高三数学一轮复习讲义（教师标准版）等比数列

§6.3等比数列

【课标要求】1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等比数列前〃项和公式，

理解等比数列的通项公式与前〃项和公式的关系3能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相

应的问题4体会等比数列与指数函数的关系.

1.等比数列有关的概念

(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于圆二仝常数，那么这个

数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母4句£0)表示.

(2)等比中项：如果在。与〃中间插入一个数G,使小G,b成等比数列,那么G叫做。与b的等比中

项，此时,G2=ab.

2.等比数列的通项公式及前〃项和公式

(1)若等比数列伍〃｝的首项为公比为q,则其通项公式为4尸勾心.

(2)等比数列通项公式的推广：。产

⑶等比数列的前〃项和公式：当9=1时，S,尸〃小；当gNl时，S尸岑沪二巴言与

3.等比数列的常用性质

⑴若加+〃=p+q,则61mg，尸andq,其中切，”，p,特别地，若2卬=〃?+〃，则a”1a“二成,,其中〃z,〃，

卬£N*.

(2)以，Clk+m，。4+2〃”…仍是等比数列,公比为武(&,"PN)

(3)若数列｛〃”｝,｛乩｝是两个项数相同的等比数列，则数列｛•“｝,｛pm皿〃｝和｛效｝也是等比数列s，P，

疗0).

(4)若或｛葭qZ1,则等比数列｛〃”｝递埴

若能「1或糕;则等比数列㈤递减.

4.等比数列前〃项和的常用性质

若等比数列｛〃“｝的前〃项和为S”，则S,”£9仍成等比数歹U(公比4=1且〃为偶数除外)・其公

比为二.

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打或"X”)

(1)等比数列的公比4是一个常数，它可以是任意实数.(X)

(2)三个数。，匕，c成等比数列的充要条件是6=".(X)

(3)数列伍“｝为等比数列，则54,58s4,52的成等比数列.(X

（4）对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积.（q）

2.（2025・临汾模拟）在等比数列｛〃”｝中，。产1,的=4,则s等于（）

A.2B.B2C.±2D.2V2

答案A

解析由等比数列的性质可知，

退=4「45=4,所以的=±2,

又因为%=/>0,所以43=2.

al

3.（多选）设数列｛小｝是各项均为正数的等比数列，贝U（）

A.a3,侑，成等比数列

B.｛碎｝是等比数列

C｛lg小｝是等比数列

D.｛^｝是等比数列

答案ABD

解析设等比数列｛〃“｝的首项为⑶，公比为q（q*0）.

对于A,Q上（Qiq4）2=Q滴8,6,。7=（。4>3成）=/48,所以忌=的。7,则。3,“5，成等比数歹J,A正确；

对于B,因为金二炉,所以｛嫌｝是等比数列，B正确；

an

对于C,不妨设等比数列伍〃｝为斯=1,贝IJIga产0,所以｛1g斯｝不是等比数列，C错误；

对于D,因为耍二痣三，所以均是等比数列，D正确.

an0,1+1q°n

11

4.在等比数列｛an｝1,。产3,0+43+05=21,则cn+a9=.

答案72

解析设等比数列｛“,｝的公比为夕，

因为<71=3,且0+。3+的=21,

可得“I（l+q2+q4）=21,解得/=2,

所以<”+。9=。1"+，/）=24。1=72.

解题时关注三个关键点

（1）当qWO,且夕W1时，S产然•/（&¥（））是｛斯｝是等比数列的充要条件，此时会詈.

(2)由小+尸的〃，尸0,并不能立即断言｛m｝为等比数列，还要验证m关0.

(3)在运用等比数列的前〃项和公式时，必须注意对q=\与q尹1分类讨论，防止因忽略<7=1这一特殊情形

而导致解题失误.

题型一等比数列基本量的运算

例1(1)(2023•全国甲卷)设等比数列仅〃｝的各项均为正数，前〃项和为S”，若m=l,S5=5S3%则工等

于()

A号B*C.150.40

答案C

解析方法一若该数列的公比于1,代入SS=5S34中,

有5=5X34,不成立，所以q丰1.

由芸=5X皆，

化简得q45q2+4=0,

所以/=1(舍域/二4,

因为此数列各项均为正数，

所以47=2,所以S尸F~=15.

i-q

方法二由题知l+q+/+/+g4=5(l+q+/)4,

即(f^(f=4q+4q2,

即/+/4夕4=0,

即(q2)(q+l)(q+2)=0.

