高考数学一轮复习题型突破：抽象函数问题（解析版）

专题3.8抽象函数问题

SI题型目录

题型一抽象函数的定义域

题型二抽象函数的值域

题型三求抽象函数的解析式

题型四抽象函数的奇偶性

题型五抽象函数的周期性

题型六抽象函数求解不等式

才典例集练

题型一抽象函数的定义域

例1.(2022秋・河北保定•高一河北省唐县第一中学校考阶段练习)已知函数/的定义域为

[0.4],则(£2的定义域为()

A.[-1,4]B.[―1⑵C.(-1,4]D.(-1,2]

【答案】D

【分析】若函数的定义域为A,则复合函数/(以幻)有意义要满足g(x)eA.

[()<x2<4

【详解】因为函数/(幻的定义域为[。，4],则富』有意义要满足1-1；，解得xe(-l,2],

x/7+iU+i>o

故选：D

例2.(2022秋・山东德州•高三校考阶段练习)若函数/(x)的定义域为[0,4],则函数

g(x)=/(x+2)+3=i的定义域为()

A.(1,2)B.(1,4)C.(L2]D.(1,4]

【答案】C

【分析】根据题意可得出关于/的不等式组，由此可解得函数g(x)的定义域.

【详解】解:因为函数〃”的定义域为[0川，

对于函数g("=/(工+2)-一^,则《二八一，解得1cxK2,

yJX-\|X-1>0

1

即函数g(x)=f(x+2)+的定义域为(1,2].

—1

故选：c

举一反三

练习1.(2023秋.陕西西安・高三统考期末)若函数/(X)的定义域为(-2,16),则函数

的定义域为()

A.(1,8)B.(1,32)

C.(1,2)U(2,8)D.(1,2)0(2,32)

【答案】C

【分析】根据对数的真数大于零，分式的分母不为零，以及-2<2x<16可求得结果.

【详解】因为函数的定义域为(-2,16),

所以要使尸彘有意义’则

-2<2x<16

x-1>0,解得lvx<8且x/2,

1

所以原函数的定义域为(l，2)U(2,8),

故选：C.

练习2.(2023秋・辽宁沈阳•高三统考期末)已知函数y=/(x+l)的定义域为[L2],则函数

y=/(2x—l)的定义域为()

-1"|r3"]

A.-JB.—,2C.[—1,1]D.[3,5]

【答案】B

【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.

【详解】•・•函数y=/(x+l)的定义域为[1,2],KPl<x<2,可得2G+1W3,

・•・函数y=/'(X)的定义域为[2,3],

令2W2X—1W3,解得

■3'

故函数)，=〃2尤一1)的定义域为-,2.

故选：B.

练习3(2023秋・江苏扬州•高三期末)已知函数〃2x-3)的定义域为[-1,4],设函数

F(x)=#一¥,则函数网力的定义域是_____.

yJ3x—x—7

【答案】（L3]

-5<l-2x<5

【分析】由/（2x-3）的定义域得出-5融x-35,进而由<*+8—>。得出所求

【详解】因为函数/（2x-3）的定义域为所以-掇改4,-5融x-35

-541-2x45

解得1vx<3

-X2+8A-7>0

故函数尸"）=:），则函数产⑴的定义域是（L3]

\JSx-x~-1

故答案为:（1,3]

练习4.（2023春・江西宜春•高二校考开学考试）若函数/（2'）的定义域为[0,2],则函数

/（4«）的定义域为.

【答案】[05

【分析】利用抽象函数定义域的求法及指数函数的单调性求解即可.

【详解】对于/（2'）,因为0«x<2,所以由.y=2,的单调性得2°K2,K22,即1K2Y4,

所以对于/（41）,有1工41K4,即4丁4"飞4、

由），=下的单调性得OKl-xVl,解得OKxKl,

所以一（4一）的定义域为[0』.

故答案为：[05.

练习5.（2022秋・河南信阳.高三校考阶段练习）已知函数/（合）的定义域为（-2,0）,则

/（2x-1）的定义域为（）

||、?1

A.（--»—）B.（-5,-1）C.（0.-）D.（-3,--）

【答案】C

【分析】由已知条件求得/（力的定义域，再由/（x）的定义域求出的定义域即可.

