高考数学一轮复习 计数原理、概率、随机变量及其分布 重难点突破01 概率与统计的综合应用（十八大题型）原卷版

重难点突破01概率与统计的综合应用

目录

题型一：决策问题

题型二：道路通行问期

题型三：保险问题

题型一：决策问题

例1.(2023•甘肃兰州•高三兰化一中校考期中)据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到

笔试优秀才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优

秀相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为：，若该考生报考乙大学，每门科目达到

17

优秀的概率依次为二，二，〃，其中

65

⑴若〃，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率：

(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决

策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求〃的范围.

例2.(2023・全国•高三专题练习)2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名

高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制如F：业余队中的两名队员轮流与甲进行比

赛，若甲连续血两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为

平局，比赛结束.已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，甲嬴的概率为:，甲与丙

比赛，甲赢的概率为“，其中;

(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安坤丙与甲进行比赛.请分别计算两种安排下

业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？

(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金6万元，负队获奖金3万元；若平

局，两队各获奖金3.6万元.在比赛前，已知业余队采用了(1)中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织

预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望E(1)的取值范围.

例3.(2023•江西吉安•高三吉安三中校考阶段练习)2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大.某

商家决定借助线上平台开展销售活动.现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为。(300＜。4500)

元时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的FI销售量统计如下，

商品日销售量(单位：件)678910

甲平台的天数1426262410

乙平台的天数1025352010

假设该商品在两个平台日销售展的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售展互不影响，

(I)求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量，其

中至少有2天日俏售量不低于8件”的概率；

(2)已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙平台的收费方案为：

每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的部分，每件收费40元，超过8件的部分，

每件收费35元.某商家决定在两个平台中选择一个长期合作，从日销售收入(单价x日销售量-平台费用)

的期望值较大的角度，你认为该商家应如何决策？说明理由.

变式1.(2023•江西•校联考模拟预测)某学校举行“百科知识”竞赛，每个班选派一位学生代表参加.某班经过

层层选拔，李明和王华进入最后决赛，决赛方式如下：给定4个问题，假设李明能且只能对其中3个问题|可

3

答正确，王华对其中任意•个问题回答正确的概率均为；.由李明和王华各自从中随机抽取2个问题进行回

答，而且每个人对每个问题的回答均相互独立.

⑴求李明和王华回答问题正确的个数均为2的概率；

⑵设李明和王华回答问题正确的个数分别为x和y,求x,y的期望*x)、E(y)和方差o(x)、o(y),并

由此决策派谁代表该班参加竞赛更好.

变式2.(2023・全国•高三专题练习)根据某地区气象水文部门长期统计，可知该地区每年夏季有小洪水的概

率为0.25,有大洪水的概率为0.05.今年夏季该地区某工地有许多大型设备，遇到大洪水时要损失60000

元，遇到小洪水时要损失2000()元，为保护设备，有以下3种方案：

方案I：修建保护围墙，建设费为3000元，但围墙只能防小洪水：

方案2：修建保护大坝，建设费为7000元，能够防大洪水；

方案3：不采取措施

工地的领导该如何决策呢？

例6.（2023•四川眉山・高三四川省眉山第一中学阶段练习）随着我国经济的不断深入发展，百姓的生活也不

断的改善，尤其是近几年汽车进入了千家万户，这也给城市交通造成了很大的压力，为此交警部门通过对

交通拥堵的研究提出了交通拥堵指数这一全新概念，交通拥堵指数简称交通指数，是综合反映道路网畅通

或捅堵的概念.记交通指数为7,其范围为口9］,分别有5个级别：7«0,2）畅通：7«2,4）基本畅通；

7«4,6）轻度拥堵;7«6,8）中度拥堵；丁«8,9］严重拥堵.早高峰时段（1>3）,从北京市交通指挥中心随

机选取了五环以内50个交通路段，依据交通指数数据绘制的部分频率分布直方图如图所示：

O3456789交通指数

（1）据此直方图估算交通指数T三［4,8）时的中位数和平均数；

（2）据此直方图求出早高峰二环以内的3个路段至少有两个严重拥堵的概率是多少？

（3）某人.上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟，中度拥堵为

45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望.

