高三大题优练7 带电粒子在磁场中运动 教师版

大题优练7

例1.如图所示，xO)•平面上以坐标原点。为圆心的四分之■圆形区域MON内，分布着磁感应强度4=2.0x10

一31的匀强磁场，其中M、N点距坐标原点。为地m,磁场方向垂直纸面向甲，坐标原点O处有一个粒子

源，不断地向平面发射比端=5x|()7C/kg的带正电粒子，它们的速度大小都是v=lxl05m/s,与其轴正

方向的夹角分布在0〜90。范围内，不计粒子重力。

(1)求平行于x轴射入的粒子，射出磁场的位置及在磁场中的运动时间；

(2)求恰好从M点射出磁场的粒子，从粒子源。发射时的速度与工轴正向的夹角；

(3)若粒子进入磁场前经加速使其动能增加为原来的2倍，仍从。点垂直磁场方向射入第一象限，求粒子在磁

场中运动的时间r与射入时与x轴正向的夹角3的关系。

【解析】(1)平行于X轴射入的粒子，轨迹如图甲所示，设出射点为P，由0心=〃片

得R=1m。

由几何关系可知QP=OiO=1m,OP=pm,则△OOP为等腰直角三角形，x=y=\m,a吾

故P点坐标为(1m，1m)

运动时间为h=券鬻=和。-5s。

甲乙丙丁

(2)如图乙所示，由几何关系可知：02M=O2O=lm,OM=@m

则△QOM为等腰直角三角形，/。2。知=45。

则。=/。2。"=45。。

⑶住火=翁区=品，可知火=*醇，专=噩二取

则R-=y[2nu

粒子从M点出射时OM=R,如图丙所示，Z\030M为正三角形，圆心角〃=?出射角夕=]

若粒子从弧MN上射出时，弦长均为&m,圆心角均为〃=当

运动时间均为/4•鬻=31(尸s,故g若时」=*10%

若粒子从边0M出射时，如图丁所示，«r,=2^—2^

运动时间产=5缥=(L20)xl(Ts,故"滤时，/=(兀-20)x10%。

例2.如图所示，在烂。的范围内，存在方向沿)，轴负方向的匀强电场，电场强度大小为从在%＞。的范围

内，存在圆心为(230)、半径为2£、垂直xQv平面向里的圆形匀强磁场。一个气核(H)和一个箫核(怕)先后从

电场中的P(一236L)点、平行纸面沿x轴正方向以相同的动能射出，己知〃从坐标原点。进入磁场，且射

出磁场时速度方向与y轴正方向平行，，的质量为〃h电荷量为力不考虑重力，求：

oXX8Xj*

E二工二J，'

(I)|H从P点射出时的动能；

(2)磁场磁感应强度的大小；

(3)汩射出磁场时速度的方向。

【解析】(1)设点核从尸点射出时的速度大小为即、动能为40,在电场中运动的时间为/,则：

?l.=vof,5人=5〃3，qF=nui

£公k()—」2

解得：氏)=坐加。

(2)设笈;核进入磁场时速度的大小为八方向与x轴夹角为仇沿)，轴负方向分速度大小为〜则:

气核进入磁场后做匀速圆周运动，设磁感应强度的大小为从轨迹半径为,•，则有:

射入点0、磁场圆心。、射出点C、轨迹圆心。2构成菱形，由几何关系有:

解得：B二陛屋。

V3qL

(3)设筛:核射出时速度为vo；到)，轴时间为八该过程沿y轴负方向位移大小为到达y轴时速度的大小为

/、方向与x轴正方向夹角为夕，则：

2Z2

^VO=2(3W)VO

qE,2L

〃1,2人徵3〃？0

y0=一仓『(—)=y,tan-----v-=tan6^

23m嘘v/

v0=-^-=且y

cos施3

即筑核也从坐标原点o进入磁场，设尔;核在磁场中做圆周运动的半径为，，，则有:

