勾股定理与几何最值的三类综合题型-2025北师大版八年级数学上册

专题03勾股定理与几何最值的三类综合题型

目录

典例详解

类型一、数形结合求最值

类型二、平移图形解决最值问题

类型三、将军饮马最值问题

压轴专练

啰类型-、数形结合求最值

例1.(1)课堂上，老师提问：求V77?+J(16T)2+81的最小值.聪明的小明结合勾股定理的相关知识,

图1图2

①如图1,作一条长为16的线段CO；

⑦过点r在线段CO上方作ACI•使4c=3：过点。在线段CD下方作使B£)=9：

③在线段C。上任取一点。，设CO=x；

④根据勾股定理计算可得，AO=,BO=(请用含工的代数式表示，不需要化简)：

⑤如图2,过点8作AC交AC的延长线于A,则C4'=30=9,BA'=CQ=16,连接AA交CO于点O',

当A、0、〃三点共线时(即。在。处)，人O+BO取得最小值，即为所求代数式的最小值.请根据小明的

做法，求V77^+J(16-x),+81的最小值.

（2）请结合第（1）问，直接写出的最小值.

变式1-1.背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹫，其

中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法.

小试牛刀：

把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为人从c显然，ND43=N8=90。，4CJLOE.

图1图2

（1）请用4、b、C分别表示出梯形A8CO、四边形AEC。、E8C的面积，再探究这三个图形面积之间的

关系，可得到勾股定理，请验证；

知识运用：

（2）如图2,铁路上4、B两点1看作直线上的两点）相距40千米，C、。为两个村庄（看作两个点），

AD±AB,BC工AB,垂足分别为A、B,AO=25千米，3c=16千米，则两个村庄的距离为一千米（直接填

空）；

（3）在（2）的背景下，若A4=4。千米，AO=24千米，BC=16千米，要在A8上建造一个供应站P,使

得PC=PD,请用尺规作图在图2中作出〃点的位置并求出A〃的距离.

知识迁移：

（4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式773+河干荷的最小值（o<x<i6）.

变式1-2.阅读并回答下列问题

【几何模型】

如图①，A、8是直线/同侧的两个定点，问题：在直线/上找一点P,使QA+P8值最小.

方法：如图②，作8点关于/的克•称点连接49交/于P点，则P为所求作的点.

.B

A.

图①图②

【模型应用】

如图③，若A、E两点在直线/同侧，分别过点A、E作/W_LBD,EDA.BD,C为线段上一动点,

连接AC、EC.已知AB=5,DE=3,BD=15,设CD=x.

（1）用含x的代数式表示4C+庄的长为.

（2）①请问点。满足什么条件时，AC+CE的值最小，并求出最小值；

②根据①中的规律和结论，直接写出代数式，？+36+，（12-零+9的最小值为

彦类型二、平移图形解决最值问题

例2.如图，在RtZLABC中，ZAC8=90。，AC=12,8c=16,点D、E分别是AB8c上动点，且4）=AE,

连接8,AE,则CO+AE的最小值是.

AEB

变式3・2如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,八B=25,BC=15,点石为线段4c上的动点，点。在AB上,

且ED_LAB,连接£B,则£3+的最小值为

变式3-3如图，408=30°,点M、N分别在边Q4、0B上，且QM=1,QV=3,点尸、Q分别在边08、

04上，则“0+PQ+QN的最小值是.

变式3-4如图，在VABC中，Z4CB=90°,ZB=30°,AC=3,点。为射线BC上的一个动点，在AO的

左侧作RtaADE,其中NZME=90。，AD=AE,连接CE,求/1E+CE的最小值为.

压轴专练

1.如图，等腰直角V/1AC中，4c8=90。,4。=8。=2,。为4。中点，尸为上一个动点，则PC+PD的

最小值为（）

A.及B.2X/2C.3D.6

2.如图，在VABC中，NACA=90。，AC=\2,BC=9,射线CO与边AB交于点。，E、尸分别为A。、BD

的中点，设点反厂到射线的距离分别为相、〃，则线段C。的最小值为，m+〃的最大值为.

c

3.如图，在RiZ\ABC中，ZC=90°,ZA=30°,AC=6,M.N为AC边的点，CM=MN=NA,点、P为

A3上一动点，连接PM、PN,则0M+PN的最小值为

4.如图，在VA8C中，NB4C=90。，48=AC,点。在8C上，80=3,8=4,以AO为一边作V4)E,

使/ZMK=90。，AD=AE.若M是。E上一个动点，则线段CMK的最小值为

5.如图，在RtZV\8C中，ZACT=90,AC=7,AB=25,AO是的平分线，若M,N分别是A。和

AC上的动点，则MC+MN的最小值是.

