二次根式的化简求值（六大题型）解析版-2024八年级数学上册（沪教版五四制）

二次根式的化简求值（六大题型）

------------------目录

A题型建模•专项突破

题型一、运用二次根式的非负性求值（重点）......................................

题型二、运用数形结合法化简.....................................................3

题型三、巧用乘法公式化简求值（重点）..........................................4

题型四、巧用分母有理化化简求值（难点）........................................6

题型五、巧用整体代换化简求值（难点）.........................................10

题型六、巧用配方法化简双重二次根式（难点）...................................11

B综合攻坚•能力跃升

题型建模•专项突破

题型一、运用二次根式的非负性求值（重点）

1.（24-2S八年级上•上海嘉定•阶段练习）若“〃一1）2则〃？的取值范围是（）

A.m>1B.m=1C.加D.〃，关1

【答案】C

【详解】解：•••］（/〃-iff-"?,

A1-7ZZ>0,

W1,

故诜：C.

2.（24-25八年级上•上海杨浦•阶段练习）化简二次根式“呼I正确的是（）

A.y/-a-1B.ci+\C.。-1D.-Ja+1

【答案】c

【详解】解：v-^U>0,。2>0，

a~

6Z4-1<0.

故选：c.

3.(24-25八年级上•上海徐汇•期中)当OvaVI时，化简()

22

A.aB.—aC.u-----D.—a

aa

【答案】B

【详解】解：

故选:B.

4.(24-25八年级上•上海徐汇・期末)若则［1—a)2=

【答案】a-\

【详解】解：

1-6/<0,

则-a)"=|l-a|=tz-l»

故答案为：a-\.

5.(24-25八年级上•上海•阶段练习)已知2<a<3,化简河了+亚彳=

【答案】1

【详解】解：

a-3<0,2-a<0,

：•-3)~+J(2-a)~=3-a+“-2=1,

故答案为：1.

6.(24-25八年级上•上海浦东新•期中)化简：7l8a2/?3(a<0)=.

【答案】-3"回

【详解】解：•••18/〃NO，«<0.

.,./>>0,

=3\a\b42b=-3ab而.

故答案为：—3ab\/2b.

7.(24-25八年级上•上海嘉定・期中)设/Ac分别是三角形三边的长，则4+Je-ci)?=

【答案】2c

【详解】解：••・〃、b、c分别是三角形三边的长，

:.b+c>a,a+c>b,

a-h-c<0,h-c-a<0,

=-(a-h-c)-(b-c-a)

=b+c-a+a+c-b

=2c,

故答案为：2c.

8.(24-25八年级上•上海长宁•期末)化简：旧土々〃7>〃>0)=________________

\ni-n

［答案］近三二

m-n

【详解】解：•••〃?>〃>(),

m-it>0,〃？+〃>0,

(w+〃)(加-n)_+_Vw2-n2

岳J(rn-n)2\m-n\m-n

故答案为：巫Ji

m-n

题型二、运用数形结合法化简

9.(24-25八年级上•上海长宁•阶段练习)实数〃、人在数轴上的位置如图所示，向正化简的结果

是()

-1---------------1-----

a0b

A.hB.-hC.-la-bD.2a+b

【答案】B

【详解】解：由实数在数轴上的位置可知。<0力>0,-。>6,

yj(a+b)2-=|a+.一向=一(a+b)+a=-a-b+a=-b,

故选：B.

10.实数a,6在数轴上的对应位置如图所示，则而二而■-(〃-4-2)的化简结果是()

A・X-3B.x+3C.-x—3D.3—x

【答案】D

【详解】解：正一6x+9=加—邛—3|,

vx<3,

x-3<0,

.,.|x-3|=3-x,

故选:D.

14.（24-25八年级上•上海徐汇•期中）化简：7X2-4X+4（X>2）=.

【答案】x-2

（详解】解：4x2-4x+4==x-2>

故答案为：x-2.

15.（24-25八年级上•上海•阶段练习）化简：43P、6pq+3q?（P>0,g>0）=

【答案】凤p+q）

［详解］解：J3P、6pq+3q：

=小3（/+2网+g2）,

=43（〃+小，

---p>0,</>0,

：.p+q>0,

原式=b(p+g)，

故答案为：J?(p+g).

