高三数学一轮复习讲义（标准版）正弦定理余弦定理

§4.8正弦定理、余弦定理

【课标要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用3能利代正弦定理、余

弦定理解决一些简单的三角形度量问题.

1.正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a2=_____________；

%===2R

内容sin/llr=_____________；

?=______________

⑴a=2RsinA,

b=____________,

c=____________；cosA=________；

变形(2)sinA=^-,cosB=________；

sinB=__________»cosC=_________

sinC=__________；

(3)a:b:c=________________

2.三角形解的判断

A为锐角4为钝角或直角

C

图形

ABA补一％A'B

关系式a=hs\nAhsinA<a<ba2ba>b

解的个数一解两解一解一解

3.三角形中常用的面积公式

⑴S=gc九表示边。上的高）；

（2）5===

（3）5=（r为三角形的内切圆半径）.

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“Y”或“X”）

(I)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()

(2)在aABC中，若sinA>sinB,贝!a>b.()

(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()

(4)当〃2+c%2〉。时，△A8C为锐角三角形；当从+c%2=。时，△ABC为直角三角形；当/十。%2V。时，*

A8C为钝角三角形.()

2.已知AABC的内角4,B,C所对的边分别为小b,c,若b=6,a=\,8号，则c等于()

A.V5B.2C.V3D.3

3.在8c中，内角4,B,C所对的边分别为小b,c,若用80,〃二100,4=45。，则符合条件的三角形有

A.一个B.两个

C.0个D.不能确定

4.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=4,b=5,c=6,则cosA=,AABC

的面积为.

1.熟记△ABC中的以下常用结论：

⑴A+B+O兀，—

''222

(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

(3)大边对大角，大角对大边，0A>8=sinA>sincosA<cosB.

(4)sin(A+B)=sinC：cos(A+B)=cosC；tan(A+8尸tanC：sin^^=cospcos^^=sin|.

(5)三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccos8；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

(6)三角形的面积S=Jp(p-a)(p—b)(p-c)(p=+b+c)).

⑺在斜△AAC中，tan4+tanB+tanC=tanAtan/?tanC.

2.谨防两个易误点

(1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解.

(2)求用时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断.

题型一利用正弦、余弦定理解三角形

例1⑴(2025・重庆模拟)在△A4C中，内角A,B,C的对边分别为mb,c,且从+d+3=a2若庆历,

«=3V2sinB,则C等于()

B.-C-

,8

（2）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若68,c=3,71=60°,则此三角形外接圆的半径

R等于（）

A随B芋cZ吟

•3J3

思维升华应用正弦、余弦定理的解题技巧

（I）求边：利用正弦定理变形公式等或余弦定理求解.

sinB

（2）求角：利用正弦定理变形公式sin4二嘤等或余弦定理的推论求解.

D

（3）利用式子的特点转化：如出现〃+/元：2y时的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式

用正弦定理.

跟踪训练1⑴（2025・八省联考）在中，BC=8,AGIO,cosZBAC=1,则△ABC的百积为（）

A.6B.8

C.24D.48

（2）（多选）在△ABC中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c.已知。+410,c=5,sin2B+sinB=0,则

下列结论正确的是（）

A.a=3B.b=7

C.B=60°D.sinC=—

14

题型二正弦定理、余弦定理的简单应用

命题点1三角形的形状判断

例2在中，内角4,B,C所对的边分别是a,b,c,若cocos3=（2时）cos4,则△ABC的形状

为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

命题点2三角形的面积

例3（2024.武汉模拟）在△A8C中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若8=芋，b=6,

4

«2+C2=2V2«C,则△ABC的面积为.

命题点3与平面几何有关的问题

例4已知。是RtZLABC斜边AC上一点，AC=V3DC.

则叫+sina=sin")

ABACAD

3.中线长定理

在△AB。中，AO为8C边上的中线，贝ljAB2+AC2：=2(AD2+OC2).

典例⑴在△A8C中，角A,4，C所对的边分别为atb,c,若a=7,b=S,c=9,则4c边上的中线长

为.

(2)在aABC中，角A,8,。所对的边分别为a,b,c,A。是/84C的角平分线，若NR4C=弓，AO=28，

贝ij2Z?+c的最小值为.