C

6.如图，在四边形45CO中，ZABC=NBAD=9()。，八4=5,4)=4,AO<8C,点E在线段4C上运动,

点F在线段AE上，NADF=NBAE,则NAH>=。，线段B厂的最小值为

7.如图，在RtZ^ABC中，Z4CB=90°,AC=12,BC=5,动点尸在VA8C内，且使得△AC?的面积为

12,点。为43上的动点，则PB4PQ的最小值为

A

8.如图，在等腰后A8c中，AC=AB,NA=45。，M、N两点分别是边AC、48上的动点，且8N=2AM,

将线段A/N绕点M顺时针旋转45。得到线段用尸，连接即，若8c=3,则线段3尸长度的最小值为.

9.如图，在心./8C中，ZABC=90°,4B=3,BC=4,M>N分别是AC、4c边上的动点，AM=CN.

连接8W、AN,则8M+AN的最小值是.

10.如图，在RtA8C中，八。=8C=3,点。在A4边上，连接CO,将C力绕点C逆时针旋转90。得到CE,

连接3£,DE.

(1)求证：C4D0CBE；

(2)若4。=拒时，求CE的长;

⑶点3在AB上运动时，试探究AD2+82T的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在,

请说明理由.

11.已知，在V/WC中，AB=AC,。是4c上的一点，连接A。，在直线A。右侧作等腰VAO£,AD=AE.

⑴如图1,AB1AC,AD±AE,连接CE,求证：BC1CE；

⑵如图2,AB1AC,AD±AE,AB=2&，取4c边中点尸，连接EF.当。点从8点运动到C点过程

中，求线段E尸长度的最小值.

12.【综合与实践】

【问题情景】

(1)如图1,点C为线段BO上一动点.分别过点8,D作ABLBD,EDJ,BD,连接AC,EC.已知

AB=6,DE=2,BD=\0.设8=x,用含x的代数式表示AC+C£的长：

【数学思考】

(2)如图.2.在某河道/一侧有A,B两家工厂，它们到河道的距离A。，8C分别是4km.6km,两工厂

之间的距离48是6km.为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点P,且使得抽水点P到48两家

工厂的距离之和最短.求尸A+必的最小值；

【深入探究】

(3)请结合上述思路，求代数式V7*+“9-为+1(X)(0W9)的最小值.

专题03勾股定理与几何最值的三类综合题型

目录

典例详解

类型••、数形结合求最值

类型二、平移图形解决最值问题

类型三、将军饮马最值问题

压轴专练

国类型一、数形结合求最值

例1.(1)课堂上，老师提问：求户3+J(16-_y+81的最小值.聪明的小明结合勾股定理的相关知识,

图1图2

①如图1,作一条长为16的线段CO；

②过点C在线段C。上方作AC_LC。，使AC=3；过点£＞在线段CO下方作笈力_18,使40=9；

③在线段。。上任取一点。，设CO=x；

④根据勾股定理计算可得，AO=,BO=（请用含x的代数式表示，不需要化简）；

⑤如图2,过点8作84」AC交AC的延长线于4,则C4'=8。=9,84'=8=16,连接交CD于点O',

当A、0、8三点共线时（即。在。处），AO+8O取得最小值，即为所求代数式的最小值.请根据小明的

做法，求yjx1+9+yj（\6-x）2+81的最小值.

（2）请结合第（1）问，直接写用+25++9的最小值.

【答案】（1）也+£，；20.（2）17

【分析】本题考查了求代数式的最值，勾股定理.

（1）①由于△AOC和80D都是直角三角形，故AO,80可由勾股定理求得：

②求出AB的值便是AO+O8的值最小即可；

（2）设点x-l=a,则J"-1）。+25++9=3+25+而一15）2+9,由（1）中得方法知

77+25+J（a-15y+9的段小值为：J（5+31+152=17.

【详解】（1）解：AO=y/AC2+CO2=V9+x2»BO=ylOD2+BD2=^（16-x）2+81,

故答案为：j9+x?,+81；

⑤由题意可得，AA,=AC+A,C=\2

^AB=y]AA!2+AfB2=V122+162=20-

/.AO+80=A。+8。=20为最小值，

即&+9+J（16-x『+81的最小值为20.