qvli=m——

r0

解得：产=2小L

由几何关系可知，射入点0、射出点。、轨迹圆心。3构成等边三角形，且。3。垂直x轴，所以於核离开磁场

时速度方向与X轴正方向平行。

1.如图所示为平面直角坐标系X0平面的俯视图，在第一象限存在方向沿)，轴正方向的匀强电场，电场强度

4二一

在第一象限，粒子做类平抛运动，加速度加

在y轴负方向根据运动学公式有用=2卬

耳=皿

联立解得2qd

与X轴的夹角a=45。，根据运动特点可知0C=2d

2d

f\=—

运动时间%

由题意有

根据题意和以上分析知，粒子在第四象限受的电场力方向和火的方向垂直，加速度

cos459=—sin45

C、。在同一条平行于y轴的直线上，在x轴方向位移为()，有2

皿

联立解得qd。

(3)粒子在O点的速度大小%=二砧产+吆=瓜。

W=-—mv1

从A点到。根据动能定理可得电场力做的功22

W=-mvl

联立解得2

2.如图所示，在平面直角坐标系的I、2象限内有等腰三角形AOA,/AOB=120。，。点为人〃边中点，

0C=\rn,OCYAB,在三角形范围内有垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度8=坐T。在I、2象限其他

4

区域有与X轴正方向成60。角斜向上的匀强电场，电场强度E=qXl()2v/m,取y轴负半轴上一点。，沿OD

建立电场使得U。/产仇，把一群比荷*=3XIO?C/kg的负电荷在0D间静止释放，所有的负电荷都没有从AB

边射出磁场，不计电荷的重力，不考虑电荷间的相互作用，求:

(1)5的最大值;

（2）负电荷离开x轴的可能范围。

【解析】（1）所有的负电荷都没有从AB边射出磁场的临界如图所示，根据几何知识可得，此时的半径为

R=OC=1m

y/cm

q%B-m—

带电粒子在磁场中偏转，由洛伦兹力提供向心力，则R

〃12

2。=彳加%

带电粒子在电场中加速，根据2

代入数据解得"o=5°V。

（2）带电粒子离开磁场时，速度方向与电场方向垂直，粒子做类平抛运动，其中

匕）=\=石x10?m/s

Vin

a==4x104m/s~

加速度为m

粒子做类平抛运动在垂直电场方向的位移为％二%’

K=—ar

在沿电场方向的位移为2

根据几何关系可得ON=1m

tan60=.X'----QQ-内

又因为°F-八,sin60

联立各式，代入数据解得°'G=lm

则x=OO+OG=2m

所以负电荷离开x轴的可能范围为°〈五02m。

3.在如图所示的xOy平面内，边长为2R的正方形区域中存在方向垂直xQ｝，平面向外、磁感应强度大小为B

的匀强磁场，沿x轴放置一长为2R的探测板，与磁场下边界的间距为凡质量为〃?、电荷量为q的正离子源

从正方形一边（位于），轴上）的中点P向垂直于磁场方向持续发射离子，发射速度方向与水平方向夹角范围为

0〜60。且均匀分布，单位时间发射N个离子，其发射离子速度大小随发射角变化的关系为a为发

cosa

射速度方向与水平方向夹角，其中当a=0。的离子恰好从磁场下边界的中点沿），轴负方向射出。不计离子间的

相互作用和离子的重力，离子打在探测板即被吸收并中和，已知R=0.05m,B=\T,vy）=5xiasm/s,sin37°

=0.6,cos37°=0.8o

(1)求离子的比荷A；

(2)求单位时间内能打在探测板上的离子数小

(3)要使从磁场下边界射出的所有离子都打不到探测板上，需要在磁场与探测板间加上沿y轴正方向的匀强电

场，求所加匀强电场的电场强度最小值反(结果保留两位有效数字)