由题知c/>0,所以行2.

所以$4=1+2+4+8=15.

(2)我国明代的数学家、音乐理论家朱载埴创立的十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二

平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数,

如表所示，其中⑶，痣，…，03表示这些半音的频率，它们满足log2(詈)”=1(：1，2,…，12).若某

一半音与小的频率之比为VL贝！该半音为()

频率a\©43«5由〃8。9。10a।an«13

由Z?5=8/?2,则k=8,解得疔2,

ni

又斥1,所以bn=2,

所以刀尸安户;12〃，

代入(12〃)S尸〃(〃+1)乙，

解得Stl=n(fi+1),

当n=\时,a\=S\=2,

当〃22,〃£N"时，an=SnSni=n(n+1)n(n1)=2n,

。产2满足上式，所以斯=2〃，”£N*.

题型二等比数列的判定与证明

例2(1)(多选)已知数列｛〃“｝的前〃项和为S”，下列说法正确的是()

A.若X=ac,则a,Ac成等比数列

B.若｛/｝为等差数列，贝1」｛2而｝为等比数列

C.若S”=3〃l,则数列｛小｝为等比数列

D.若见=1,42=2,3a〃+i=an+2an+2(nWN"),则｛1斯｝为等比数列

答案BCD

解析对于A,当a=b=c=O时，/=讹，此时a,btc不成等比数列，故A错误；

对于B,若他〃｝为等差数列，设其公差为d,则此时有*=2。“+、-刖=2冬0,所以数列｛2。“｝为等比数列，

故B正确；

，，

对于C,若Sn=3\,则671=51=2,

an=S$n=3T(3叫)=3"3川=2・3川(〃22),

。尸2显然满足。〃=23",

所以数列｛斯｝为等比数列，故C正确；

对于D,因为3%+|=。"+2如+2,

所以2(诙+2MH)(。〃+心)=0,

而a\=\,s=2,

因此数列｛斯+以“｝是首项为1,公比为3的等比数列，故D正确.

(2)(2024•福州模拟)已知数列｛m｝的首项且满足为+尸鼻.

52。八十1

①求证：数列W-2｝为等比数列；

②若上+三+三+…+工＜2025,求满足条件的最大正整数几

G10-2a3an

①证明由斯+产谷，

得」一二1+：.工,贝I］」-2二；(-^—2),

a2a

n+i2an«n+i^n)

又。尸三，—2=-^0,

5alz

所以数列｛今-2｝是以押首项，押公比的等比数列.

②解由①可得22=6)"，

所%©+2,

则升力…£=G+；+",”+/)+2"=^^+2"=$+2",

由＜2025,

aia2a3an

得哈+2〃＜2025,即2碌＜2024,

又函数尸2磕为增函数，

所以满足2碌＜2024的最大正整数为1012.

思维升华等比数列的四种常用判定方法

(1)定义法：若」匕=幽为非零常数，且〃22,〃£N"),则｛〃”｝是等比数列.

an-l

(2)等比中项法：若在数列｛为｝中，斯W0且若+1=«q+2(〃£N"),则｛小｝是等比数列.

(3)通项公式法:若数列｛%｝的通项公式可写成。产的“。,g均为非式常数,〃£N"),则｛〃“)是等比数列.

(4)前〃项和公式法：若数列｛〃”｝的前〃项和S产W%伏为常数，且—0,少0,1),则伍”｝是等比数列.

跟踪训练2(2024•昆明模拟)已知数列｛a〃｝满足a“(a”i+3a”+i)=4a"U"+i(〃22,〃eN"),且q=1,

4

⑴证明：数歹I」｛亡一3是等比数列；

(2)求m”｝的通项公式.

⑴证明•.'a”(a〃i+34〃+i)=4a”i«r+i(〃22,〃£N'),

a，ra”i+a”.3a〃+i=4a”i4n+i,

又工工=41=3X0,

a2

・•・数列1二一一三）是首项为3,公比为3的等比数列.

1即+1QnJ

⑵解由（1）得二一工二3X3"匚3”，

即+ian

当g2时，（_L_二）十（上_上）+…十（工—工）_3,〃+3〃2十…+3^^P-不，即工工一号,

\CZyiQn-］，\。八一］。八一2，\。2Q］，1-32QRQ12

.13n-313n-3,3n-l

..----+—=----F1=----,

a”2al22

2

•・a=

tl3n-l

又6/i=1也满足上式，

・•・数列｛斯｝的通项公式为。行亳.