（2）解：设点工一1=〃，则J（x—l）2+25+J（16『+9=〃/+25+而一15）2+9,

如图，线段8=15,AC=5,80=3,设。=4；过点8作84347交入。的延长线于4,则0'=8£>=3,

BA=CD=\5,连接AB交C7）于点O',当A、。、8三点共线时（即。在。处），AO+8O取得最小值,

即为所求代数式的最小值.由题意可得，/VT=AC+AC=8

^AB=yJAA,2+A,B2=V82+152=17,

由（1）中得方法知J〃2+25+J（a-i5、+9的最小值为17,

22

即A/（X-1）+25+^（X-16）+9的最小为17.

变式1-1.背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力,千百年来，人们对它的证明趋之若鹫，其

中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构宣发现了一个新的证法.

小试牛刀：

把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为〃、b、c.显然，ZZMB=ZB=90°,AC±DE.

图1图2

（1）请用。、氏。分别表示出梯形/WC。、四边形AEC。、胡C的面积，再探究这三个图形面积之间的

关系，可得到勾股定理，请验证；

知识运用：

（2）如图2,铁路上4、B两点］看作直线上的两点）相距40千米，。、D为两个村庄（看作两个点），

ADA.AB,BC工AB,垂足分别为A、B,A£>=25千米，BC=16千米,则两个村庄的距离为_千米（直接填

空）：

（3）在（2）的背景下，若AB=40千米，AO=24千米，3c=16千米，要在48上建造一个供应站尸，使

得PC=PD,请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离.

知识迁移：

（4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式J/+9+J（16—的最小值（0<工<16）.

【答案】（1）见解析；（2）41；（3）图见解析；16千米.（4）20

【分析】（1）根据三角形的面积和梯形的面积就可得出答案.

（2）连接C。，作CE_LAO于点E,根据AO_LAB8CJ.A8得到8C=AE,CE=AB,从而得到

OE=A£>-AE=25-16=9千米，利用勾股定理求得CO两地之间的距离.

（3）连接CO,作C。的乖直平分线交48。即为所求；设AP=x千米，则8P=（40T）千米，分别

在Rt~AP£＞和RlZXBPC中，利用勾股定理表示出CP和PD,然后通过PC=PD建立方程，解方程即可.

(4)根据轴对称■最短路线的求法即可求出.

【详解】解：(1)5梯影=-a[a+b),SEBC=-b(a-b),S匹边形八因。=3c~,

乙乙4

它们满足的关系式为：；a(a+b)=3〃(a-力)+3。2,

团〃+b2=c2;

(2)如图2①，连接CO,作CE_L4)广点£

士………C

F1..............二”、C

^ADIAB,BCA,AB,

^BC-AE.CE-AB,

0£）E=A£）-A£=25-16=9（千米），

^CD=y/DE2+CE2=V92+4O2=41（/米）,

回两个村庄相距41千米.

故答案为：41；

(3)如图2所示：

图2

设AP=x千米，则82=（4。-力千米，

在RtAOP中，DP2=AP2+AD2=x2+242,

在RtABPC中，CP2=BP2+BC2=（40-A）2+162,

田PC=PD,

BX:+242=（40-X）2+162,

解得x=16,

即AP=[6千米.

(4)如图3,

先作出点C关乎A3的对称点“连接。/，过点/•,作所24。与£即：。尸就是代数式

Jf+9+,(16-力2+81的最小值.

代数式4x^9+7(16-X)2+81的几何意义是线段AB上一点到点，C的距离之和，

而它的最小值就是点。的对称点尸和点。的连线段的长,连线段与线段的交点就是它取最小值时的点，

从而构造出了以AB为一条直角边，A。和BC的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是最小的值，

团代数式&+9+J(16-x『+81的最小值为：JDEYEF?=y](AD+BC)2+AB2=^(9+3)2+162=20.

【点睛】本题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题以及线段的垂直平分线

等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键.构造出直角三角鹿。同'是解本题的难点.

变式1・2.阅读并回答下列问题

【几何模型】

如图①，A、8是直线/同侧的两个定点，问题：在直线/上找一点P,使E4+P8值最小.

方法：如图②，作8点关于/的克•称点川,连接49交/于P点，则P为所求作的点.