变式3.（2023•江西校联考模拟预测）“低碳出行”，一种降低“碳’的出行，以低能耗、低污染为基础，是环

保的深层次体现，在众多发达国家被广大民众接受并执行，S市即将投放一批公共自行车以方便市民出行,

减少污染，缓解交通拥堵，现先对100人做了是否会考虑选择自行车出行的调查，结果如下表.

（1）如果把45周岁以下人群定义为“青年”，完成下列2x2列联表，并问你有多少把握认为该地区市民是否

考虑单车与他（她）是不是“青年人”有关?

年龄考虑骑车不考虑骑车

15以下63

(15.30)166

[30,45)136

[45,60)1416

(60.75)59

75以上15

合计5545

骑车不骑车合计

45岁以下

45岁以上

合计100

4{“2n[ad-bc)

参考：K=---------------------——-,n=a+b+c+d

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.072.703.845.026.637.8710.82

（2）S市为了鼓励大家骑自行车上班，为此还专门在几条平时比较拥堵的城市主道建有无障碍自行车道,

该市市民小明家离上班地点10km,现有两种.上班方案给他选择；

方案一：选择自行车，走无障碍自行车道以19km/h的速度直达上班地点.

方案二：开车以30km/h的速度上班，但要经过三个易洋路段，三个路段堵车的概率分别是y,

；，且是相互独立的，并且每次堵车的时间都是10分钟（假设除了堵车时间其他时间都是匀速行驶）

若仅从时间的角度考虑，请你给小明作一个选择，并说明理由.

变式4.（2023•全国•高三专题练习）某人某天的工作是驾车从A地出发，到反。两地办事，最后返回A地,

AB,C,三地之间各路段行驶时间及拥堵概率如下表

路段正常行驶所用时间（小时）上午拥堵概率下午拥堵概率

AB10.30.6

BC20.20.7

CA30.30.9

若在某路段遇到拥堵，则在该路段行驶时间需要延长I小时.

现有如下两个方案：

方案甲：上午从A地出发到8地办事然后到达。地，下午从C地办事后返回A地；

方案乙：上午从A地出发到。地办事，下午从。地出发到达8地，办完事后返回A地.

（1）若此人早上8点从A地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时，且采用方案甲，求他当日18

点或18点之前能返回A地的概率.

（2）甲乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后更早返回A地？请说明理由.

题型三：保险问题

例7.（2023•广东湛江•高三统考阶段练习）某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险

产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗

位分为A,8,C三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下

职工类别分布饼图

对于A,B,C三类工种，职工每人每年保费分别为。元、。元、方元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100

万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元.

（1）若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的15%,证明：153a+17〃N42（X）.

（2）现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自行

拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；方

案二：单位与保险公司合作，。=35,〃=60,单位负责职工保费的80%,职工个人负责20%,出险后赔偿

金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议.

例8.（2023•新疆克拉玛依・统考三模）已知某保险公司的某险种的基本保费为〃（单位：元），继续购买该

险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数0123>4

保费（元）0.9aa1.5a2.5a4a

随机调查了该险种的400名续保人在一年内的出险情况，得到下表:

（1）求本年度续保人保费的平均值的估计值；

（2）按保险合同规定，若续保人在本年度内出险3次，则可获得赔付（2.5a+1.5a+a）元；若续保人在本年

度内出险6次，则可获得赔付（2.5a+L5a+a+0.5a）元；依此类准，求本年度续保人所获赔付金额的平均值

的估计值.

例9.（2023・广东深圳•高三校联考期末）已知某保险公司的某险种的基本保费为。（单位：元），继续购买

该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数0123>4

保费（元）0.9aa].5a2.5a4a

随机调查了该险种的400名续保人在一年内的出险情况，得到下表:

出险次数0123>4

频数2808024124

该保险公司这种呆险的赔付规定妇下

出险序次第1次第2次第3次第4次第5次及以上

赔付金额（元）2.5。1.5aa0.5a0

将所抽样本的频率视为概率.