【解析】(1)。=0。的离子恰好从磁场下边界的中点沿)，轴负方向射出，做出离子的轨迹如图所示，根据几何关

系可得离子运动轨迹半径r=R

根据洛伦兹力提供向心力得：W8=〃邛

解得离子的比荷'=10?C/kgo

R，==旦

(2)发射角为«的离子运动轨迹半径为qBcosacosa

如果第一、四象限都有磁场，根据几何关系可得离子在磁场中运动时在)，轴上的弦长

L=2R'cosa=2R

即所有粒子都打到0点；实际只有边长为2R的正方形区域存在磁场根据对称性可得从P向磁场发射的离子

均垂直磁场下边界射出，根据几何关系可得离子出磁场下边界的位置横坐标为

,

xa=R'+Rs\na

离子要打在探测板最右边时，需满足Xa=R,+R'sina=2R

将运动轨迹半径H'代入上式得l+sina=2cosa

解得a=37°

因为离子速度u=」一

cosa

所以当a>37。时离•子轨迹半径变大，粒子从磁场右边界射出磁场不能打到探测板上，并沿0—60。范围均匀分

37

n=——N

布，单位时间发射N个离子，则单位时间内能打在探测板上的离子数60。

(3)只要从磁场下边界射出的速度最大的粒子打不到探测板上，则所有离子都打不到探测板上，离子最大的速

v=-----=—v

度为ncos37040n

当最大的速度的离子恰好达不到探测器时，此时电场强度为最小值£,根据动能定理有

_qER=0_；力吟

解得£=3.9x10^^］。

4.如图甲所示，在水平地面上有一个口径为虫深为〃的漏斗形旱井。井的左边侧壁竖直，距其水平距离s处

有一个高为”的水平平台，平台上装有绝缘弹射器，可以将质量为，〃、电荷量为p可看作质点的小球以速度

即弹射出去，W的方向跟井口直径在同一竖直平面M内。当小球水平向右弹出后，小球从井口上方掠过。忽

略空气阻力，重力加速度为g。

(1)为了使小球能打进井中，可在地面上方平行于平面M加水平方向的匀强电场，求此电场的电场强度瓦的取

值范围和方向；

(2)若在地面上方加一平行于平面M的匀强电场，小球可以无碰撞地落到井底，求小球从开始运动至落到井底

的过程中机械能的变化量；

(3)若在地面上方加竖直向上的匀强电场，电场强度大小E=等,同时加一个匀强磁场，改变弹射器的弹射方

向为斜向右上方，也恰能让小球无碰撞地落到井底，求匀强磁场的磁感应强度的大小以及物与水平方向的夹

角夕的正切值；

(4)若在地面上方加竖直向上的匀强电场，电场强度大小E节,再加上磁感应强度大小相等的有理想边界的

两个并列匀强磁场，如图乙所示，以同(3)一样的方向将小球弹射出去，也能让小球无碰撞地落到井底，求所加

磁场的磁感应强度大小。

【解析】(1)在竖直方向小球做自由落体运动，有"二gg『

i楞

在水平方向上小球做匀减速运动，加速度大小为4,设小球从井口左侧进入井中，有

2

qEl=ma^s=vot-^ait

12gH-mgs

解得g=

qH

同埋可得，当小球从井口右侧进入井中，所加电场的电场强度大小为

叫《2gH-mg(s+d)

E2-

电场强度方向水平向左，4的取值范围为

my再二mg吐d）工工吗呵二,蹩

qHqH

（2）由题意可知，若小球可以无碰撞地到达井底，则小球需从井口的左侧竖直进入。设小球从弹射出去到运动

井口的过程中，历时为,，则水平方向s=

%2'

v

竖直方向

由动能定理得叱打+mgH=g〃八彳一；inv1

机械能的增加量为△£二叱g

联立解得\E=叫（”「）_nigH。

2s~

（3）在于利8=4七,所以小球在洛伦兹力的作用下在复合场中做匀速圆周运动，圆心在如图甲所示的。点，设

半径为R

甲

由几何关系可知浦="2+（S-R）2

由牛顿第二定律得夕%3=加以

R

解得八科

由几何关系可知弹射速度与水平方向的夹角°=/°AC,则

2sH

(4)由于两个并列磁场的磁感应强度大小相等，小球运动轨迹如图乙所示，半径为4

由题意得%=———(〃=1,2,3,…)

2〃一1

2

设磁场的磁感应强度为夕,由牛顿第二定律得=fn—

q

解得B'=2笑1)丁。(〃=1,2,3,…)。

5.如图所示，某粒子分析器由区域I、区域II和检测器。组成。两个区域以垂百z轴的平面P为界，其中区

域I内有沿着z轴正方向的匀强磁场和匀强电场，区域II内只有沿着z轴正方向的匀强磁场，电场强度大小为

£,两个区域内的磁感应强度大小均为以当粒子撞击检测器。时，检测器被撞击的位置会发光。检测器中心

。在z轴上，在检测器所在平面上建立与X。)，坐标系平行的坐标系广。”。一质量为机、带电荷量为的带正

电粒子从人点沿x轴正方向以初速度血射入，若区域I内只存在匀强磁场，其轨迹圆圆心恰好是。点，平面

(1)求A点的位置，用坐标(x,)，)表示；

(2)若区域I只有匀强电场E,当检测器Q置于平面P处时，求检测器上发光点的位置，用坐标(-/)表示:

(3)当检测器距离。点的距离为d时，求检测器上发光点的位置，用坐标(.r\/)表示。

【解析】⑴由洛伦兹力提供向心力有G"二m?

A

解得心也

qB

故4点的位置为(0,篝］

(2)粒子做类平抛运动，有L二丝坐，叫;