【详解】•・•函数苦）的定义域为（一2,0）,即—2<x<0,

x+\x—l+2,i2

------=1+----

x-\x-\

又解得0<x<|,

・・・/（21）的定义域为（0,令2，

可令0"<』2,即有X>1，则/(£)=/(%2)-/5)+1>1,

“I

可得f(w)>fa),

则八X)在(O，+8)上递增；

(3)由/C0在(0,收)上为增函数，可得/(©在［1,16］递增，

可得/(1)=1为最小值，〃16)为最大值，

由/(4)可(16)-f(4)+1,可得〃16)=2/(4)-1=5,

则〃幻的值域为［1,5］.

举一反三

练习6.(2022・全国•高三专题练习)/(X)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若函数

f(x)+g(x)的值域为［-1,4］,则/(x)-^(x)的值域为.

【答案】［Yn

【分析】利用函数奇偶性的定义结合/(x)+g("的值域即可求出〃x)-N(x)的值域.

【详解】解：由/(x)是人上的奇函数，g(x)是R上的偶函数

得至|J/(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)

因为函数〃x)+g(x)的值域为［-1,4］

即-l"(x)+g(x)W4

所以-14/(-力+g(-力W4

又/(一6=-/(力，g(T)=g(X)

所以/(力一鼠”的值域为：［T』.

故答案为：［T』.

练习7.(2022秋・浙江杭州•高三杭州四中校考期中)已知函数y=/(x)的定义域是R,信域

为［-1,2］,则值域也为［-1,2］的函数是()

A.y=2f(x)+\B.>'=1/(2x+l)|

C.y=-f(x)+\D.y=l/(A)|

【答案】C

【分析】根据/(幻的值域为［7,2］,BP-1W)2,即可求出2f(x)+l,|/(2x+l)|,-/U)+l,

以及I/WI的范闱，从而可求解.

【详解】/（X）的定义域为R,值域为[-1,2],即-掇/（力2；

对于A,y=2/（x）+l«-l,5],即y=2/（x）+l的值域为[—1.5],故A错误；

对于B.），=/（2x+1）G[-L2],即y=|/（2x+l）|的值域为[0,2]，故B错误；

对于C,y=-f（x）«-2,l],即）,=_/（幻+1的值域为11,2],故C正确；

对于D.y=l/（x）目0.2],即y=|/*）|的值域为[0,2],故D错误.

故选：C.

练习8.（2022・高一课时练习）已知函数/（x）的定义域为（I，+8）,值域为R,则（）

A.函数/（产+1）的定义域为R

B.函数+的值域为R

C.函数/（『+2x+2）的定义域和值域都是R

D.函数/'（/（X））的定义域和值域都是R

【答案】B

【分析】对于A选项：根据抽象函数的定义域令丁+1>1,推出/（f+i）的定义域判断正

误；

对于B选项：因为/（"的值域为R,所以/（丁+1）的值域为R,进而推导出/（丁+1）-1的

值域，判断正误；

对于C选项：令V+2X+2>1,求出函数/（d+2x+2）的定义域，即可判断正误；

对于D选项：若函数/（/"））的值域为R,则/（力>1,即可判断正误；

【详解】对于A选项：令Y+i>i,可得叱0,所以函数/任+1）的定义域为{上工0},

故A选项错误；

对于B选项：因为/（x）的值域为R，x2+l^l，所以/任+1）的值域为R,可得函数

/（f+1）_[的值域为R,故B选项正确；

对于C选项：令d+2x+2〉l，得xw-l,所以函数/（/+2x+2）的定义域为{4『工一1},

故C选项错误；

对于D选项：若函数/（/（力）的值域为R,则〃力>1,此时无法判断其定义域是否为R，

故D选项错误.

故选：B

练习9.（2022秋・河北保定•高三河北省曲阳县第一高级中学校考阶段练习）已知函数

），=/（力的定义域是R，值域为[L2],则下列四个函数①y=2/（"—1：②y=/（2x—l）；

③y=2"x)，④)，=k>g2*x+1)+1，其中值域也为［，2］的函数个数是()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】求出①②③④中各函数的值域，即可得出合适的选项.

【详解】对于①，因为14/(x)W2,则y=2/(x)-le［l,3］,①不满足条件；

对于②，对于函数)，=/(2x-l),2x—leR,则函数)，=〃2工一1)的值域为［1.2］,②满足条

件；

对于③,B^l</(x)<2,则y=2什③满足条件；

对于④，因为④/卜)42,f(x+l)e［l,2］,贝iJy=log2"x+l)+lW，2］,④满足条件.

故选：B.