（1）求本年度续保人保费的平均值的估计值；

（2）按保险合同规定，若续保人在本年度内出险3次，则可获得赔付（2.5a+1.5a+a）元；依此类推，求本

年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值；

（3）续保人原定约了保险公司的销售人员在上午10:30〜11:30之间上门签合同，因为续保人临时有事，外

出的时间在上午10：45~11:05之间，请问续保人在离开前见到销售人员的概率是多少？

变式5.（2023•山东潍坊•校联考一模）某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年

每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的所有岗位共分为A、A、

C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000、6000、2000,由历史数据统计出三类工种的赔付频率如

下表（并以此估计赔付概率）：

工种类别ABC

121

赔付频率

To7

已知A、B、C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、

100万元、50万元，保险公司在开展此业务的过程中固定支出每年10万元.

（1）求保险公司在该业务所获利润的期望值；

现有如下两个方案供企业选择：

方案I：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付

给出意外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；

方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%,职工个人负责30%,出险后赔偿金由保险公司

赔付，企业无额外专项开支.

根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.

变式6.（2023•全国•高考真题）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费〃元，若投保人在购

买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且

各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1-0.999”.

（I）求一投保人在一年度内出险的概率〃；

（II）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0,求每位

投保人应交纳的最低保费（单位：元）.

变式7.（2023•北京丰台•高三统考期末）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原

则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构，若甲、乙、

丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A仇。三家社区医院，并且他们的选择是等可能的、相互独立的

⑴求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；

⑵求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；

（3）设4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为3求4的分布列和数学期望.

题型四：概率最值问题

例10.（2023・全国•高三专题练习）某电子工厂生产一种电子元件，产品出厂前要检出所有次品.已知这种电

子元件次品率为（）.01，且这种电子元件是否为次品相互独立.现要检测3000个这种电子元件，检测的流程是：

先将这3000个电子元件分成个数相等的若干组，设每组有k个电子元件，将每组的攵个电子元件串联起来，

成组进行检测，若检测通过，则本组全部电子元件为正品，不需要再检测：若检测不通过，则本组至少有

一个电子元件是次品，再对本组个电子元件逐一检测.

（1）当&=5时，估算一组待检测电子元件中有次品的概率；

（2）设一组电子元件的检测次数为X,求X的数学期望；

（3）估算当攵为何值时，每个电子元件的检测次数最小，并估算此时检测的总次数（提示：利用

（1-p）"«1-np进行估算）,

例11.(2023•江西新余•高三新余市第一中学校考开学考试)现如今国家大力提倡养老社会化、市场化，老

年公寓是其养老措施中的一种能够满足老年人的高质量、多样化、专业化生活及疗养需求.某老年公寓负责

人为了能给老年人提供更加良好的服务，现对所入住的120名老年人征集意见，该公寓老年人的入住房间

类型情况如下表所示：

双人间三人间

入住房间的类型单人间

人数366024

⑴若按入住房间的类型采用分层抽样的方法从这120名老年人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽

取4人进行询问，记随机抽取的4人中入住单人间的人数为求4的分布列和数学期望.

(2)记双人间与三人间为多人间，若在征集意见时要求把入住单人间的2人和入住多人间的〃z(〃?>2且

小wN.)人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人入住房间类型相同，则该组标为I,

否则该组标为H.记询问的某组被标为II的概率为〃.

(i)试用含加的代数式表示〃；

(ii)若一共询问了5组，用g(〃)表示恰有3组被标为的概率，试求g(p)的最大值及此时〃，的值.

例12.(2023♦全国•高三专题练习)为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举

行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3,

4,5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛(每场比赛都采取5局3胜制)，最

后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3:0或3:1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而

在比赛中以3:2取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三

取胜的概率均为MOv〃<1).

(1)比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？

(2)第10轮比赛中,记张三3:1取胜的概率为三p),求出f(p)的最大值点P。.

