意：当。工0,△=4-=。=>。=±1,

综上所述，可得。=0,±1，故A选项不正确；

对于B,因为•元二次不等式依2一6履+&+8>0的解集为R，可知

可得”>0且△=(—64f一软(女+8)<0=0<k<1,故B选项不正确；

对于C,当。=1时，N={l}q",

当Nq"时，/=1或"=2,则。=±1或4=±&，

所以“。=1”是"N=M”论充分小必要条件，故C选项正确；

对于D,因正实数北了满足x+2y=l,

则•!■+2=(x+2y)(-+—)=5+—+—>5+2J—­—=9,

2x2v

当且仅当二二、，即X=)，=：时取等号，故D选项正确.

yx3

故选：AB.

三、填空题：本题共4.小题，每小题5分，共计20分.

13.(2023•全国•高一专题练习)已知集合A=«工不占〈工，，B=^xy=log,,则

@A)IJB=

【答案】{x\x<4}

【分析】解分式不等式求集合4由对数函数性质求定义域确定集合从再应用集合的并补

运算求集合.

【详解】由三<%,则I1Y+x+i+彳故x+l>0,即x>—l,

r4-1二十----=--------=---------->U

X+lX+\X+1

所以A={x|x>—1},则第A={x|x«T},

由对数、根式的性质知：4一工>0,即x<4,

所以£A"B={x|x<4}.

故答案为：{x|x<4}

14.(2023•天津•高三专题练习)已知々*eR+,则2+的最小值为____________.

a2a+b

【答案】4

【分析】将2+构造变形为世女+2,然后利用基本不等式即可求解.

ala+ba2a+b

b

，,辛由八,(t9a2a+b-2a9a2a+b9a(2a+b~~9a

a2a+ba2a+ba2q+〃Na2a+b

当且仅当〒二W即，T时等号成立，故最小值为%

故答案为：4.

15.（2020•安徽宣城•高三泾县中学校考强基计划）若关于工的不等式，-2<2a-xvg只有

一个整数解2,则实数〃的取值范围为.

【答案】43<«<1

4

【分析】求出不等式的解后可得端点满足的不等式组，从而可求参数的取值范围.

【详解】4-2<2。7<,的解为vxva+2,

22

1<2/7-—<?a

因为不等式的整数解只有2,故一2,故

4

[2<a+2<3-

3

故答案为：—<a<\.

4

16.（2022秋•陕西咸阳•高三校考阶段练习）不等式加+L+co的解集为{x|_2<x<l},

a

则函数y=i。8（依2+cx+3）的定义域为一,单调递增区间是—.

【答案】（T3）（-U）

【分析】由题可得-2和I是方程占+L+c=0的两个根，且avO,由此可得。=-1,。=2,

a

求得函数丁=1。氏（"十◎十3）的定义域，再结合定义域求函数的单调递增区间即可.

【详解】由题可得一2和1是方程加+L+"。的两个根，且〃<0,

a

-2+l=-4-

a'

则卜v。,解得a=T,c=2,

-2xl=-

22

贝|J函数）'=lug4（t/A+CA+3）=lug4（-A+2A+3）,

由—f+2x+3>（）解得一Rx<3,即函数定义域为（—1,3）,

因为），=*+2*.+3在（_]/）单调递增，函数y=log/在（0,y）上单调递增，

2

故函数），=log4（av+ex+3）在上单调递增,

因为y=-f+2x+3在（1,3）单调递减,函数yulog/在（0,+<»）上单调递增,

故函数），=log«a2+G+3）在（1,3）上单调递减，

所以函数)，=log式ad+cx+3)的单调递增区间为(-1/).

故答案为:(-1,3),(-1,1).

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

17.求解下列不等式的解集：

(1)-x2+4x+5<0；

(2)2/一51+2«0：

(3)|4x-l|-7<0；

(4)-__/八、)<0；

【答案】⑴{巾v-1或x>5}

⑵{亭

3

(3)-x--<x<2•

(4){x|-l<x<2}

(5)卜序

【分析】(1)(2)利用二次不等式的解集解原不等式即可得其解集；

(3)利用绝对值不等式的解法解原不等式即可得其解集；

(4)(5)利用分式不等式的解法解原不等式可得其解集.

【详解】(1)解：由一/+4_¥+5<0可得f_4x_5>(),解得1<一1或工>5,

故原不等式的解集为或x>5}.

(2)解：由2/一54+2工0可得(2x-D(x—2)W0,解得

故原不等式的解集为b：WxW2一

乙

(3)解：由|4工一1|一740可得|4工一1|二7,即一7<4x—1<7,解得一白

3

故原不等式的解集为x-彳W/K2..

x+1

<0「,

(4)解：由I/八J<0打得打一2,解得一I<xv2,

(I)

x—5w0

故原不等式的解集为卜|-1<x<2}.