练习10.(2022秋.湖南衡阳.高三衡阳市一中校考阶段练习)若函数「=/(幻的值域是［；,3］,

则函数尸(“)=/(2x.1)।1的值域是________.

f(2x+l)

【答案】⑵曰］

【分析】由给定条件求出/(2%+1)的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.

【详解】因函数)，=/(幻的值域是弓,引，从而得函数，=/(2x+l)值域为

函数尸(x)变为y=/+L由对勾函数的性质知y=f在1］上递减，在［L3］上

t2t2

递增，

，=1时，/而=2,而t=:时，y=:1=3时，y=?即人邛，

jLJJ

所以原函数值域是⑵5］.

故答案为：［2,与］

题型三求抽象函数的解析式

例5.(2023・广东深圳•高三深圳外国语学校校考阶段练习)写出一个满足：

〃X+),)=/(X)+/(),)+2A>，的函数解析式为.

【答案】/W=x2

【分析】赋值法得到/(O)=O,"x)+/(T)=2f,求出函数解析式.

【详解】/(x+y)=/(x)+/(y)+2个，中，令x=y=O,解得/⑼=0,

令)得/(X一力=/(6+/(—)-2/,故/(力+/(-力=2/，

不妨设/(力=/,满足要求.

故答案为:f(x)=x2

例6.(2023・安徽•合肥-中校联考模拟预测)(多选)已知函数/(X)的定义域为R,且

/(x+y)=/(x)/(y)+/(x)+/(y),x>o时./(.v)>o,〃2)=3.则()

A./(1)=1

B.函数/(X)在区间(0,+切单调递增

C.函数/(力是奇函数

D.函数/(x)的一个解析式为〃力=2'-1

【答案】ABD

【分析】赋值法求值判断A选项，定义法判断单调性判断B选项，特殊值法判断C选项,

根据题干要求判断解析式符合题意判断D选项.

【详解】A项:因为/(X+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y),

当工>。时，/(x)>0,/(2)=3,令x=y=l,

则/(2)=[/(1)7+2/⑴=3,解得/⑴印，A正确；

B项：任取：不<9«0,+<»),

则/(工2)=/[玉+(工2一七)]=/(玉)/(工2一N)+/(%)+/(工2一凡),

因为当X>0时.，/'(x)>0,

所以/优-％)>。，/(N)>。，

所以/(石)/(巧f)+/(再)+f(芍f)>/(%),即/(W)>/(X)，

所以函数/(力在区间(0,切)单调递增，B正确；

C项：4-x=.v=0,WJ/(0)=[7(0)]2+2/(0).

解得"0)=0或〃0)=-1，当"0)=0,且x>0时，令)』一不

则0=f(x)f(r)+f(%)+f(r)，

若/(X)为奇函数，贝1」/(一力二一/(力,B|J0=-f2(x)+f(x)-/(x),

解得〃x)=o,与题意矛盾;

当〃0)=-1时“X)不为奇函数.

综上所述，函数/("不是奇函数，C错误；

D项：当/(x)=2'-l,

则/(x+y)=2

/(X)/3+/(X)+/3=(2T)(2'T+(2T)+(2T)

=2x+y-2X-2V+1+2V-1+2y-\

=2A+J-H

所以〃x+y)=/(x)〃y)+/(x)+/3,易得〃x)=2T在R上单调递增,

所以x>0时，/(x)=2v-l>2°-l=0,/⑵=22-1=3,

故函数〃力的一个解析式为〃用=2--1,D正确.

故选:ABD

举一反三

练习11.(2023秋・江苏南京•高三统考期末)(多选)已知函数)，=/("，对于任意x,)*R,

纲=/(•")，则()

f\y)

A./(O)=lB.f^)=2f(x)

c./(x)>0D,"A"%

2

【答案】ACD

【分析】通过赋值法，取具体函数，基本不等式等结合已知条件分选项逐个判断即可.

【详解】令x=yn祟=/(0)=/(。)=1，故A正确；

由已知4^4=/(K-)')n/(x)=/(y)/(x-y)n/(x+y)=/(x)/(y)，①

令/a)="M60」)U(l,M)满足题干要求，2f(x)=2a\f(x2)=/(x2)2/(x),

故B错误；

嗅则〃加出)噌卜［冏2

由①可知，令x=y

又因为黑=""-#，则/图工°,所以小)=/图2

>(),故C正确:

因为〃x)>0,所以/(X)+/()，)N243/()，)=24(X+)，),

则/(x+3,)=/(中'

又由①,令=

所以〃""/仆）2/（牙）,故D正确.

故选：ACD.