题型三等比数列的性质

命题点I项的性质

例3（2023•全国乙卷）己知｛a”｝为等比数列，42as5=。3。6,。必0=8,则勿=

答案2

解析方法一伍“｝为等比数列，

••。4。5=〃3。6,••。2=1,

又。2。必10=。747。7,1X（8）=（a7）3,

/.«7=2.

方法二设｛小｝的公比为今（夕之0）,

贝lj42614a5=。3。6=。2夕显然。“#0,

则出=炉,即。4=/,则qq=］,

,.,。9的0=8,则。q％闯9=8,

则步（炉）3=8=（2）3,

则寸=2,则ai=a\q-（f=（f=2.

■微拓展,

下标和相等的等差(比)性质的推广

(1)若数列｛斯｝为等比数列，且加+闭2+…+加产-+漫+…,则。叫由712,…,…以心

(2)若数列｛%｝为等差数列，且,〃|+加2+…+，〃产左+k2+…+左〃，贝1。叫+。血2+…+Qmn=Qk]+Qk2+，..+Qtn.

典例已知等差数列｛小｝,S”为前〃项和，且砌=5,S8=16,则与产.

答案33

解析S产誓也=16一•・0+48=4,

又,•,约+41+。8=3。6,«6=3,

故$1=1106=33.

命题点2和的性质

例4⑴设S”是等比数列｛为｝的前〃项和，若S2=2,43+44=6,则各等于()

A.7.R-C3D—

44

答案D

解析由题意得S2=2,S4s2=6,54=S2+6=8,且等比数列｛〃”｝的公比qHl,

则52,S4s2,S6s4成等比数列，

2

故⑸-S2)2=S2(S6s。,即6=2(568),

解得义=26,故衿白停.

84

⑵已知等比数列伍”｝有2〃+1项，。尸1,所有奇数项的和为85,所有偶数项的和为42,则〃等于()

A.2B.3C.4D.5

答案B

解析因为等比数列｛m｝有2/2+1项，则奇数项有〃+1项，偶数项有〃项，设公比为q,

得到奇数项的和为1+42+^+…+夕2〃=1+式妙媪+炉+…+/"1)=85,

偶数项的和为,/+/+炉+…+4""=42,整体代入得q=2,

所以前2/z+l项的和为:二85+42=127,解得“3.

1—2

思维升华(1)在解决与等比数列有关的问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若〃?+〃=p+g,

则小〃产的为“，可以减少运算量，提高解题速度.

（2）在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外,解题时注

意设而不求思想的运用.

跟踪训练3（1）（多选）下列说法正确的是（）

,l[

A.若等比数列｛m｝的前n项和Sn=2+t,则/=1

B.若｛知｝为等比数列，且。2。7+。3。6=6,则a\（12（13,•,m=81

C.若数列｛小｝为等比数列，S”为其前〃项和，则S”，S2〃S〃，S3S”，…成等比数列

D.项数为奇数的等比数列｛〃”｝,a=2,S*=翌，S俄W，则公比“二；

答案BD

解析对于A,因为S尸2吗七旧X2",由等比数列的前〃项和公式S,尸财产二鲁鲁/,知仁；，所以A

2l-ql-ql-q2

错误；

对于B,由〃2。7+。3々6=6,得到。2。7=。3a6=3,所以4以2。3…。8=（。2。7）4=81,故B正确；

对于C,当夕=1,〃为偶数时，5„=0,显然S,,,S2nSn,S3,5”，…不成等比数列，所以C错误；

对于D,设数列｛知｝共有2m+1项,由题意得S奇=。1+。3+…+。2小尸翌，S偶=。2+。4+…+侬=2，贝US奇

3216

二。|+。2</+…+。2〃q=2+式。2+。4+…+。.）=2+2<7=粤，解得出,故D正确.

165LZ

（2）（多选）设等比数列｛〃“｝的公比为外其前〃项和为S”前〃项积为〃，且满足条件0>1,〃202M2025>1，

（〃2024l）（。20251）<。，则下列结论正确的是（）

A.｛"“｝为递减数列

B$2024+」VS2025

C.T2W4是数列｛〃｝中的最大项

D.T4c49>1

答案AC

解析由（。20241）（。20251）<0,

得（。2024-1>°，或[。2024-1V。，

寸1。2025-1<。1^2025-1>0,

*.*«202402025>1，

，放024和42025同号，且一个大于1,一个小于I.

