二次函数与几何图形综合（4种题型11重难点突破）原卷版-九年级数学上册（人教版）

二次函数与几何图形综合

（4种题型11重难点突破）

》则重点-冲高分吊

题型1角度存在性问题

已知特殊角度求解已知角度关系求解

第一步读题、画图、理解题意

第二步分析动点、定点，找不变特征

第三步确定分类特征，进行分类讨论

第四步已知特殊角度，构造一线三垂直、一线三将角度进行转化:利用锐角三角函数、相似三

等角、直角三角形，再利用直角三角形、角形或等腰三角形的性质、外角的性质等转

相似三角形边的比例关系去计算求解.化为常见的类型，再利用直角三角形、相似

三角形边的比例关系去计算求解.

重难点一已知特殊角求解

1.（23-24九年级上四川广元期末）如图，抛物线丫=-=2+"+（:与》轴交于力（-1,0）,B、与y轴交于C

（0,3）.

⑴求抛物线的解析式.

⑵点。是直线BC上方抛物线上的一动点，OElBCQFIIy轴，在弛物线上是否存在一点。使△DE尸的周长最

大，如果存在，求出周长的最大值.

⑶在抛物线上是否存在M点，使41MA=45。，若存在，求出M点的坐标，如果不存在请说明理由.

2.（22-23九年级上浙江台州•阶段练习）如图，在直角坐标系%0y中，二次函数y=x2+（2k-l）x+k+l的图

像与％轴相交于0,4两点.

⑴求这个二次函数的解析式；

⑵在这条抛物线的对称轴右边的图像上有一点B,使△力。B的面积等于6,求点8的坐标；

⑶对于（2）中的点,在此抛物线上是否存在点P,使NPOQ-90。？若存在，求出点P的坐标，若不存在,

请说明理由.

重难点二已知角度关系求解

4.（24-25九年级上湖北恩施期中）如图，抛物线y=-无2+必+4交工轴于火一1,0）,8两点与y轴交

于点C,P为抛物线上的一个动点，且点P的横坐标为加一日.

⑴直接与出抛物线的解析式及顶点。的坐标;

⑵若m>3,当抛物线在点P和点4之间的部分（包括P、A两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为m+1时,

求m的值;

⑶在第一象限的抛物线上是否存在点P,使NPBC+/ACO=45。，若存在，请求出点P的坐标；若不存在,

说明理由.

5.(22-23九年级上湖北黄石期末)抛物线y=—京2+京+4与坐标轴分别交于4B、C三点，户是第

象限内抛物线上的点.

⑴直接写出4B、。三点的坐标为4BC

(2)连接4PCP/C,若S&4PC=2,求点户的坐标;

⑶连接4P,8C,是否存在点只使得上P48=XA8C,若存在，求出点夕的坐标，若不存在，请说明理由.

6.（2024•山东济南三模）如图，抛物线加过点£（一2,3）,与彳轴交于点力和点8（点/在点8左侧）

与y轴交于点C顶点。的坐标为（一1,4）.

⑵点尸是线段4c上一动点，求尸周长的最小值；

⑶平移抛物线股得到抛物线M已知抛物线A/过点。，顶点为R其对称轴与抛物线股交于点Q若

乙PDQ=4乙DPQ,直接写出点尸的坐标.

题型2三角形存在性问题

-W■-W-■MK■W-MM・■■W--H-■MMM-W・■MM-W-■WW一«■■*■■■■•■fH-■MH

Ua

◎o旬0

【等腰三角形存在性问题】i

几何法：i）“两圆一线”作出点；！

2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长；！

3）分类讨论，求出点P的坐标.j

代数法：1）表示出三个点坐标A、B、P：；

2）由点坐标表示出三条线段：AB、AP、BP：

3）根据题意要求（看题目有没有指定腰），取①AB=AP、②AB=BP、③AP=BP：\

4）列出方程求解.!

【直角三角形存在性问题】；

解题方法：如有两定点，在其他特定的“线”上求第三点，形成直角三角形时：；

’“两垂一圆”找点!

他颖用赫f以“勾股定理”为等量关系列方程！

解剃忠题“数形结合”求点引入直线解析式，转化成交点求解!

由“K型相似”为等量关系列方程；

1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①k,k=_i，②三角形相似，③勾股定理：[

12

2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，；

第一当己知点处作直角的方法：①占.&=_],②三角形相似，③勾股定理；i

第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角.；

【等腰直角三角形存在性问题】确定等腰直角三角形后构造一线三垂直，时应上下两个三角形全等，得i

到对应线段相等的关系，进而设出点的坐标，根据线段相等列出等式建立方程求解参数.