变式8.(2023•山东潍坊•高三校考阶段练习)今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，非洲地区猴痘

地方性流行国家较多.9月19日，中国疾控中心发布了我国首例“输入性猴痘病例”的溯源公告.我国作为

为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒防控已提前做出部署，同时国家卫生健康委员会同国家

中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南(2022年版)》.此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期5-21天；②既

往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力.据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国

家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天.在医学观察

期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比例较大,对该国家200个接种与未接种天花

疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：

接种天花疫苗与否/人数感染猴痘病毒未感染猴痘病毒

未接种天花疫苗3060

接种天花疫苗2090

(1)是否有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；

⑵以样本中结束医学现察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率.现从该国所有结束医学观察的密切

接触者中随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：

(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住尸进行排查.在排查期间，发现一户3口之家

与确诊患者有过密切接触，这种情况卜.医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测.每名成员进行检

测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”.假设该家庭每个成员检测呈阳性

的概率均为且相互独立.记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为

/(〃).求当〃为何值时，/(〃)最大？附：z2=一八

;(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(叶之％)0.10.050.010

即2.7063.8416.635

变式9.(2023•上海徐汇・上海市南洋模范中学校考模拟预测)进入冬季，某病毒肆虐，已知感染此病毒的概

率为〃(。＜〃＜1)，且每人是否感染这种病毒相互独立.

⑴记100个人中恰有5人感染病毒的概率是/(〃)，求“P)的最大值点外；

(2)为确保校园安全，某校组织该校的6000名师生做病毒检测，如果对每一名师生逐一检测，就需要检测6000

次，但实际上在检测时都是按依1＜女46)人一组分组，然后将各组女个人的检测样本混合再检测.如果混合

样本呈阴性，说明这&个人全部阴性；如果混合样本呈阳性，说羽其中至少有一人检测呈阳性，就需要对该

组每个人再逐一检测一次.当〃取〃〃时，求A的值，使得总检冽次数的期望最少.

题型五：放回与不放回问题

例13.(2023・湖南•高三校联考阶段练习)某中学为了解学生课外玩网络游戏(俗称“网游”)的情况，使调

查结果尽量真实可靠，决定在高•年级采取如下“随机回答问题”的方式进行问卷调查：•个袋子中装有6

个大小相同的小球，其中2个黑球，4个红球，所有学生从袋子中有放回地随机摸球两次，每次摸出一球,

约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①回答问卷，否则按方式②回答问卷

方式①：若第一次摸到的是红球，则在问卷中画“、卜'，否则画“x”.

方式②：若你课外玩网游，则在问卷中画‘7”，否则画'”.

当所有学生完成问卷调查后，统计画‘十’，画“X"的比例，用频率估计概率.

(1)若高一某班有45名学生，用X表示其中按方式①回答问卷的人数，求X的数学期望.

⑵若所有调查问卷中，画7”与画“x”的比例为I：2,试用所学概率知识求该中学高一年级学生课外玩网游

玩网游的学生人数

的竹计值.(估计值-X1OO%)

高一所有学生人数

例14.(2023•江苏南通•高三统考开学考试)现有甲、乙两个盒子，甲盒中有3个红球和1个白球，乙盒中

有2个红球和2个白球，所有的球除颜色外都相同.某人随机选择一个盒子，并从中随机摸出2个球观察颜

色后放回，此过程为一次试验.重复以上试验，直到某次试验中摸出2个红球时，停止试验.

(1)求一次试验中摸出2个红球的概率；

⑵在3次试验后恰好停止试验的条件下，求累计摸到2个红球的概率.

例15.(2023.上海黄浦.高三上海市敬业中学校考开学考试)某公司使用甲、乙两台机器生产芯片，已知每

天甲机器生产的芯片占产量的六成，且合格率为94%：乙机器生产的芯片占产量的四成，且合格率为95%,

已知两台机器生产芯片的质量互不影响.现对某天生产的芯片进行抽样.

(1)从所有芯片中任意抽取一个，求该芯片是不合格品的概率；

(2)现采用有放回的方法随机抽取3个芯片，记其中由乙机器生产的芯片的数量为X,求X的分布列以及数

学期望E(X).

变式10.(2023•广东广州•高三执信中学校考开学考试)中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月

16日在北京召开，为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛

活动.竞赛共有A和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得10分；每答对I道B类试

题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答(每道题抽后不放回).