Vd1>l,.*.«2024>1»0<«2025<1.

即数列伍“｝的前2024项都大于1,而从第2025项开始都小于I,公比行”照<1,且g>0.

a2024

尸为减函数，

故｛小｝为递减数列，故A正确；

,**C12O25<1,二・42O25=S2025s2024<1,

即^2024+1>51025.故B错误；

等比数列｛斯｝的前〃项积为Tn,且数列｛〃〃｝的前2024项大于1,而从第2025项开始都小于1,故乃024是

数列｛。｝中的最大项，故C正确；

74049=^1^2^3***^4049=02025»

:。2025<1,・•・蟾然<1,即。049<1,故D错误.

课时精练

［分值：90分］

知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.（2024•北京模拟）已知数歹U｛如｝中，ai=l,——=0,S〃为其前“项和,则Ss等于（）

anQn+i

A.—B.—C.llD.31

1616

答案B

解析由巳工=（）得皿二，

anan+ian2

又,

・•・数列｛为｝是首项为1,公比为：的等比数列，

2.（2025・廊坊模拟）已知等比数列｛小｝的前〃项和为S”由+内+的=1，S+G+46=2,贝1JS12s6等于（）

A.18B.54C.128D.192

答案D

解析设等比数列｛斯｝的公比为q,

则3+。3+〃5）<7=。2+。4+。6,解得4=2.

Si2s6=。7+制+…+。12=(。|+。2+…+。6)X26=3X26=192.

3.(2025•哈师大附中模拟)已知等比数列｛m｝的前〃项和为工，若等三，则必等于()

$6453+S6

4

A.-B.8C.9D.I6

3

答案B

解析设等比数列｛斯｝的公比为q,由法;，得S$=3S3,则/二游二3,

S

64S3

又£为｛%｝的前〃项和，贝US3,S&,s9s6,S|2s9成等比数列，公比为六3,

于是&2=S3+(S6s3)+(S9s6)+⑸2s9)=S+3s3+32S3+3-4=40S3,

所以言•=7M=8.

S3+S6S3+4S3

4.(2023・新高考全国II)记&为等比数列｛为｝的前刀项和,若$4=5,S6=2152,则§8等于()

A.120B.85C.C.85D.120

答案C

解析方法一设等比数列｛”“｝的公比为q,首项为0，

若疔1,贝ljS6=6«I=3X26/1=352,不符合题意，所以qWl.

由S4=5,S6=21S2,可得号也二5,

i-q

:2]乂％。-/)

①

l-q1-q

由①可得，1+/+/=21,解得可=4,

所以S8="y="y<1+夕4)=5X(1+16)=85.

方法二设等比数列｛知｝的公比为q,

因为S4=5,S6=21S2,

所以产1,否则S4=0,

从而S2,S4s2,S6s4,S8§6成等比数列，

所以(5S2)2=S2⑵S2+5),

解得s=\或S2M,

24

当52=1时，S2,S4s2,S6s4,S8s6,

即为1,4,16,SB+21,

易知58+21=64,即58=85；

当§2=；时，5产〃1+。2+。3+。4=31+。2)[1+夕2)=(1+42)52>0,

与54=5矛盾，舍去.

综上,58=85.

5.在流行病学中，基本传染数Ro是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平

均传染的人数.Ro•般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，

假设某种传染病的基本传染数&=4,平均感染周期为7天，那么感染人数由1(初始感染者)增加到3333大

约需要的天数为(初始感染者传染他个人为第一轮传染，这Ro个人每人再传染R。个人为第二轮传染……参

考数据：1g2-0.3010)()

A.42B.43C.35D.49

答案A

解析设第〃轮感染的人数为小，前〃轮感染的总人数为S”，则数列｛斯｝是首项。尸4,公比4=4的等比数

列，

由S〃M=4x(i-4")+]23333,

1-4

可得4田210000,

两边取对数得(2〃+2)lg224,

所以"降温7余6.64,心5.64,

所以感染人数由1增加到3333需要6轮传染,故需要的天数约为6义7=42.