【模型应用】

如图③，若A、E两点在直线/同侧，分别过点A、E作/W_L8D,EDLBD,C为线段AQ上一动点,

连接4C、EC.已知A8=5,DE=3,80=15,设CD=x.

图③

(1)用含X的代数式表示AC+CE的长为.

(2)①请问点C满足什么条件时，4C+CE的值最小，并求出最小值；

②根据①中的规律和结论，直接写出代数式V7元+施丁石的最小值为.

【答案】(1)725+(15-X)2+X/X2+9(O<X<I5);(2)①当4、。、E三点共线时，AC+CE的值最小，最

小值为17；@15：

【分析】此题考查了勾股定理，构造直角三角形解决问题，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键：

(1)由于V48C和，CDE都是直侑三角形，故AGCE可由勾股定理求得；

(2)①若点C不在4E的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，AC+CE>AEt故当4、C、E

三点共线时，AC+CE的值最小；

②由①的结果利用勾股定理求得4E的值.

【详解】解：(1)由勾股定理知4C=J勾+(15-X)2,CE=」X2+9，

^AC+CE=y/25+(15-x)2+VX2+9(0<X<15),

故答案为：yj25+(l5-x)2+>lx2+9(0<x<15);

(2)①当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，如下图，

^\AC+CE=AE=y）（AB+DE）2+（BC+CD）2=,64+225=17；

②根据®中规律可以构造出如图所示,

同理可得：

J』+36+J(127p+9=&+62+J(12-X『+32=>/(x+12-x)2+(6+3)2=7122+92=15

故答案为15；

【点睛】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，求形

如FN的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解.

怎类型二平移图形解决最值问题

例2.如图，在RtZ\48C中，NAC8=90°,AC=12,灰7=16,点。、£分别是A8,8c上动点，且AO=8E,

连接8,AE,则CD+AE的最小值是.

【答案】4后

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、勾股定理等知识，作即_L9,使点?与

点A在直线8c的异侧，且8E=4C=12,连接AREF,可证明二EM绦QAC,由NACB=90。，

AC=12,BC=16,求得z\A=20,由庄+AENA〃，且庄=8,AF=4AB?+BF2=4符，得

4A,则O+A/?的最小值为4庖,于是得到问题的答案.

【详解】解：作W"_LAB,使点广与点A在直线BC的异侧，且8F、=AC=12,连接A尺EF,

0ZABF=ZACB=90°,

团NBAC+/ABC=NFBE+/ABC,

©ZEBF=NDAC,

在aEBb和△D4C中，

BF=AC

<Z.EBF=Z.DAC,

BE=AD

加EBF沿DAC(SAS),

0Z4CB=9O°,AC=12,BC=16,

^AB=\lAC2+BC2=V122+162=20»

^FE+AE>AF,H.FE=CD,AF=\]AB2+BF2=45/34»

0CD+AE>4734>

团CD+AE的最小值为4后，

故答案为：45/34.

变式2」.如图，在RtAABC中，点。，石分别是边4C、河上的两点，连接BQ,CE,6=AE.若AC=12,

8C=5,则⑺+CE的最小值是.

£

【答案】13

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、两点间线段最短和勾股定理.过点A作斗尸1AC,并使得

AF=BC,连接所，CF,构造，8C*,E4E,然后得到所=A。，进而得知BO+CE=£F+CE,即可

得知b的长度即为防+CE的最小值，也就是M+CE的最小值，最后利用勾股定理求得。户的值即可得

到答案.

【详解】解：过点A作4/J.AC,并使得A尸=8C连接所，CF,则NE4C=90。，

0ZE4E+ZE4C=9O°,

C

团在RtZXABC中，N84C+N6C£>=90。，

0ZE4E=Z5CD,

团AF=C8AE=CD,

巴BC哈fTlE(SAS),

回EF=BD，

^BD+CE=EF+CE>CF,

回当C,E,厂三点共线时，BD+CE=EF+CE=CF,最小，

□AC=12.BC=5.AABC=90°.

0AF=BC=5,AC=12,

.\CF=ylAF2+AC2=13，

团8D+CE的最小值为13.

故答案为：13.

变式2・2如图，在RtZXA8c中，4C8=90。，AC=12,BC=16,点O、E分别是ABAC上动点，且AD=3E,

连接d),AE,则CQ+A£的最小值是.