已知小明同学A类试题中有7道题会作答，而他答对各道8类试题的概率均为

(1)若小明同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛口仅答对1道题的概率；

(2)若小明只作答A类试题，设X表示小明答这3道试题的总得分，求X的分布列和期望.

变式11.(2023・全国•高三专题练习)某商场在周年庆活动期间为回馈新老顾客，采用抽奖的形式领取购物

卡核商场在一个纸箱里放15个小球(除颜色外其余均相同)：3个红球、5个黄球和7个白球，每个顾客不

放回地从中拿3次，每次拿I个球，每拿到一个红球获得一张A类购物卡，每拿到一个黄球获得一张B类购

物每拿到一个白球获得一张C类购物卡.

(1)已知某顾客在3次中只有1次抽到白球的条件下，求至多有I次抽到红球的概率；

(2)设拿到红球的次数为X,求X的分布列和数学期望.

题型六：体育比赛问题

例16.(2023・广东广州•高三华南师大附中校考阶段练习)最是一年春好处，运动健儿满华附.为吸引同学们

积极参与运动，鼓励同学们持之以恒地参与锻炼，养成良好的习惯，弘扬“无体育，不华附”的精神理念，2023

年3月华附举办了春季运动会.春季运动会的集体项目要求每个学生在足球绕杆、踢健子和跳大绳3个项目

中任意选择一个参加.来自高三的某学生为了在此次春季运动会口取得优秀成绩，决定每天训练一个集体项

目.第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从笫二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意

选一项训练.

(1)若该学生进行了3天的训练，求第三天训练的是“足球绕杆”的概率.

(2)设该学生在赛前最后6天训练中选择“跳大绳”的天数为X,求X的分布列及数学期望.

例17,（2023•湖南娄底•娄底市第三中学校联考三模）冰壶是2022年2月4R至2月20日在中国举行的第

24届冬季奥运会的比赛项目之一.冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线的左侧）有一个发球

区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以

场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心。的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心

落在圆。中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环8中，得1分，其余情况

均得0分.已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为:，7；甲、乙得2分的概率

34

分别为!■，白甲、乙得1分的概率分别为!，7-

5-56

（1）求甲、乙两人所得分数相同的概率；

⑵设甲、乙两人所得的分数之和为X,求X的分布列和期望.

例18.（2023•河北保定•统考二模）某学校为了提高学生的运动兴趣，增强学生身体素质，该校每年都要进

行各年级之间的球类大赛，其中乒乓球大赛在每年“五一”之后举行，乒乓球大赛的比赛规则如下：高中三个

年级之间进行单循环比赛，每个年级各派5名同学按顺序比赛（赛前已确定好每场的对阵同学），比赛时一

个年级领先另•个年级两场就算胜利（即每两个年级的比赛不•定打满5场），若两个年级之间打成2:2则

第5场比赛定胜负.已知高三每位队员战胜高二相应对手的可能性均为：，高三每位队员战胜高一相应对

手的可能性均为：，高二每位队员战胜高一相应对手的可能性均为且队员、年级之间的胜负相互独立.

（1）求高二年级与高一年级比赛时，高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高一年级的概率.

（2）若获胜年级积3分，被打败年级积。分，求高三年级获得积分的分布列和期望.

变式12.（2023•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考开学考试）2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有32支球队参加，

欧洲球队有13支：其中有5支欧洲球队闯入8强.比赛进入淘汰赛阶段后，必须要分出胜负.流汰赛规则如

下：在比赛常规时间90分钟内分出胜负；比赛结束，若比分相同.则进入30分钟的加时赛.在加时赛分出胜

负，比赛结束，若加时赛比分依然相同，就要通过点球大战来分出最后的胜负.点球大战分为2个阶段，第

一阶段：共5轮，双方每轮各派1名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数作为标准，5轮合计踢进点球数

更多的球队获得比赛的胜利.如果第一阶段的5轮还是平局，则进入第二阶段：在该阶段双方每轮各派1名

球员，依次踢点球，如果在一轮里，双方都进球或者双方都不法球，则继续下一轮，直到某一轮里，一方

罚进点球，另一方没罚进，比赛结束，罚进点球的一方获得最终的胜利.