练习12.（2023・湖南娄底・统考模拟预测）已知函数/（工）满足以下条件：①在区间（0,讨）上

单调递增：②对任意*「*：，均有/（卬力=/（%）+/仇）-1.则/（x）的一个解析式为

【答案】/（x）=lnx+l（答案不唯­）

【分析】根据对数运算性质及对数函数性质写出一个函数解析式即可.

【详解】如:f（x）=\nx-],则=/㈤=ln%+l,

又/（内W）=ln（中2）+1=1欢+巾工2+1，则f（x\x2）=f（-¥i）+f（x2）-1，

此时/（A）在区间（0,+8）上单调递增，满足题设.

故答案为：f（x）=lnx+l（答案不唯一）

练习13.（2019秋・山西运城•高一校考阶段练习）已知定义在R上的函数/（“满足:

①对任意的x,i,都有/（xy）=/（.r）+/（y）;

②当x＞l时，/（x）＞0.

（1）求证：/⑴=0;

（2）求证：对任意的xeR,都有=

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解

【分析】（1）令x=y=l,即可求得/（1）=0；

（2）令y="=0）,由〃切==（力+〃＞）以及〃1）=0即可证得结论;

X

【详解】（1）令x=y=i,则/⑴=2/⑴，

・•."1）=（）

（2）令y=L（xwO）,

X

■O（）

【点睛】本题主要考杳抽象函数的函数值，解题的关键是根据题干赋恰当的数值，属于基础

题

练习14.(2022・全国•高一专题练习)若函数/(x)满足，8)+/3=2,则/(x)可以是

—.(举出一个即可)

【答案】/(.r)=1(x^0)

【分析】由题意猜想/(耳=1(无力0),验证满足条件.

【详解】若〃x)=l(xw0),满足/41+/")=2.

若满足/(口+小)=2.

故答案为：/(x)=l(x工0),答案不唯一.

练习15.(2022秋•江苏南京•高一南京市第十三中学校考阶段练习)写出同时满足条件“①函

数/(x)为增函数，②/(1+y)=/(x)/(v)”的一个函数/(力=.

【答案】2,(答案不唯­)

【分析】由指数函数及常运算性质即可判断.

【详解】由题意，指数函数均满足①②.

故答案为：2”答案不唯一)

题型四抽象函数的奇偶性

例7.(2022秋・广西玉林•商三校联考阶段练习)已知〃工-1)是定义域为R的奇函数，

S(x)="2xi3)是定义域为R的偶函数，则()

A.g⑵=0B.屋3)=0C./⑶=0D./⑸=0

【答案】A

【分析】由条件得到函数/(力的对称性，根据对称性求值，即可求解.

【详解】因为/(x-1)是定义域为R的奇函数，

所以=1),所以函数〃力关于点(TO)对称，且〃-1)=0

因为g(M=/(2x+3)是定义域为R的偶函数，

所以〃—2x+3)=/(2x+3),所以函数“X)关于直线x=3对称，

所以/⑺=0,即g⑵=0.

故选：A

例8.(2023・湖南长沙・雅礼中学校考一模)(多选)已知不恒为0的函数/(x),满足V》，jeR

都有/(x)+/(y)=2/(皇)《宁).则()

A./(0)=0B./(0)=l

C./(x)为奇函数D.、f(x)为偶函数

【答案】BD

【分析】令工=)，=0和〉=工，即可判断选项AB；令)七一不，即可判断选项CD.

【详解】令x=y=o,则/'(。)+〃。)=2/(0).〃0),・・・/(0)=0或1.

令)'二不则/(力+/(力=2/(力”0),若/(0)=0,则/(力=0,与/(力不恒为0矛盾，

・・・/(0)=1,・••选项B正确选项A错误；

令了二T,则/(X)+/(T)=2/(O)-/(X)=2/(X),为偶函数，・•.

选项D正确选项C错误.

故选：BD.

举一反三

练习16.(2023秋・辽宁锦州•高三统考期末)已知函数)，=/(x)对任意实数“，)’都满足

2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)t且/⑴=一1,则()

A./(可是偶函数B./("是奇函数

c./(x)+/(l-x)=0D.£/(k)=l

k=\

【答案】AC

【分析】令x=l，y=。可得"0)=1/o,从而可判断B；令x=0可判断A；令4=)，=；,可

得/(《)=()，令x=g可判断C；由AC的解析可得函数/(力的周期为2,从而可判断D.