【答案】4扃

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、勾股定理等知识，作防_L",使点尸与

点A在直线BC的异侧，且8E=4C=12,连接AEEF,可证明EB尸结DAC,rhZACB=90°,

AC=12,3c=16,求得A4=20,由庄+AE2AE，且庄=CD,AF^AS+BF?=4后,得

CD+AE^4xf34，则CO+AE的最小值为4扃，于是得到问题的答案.

【详解】解：作5/_LA8,使点F与点A在直线BC的异侧，且3"=AC=12,连接AF、EF,

^ZABF=ZACB=90°,

0NBAC+ZABC=Z.FBE+ZABC,

团NE8F=ND4C,

在△£1£昭和△D4C中，

BF=AC

Z.EBF=ZDAC,

BE-AD

回/g「£）AC（SAS）,

回Z4C8=90。，AC=12,3c=16,

^A/3=y/AC2+/iC2=X/122+I62=20»

图尸E+AENA产，且尸E=CD,AF=JA^+BF2=45/34-

团CD+4EN4后，

回CD+AE的最小值为4扃，

故答案为：45/34.

变式2-3如图，在RlZ\A8C中，点。，E分别是边AC、A8上的两点，连接B。，CE,CO=AE.若AC=12,

BC=5,则8O+CE的最小值是.

£

【答案】13

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、两点间线段最短和勾股定理.过点A作AFJ_AC,并使得

AF=I3C,连接CF,构造然后得到七厅二比＞，进而得知8/J+C七=2b+CE,即可

得知CF的长度即为跖+CE的最小值，也就是8D+CE的最小值，最后利用勾股定理求得CF的值即可得

到答案.

【详解】解：过点A作AbJ.AC,并使得A/=8C连接所，CF,则NE4C=90。，

0ZE4E+ZE4C=9O°,

回在RtZXABC中，N84C+N8c£>=90。，

^ZFAE=ZBCD,

^\AF=CB,AE=CD,

回，BCD=^FAE（SAS）,

田EF=BD,

^BD+CE=EF+CE>CF,

13当C,E1三点共线时，BD+CE=EF+CE=CF,最小,

回人C=12,BC=5,ZABC=90°,

0AF=BC=5,AC=12,

：.CF=ylAF2+AC2=13»

团8D+CE的最小值为13.

故答案为：13.

国类型三、将军饮马最值问题

例3如图，在中，ZACB=90°,AC=5,BC=\2,A£>平分/CA8交BC于点。，点E，尸分

别是40,AC上的动点，则£C+M的最小值为（）

【答案】C

【分析】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对

称，解决最短问题.如图所示：hAB上取点/，使A尸=A尸，过点。作垂足为”.因为

M+CE=E—+EC,推出当C、E、尸共线，且点尸'与"重合时，FE+EC的值最小.

【详解】解：如图所示：在A8上取点尸'，使A〃'=AA过点C作CH_LAB,垂足为H.

AB=\/AC2+BC2=13-

.-ACBC=-ABCHt

22

.“ACBC60

AB13

⑦EF+CE=EF'+EC,

回当C、E、尸共线，且点尸与〃重合时，庄+EC的值最小，最小值为C”的长，

在+EC的值最小为可.

故选:C.

变式3-1如图，已知正方形A3c。边长为3,点E在AB边上,且的=1,点P,Q分别是边SC,CO上的

动点（均不与顶点重合），则四边形从后，。的周长的最小值是.

B

【答案】2而+2/2+2加

【分析】本题考查了轴对称一最短线段问题，勾股定理，作E关于3c的对称点£，点A关于DC的对称点

4',连接AE,分别交3c8于点尸、Q,则4Q=A'Q,PE=PE,可得

四边形人石尸。的周长=人（2+弋2+夕石+人石=4。+~2+庄'+人£=4石'+人石，由4£=48-应：=2及两点之

间线段最短，可知此时四边形AEPQ的周长最小，利用勾股定理求出4£即可求解，正确作出辅助线是解

题的关键.

【详解】解：作E关于8c的对称点£,点A关于OC的对称点”,连接A£,分别交8C、CD于点P、Q,

则AQ=AQ,PE=PE,

团四边形AEPQ的周长=AQ+PQ+PE+AE=A'Q+PQ+PE'+AE=A!E'+AE,

-砥=3-1=2,

回根据两点之间线段最短，可知此时四边形AEPQ的周长最小，

回AD=AO=3,BE=BE=\,

回AA=6，AE=4，

图Z4'AE'=90。，

SA£*=>]AA,2+AE,2=>/62+42=2>/|3，

晒边形AEPQ的周长最小值为2炳+2,

故答案为：2J15+2.