4r2x+3—(4—x)3x-l

(5)解：由4不-x二可得|_<0,解得-3沁心1,

2x+32x+32x+32x+3乙。

故原不等式的解集为卜

18.(2023•全国•高一专题练习)已知函数/(x)=f+〃1V+〃(/〃>o,〃>0).

(1)若/(1)=2,求，加的取值范围;

7

⑵若A"，求二*最小值.

【答案】(i)(o.g

(2)8

【分析】(1)求得6+〃=1,利用基本不等式结合+〃>0可得出〃〃2的取值范围;

17

(2)由」知可得出2〃?+〃=1,将代数式2m+〃与上+士相乘，展开后利用基本不等式可求

mn

得上I+±2的取值范围.

mn

【详解】(1)解：・,.机+〃=1,

X,**//?>0,〃>0,:.m4-/?>2>[nui即1>2y/mn，VWH<g即mn<；

当且仅当加=〃=不时等号成立.

由题意可知〃?〃>0,•.・〃〃?的取值范围是.

(2)解:V/(2)=5,4+2m+n=5,即2"?+〃=l.

Io\，J〃4〃？八

m>0,/?>0,——F—=+〃)=4+—+——>4+2.1------=8,

mnmnVfnn

n4〃?

-=II

当且仅当《mn,即m=彳，〃=5时等号成立.

2m+n=\42

.・.1上+±9的最小值是8.

mn

19.已知关于x的不等式2.r+笈+c<0的解集是卜|1<x<5}.

⑴求b,c•的值;

⑵若对于任意不等式2/+加+。42+，恒成立，求实数，的取值范围.

【答案】（IW=T2,c=10；

（2）［-2,+co）

【分析】（I）由题意，可判断得方程2丁+/优+。=0的两根为1和5,再利用韦达定理列方程

组计算；

（2）将题干条件转化为（2丁-12X+8）2口,利用函数y=2/-12x+8的单调性求解最大

值，从而可得f的取值范闱.

【详解】（1）由题意，方程2/+"+c=0的两根为1和5,

1+5=--（.

2/?=—12

由韦达定理可得，，解得{s.

.Cc=10

1xc5=—

2

所以h=-12,c=10

（2）由（1）知，对任意人匕{』lWaS3},2Y-I2X+I0£2+/恒成立，

即任意xe{x|l«xW3},2/-12x+8W"亘成立，

令y=2Y_12x+8,则成立，

因为函数y=2f-|2x+8在［1,3］上为减函数，

所以当x=l时，），皿=2-12+8=-2,即摩一2,

所以实数/的取值范围为卜2,go）.

20.己知是实数.

⑴求证：a2+b2>2a-2b-2,并指出等号成立的条件：

⑵若ab=\,求/+4b2的最小值.

【答案】（1）证明见解析，当且仅当〃=1,〃=-1时・，不等式等号成立

（2）4

【分析】（1）作差法证明即可；

（2）构造基本不等式，利用基本不等式解决即可.

【详解】（1）证明：因为小+从一（2“一2〃-2）=/+/—2。+26+2

=（6/-1）2+（/?+1）2>0,

所以。2+。222〃-力-2,

当且仅当。=1,〃二・1时，不等式中等号成立.

（2）/+4/=/+（2b）222•。•（2。）=4。力=4,

当且仅当。=劝不等式中等号成立.

所以/+4〃。的最小值为4.

21.(2023春・江西新余•高二新余市第一中学校考阶段练习)设/(力=仆2+(1-4.+日-2・

⑴若不等式/(力2-2对一切实数％恒成立，求实数。的取值范围；

⑵解关于x的不等式/(*<〃—1(〃GR).

T、

【答案】(1)3，+8

(2)答案见解析.

【分析】(1)根据给定条件利用一元二次不等式恒成立求解作答.

(2)分类讨论解一元二次不等式即可作答.

【详解】(1)VXGR,/'㈤之-2恒成立等价于VxeR,av2+(l-6/)x+«>0,

当a=0时，x>0,对一切实数人不恒成立，则。工0,

a>0

此时必有,

△=(］一42—402Ko

。>0

叫2解得口斗

3«2+2«-1>0

所以实数〃的取值范围是提+8).

(2)依题意，f[x)<a-\,可化为o?+(]—。》一1<(),

当4=0时，可得X<1,

当。>0时，可得+又一,<1,

aa

解得—<-V<1,

a

当4<。时，不等式”?+(1—4口一1<()可化为(X+L)(x-lj>0,

当4二一1时，一，=1,解得XW1,

当一1<〃<0时，，-->1,解得x<l或%>-1，

aa

当av—l时，()<一,<1,解得x<—或x>1,

aa

所以，当〃>o时，原不等式的解集为卜

当。=0时,原不等式的解集为｛邛<1｝,

当一1<。<0时，原不等式的解集为“|X<1或X>-4；