【详解】在2f(x)/(y)=f(x+y)+/a-y)中,

令x=l,y=0,可得2〃1)〃0)=2八1),即一2/(0)=-2,解得〃0)=1。0,故B错误；

令”=0可得2/(O)〃y)=〃y)+〃-y)W〃y)=〃f,

故函数/(y)是偶困数，即/(x)是偶函数，故A止确；

令x=y=；,则2/，£|=/(1)+/(0)=0,故/(£|=仇

令x=；，可得2*)/⑴=/(；+,+/(；_,=0,

故)(司+〃1一”=0,故C正确；

因为“X)是偶函数，所以〃力于•(一%),故/(-x)+/(lr)=0.

HP/(A-)+/(1+X)=0,

所以/(x+l)+/(2+%)=0,所以f(x+2)=/(x),故函数/(力的周期为2,

因为〃l)+/(O)=。，/(l)=-h所以/。)+/(2)=/(1)+/(0)=0,/(2023)=/(1)=-1,

202彳

所以£/(8)=/⑴+/⑵+-+/(2023)=/(2023)=/⑴=7,故D错误.

A-1

故选：AC.

练习17.(2023春・河南•高三信阳高中校联考阶段练习)已知定义在(Y,())U(U,4w)上的函

数/(X)满足Va,北(f0)5。，—/佶卜小)7他)，且当工«0，1)时,/W>0,

则下列说法正确的是()

A.〃力是奇函数但不是偶函数B.“X)是偶函数但不是奇函数

C./(t)既是奇函数又是偶函数D./(I)既不是奇函数也不是偶函数

【答案】B

【分析】对〃、人进行赋值即可根据奇偶性的定义进行了数奇偶性的判断.

【详解】/(工)的定义域(e,0)U(0,y)关于原点对称，

因为Va,Z?e(-co,0)u(0,+co),/^=/(«)-/(/?),

故令〃=-a时，〃7)=/⑷-〃-。)，

令〃=力=］时，/(l)=/(l)-/(l)=0,

令a=l,b=T时，f(T)=f(l)-〃T)=〃T)=0,

・•・/(。)-/(-a)=。，即/(〃)=/(-。)，

・・・/("是偶函数，

又当“€(0,1)时，〃">0,即〃工)不恒为零，故/(同只能为偶函数，不能为奇函数.

故选:B.

练习18.(2023秋・浙江衢州•高三统考期末)(多选)已知定义在R上的非常数函数/(月满

足f(x+y)=f(x)+/(y)-i,则()

A./(o)=lB./(司-1为奇函数C./(力是增函数D.〃力是周期函数

【答案】AB

【分析】对于A项、B项，令x=)，=0,令丁二一工代入计算即可；对于C项、D项，举反

练习判断即可.

【详解】对于A项，令x=)，=0得：/(0)=2/(0)-1,解得：/(0)=1,故A项正确：

对于B项,令丁二一得：/(0)=/(X)+/(T)7,由A项知，/(0)=1,所以

(/(x)-l)+(f(-x)-l)=O,所以/。)一1为奇函数，故B项正确;

对于C项，当/V)=T+1时,f(x+y)=-x-y+\t

f(x)+/(y)-l=-x+l+(-y)+l-l=-x-y+l,满足f(x+y)=/(%)+f(y)T,但

/(X)=T+l是减函数.故C项错误：

对于D项，当/(x)=x+l时，f(x+y)=x+y+\,/(x)+/(y)-l=x+l+y+l-l=x+)，+l,

满足〃x+y)=/*)+/(训-I,但f(x)=x+1不是周期函数.故D项错误.

故选：AB.

练习19.(2022秋.高三单元测试)若定义在R上的函数/(力满足：对任意用，WwR,有

〃占+々)=/(斗)+/*2)+1，则下列说法中：①/(力-1为奇函数;②〃力-1为偶函数；

③/(1)+1为奇函数；④〃x)+l为偶函数.一定正确的是.

【答案】③

【分析】令%=占=().得〃0)=-1,令再=一人得至++根据

奇偶性定义即可得答案.

【详解】对任意不巧eR,有〃再+千)=〃再)+f(w)+l,

令内=々=0,得=

令Xj=X,W=T,得/(O)=/(X)+〃T)+1,

整理得〃X)+1=—”—x)-1=—+故/(x)+l为奇函数，

无法判断了(x)-l的奇偶性.

故答案为：③.