6.(2025•遵义模拟)若数列｛斯｝满足〃弓，且对任意正整数p,夕都有勾衍(；+加”则荒等于()

A.4B.—C.6D.—

33

答案B

解析由

得(p+q)a…尸/)即勺旬,

令历尸〃斯(〃£N’),

依题意，对任意正整数〃，都有b”q=bpbq,

令p=l,c/=n(nN'),

则,瓦+尸。力〃，

而b\=a\=^,即〃”+尸物，

因此数列｛九｝是以;为首项,；为公比的等比数列，瓦=「,即〃即二,%二2,

222"2"71・2"

所以厘喘寺.

as6x263

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.(2024・黄冈模拟)数列｛〃”｝满足苗=1,S“=3a〃(〃22),则下列结论中正确的是()

A.若

B.｛小｝是等比数列

D.S产(旷\心2

答案AC

解析由Su=3a”(〃22),当n=2时，5尸。尸3〃2=1,解得。2音，故A正确；

当〃21时，可得S“=3a„+i,所以SuSm=3an+i3a”(〃22),所以⑶=3%+13。“(〃22),即即,而

色二；的，故C正确，B不正确；

因为SH।=a।+«2+«3+,,,+6/w।=1+——自~^=([)，心2,故D错误.

8.设等比数列｛〃”｝的前〃项枳为T”,卜列命题为真命题的是()

A.若7>1,恁=2,则为=16企

B.若八=32,则。2+。3=3

C.若。2a3=2,则AA=8

D.若7>32,则|。2|+同力4

答案BD

解析对于A,易知73二境，Ts=al,T()=al,

若73=1,则。2=1,

又因为6/8=2,所以a5=±y/a2a8=±y/2,

所以7^=(±V2)9=±16V2，故A错误；

对于B,若八=1,75=32,贝ijs=l,6=2,所以6+6=3,故B正确；

对于C,若。2。3=2,则73八二Q加「（Q2a3尸追=8送，故C错误；

对于D,若公=32,则43=2,所以㈤+ki|22j|Q211a4卜2闹卜4,当且仅当|同二|如1=2时等号成立，故D正

确.

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.（2025・南阳模拟）己知等比数列⑷的前〃项和为S”且引=9,38+4=的，贝U所.

答案32

解析设等比数列仅“｝的公比为《，

则*三*1+六9,解得疔2,

又因为3。3+4=«5,得12ai+4=16«i,

解得“1=1,所以恁=aq'=32.

10.在等比数列｛a”）中，々|+。2+。3+出+。5=¥，&3=；，贝ij工■」■+工+工+工=

44aia2a3a4a5--------

答案44

解析设公

Qia2a3a4a5

则2刀二（上+-）+（-+->（-+二）+（2+-）+（-+-）

a5/\a2a4/\a3a3J\a4a2/\asa^J

二曲+05।刀2+04103+。3|即+04]即+的=23+02+。3+々4+/5）二2x（一不）二gg

aiasa2a4a3a3a2a4。通5送（一；）？

所以八=44.

四、解答题（共27分）

11.（13分）（2024•南昌模拟）已知数列｛〃“｝的前〃项和为S”且满足ci\=\,例=3,an+an+2=kan+\.

（I）当42时，求So；（5分）

（2）若上|,设〃〃=斯+12%，求｛/?”｝的通项公式.（8分）

解⑴当^=2时，有an+an+2=2a,^\,

即。〃+2。〃+1二斯+1%,所以｛a”｝为等差数列，

设其公差为d,

因为<71=1,④=3,所以d=aza\=2,

所以Sio=lX10+^X2=100.

⑵当上三时，。”+2=法+1如，

11]

所以a„+22an+1=-an+1a„=-(all+12a,^),即bll+\=-bn,

且仇=。22如=1,所以｛儿｝是以1为首项，;为公比的等比数列，

所以—(「名产

12.(14分)(2025・池州模拟)记工为数列他”｝的前〃项和，己知治二斯咛，〃尸2.

n2

(I)求｛知｝的通项公式;(6分)

(2)令瓦=21一%,求加励力3+・・・+(1)"求儿+|.(8分)

解(1)・・・1=小+个，

n2

/.2Sn=2na,1+n(1n),

・•・当时，2Sn1=2(n1)ani+(n1)(2n),

则2(S„Sn\)=2nan2(n1)丽+2(1n),

化简得。必尸1(心2),

又,.,〃1=2,

・・・｛小｝是以2为首项，1为公差的等差数列，

an=n+