变式3-2如图，在RlZ\A8C中，ZC=90°,AB=25,BC=15,点E为线段AC上的动点，点D在八8上,

且连接EB,则石8+ED的最小值为

【分析】本题考查勾股定理，垂线段最短，等积法应用等.根据题意作8关于AC的对称点3,连接RE，

A9,利用对称性质得夕E=8E,再由垂线段最短可知当E在8N上时，E8+ED有最小值为用N,再利用

等积法即可得到本题答案.

【详解】解：回作3关于4c的对称点8,，连接BE，AB\

作B'NJ_48于N,

由垂线段最短可知，RE+EDNHN.

(38E+ED2&N,

当E在9N1:时，EB+ED有最小值为B'N,

0ZC=9O°,AB=25,BC=15,

0AC=V252-2O2=20>

,

mSAH.tii=-ryBB'xAC=-2ABxBN,

ez30x20~

⑦BN=------=24,

25

团EB+ED的最小值为24,

故答案为:24.

变式3-3如图，幺。8=3(尸，点M、N分别在边04、OB上，且。例=1,ON=3,点P、Q分别在边08、

04上，则“P+PQ+QN的最小值是.

【答案】M

【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解题关键.作点M关于03的对

称点M'，作点N关于OA的对称点N',连接OM',OM,PM，,QN，,MN,先根据釉对称的性质可得

OW=OM=1、ON=ON=3,PM'=MP,QN，=QN,ZBOMf=ZAOB=ZAON1=30°,从而可得

4n9M=90°,MP+PQ+QN=MP+PQ+QN二再根据两点之间线段最短可得当点M卯,Q,N共线时，

MP+PQ+0M的值最小，最小值为例M的长，利用勾股定理求解即可得.

【详解】解：如图，作点M关于OB的对称点”，作点N关于OA的对称点N',连接OM',ON',PM',QN',MN,

由轴对称的性质得：OM'=OM=\、ON'=ON=3,PM'=MP、QN，=QN,NBOM'=ZAOB=ZAON'=30°,

©ZM'ON'=NBOM'+ZAOB+ZAOV=90°,MP+PQ+QN=MP+PQ+QN,

由两点之间线段最短可知，当点2,Q,N共线时，MA+PQ+QM的值最小，最小值为

=必+MO2=而，

即MP+PQ+QN的最小值是屈.

故答案为：M.

变式3・4如图，在VABC中，4cB=90。，ZB=30°,AC=3,点。为射线4。上的一个动点，在AO的

左侧作Rt,ADE,其中ND4E=90。，AD=AE,连接CE,求4E+CE的最小值为.

【答案】36

【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定：过点A作4尸，AC,A/=AC,

连接叮，则NC4F=90。，证明sEAN.'CAO得出NE/“=NDC4=90。，A^=AC=3即C到研的距离为

A尸=3,作C关于E/的对称点G,连接AG,EG,根据轴对称的性质得出AE+CE的最小值为AG的长,

进而勾股定理，即可求解.

【详解】解：如图所示，过点A作A尸_L4C,A尸=AC,连接加，则NC4尸=90。

0ZDAE=ZC4F=9O°

回ZFAE+ZEAC=^CAD+ZEAC

^ZFAE=ZCAD

^AD=AE

04.ME^CAD

@ZEE4=ZDC4=90°,AF=AC=3

团E在EF上运动，ACA-AF,AFLEF

^AC//EF

团。到E尸的距离为4/，=3

作。关于所的对称点G,连接AG,EG,

0AE+CE=AE+GE>AG

团AE+CE的最小值为4G的长，

^AF=AC=3,CG=2AF=6

^AG=>]AC2+CG2=V32+62=375

故答案为：3石.

压轴专练

1.如图，等腰直角VA8C中，4c3=90o,AC=8C=2,。为8c中点，P为A8上一个动点，则PC+P£＞的

最小值为（）

c

【答案】D

【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题，作点。关于A8的对称点E,连接庄，BE,

依据轴对称的性质，即可得到DP=EP,乙钻C=N4M=45。，根据尸C+尸PC+庄，可得当

C，P，E在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE的长，进行求解即可.