16.（24-25八年级上•上海宝山•期中）已知五+）==2,则——'二」——

VxVX2+X+1VX2+10X4-1

【答案】李

6

【详解】解：S+—2,

二回力）=4,

•・・x+—+2=4,

x

Xd—=2

X9

x2+x+1,1,__x2+10x+l,八1，八c

•*-------------=x+l+—=1+2=3»-----------------=x+10+—=10+2=12»

xxxx

x=1x1

x2+x+13'x2+1Ox+112

..IxI-

Vx2+X+1VX?+1Ox+1

=4/

=-----------

36

_s/3

~~6~'

故答案为：乡.

6

17.(24・25八年级上•上海•阶段练习)求代数式”+赤彳的值，其中“=1()07,如图是小亮和小芳的

解答过程：

E小亮

⑴的解法是错误的;

(2)求代数式a+2“2_6a+9的值，其中。=-2024.

【答案】(1)小亮

(2)2030

【详解】(1)解：•.•当4=1007时，1一。<0,

•••a+\!\-2a+a2=a+\-a)~=a+\\-a\=a-[\-a)=a-\+a=2a-\>

二小亮的计算错误，小芳的计算正确；

(2)解：。+2\la2-6a+9

=以+2，（"3『

=«+2|«-3|,

当。=一2024时，〃一3<0,

二原式=。+2（3-。）=6-。=6+2024=2030.

题型四、巧用分母有理化化简求值(难点)

18.(24-25八年级上•上海长宁•阶段练习)已知实数x、y满足，+),2一以-2^=-5,则"十二的值等

3y-2〃

于.

【答案】5&+7

【详解】解：•.•/+/一4工一2丁=一5,

x2-4.v+4+y2-2y+1=0,

,(♦2)2+3-1)2=0,

.\x-2=0,_y-l=0,

解得：x=2/=1,

.F+y0+1(近+小(3+2码：石「

'3y-14x3xl-2>/2(3-2后卜(3+2近)*

故答案为：5立+7.

19.(24-25八年级上•上海•阶段练习)求值：

=

』】***+*系*+卜**+…+卜备+募一-

【答案】2023—

2024

【详解】解：小+4+^―~7

br(/i+l)：+n:+(n+l)：

X-(”+1)2

+丁+2〃(〃+l)+l

♦(〃+1/

+〃+lj

)"(〃+],

_/J+〃+1

一M〃+i)

+++

〃("+l)

,11

=Id-------------,

nn+\

...原式

八、12233420232024

1

2023xl+1-

2024

2023

=2023

2024

故答案为：2023裁

20.（24-25八年级上•上海浦东新期中）已知。=意5,求.1%的值•

【答案】立

10

【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化

【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，先化简〃和4求出〃+/）=2石."=1,代

入化简后的式子计算即可，熟练掌握其相应的运算法则是解决此题的关键.

1逐+2/T1V?-2/T

【详解】一斥rm―2）（昌2厂82,-7^=（6+2）.-2=0一2,

:•a+b=2y{5,ab=5-4=l,

ab-ab2

a1-b-

ab(a-b)

(a-b)(a+b)

ab

a+b

1

6

10

21.（24-25八年级上•上海松江•阶段练习）先化简再求值：『-"6_4l2a+l其中"A

a+2a'-a

【答案】1

【详解】解：•"为"蓝』=2一如

1=2—\/3—1=1—垂><0

原式=("3)(〃+2)_J(aT)-

Q+2a(a-\)

a(fl-l)

当4=2—G时

原式=2-向3+工、

2+6

=2-73-3+

(2-V3)(2+V3)

=2-6-3+2+6

=1

22.（24-25八年级上•上海浦东新•期中）面对一些二次根式，其实可以用了因式分解中的分组分解法来解

决问题：

1+72+V3+V6=1X1+1XV2+1XX/3+V2XV3=（1+V2）（1+A/3）,

,1+V?14-731,

则1+0+6+而一（1+础1++―1+0--,

利用这种思想，解决下列问题:

V3+V5

⑴化简：娓+如+3+用;

(2)化简：限哗一卷一平;

V10+V14+V15+V21

swgVHT5V7+46

⑶化简：——7=一7=一7=•

7-J-V77+V66+V42

【答案】(1)石一正

⑵26-5

⑶而一后

V3+V5

【详解】（1）解：原式=6(0+百)+指(0+@

(人+6)(6+司，

1

-6+5

=\3—6;

>/5（V2-73）+5/7（>/2-5/3）

(2)解:原式二可无+忖+后（向仆）

（百+⑺（0一道）

1石+汨话+©

-双+/

（向尺码

=^-2-3+76

=276-5;

币+如+4s+悯

（3）解：原式=例五+拒）+石（"+拒）

（V7+ViT）+4（V7+76）

（V7+V6）（V7+VH）

_1十4

一、5+#5+拒

=75-V^+ViT-V7

=-vTT—5/6.