练习20.(2023春・广东广州•高三统考开学考试)(多选)若定义在(T,0)U(0,位)上的函数

/(x)满足：/(Ay)=/(x|+/(y),且/(2)=1,则下列结论中正确的是()

A./(1)=0B./(4)=2

C./(x)+/(f)=。D.小)-/(-工)=。

【答案】ABD

【分析】根据所给抽象函数的性质，利用赋值法求解即可判断各选项.

【详解】由已知可得函数的定义域为(f,0)U(0,7O),满足"邛)=〃x)+/()，)①,

且"2)=1，

对于选项A,可令x=y=l,代入①式，得〃1)=/(1)+/(1),得"1)=0,所以A选项是

正确的；

对于选项B,可令％=y=2,代入①式，得〃4)=〃2)+〃2)=1+1=2,得44)=2,所

以B选项是正确的；

令x=y=T,代入①式，得/(l)=/(T)+/(T)=2/(-l),而/(1)=0得/(T)=0,

可令。=-1代入①式,^/(-x)=/(x)+/(-l)=/(x),整理得f(T)=〃力,

所以C选项是错误的，D选项是正确的.

故选：ABD.

题型五抽象函数的周期性

例9.(2023春・广西柳州•高二柳州市第三中学校考阶段练习)若定义［-2023,2023］上的函数

/(X)满足：对任意X，94-2023,2023］有/G+W)=〃X)+/(W)-2022若/(力的最大值

和最小值分别为M,N,则M+N的值为()

A.2022B.2018C.4036D.4044

【答案】D

【分析】由赋值法可得/(X)+〃T)=4044,构造g(x)=/(x)-2022,说明g(x)为奇函数，

由《L+g(力g=°可得结果,

【详解】对任意不毛«-2023,2023］有/&+£)=/(%)+/(&)-2022,则令

%=%=0,/(0)=/(0)+f(0)-2022=/(0)=2022,

令

内=X/=-x,/(0)=/(,r)+/(-x)-2022=/(x)+f(-x)=4044=>-［/(x)-2022］=f(-x)-2022

令g(x)=〃x)-2022,则g(x)=-g(r),故g(力为［-2023,2023］上的奇函数,

故

g()而+g(x)a=。？/(矶而2022+/3四-2022=0?MN=/(x).+/(戈)四二4044

故选：D.

例10.(2023.山西太原.太原五中校考一模)(多选)已知定义域为R的函数“X)对任意实

数乂)'都有/(")，)+/(/7)=2/3/()，)，且/(；)=0,则以下结论一定正确的有()

A./(0)=-1B./")是偶函数

C.“X)关于中心对称D.*)+〃2)+…+”2023)=0

IN)

【答案】BC

【分析】根据赋值法，可判断/(o)=l或/(0)=0,进而判断A,根据赋值法结合奇偶性的

定义可判断C,根据偶函数即可判断对称性，根据对■称性以及奇偶性可得函数的周期性，进

而可判断CD.

【详解】令x=y=O,则/(0)+/(0)=2/(0)/(0)n/(0)=0或〃0)=1,故A错误，

若"0)=1时,令X=o,则/(y)+/(-y)=2/(y)/(0)。/(y)立y),此时〃力是偶函

数,若〃0)=0时，令)，=0,则/(x)+/(x)=2.f(x)/(0)=0?/(x)=O,此时人力既是

偶函数又是奇函数；因此B正确，

令x=g，贝1J—)j=2/(g)/()，)=0n/(g+)，)+/(；—)]=0,所以/(力关

于(枭)中心对称,故C正确，

由〃工)关于(右0)中心充■称可得/(K)=-/(j)，结合小)是偶函数，所以

/(%)=・7(I-x)=-f[x-1)=-2))=/(x-2),所以/(%)的周期为2,

令X=)，=g,贝=⑴+/(0)=2/(£|/]£|=0,故〃l)+/(2)=f(l)+/(0)=0,

进而〃1)+/(2)+…+/(2022)=1011x[〃l)+/(2)]=0,而“2023)=/⑴=一/(0),由A

选项知"0)=0或f(0)=1,所以〃1)+〃2)+…+/(2()23)=0或-1,故D错误.

故选：BC

举一反三

练习16.(2023•河南开封•统考三模)已知函数八外的定义域为R,八外为奇函数，/(x+1)

22

为偶函数，且£/(女)=1，则/(i)=()

£=】

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】根据函数的对称性得到函数的周期为4,得到£/仅)=/⑴+/(2),根据条件

/=1

元/(4)=1,解出/⑴.