重难点一等腰三角形存在性问题(两动一定)

7.(24-25九年级上•海南•阶段练习)已知：如图，抛物线y=a/+3ax+c与y轴交于点C(0,—3),与无轴

交于48(1,0)两点,4点在B点左侧.

⑴求抛物线的解析式；

⑵在抛物线上是否存在一点D,使SMB。=2S~8C,若存在，求出点。的坐标，若不存在，说明理由;

⑶若点P是y轴上一个动点，求使△ACP为等腰三角形的点P的坐标.

重难点二等腰三角形存在性问题（一定两动）

8.（23-24九年级上广东东莞期末）如图，抛物线y=a/+加-3仅。0）与x轴交于点幽一1,0）,点8

⑴求抛物线的表达式；

⑵若点。是抛物线上一点，当△A80的面积为10时，求出点。的坐标;

⑶点户是抛物线对称轴上的一点，点例是对称轴左侧抛物线上的一点，是否存在以P8为腰的等腰直角

△PMB,如果存在，求出点似的坐标；如果不存在，请说明理由.

9.（24-25九年级上清海西宁•阶段练习）如图，抛物线的顶点。坐标是（1,一4）,与％轴交于点力（一1,0）,

（1）求抛物线的表达式;

⑵将抛物线沿着射线C8方向平移3四个单位长度，平移后新抛物线的顶点是点E,求△4BE的面积；

⑶点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点,是否存在以PB为腰的等腰直角△PMB,

如果存在，直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由.

10.（2024・河南周口,模拟预测）如图，抛物线y=Qx2+2x+c与X轴交于48两点（点力在点8的左

侧），与y轴交于40,3）,且二次函数的最大值为4.

⑴求抛物线的解析式和顶点。的坐标；

⑵户是抛物线y=ax2+2x+c上一动点，连接8P,以点"为直角顶点，构造等腰RtABPQ,是否存在点?

使点。恰好在直线y=无上?若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

重难点三直角三角形存在性问题

11.(24-25九年级上四川自贡期中)二次函数y=ax2+bx+c(a*0)的图象与不轴分别交于点力(一1,0)，

巩3,0),与y轴交于点C(0,—3),P,Q为抛物线上的两点.

(1)求二次函数的表达式；

⑵当P,C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标；

⑶若点尸在直线BC的下方，当点。到直线8。距离最大时，试求点P的坐标，并且求出点P到直线BC的距

离.

12.(24-25九年级上广东东莞•阶段练习)如图，已知抛物线y=Q炉+八+«。装0)的对称轴为直线

x=-l,且抛物线经过4(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点8.

(1)若直线y=〃认十〃经过反c两点，求直线解析式；

⑵在抛物线的对称轴％=-1上找一点例，使MA+MC的值最小，求点例的坐标;

⑶设"为对称轴％=—1上的一个动点，直接写出△8PC为直角三角形的点尸的坐标.

重难点四等腰直角三角形存在性问题

13.（24-25九年级上•吉林白城阶段练习）如图，已知抛物线L：y=/+bx+c经过点力（0,3）、5（1,0）,过

点8作力Ch轴，交抛物线于点C,乙4。8的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点.

⑴求抛物线的解析式；

⑵若动点P在线段OE下方的地物线上连接PE、PO,当aOPE的面积最大时，求点P的坐标；

⑶将抛物线乙向上平移九个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在AOAE内（包括△。力£的边界），求

力的取值范围；

⑷若F是抛物线的对称轴1上的一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使AP。尸是以点P为直角顶点

的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

14.（24-25九年级上辽宁大连•阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线V二必-2%一3与*轴交于点4

8（点/在点8的左侧），与y轴相交于点C点P（m,〃）抛物线上一动点.

⑴求△4BC的面积；

⑵当〃随。的增大而减小时，直接写出6的取值范围；

⑶当"随m的增大而增大时，在抛物线的对称轴上是否存在点。.使得△OPQ是以。为直角顶点的等腰

直角三角形，若存在，求点"的坐标；若不存在，请说明理由；

⑷作点P关于x轴的对称点，设为点P',过点夕作轴，垂足为。，以P。P7为令K边构造矩形户0£

P',当抛物线与矩形PDEP'的边有两个公共点时，直接写出。的取值范围.

15.(2024九年级上全国.专题练习)如图，二次函数y=«x2-4%+C(QH0)的图象与x轴交于点4B

(3,0),与y轴交于点C(0,3),点P(m,n)是抛物线上的动点.