⑴根据题意填写下面的2x2列联表，并根据小概率值。=0.01的独立性检验，判断32支决赛圈球队“闯入8

强”与“是欧洲球队”是否有关.

欧洲球队其他球队合计

闯入8强

未闯入8强

合计

（2）甲、乙两队在淘汰赛相遇，经过120分钟比赛未分出胜负，双方进入点球大战.已知甲队球员每轮踢进点

2

球的概率为：，乙队球员每轮踢进点球的概率为:，每轮每队是否进球相互独立，在点球大战中，两队前3

轮比分为3:3,试求出甲队在第二阶段第一轮结束后获得最终胜利的概率.

n(ad-be)2

参考公式：z2=n=a+b+c+d.

(a+Z;)(c+d)(a+c)(Z?+d).

P（炉2。）0.10.050.010.005O.(X)1

a2.7063.8416.6357.87910.828

变式13.（2023・贵州•高三凯里一中校联考开学考试）为了丰富学生的课外活动，某中学举办羽毛球比赛，

经过三轮的筛选，最后剩下甲、乙两人进行最终决赛，决赛采用五局三胜制，即当参赛甲、乙两位中有一

位先赢得三局比赛时，则该选手获胜，则比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比

赛结果影响.假设甲在每一局获胜的概率均为

⑴若比赛进行三局就结束的概率为了（P），求/（P）的最小值；

⑵记(I)中，/(p)取得最小值时，〃的值为凡，以外作为〃的值，用X表示甲、乙实际比赛的局数，求

X的分布列及数学期望E(x).

题型七：几何问题

例19.(2023•辽宁沈阳・沈阳市第一二。中学校考模拟预测)某人玩一项有奖游戏活动，其规则是：有一个

质地均匀的正四面体(每个面均为全等的正三角形的三棱锥)，四个面上分别刻着1,2,3,4,抛掷该正四

面体5次，记录下每次与地面接触的面上的数字.

⑴求接触面上的5个数的乘积能被4整除的概率；

⑵若每次抛掷到接触地面的数字为3时奖励200元，否则倒罚100元，

①设甲出门带了1000元来参加该游戏，记游戏后甲身上的钱为X元，求E(X)；

②若在游戏过程中，甲决定当自己赢了的钱一旦不低于300元时立即结束游戏，求甲不超过三次就结束游

戏的概率.

例20.(2023•江西•高考真题)如图,从A。。。)，4(2,0,0),用0,1,0),用(0,2,0),C,(0,0J),C2(0,0,2),

这6个点中随机选取3个点.(1)求这3点与原点O恰好是正三楂锥的四个顶点的概率：(2)求这3点与

原点。共面的概率.

例21.(2023•河北张家口•高二统考期末)如图，已知三棱锥P-AAC的三条侧棱RA,PB,PC两两垂直,

旦PA=〃，PB=b,PC=c,三凌锥P-/WC的外接球半径R=2.

AC

B

⑴求三棱锥P-ABC的侧面积S的最大值；

(2)若在底面4AC上，有一个小球由顶点A处开始随机沿底边自由滚动，每次滚动一条底边，滚向顶点小的

概率为:，滚向顶点。的概率为！；当球在顶点3处时，滚向顶点A的概率为q，滚向顶点。的概率为:；

当球在顶点C处时，滚向顶点A的概率为2:，滚向顶点3的概率为耳1.若小球滚动3次，记球滚到顶点B处

的次数为X,求数学期望E(X)的值.

变式14.(2023・全国•高三专题练习)已知正四棱锥P-A8CD的底面边长和高都为2.现从该棱锥的5个顶点

中演机选取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得三角形的面积.

(1)求概率P(X=2)的值;

(2)求随机变量X的概率分布及其数学期望E(X).