Jt=l

【详解】解：因为函数/⑺的定义域为R,f(x)为奇函数，所以/(。)=0,

又因为/(x+D为偶函数,所以M的对称轴为x=1,

则八外为周期函数,周期为4.

则有2/⑻=5(/(1)+/(2)+/(3)+/(4))+(/⑴+/(2)),

设/⑴=，〃，根据对称性/(3)=-〃?，且/(0)=/(2)=/(4)=0,

所以/⑴+/(2)+/(3)+。4)=0,所以

22

£/(^)=5(/(1)+/⑵+〃3)+/(4))+(/⑴+/(2))=/(I)+f(2),

n】

即/⑴+/(2)=6+0=〃?，

因为£/伙)=1，所以〃2=1，B[j/(I)=m=1.

i-1

故选：c.

练习17.(2023•安徽合肥•二模)若定义域为R的奇函数肥X)满足『(x)=f(x+D+〃xT),

且/⑴=2,则八2024)=.

【答案】2

【分析】利用赋值法及奇函数的定义，结合函数的周期性即可求解.

【详解】由/(x)=/(x+D+/(x-l),得〃x+l)=/(x+2)+/(x),

所以/*)-/U-l)=/(x-2)+f(x),BP-f(x-l)=/(x+2),于是有-f[x}=所x+3),

所以-fix+3)=/(x+6),即〃力=/(x+6).

所以函数的周期为6.

因为/(A)是定义域为R的奇函数，

所以/(■«)=-〃O),UP/(0)=0.

令x=l,则/(l)=/(2)+f(0),解得/(2)=/⑴一/(0)=2,

所以/(2024)=/(337x6+2)=/(2)=2.

故答案为：2.

练习18.(2023•河南洛阳・统考模拟预测)已知/(“是定义在R上的奇函数，若/«为

偶函数且/⑴=2,则/(2022)+/(2023)+/(2024)=()

A.-2B.0C.2D.4

【答案】D

【分析】根据给定的奇偶性，推理计算得了(x+6)=/(x),再结合已知值及周期性求解作答.

【详解】因为/(“是定义在R上的奇函数，则/(r)=-/(x)，且/(。)=0,

乂/1+£|为偶函数，则《一+£|=/卜+£|,即/Q+3)=/(-x),

于是/(x+3)=-/(幻，则「x+6)=-/(x+3)=/(x),即/(可是以6为周期的周期函数，

由"1)=2,得/。)=〃1)=2，/(2022)=/(6x337)=/(0)=0,

/(2023)=/(6x337+l)=/(l)=2,/(2024)=/(6x337+2)=/(2)=2,

所以/(2022)+/(2023)+/(2024)=4.

故选：D

练习19.(2023春•四川凉山・高二宁南中学校考阶段练E)已知定义在R上的函数/(1)满

足=且函数〃x+l)是偶函数，当xw[—l,0]时，〃耳=1一/,则《半卜

()

9卜16「34八41

A.—B.—C.—D.—

25252525

【答案】C

【分析】由函数/(X+D是偶函数，可得函数/(*)的图像关于直线x=l对称，从而有

/(-x)=/(x+2),再结合/(x)=2-/(-x)可得函数/(幻的周期为4,然后利用周期和

f(x)=2-f(一幻将争亿至IJ上即可求解.

【详解】因为函数/(X+D是偶函数,所以尸(1-x)=H1+X),所以解T)=/(X+2),

因为/*)=2-/X—x),所以/(x)+/(x+2)=2,所以/a+2)+/(x+4)=2,

所以fM=f(x+4),所以函数/(x)的周期为4,

所以/(等)=/(IOlx4+|)=/(|),

H/(|)=2-/(-|)=2--(-|)2]=,所以不豹嗖，

故选：C.

练习20.(2023•新疆乌鲁木齐•统考二模)已知/(X),都是定义在R上的函数，对任意

X,y满足/(x-y)=/(x)g(.y)-g(x)〃y),且/(一2)=/(1)*0,则下列说法正确的是()

A./(o)=lB.函数g(2x+l)的图象关于点(1,0)对称

20”

c.g⑴+g(—1)=0D,若/(1)=1,则£/(〃)=1

n=l

【答案】D

【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC,取/(x)=s吟苍g(x)=cosgx•可

判断B,对于D,通过观察选项可以推断/(工)很可能是周期函数，结合/(x)g(y)，g(x)/(y)

的特殊性及一些已经证明的结论，想到令y=-i和丁=1时可构建出两个式子，两式相加即可

W3

得出J'(x+l)+/(x-l)=—/(x),进一步得出/(x)是周期函数，从而可求之/(〃)的值.