VAyjkyjk

图1图2备用图

⑴求抛物线的表达式；

⑵如图L当?n=2时，求ABCP的面积；

⑶当NPCB=15。时，求点P的坐标；

⑷如图2,点Q是抛物线对称轴上一点，是否存在点P、使APOQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,

若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由.

重难点五全等三角形存在性问题

16.（23-24九年级上•河南周口期中）如图，抛物线y二炉+加+c的顶点坐标为（一1,一4）,与x轴交于

48两点,与y轴交于点C.

⑴求抛物线的解析式；

⑵抛物线的对称轴为直线/，点尸是抛物线上一点，过点P作/的垂线，垂足为2£是/上的点，要使以

P、D、£为顶点的三角形与△力。C全等.求满足条件的点夕和点£的坐标.

17.(2024•上海模拟预测)如图，抛物线y=。/+此一3与“轴交于做-1,0),8(3,0)两点，与y轴交于点

⑴求抛物线解析式及点。坐标;

⑵点A/是y轴负半轴上的一点且ON=&，点。在对称轴右侧的抛物线上运动，连接Q。，Q0与抛物线的

对称轴交于点M连接MN,当MN平分乙OMD时，求点。坐标；

⑶如图，直线8。交抛物线的对称轴于£P是坐标平面内一点，当与△ACD全等时，请直接写出点Q

坐标.

18.（2024九年级下全国•专题练习）如图，抛物线y=/+bx+c与x轴交于4（一1,0）,B两点，与y轴交

于点C（0,-3）.

⑴求抛物线的函数解析式;

⑵已知点P(m,n)在抛物线上，当一lWm<3时，直接写出九的取值范围;

⑶抛物线的对称轴与无轴交于点M,点。坐标为(2,3),试问在该抛物线上是否存在点R使△4BP与△480

全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.

题型3特殊四边形存在性问题

«■■■■■MM■.MM■■■■■■♦MM■MM.■MM■MM・■MM・■MM■MM.■MM■

g与4I

类型一三定一动

类型二：两定一动

y-y"

【总结】平行四边形存在性问题经常呈现为:一个动点在抛物线上，另一个动点在X轴（y轴）或对称轴或

某一定直线上.设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0,则用平行四边形顶点纵

坐标公式;若在y轴上，坐标为0,则用平行四边形顶点横坐标公式.动点哪个坐标已知就用与该坐标有

关的公式.

另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条

线段为对角线分类，分三种情况讨论.这种题型，关键是合理有序分类:无论是三定一动，还是两定两动，

统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角

线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组）.这种解法，不必画出平行

四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广.其本质是

用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合思想.

重难点一平行四边形存在性问题

19.（24-25九年级上全国•假期作业）已知抛物线y=a/+加+3（。00）与x轴交于点4（—1,0）,8（3,0）,

与J轴交于点C.

(1)求Q,b的值;

⑵直线ZIIBC,且直线，与抛物线只有一个交点.

①求直线Z的表达式；

②设直线1与抛物线的交点为D,在平面内是否存在点P,使以4c,D,P为顶点的四边形是平行四边形?

若不存在，说明理由；若存在，求出点P的坐标.

20.（24-25九年级上广东湛江期中）如图，抛物线、=/+及+。与％轴交于力（-3,0）,8（1,0）两点,与y

轴交于点C连接力。.

⑴求抛物线的表达式.

⑵点尸是抛物线上位于线段力C下方的一个动点，连接力P,CP,求△APC面积最大时点P的坐标：

⑶在平面内是否存在点Q,使得以点儿B,C,Q为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所

有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.

重难点二矩形存在性问题

21.（24-25九年级上•广东广州期中）如图，抛物线丫=0^+以+^^》轴交于4B两点（点4在点8的左

边），点力、B的坐标分别是（一1,0）、（3,0）,与y轴交于点C点C的坐标是（0,3）,点。和点。关于抛物线的对

称轴对称.

⑴求抛物线的解析式；

⑵如图，直线40上方的抛物线上有一点R过点尸作FGJ.71。于点G,求线段FG的最大值；

⑶点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以4M,P,Q为顶点的四边形是以力M

为边的矩形，求点P和Q的坐标.

22.(24-25九年级上•广东汕头期中)如图，抛物线y=a/+以+c与x轴交于火一5,0),B(—1,0)两点,

与T轴交于点。(0,5).

⑴求抛物线的解析式；

⑵点P是抛物线对称轴上一点，点Q是平面内任意一点，当以4C、尸、Q为顶点的四边形是矩形时，求点P

的坐标；

⑶过点8的直线交直线4C于点M,连接8C,当直线8M与直线”的夹角等于41cB的2倍时，请直接写出点

M的坐标.