题型八：彩票问题

例22.(2023・全国•高二随堂练习)在一种称为“幸运35”的福利彩票中，规定从01,02,35这35个号

码中任选7个不同号码组成一注，并通过摇奖机从这35个号码中摇出7个不同的号码作为特等奖.与特等奖

号码仅6个相同的为一等奖，仅5个相同的为二等奖，仅4个相同的为三等奖，其他的情况不得奖比.为了

便F计算，假定每个投注号只有1次中奖机会(只计奖金额最大的奖)，该期的每组号码均有人买，且彩票

无重复号码比.若每注彩票为2元，特等奖奖金为100万元/注，一等奖奖金为I万元/注，二等奖奖金为100

元/注，三等奖奖金为10元/注，试求：

⑴奖金额X（元）的概率分布；

（2）这一期彩票售完可以为福利事业筹集多少资金（不计发售彩票的费用）？

例23.（2023・全国•高三专题练习）中国福利彩票双色球游戏规则是由中华人民共和国财政部制定的规则，

是一种联合发行的“乐透型”福利彩票.“双色球”彩票投注区分为红色球号码区和蓝色球号码区，“双色球”每注

投注号码由6个红色球号码和I个蓝色球号码组成，红色球号码从1一33中选择；蓝色球号码从1一16中

选择.“双色球”奖级设置分为高等奖和低等奖，•等奖和二等奖为高等奖，三至六等奖为低等奖.“双色球”彩

票以投注者所选单注投注号码与当期开出中奖号码相符的球色和个数确定中奖等级：

一等奖：7个号码相符（6个红色球号码和1个蓝色球号码）（红色球号码顺序不限，下同）；

二等奖：6个红色球号码相符；

三等奖：5个红色球号码和1个蓝色球号码相符：

四等奖：5个红色球号码，或4个红色球号码和I个蓝色球号码相符；

五等奖：4个红色球号码，或3个红色球号码和I个蓝色球号码相符；

六等奖：1个蓝色球号码相符（有无红色球号码相符均可）.

（1）求中三等奖的概率（结果用。表示）；

（2）小王买了一注彩票，在已知小王中了高等奖的条件下，求小王中二等奖的概率.

参考数据：Gw"。

例24.（2023・全国,高三专题练习）现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的

彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张.1张彩票可能中奖金额的均值

是多少元？

变式15.（2023・高二课时练习）某人花2元钱买彩票，他抽中100元奖的概率是0.1%,抽中10元奖的概率

是1%,抽中1元奖的概率是20%,假设各种奖不能同时抽中，试求：

⑴此人收益的概率分布;

（2）此人收益的期望值.

变式16.（2023・全国•高二随堂练习）根据某个福利彩票方案，每注彩票号码都是从1~37这37个数中选取

7个数.如果所选7个数与开出的7个数一样（不管排列顺序），彩票即中一等奖.

（1）多少注不同号码的彩票可有一个一等奖？

（2）如果要将一等奖的中奖机会提高到二以上且不超过上而，可在37个数中取几个数？

题型九：纳税问题

例25.（2023・四川南充・统考一模）自2019年1月I日起，对个人所得税起征点和税率进行调整.调整如下：

纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减去5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率

表，调整前后的计算方法如表：

个人所得税税率（调整前）个人所得税税率（调整后）

免征额350＜）元免征额5000元

级数全月应纳税所得额税率（％）级数全月应纳税所得额税率（%）

1不超过1500元的部分31不超过3000元的部分3

2超过1500元至4500元的部分102超过3000元至12000元的部分10

3超过4500元至9000元的部分203超过12（X）0元至25000元的部分20

・.•・..••••••••••••

⑴假如李先生某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记x表示总收入，），表示应纳的税，

试分别求出调整前和调整后y关于x的函数表达式；

（2）某税务部门在李先生所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面

的频数分布表：

收入

[3000,5000)[5000,7000)[7000.9000)[9000,11000)[11000,13000)[13000,15000)

（元）

人数304010875

先从收入在［3000,5000）及［5000,7000）的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲

员，求选中的2人收入都在［3（XK）.5（X）0）的概率；

例26.（2023・全国•高三专题练习）个人所得税起征点是个人所得税工薪所得减除费用标准或免征额，个税

起任点与个人税负高低的关系最为直接，因此成为广大工薪阶层关注的焦点.随着我国人民收入的逐步增加，

国家税务总局综合考虑人民群众消费支出水平增长等各方面因素，规定从2019年I月1日起，我国实施个

税新政•实施的个税新政主要内容包括：①个税起征点为5（X）0元②每月应纳税所得额（含税）=收入一个税起

征点-专项附加扣除；③专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额

（含税）计算方法及其对应的税率表如下：

旧个税税率表（个税起征点3500元）新个税税率表（个税起征点5000元）

缴税级每月应纳税所得额（含税）=收入税率每月应纳税所得额（含税）=收入一个税起征税率

数一个税起征点/%点一专项附加扣除/%

1不超过1500元3不超过3000元3

2部分超过15（X）元至4500元部分10部分超过3（XX）元至12000元部分1()

3超过4500元至9000元的部分2()超过12（X）0元至25000元的部分20

4超过9000元至35000元的部分25超过25003元至35000元的部分25

5超过35（XX）元至55（XX）元部分30超过35（XX）元至55（XX）元部分30

・・・・・・・・・・・・

随机抽取某市KXX）名同一收入层级的无亲属关系的男性互联网从业者（以下互联网从业者都是指无亲属关

系的男性）的相关资料，经统计分析，预估他们2022年的人均月收入为3（XXX）元.统计资料还表明，他们均符

合住房专项扣除，同时他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育

扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合

子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赠养老人扣除的人数之比是2:1:1:1.此外，他们均不符合其他专

项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为:住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赠养老人

2000元/月等.假设该市该收入层级的互联网从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的互

联网从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决下列问题.

（1）按新个税方案，发该市该收入层级的互联网从业者2022年月缴个桥为X兀，求X的分布列和数学期

望；

（2）根据新旧个税方案，估计从2022年1月开始，经过几个月，该市该收入层级的互联网从业者各月少

缴的个税之和就能购买一台价值为29400元的华为智慧屏巨幕电视？

例27.（2023・全国•高三专题练习）随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民生活水平逐步提高，为

了进一步改善民生，2019年1月1FI起我国实施了个人所得税的新政策，新政策的主要内容包括：①个税

起征点为5000元；②每月应纳税所得额（含税）=（收入）•（个税起征点）•（专项附加扣除）；③专项附加扣除包括

赡养老人、子女教育、继续教育、大病医疗等.新个税政策下赡养老人的扣除标准为：独生子女每月扣除2000

元，非独牛.子女与其兄弟姐妹按照每月200（）元的标准分摊扣除,但每个人的分摊额度不能超过1000元;

子女教育的扣除标准为：每个子女每月扣除1000元（可由父母中的一方扣除，或者父母双方各扣除500元）

税率表如下:

级数全月应纳税所得额税率

1不超过3000元的部分3%

2超过3000元至12000元的部分10%

3超过12000元至25000元的部分20%

4超过25000元至35000元的部分25%

•・・••••・・

频率

（1）税务部门在小李所在公司用分层抽样方法抽取某月100位不同层次员工的税前收入，并制成如图的频

率分布直方图.

(i)请根据频率分布直方图估计该公司员工税前收入的中位数；

(ii)同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，在不考虑他们的专项附加扣除的情况下，甲、

乙两位同学用如下两种方法估计小李所在的公司员工该月平均纳税，请判断哪位同学的方法是正确的，不

需说明理由.甲同学：0.24x0+0.32x30+0.2x9()+0.12x290+0.08x490+().04x690=129.2(元)；乙同学：先

计算收入的均值7=().24x4000+0.32x6000+0.2x8O(X)+O.I2x|0()(X)+0.08x12000+0.04x14000=7200(元)，

再利用均值计算平均纳税为：(7200-5000)x0.03=66(元)

(2)为研究某城巾月薪为20000元群体的纳税情况，现收集了女城市500名公司白领(每人至多1个孩子)

的相关资料，通过整理数据知道：这500人中有一个孩子符合子女教育专项附加扣除(假定由他们各自全部

扣除)的有400人，不符合子女教育专项附加扣除