题型五、巧用整体代换化简求值（难点）

23.（24-25八年级上•上海闵行•期中）已知：”#［下，6=［止万，求代数式。+必+6的值.

【答案】6+；

【详解】解—―,h正力'

,11_y/5—>/3+>/5+y/3_f-

m=（也+5电一5="'

ii_।

a+ab+b

=a+b+ab

3,

2

24.（22-23八年级上•上海虹口•期中）先化简，再求值，已知x=2=彳+?,求代数式4-2»+产

73+，2V3-V2

的值;

【答案】96

【详解】解：...X=宏^=(«*总甸=(6一同

，=限+立限-立=(石+&),

.•.x->>-(>/3-5/2)2-(>/3+>/2)2-3-276+2-(3+276+2)--4>/6,

:.x2-2xy+y2=(x-j)'=(-4-76)=96.

25.(22-23八年级上•上海•期中)已知x=[=方，y=7+6,求代数式/—中+/的值.

【答案】y

【详解】解…=.‘)'=五*'

1y/7+451V7-V5

••-X=7T7?=^-Jy=77^=^~'

.••X+y=a，孙=g，

.'.x'-xy+y2=(x+y>-3xy=(V7)2-y=-y.

题型六、巧用配方法化简双重二次根式(难点)

26.(24-25八年级上•上海•阶段练习)化简：V14-4V6=.

【答案】2V3-V2

【详解】解：714-476

=42-4而+2

=(26)2-2x2员小+(庭y

=26-&，

27.(24-25八年级上•上海•期中)阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复

合二次根式，例如：曲,后瓦J6+2百等都是复合二次根式.其中有一些特殊的复合二次根式可以进

行化简，例如:

J+2石=J1+26+5="+2xix石+(⑹2=J(i+府=1+>/5.

请利用上述运算法则化简：年-也1+4迎=.

【答案】V5-1

【详解】解：由题意知，也1+4、/“(1+2可=1+2行，

••M-J21+4而=』―（1+2石卜J6-2退二亚-1，

故答案为：V5-1.

28.(24-25八年级上•上海•阶段练习)化简：后-幅-出+旧=

【答案】-V6

【详解】解：设,5_亚々5+0?=x，

则f=5-历-2,5-历xj5+ViT+5+&T

=10-2a

，x=±&，

v5-V2T-（5+V2T）=-2>/2T<0,

•••^5-721-75+V2T=-4b,

故答案为：-瓜.

29.（23-24八年级上•上海青浦•期中）观察下列等式

y/y+~2^2=-y+V2j=y/\+>/2;

J5+26='（&+可=72+73;

布+2至=6+=6+〃；

请你直接写出以下计算结果：

(1)请你猜测713+2>/42=，721+2VH0=

(2)针对上述各式显示的规律，请你猜测

7(2H-1)+2V^Z=(«>2,"为整数)；

⑶利用上述规律计算:

111

/+I+I+…+[=

（〃N2,〃为整数）.

。3+2&V5+2V6，7+2疝^(2〃-1)+26_〃-

【答案】(1)&+近，VIO+VH

(2)J〃-1+6

⑶-1+«

【详解】(1)解：根据题意可得：

713+2742=^(>/6+>/7)：=娓+币,

721+2VHO=Vio+VTT)2=Vio+Vn,

故答案为：R+币,Vio+Vn.

(2)解:yl(2n-\)+2\ln2-n=+4)=+yfn，

故答案为：yJn-\+\[n.

(3)解：根据题意可得：

1111

J3+2&75+276J7+2疝J(2〃-l)+2j〃2-〃

「1।1।1।।1

y[\+y/25/2+y/3VJ+5/4yjn—i+\fn

=—^A/T—V2j—^-\/2—j—^>/3--\/4j——>/Hj

=—1+5/2^—5/2+-^3—5/3+5/4—…—J”-1+\J-n

=-l+Vw,

故答案为：-1+xfn.

B综合攻坚•能力跃升

1.（24-25八年级上•上海长宁•阶段练习）已矢=++则向=

【答案】迎

3

【详解】解：•・•。=病•+病工+g,

,-.6-8>0,8-6>0,

h-8=0,

/?=8,

1

3

r-rR2a

-^ab=^=—

故答案为：巫

3

2.（24-25八年级上•上海闵行•期中）已知实数。满足那么历厅+J7=

【答案】\-2a

【详解】解：..•实数〃满足

①当时，|l-a|-|a|=o-l-a=-l,不符合题意；

②当04x41时,\\-a\-\a\=\-a-a=\-2at不符合题意;

③当4<0时，|1一。|一|。|=1-4+。=1,

+4（^=\-a-a=\-2a.