答案精析

落实主干知识

肃b^2beosA

sinBC

c2+a2lcacosBa2+b22abcosC

2/?sinB2/?sinC——

2R2R

sinA：sin8：sinC

后+。2_/C2+M_MM+b2_c2

2bc2ac2ab

3.(2)^absinCgacsinHg/xsinA

(3)|r(«+b+c)

自主诊断

l.(l)X(2)7(3)X(4)X

2.B3.B4.--

44

探究核心题型

例1(1)D［在△48C中，由/+J+bc=/及余弦定理，可得cosA二匕弟竺弓，

由0<.4<7T,可得A=y,

又b=n,(/=3V2sinB,

+但•nbsinA布sin芋近段1

由正弦理付===

/EsinB=---a--_3V/x2s.in_B_3pvr2s.in_B_2s.m£_?.

又sinB>0,解得sin又当,

又0<6吟,因此，

所以C=TL48*

(2)D［因为b=8,c=3,A=60°,

PjfUa2=b2+c22bccos4=64+92X8X3X1=49,所以a=7,

所以此三角形外接圆的直径2/?=号二卷=哗，所以R=竽.］

s\nAv333

2

跟踪训练1(1)C［由余弦定理得BC2=AC2+AB22ABACeosZGSP64=100+/t/?22ABX10X-,

5

・・・A8?12AB+36=0,

/MB=6,：.AB2+BC2=AC\・•・A8_L8C,

BC=1X6X8=24.|

(2)ABD［由sin2B+sinB=0,得

2sinSeos8+sin8=0,

因为在△ABC中，sin,

得cosB二：,

由余弦定理b2=a2+c22accosB,

得加=4+522x4><5乂(-3,

因为b=10a,所以(10o)2=a2+522XaX5X(—m,解得a=3,所以/k7.

由cosB=^,得B=120°,

贝ijsinB与

由正弦定理得sinC=^sin5=1x］

例2D［方法一因为cf/cos/?=(2r?/>)cosA,

C=n(A+B),

所以由正弦定理得sinCsinAcosB

=2sinAcosAsin8cosA,

所以sinAcos8+cosAsinfisinAcosB

=2sinAcosAsin8cosA,

所以cosA(sinBsinA)=0,

所以cosA=0或sin8=sinA,

所以或B=A或8=TL4（舍去），

所以AABC为等腰或直角三角形.

方法二因为cacosB

=(2«/?)cosA,

由余弦定理得必安

222

s,Ab+c-a

二(2⑼

化简得(ROS'd/AO,

所以ab=O或Z?2+c2a2=O,

所以a=b或b2+c2=a2,

故△A8C为等腰或直角三角形.]

例33

解析由余弦定理得b^+^accosB,

即36=a2+c2+>/2ac

=2y/2iic+V2ac=3y/2ac,

所以(vc=6x/2,

所以△A8C的面积

Smcsin%X6&X*3.

例4(1)120°(2)72

AC_DC

解析(1)在△AOC中，由正弦定理得

sinzjlOCsinzD/lC

/ICsin4OAC

所以sinZ/4£)C=

DC

又/ADC=B+/BAD

=B+(90°ZDAC)

=B+60°>60°,

所以/AOC=120。.

⑵由BD=2DC,且DC=1知BC=3,

又AC=V3DC,则AC=V5,

所以RtAABC中，cosC=^=v,

BC3

在△4OC中，由余弦定理得

AD2=AC2+DC22ACDCCOSC=(V3)2+12V3XIXy=2,

所以AD=V2.

跟踪训练2(1)等边三角形

解析因为当=2,

sinBc

所以售9,所以b=c.

又(Z?+c+a)S+c〃)=3Z?c,

所以b2+c2a2=bc,

诉卜)b2+c2-a2be1

所以cosA=——-----

2bc2bc2

因为AE(0,兀)，所以A=5,

所以AA8c是等边三角形.

⑵解①由余弦定理有a2+b2c2=2al)cosC,

因为a2+b2c2=V2ah,

所以cos,

因为Ce(o,兀)，所以sin。。，

从而sinC=V1—cos2C

FW

又因为sinC=V2cosB,

即cos,

又8£（0,兀），所以

J

②由①可得,cosC=?,C£（o,n）,

从而C=-,sinA=sin（B+Q

4

=sin（7+Z）

>/3^>/2lV2_V6+V2

-A1—Xv——--------.

22224

方法一由正弦定理有当二人，

sinjsin-

从而/>=y-V2（?=Yc，

由三角形面积公式可知，

△48C的面积可表示为

5.MBC=1/?c-sinA

1遍V6+V23+V32

=----C-C-------=-----C,

2248

由已知△A8C的面积为3+V3,

可得竽（2=3+g,所以C-2V2.

O

方法二记R为△A8C外接圆的半径，

由正弦定理得

Sxx'bs