重难点三菱形存在性问题

23.(24-25九年级上广东茂名期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数丫=->2+双+，的图象与工

轴交于48点，与y轴交于点C(0,3),点8的坐标为(3,0),点P是抛物线上一个动点.

⑴求二次函数解析式；

⑵若点P在第一象限运动，过点P作轴于点儿与线段8。交于点M,当点P运动到什么位置时，线段PM

的值最大？请求出点P的坐标和PM的最大值；

⑶连接P。，PC,并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P,使四边形POPC为菱形？若存在，请直接写出

点户的坐标；若不存在，请说明理由.

24(24-25九年级上•江西南昌・期末)如图，抛物线y=-，+bx+c与丫轴交于点4(-1,0),8(3,0),与

v车日交于点C,连接8。，点P为线段BC上一个动点(不与点C8重合)，过点户作PQIIy轴交抛物线于点

C.

⑴求抛物线的表达式和对称轴；

⑵设户的横坐标为乙请用含1的式子表示线段PQ的长，并求出线段PQ的最大值；

⑶已知点用是抛物线对称轴上的一个点，点A/是平面直角坐标系内一点，当线段PQ取得最大值时，是否

存在这样的点MN、使得四边形P8MN是菱形？若存在，请直接写出点用的坐标；若不存在，请说明理

由.

25.（24-25九年级上四川自贡•阶段练习）如图，在平面直角坐标系又。丫中，已知抛物线y=+"+3

经过点做3,0）,与y轴交于点B,且关于直线x=1对称.

⑴求该抛物线的解析式；

⑵点。是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D

①当三角形ACB面积最大时，请求出点。的坐标和三角形面积的最大值.

，②在y轴上是否存在点£使得以反C。E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不

存在，说明理由.

重难点四正方形存在性问题

26.（24-25九年级上•广东广州期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线丫=。/+双+4（口工0）与x轴

⑴求抛物线的解析式;

⑵若点。是第一象限内抛物线上的一个动点，连结8C,过点。作DE1BC于点£延长DE与直线y=-2交

于点尸，求当。尸+鱼DE的最大值及此时点。的坐标；

⑶若将原抛物线绕原点。旋转180。得到新的抛物线/，。是新抛物线V上的一个动点，〃是直线y=-2上的

一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点用使得四边形OPKH为正方形？请直接写出满足条件的所

有（的坐标.

27.（2024九年级上全国•专题练习）如图1,在平面直角坐标系中，抛物线C丫=一/产+故+^:与

x轴相交于48两点，顶点为2其中力（一4衣,0）,见4\②0）,设点尸（m,0）是x轴的正半轴上一点，将抛

物线C绕点厂旋转180。，得到新的抛物线，.

⑴求抛物线。的函数解析式；

⑵若抛物线。与抛物线。在y轴的右侧有两个不同的公共点，求0的取值范围；

⑶如图2,"是第一象限内抛物线。上一点，它到两坐标轴的距离相等，点"在抛物线。上的对应点P,设

例是。上的动点，2是C上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形？若能，求出。的值；若不能，

请说明理由.

题型4其它存在性问题

28.（23-24八年级上•甘肃兰州期末）如图1,已知抛物线y=ax2+hx+c经过火一3,0）以1,0）。（0,3）三点,

⑵若点"是该抛物线对称轴/上的一个动点，求△PBC周长的最小值;

（3）如图2,若F是线段/W上的一个动点（£与4。不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点

F、交x轴于点G设点£的横坐标为四边形力。。尸的面积为S.

①求S与/77的函数关系式；

②5是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由.

29.（24-25九年级上天津滨海新期中）如图，抛物线、=。%2+取-5的图象与“轴交于4（一1,0）,巩5,0）两

点，与y轴交于点G顶点为。.

⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得AQAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标并计算的周

长；若不存在，请说明理由；

⑶设点M在第四象限，且在抛物线上，当aMBC的面积最大，求此时点M的坐标.（直接写出结果）

30.(24-25九年级上•吉林,期末j如图，已知二次函数'-2%—3的图象与x轴交于点4B,与y轴

交千点。.点夕是抛物线上一点，其横坐标为加，且点夕不与点。重合.

⑴写出点。的坐标为；线段力8的长为

⑵写出的面积=.

⑶抛物线上存在点?使△4BP的面积等于△4BC的面积，利用上面的计算结果，求点〃的坐标.

31.（24-25九年级上安徽合肥期中）已知二次函数y=（。-2）炉+（Q+3A+5的图象过点（4,5）.

⑴求该二次函数表达式；

⑵如图.若该二次函数的图象与*轴有两个公共点4B,并与动直线—=加交