【详解】解：048=90。,AC=8。=2,

0Z4BC=Z4CB=45°,

如图所示，作点。关于A8的对称点£,连接尸E,BE,CE,

则。8=£B.DP=EP，/ARC=/ARF.=^,

团NC8E=90°,

D是8c的中点，

：.BD=-BC=\,

2

:.BE=1,

PC+PD=PC+PEf

当C,P,E在同一直线上时，PC+总的最小值等的长，此时，PC+PQ最小，

在RtZ\CBE中，3雇+册=石

.•.PC+叨的最小值为百.

故选：D.

2.如图，在VA8C中，ZAC5=90°,AC=12,BC=9,射线C。与边A8交于点。，E、口分别为A。、BD

的中点，设点石、下到射线CD的距离分别为小、〃，则线段C。的最小值为,加+〃的最大值为.

c

【答案】7.27.5

【分析】本题考查与三角形中线有关的面积的计算，勾股定理的应用，垂线段最短，连接CE、CF,根据面

积关系可以求得;8(〃?+〃)=：5枷，得至U8(利+〃)=54,当CO最小为C。边上高时，即可求出〃?+〃的

最大值，熟练掌握等面积法的应用是解题的关键.

【详解】解：如图，连接CE、CF,过？作CO垂线，垂足为M点，过人作。。垂线，垂足为N点，即EM=m,

团£、产分别为A。、8。的中点,

05CDE一'J.COA'>.CDF-3。CDB，

+=f

回SCEF=SCDE+s.CDF=](SCDA.CDB)ABC

=

回S.CEFSCDE+SCDF—CDxm+—CDxn-(/H+/2),S.w.=-ACBC=-xl2x9=54,

222\/-八风,2

^\—CD(m+n)=-x54,

团CD("z+〃)=54,

团NAC5=90。，4c=12,BC=9,

^AB=y/AC2+BC2=Vl22+92=15*

设A8边上的高为〃，则gAB/z=54,

0/?=7.2,

当CO最小时，即CQ_LAB,此时C£>=/?=7.2忖，利+〃的值最大，最大值为g=7.5,

故答案为：7.2,7.5.

3.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,ZA=30°,AC=6,M、N为AC边的点，CM=MN=NA,点、P为

AB上一动点，连接PM、PN,则PM+PN的最小值为.

B

CMNA

【答案】2G

【分析】本题考查轴对称-最短问题，直角三角形，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作点C关于

的对称点C，连接AC,在AC上截取AM,使得AN'=4V,连接NM,MN,MN'交AB于点、P,连接

P%.则N,N'关「A8对称，PM+PN的最小值是线段的长，根据等边三角形的判定和性质，则，AMV'

是等边三角形，根据宜角三角形中，30。所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，进行解答，即可.

【详解】解：如图，作点C关于A△的对称点C,连接AC',在人。上截取人N\使得4V'=4V,连接MV',

MN：MN'交AB于点、P,连接P'N.则N,N'关于AB对称，

电PN=PN、PM+PN=MN',此时PM+PN的最小值是MV线段的长.

团NC48=NC48=30。，

0ZM47VZ=6O°,

0AV=A7V,,

团二4VN'是等边三角形，

回AC=6,AC=CM+MN+NA,

@AN=MN=NN'=AN'=2,

团ZMM4=90。，

回HM4=30。，

回AM=2AN'=4,

0MN1=y]AM2-AN,2=2x/3，

国PM+PN的最小值为2G.

故答案为：2G.

AA=AC,点。在8C上，BD=3,CD=4,以AD为一边作YADE,

使ND4£=9()。，AD=AE.若M是OE上一个动点，则线段CM长的最小值为

【答案】912

J

【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理，连接CE,于点

F,可证明HAD=AC4E,得CE=BD=3,ZACE=ZB=45°,则NDCE=90。，DE=yJCE^CD2=5*

iiI91212

由;x5b=1x3x4=S△女，得C尸=?,由CM2?,求得线段CM的最小值为甘，正确地作出辅助线是解

~2555

题的关键.

【详解】解：连接CE,作CbLOE于•点F,

ZR4C=NZME=90°,A6=AC,AD=AE,

/.ABAD=ZCAE=90°-ZC4D,NB=ZACB=45。，

在和「.C4E中,

AB=AC

NBAD=NCAE,

AD=AE

.^BAD^CAE(SAS),

:.CE=BD=3,ZACE=N8=45。,

...WDCE=ZACB+ZACE=90°,

CD=4,

:.DE=>JCE2+CD2=V32+42=5,

1

5DE9

，Y

CMNCF,

••・线段CM的最小值为最12,

12

故答案为：y

5.如图，在RlAABC中，ZACB=90,AC=7,AB=25,A。是NR4C的平分线，若M,N分别是AZ）和

AC上的动点，则MC+MN的最小值是,

【分析】本题考杳了最短距离问题，勾股定理，全等三角形的判定及性质：在A8上截取AN|=AN,过C作

CHA.AB,由SAS可判定MANgMAM,由全等三角形的性质得MN=A/乂，当MC+MM=CH时，取

得最小值，结合勾股定理，即可求解；找出取得最小值的条件是解题的关键.