故答案为1-2a.

3.（24-25八年级上•上海浦东新•期中）若》为实数，求J—2X+1+参—五-4工+4+0

-1的值.

【答案】-1

【详解】解：根据题意得,

-2x+l>0

£-4,v+4>0

2x-l>0

=-1.

]

4.⑵3八年级上•上海青浦•期中）先化简再求武其中，

3+2夜

]

3-272.

【答案】x-y-441

［详解］解：原式二厂」一『

=（«-⑹（«+⑹

=x-y,

3-2&

3-25/2,

'与x~3+272-（3+2&）（3-2&）

13+2加

y=।।।=3+20时:

3-2V2（3+2&）（3-2加）

原式=（3-2亚卜（3+28）=-40.

5.（24-25八年级上♦上海•阶段练习）已知x=3W，y=华芈,求代数式/+3盯+_/的值.

V3+V2V3-V2

【答案】101

V3-V2（6-0）（石-近）厂&4+0）（6+0）厂

【洋解】解：＞=忑==曲6廊_6广2瓜”7T7T（石一码（6+@"+2卡,

.-.x2+3xy+y2=（x+»+个=（5-26+5+2甸,+（5-2指）（5+2#）=101,

二代数式/+3号+/的值为101.

6.（24-25八年级上•上海宝山•期中）已知八V是实数，且卜J16-‘十&-16+2,求的值.

x-4

【答案】1

J16—厂+x~—16+2有意义

【详解】解：•.・式子y=

x-4

16-.r2>0

X2-I6>0,

x-4#0

22

V16-x+y!x-16+2\_

'-y=

x-44

-''yfxy=^（-4）x-；=VF=1.

7.（24-25八年级上•上海宝山•期中）己知：x=£_£,+申,求：3/-59+3），2的值.

V5+V3fV5-V3

【答案】181

【详解】解：x=♦y=

Vf5+Vf3fV5+-Vf3,

(0一6)25-2妪+3年⑼⑹5+2拒+3后

(石+倒痒6)一5-3-W5,”(石+醐痒⑹一5-31+55,

.-.x+y=4->/\5+4+Vl-5=8，即=(4-Vf?)(4+>/[?)=16-15=1,

•••3/-5»+3y2

=3(x2+2xy+y2)-\\xy

=3(x+y)--1\xy

=3x82-llxl

=181.

8.25八年级上•上海闵行•期中）先化简’再求值：已知"册’求勺”的值.

【答案】与匚，1一正

13-25/2

【详解】解•："二』"际砸国3-20,

a?2a+1_("1)_tz-1

2”22(a-1)2

•■•将a=3-2-J2代入，原式=~~~---=1—y/2•

2

9.（24-25八年级上•上海黄浦•期中）已知“看,求代数式也卫三的值.

x-+5x+6

【答案】匕亨

【详解】解：由题意知，x=有:2="-2,

+4x+4_J(x+2)

X2+5X+6-(X+2)(X+3)X+3

1>/5-l

将工=石-2代入得，原式=

石-2+3-6+1-4

10.（24-25八年级上•上海•期中）已知：1=乎］£,

y=，求/+xy+y2的平方根;

V3+V2fV+3-Vf2

【答案】±301

_V3-V2V3+V2

【详解】解:"1方+&尸

yfi—y/2y/3+y/2

小'=京百忑F

(6叫2+4+闾2

=(向码陶一正)

=3-276+2+3+276+2

=10,

22222

贝"+Xy+y=x+2xy+y-xy=(x+y)-xy=10-1=99,

x2+xy+y2的平方根为土娴=±3VH.

11.(24-25

【答案】-1

【详解】解：

J1+X-J1T+x)+Jx

'yj\+xy/i-x\Vl-X2-1

=,jT—_________!•--------------

、Jl+x-Vl-XJl+x-Vl-X)x

71+X+Vl-x^Vl-x2-1

、/1+x-Jl-xx

(Vi77+Vi^7)"ViT7_i

(71+x-Jl-x)(Jl+x+Jl7)x

(Jl+x+Jj)Jl-'-l

(l+x)-(l-x)~

_(vm+vi^7)N12_]

2xx

]+X+2j(l+x)(l—X)+1—X5/1-X2-1

2xx

2+2V1-X2Vl-x2-l

2xx

1+Vl-x2Vl-x2-1

--------■---------

XX

(13)-1

X2

=-l

12.（22-23八年级上•上海浦东新•期中）观察下列运算:

①由（加+1）（后—1）=1,得意=6-1

②由（石+&）（百-&）=1,得石：&=6一0

问题：

⑴通过观察你得出什么规律？用含〃的式子表示出来；

⑵利用(1)中发现的规律计算：

(-^―+厂1厂+厂1厂+…+刀----1/+-1------------1(72019+1).