H-I

【详解】解:对于A,令x=y=O,代入已知等式得于(O)=jf(O)g(O)-g(O)f(O)=O,得

/(0)=0,故A错误；

对于B,取/(x)=sinF:r,g(x)=cos¥x,满足了(工一j)=/(x)g(y)—x(x)/(y)及

JJ

/(-2)=/(1)#0,

因为g(3)=cos27t=lwO,所以g(x)的图象不关于点(3,0)对称,

所以函数g(2x+l)的图象不关「点(1,0)对称，故B错误；

对于C,令y=O,x=l,代入已知等式得/(1)=/⑴g[O)-g⑴/(O),

可得了⑴口一屋。)]=一晨1)/(0)=。，结合/⑴工。得l-g⑼=0，g(o)=l，

再令x=o,代入已知等式得〃-)，)=/(o)g(y)-g(o)f(y),

将"0)=0,g(0)=i代入上式,得/㈠)=-/(y),所以函数〃刈为奇函数.

令X=l,y=T,代入已知等式，得f⑵=/⑴g(-l)-g⑴〃-1),

因为〃-1)=一/(1)，所以〃2)=〃l)[g(T)+g⑴],

又因为”2)=-"-2)=-/⑴，所以于(l)="l)[g(f+g⑴],

因为/⑴/0,所以g⑴+屋一1)=一1，故C错误；

对于D,分别令＞=-1和y=l,代入已知等式，得以下两个等式：

/(X+l)=/(A-)^(-l)-^(A)/(-l),/(X-l)=/(X)g(I)-^(A)/(l),

两式相加易得/(X+1)+/(X—l)=—/(x),所以有/(x+2)十/(耳二一/(戈十1),

即：f(x)=-f(x+l)-〃%+2),

有：-〃x)+/(x)=/(xM)+/(x-l)-/(x+l)-/(x+2)=。，

即：/(x-l)=/(x+2),所以/(”为周期函数，且周期为3,

因为/⑴=1,所以〃一2)=1,所以42)=—/(—2)=7,/(3)=/(0)=0,

所以/⑴+/(2)+/⑶=0,

个(P3

所以2/(〃)=1=川)+/(2)+/(3)+-+/(2023)=/(2023)=/(1)=1,故D正确.

n=1

故选：D.

题型六抽象函数求解不等式

例U.(2022・海南•校联考模拟预测)(多选)已知定义在R上的函数/(“不恒等于零.同

时满足/(x+)，)=/(x)/(y)，且当x>()时，/(x)>2022,那么当x<0时，下列结论不正

确的为()

A.-1</(x)<0B./(x)<-l

i

C./(-r)>1D.o</W<

2022

【答案】ABC

【分析】令x=l，)，=。可得"0)=1,令'=一工可得/(一”=宙.当x<0时,r>0,根据

已知条件得/(一)>2022,即6>2022，所以。<“刃<圭.

【详解】对任意x,ywR,恒有/(x+y)=/(x)/(y),

令x=l,y=0可得/(l+0)=/(l)/(0),

因为当x>0时,/(x)>2022,故〃1)>2022,所以/⑼=1,

令尸一x,可得/(0)=/(_r_x)=/3/(—x)=l,所以/(一卜诗康

当xv0时,-x>0,根据已知条件得/(-%)>2022，即-r-7>2022,所以0</(“<-L-

J\^)2022

故选：ABC.

例12.(2023・高三课时练习)已知/(x)是定义在R上的减函数，且对Vx,)，eR,

/(x+)，)=/(x)+/(y),若/(七一">°，则x的取值范围为()

A.(l,+oo)B.(0,1)C.(0,y)D.(-1,0)

【答案】A

【分析】利用已知条件赋值求出/(。)=0,结合函数的单调性解不等式.

【详解】因为〃x+N)=/(x)+/(y)，

令4二),=0,易得/(0)=0.

因为/(“是定义在R上的减函数，且

所以2T<0,解得x>l.

故选：A.

举一反三

练习21.(2022秋•重庆沙坪坝•高三重庆市凤鸣山中学校考期中)已知函数)，=/(x)CrcR)的

图象如图所示，则不等式MXM<。的解集为.

【分析】根据函数图象以及不等式的等价关系即可.

x>0fx<0

【详解】解：不等式等价为<、八或、八，

则l<x<3,或一l<x<0.

故不等式刀(x)vO的解集是(T,0)11(1，3).

故答案为(T0)U(l