【详解】解：如图，在上截取4M=AN,过C作SJ.A氏

A。平分443,

在AMW和MAN1中

AM=AM

NMAN=/MAN、,

AN=AN、

MAN”MAM(SAS),

/.MN=MN、,

MC+MN

=A1C+MN],

.•.当MC+MM=C〃时，取得最小值,

.ZACB=90,AC=7,AB=25,

:.BC=^AB2-AC2

=\252-72

=24,

-ACBC^-ABCH

22t

.•.-x7x24=-x25C/7,

22

解得：CH=^

故答案：崂

4J

6.如图，在四边形ABC。中，ZABC=NBAO=90。，AB=5,4)=4,8C,点E在线段BC上运动,

点F在线段AE匕/ADF=/BAE,则14尸£)=°,线段B尸的最小值为

【答案】90回-2/-2+同

【分析】本题考查了勾股定理、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

求出NAOE+ND4F=90°,由三角形内角和定理得到NAED=90。，取A£＞的中点O,连接OE、OB,由直

角三角形斜边中线的性质得到0尸，由勾股定理求出OB,由三角形三边关系定理得3/即可得

到BF的最小值.

【详解】解：0ZBAD=9O°,

QIZBA£+ZmF=90°,

0Z4DF=Za4E,

0ZA£>F4-Z^4F=9O°,

0ZAFD=180°-90°=90°,

0Z4FD=9O°,

@OF=-AD=-x4=2,

22

0/Af)=—AD=—x4=2,AB=5,

22

^OB=>jAO1+AB2=A/22+52=A/29，

由三角形三边关系定理得到：BFNOB-OF=晒-2.

故答案为：x/29-2.

7.如图，在RtZ\A8C中，ZACB=90°,AC=12,BC=5,动点尸在V48C内，且使得△ACP的面积为

12,点Q为AB上的动点，则尸3+PQ的最小值为.

【答案】叫

【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，轴对称的性质，垂线段最短，熟练掌握知识点，正

确添加辅助线是解题的关键.

过点P作BC的垂线交BC于点作点B关于MP的对称点E,连接AE,EC,EP,EQ,过点E作EH±A/3

于点H,运用勾股定理求出A8=13,由△ACP的面积为12即可求出用C,由对称得，PE=PB,则

PB+PQ=PE+PQ>EQ>EH,当点EP,。三点共线，且点Q与点〃重合时取得最小值，即为E”，再

对，4所运用等面积法即可求出EH.

【详解】解：过点夕作的垂线交AC于点M,作点B关于MP的对称点，连接AE,EC,EP,EQ,过

点E作EH工AB于点H,

0^z4CB=9O0MC=12,BC=5,

/.AB=XIAC2+I3C2=13,

StV^lLc-1p=-2ACMC=\2,AC=12,

MC=2,则8W=BC-MC=5-2=3,

^BE=BM+ME=2BM=6,

由对称性得，PE=PB.PI3+PQ=PE+PQ>EQ>EH,

当点E,P,。三点共线，且点。与点”重合时取得最小值，即为石H,如下图.

.1.6xl2=13xEH,:.EH=—,

13

•••依+PQ的最小值为三72，

故答案为：仁79.

1J

8.如图，在等腰；ABC中，AC=AB,NA=45。，M、N两点分别是边AC、/W上的动点，且BN=2AM,

将线段MN绕点M顺时针旋转45。得到线段MP,连接研，若BC=3,则线段BP长度的最小值为

【答案】乎

【分析】在CM上截取MO=AN,连接尸。作点8关于CP的对称点E,连接E，BE,光明

.4"可g_。尸河（5刀）得到40=「0,ZA=ZMDP=450,根据当A、P、E三点共线时，AP+EP的值最

小，最小值为3E,再证明a3C£为等腰宜角三角形，利用股定理求出3E氏，即可求出长度的最小值.

【详解】解