VV2+1V3+V2V4+V3V2018+V2017V2019+V20187

【答案】~r=-G(〃为正整数)

V/74-1+V/7

(2)2018

【详解】(1)由题目已给出的式子可得：刀一一尸=JR-册(〃为正整数)；

⑵(V2+1+V3+V2+V4+V3++V2018+V2017+V2019+V2018^°19+1

=(x/2-l+V3-V2+V4-V3+---+>/20T8->/20T7+72019-72018)(72019+1)

=(V2019-l)(>/2019+l)

=2019-1

=2018.

13.（22-23八年级上•上海静安•期中）（1）式子"（4一乃『+忱-6|与）（4_与）2_|乃_6|的值与乃有否关系?

请说明理由；当x取不同的值时，代数式J（4-X）2小-6|的值会发生什么变化?

（2）设机＞0,4工人，易知（J”？+胆+a)(Ja[+〃?一")=ni，如果还有(+m+〃?-a)=〃?,问a,b

之间应满足什么美系？指出结论，再说明理由

【答案】（1）J（4-乃）2-|乃-6|与不无关系,J（4-万丫一1一6|与乃什关系;当xK4时，

yj（^-x）2-|x-6|=-2.当4Vx<6时，^/（4-x）2-|x-6|=2x-10，当工26时，^（4-x）2-|x-6|=2;（2）

a=-h

【知识点】运用平方差公式进行运算、利用二次根式的性质化简

【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简，最后去绝对值计算即可;

(2)由+m+a)(+m-am=+m-a)可得I，〃\a="2Ib，再变形处

理即可.

【详解】（1）J（4-万了4-6|与万有关系,J（4一开了一帆一6|与万无关系.理由如下:

J（4-叫-_忱_6|=|4_乃卜|4_6]=4-；r+（4-6）=—2,与九元关系；

,（4一兀）'+|兀一6|=|4—兀|+|兀一6|=4—兀一（兀-6）=10—2兀，与乃有关系：

^（4-x）2-|x-6|=|4-x|-|x-6|♦

当i44时，|4-x|-|x-6|=4-x-(6-x)=-2,

当4<x<6时，|4-x|-|x-6|=x-4-(6-x)=2x-10,

当时，4-x|-|x-6|=x-4-(x-6)=2,

••・当时，^(4-X)2-|X-6|=-2,

当4vxv6时，«4|x6|=2x10，

当工之6时，^(4-X)2-|X-6|=2,

(2)a=-b,理由如卜:

v(&F+〃?+〃)(+6-a=m,+〃、+〃、-a)=m,

：•+〃?+a=\lb2+ni-b，

?

\/a+m+b=yffy+m-a

两边平方，再整理得：力庐7=-外庐荔,

继续平方，得：b2a2+b2m=a2b2^-a2m,

•••blm=a2m

14.（24-25八年级上•上海•阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以

用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如I：对于乒方-乒后，设

x=43+4-非，易知,3+石>J3-石，故x>0.

由丁（VTM/5-，3-百）-=3+^+3-V5-2J（3+b）（3-逐）=2,

解得x=JI,即43+后-《3-亚=丘.

根据以上方法，求，6-36-，6+36的值.

【答案】丫=-娓

【详解】解：设厂J6-36々6+36，

•••y'=^6—3>/3—76+35/J）

=6-36+6+3百-2,6-36xj6+3G

=12-246_3百）（6+3码

=12-2736-27

=12-2^

=12-2x3

y=±V6,

•'-^6—35/3<^6+3-^3，

j<0,

：•y=-瓜.

15.（24-25八年级上•上海•阶段练习）材料一：由（石+6）（石-6）=（石广-（6）2=2可以看出，两个含

有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计

算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：

1_V3-V2

=5/3-72

6+&-（百+&）（百-&）

材料二：根式化简

3+向一6（G+i）一百（G+i）（g）一51一耳/

[_]_逐一石_uj

56+3括―岳（亚+氏）-岳（石+75）（6