高考数学一轮复习题型突破：统计（原卷版）

专题10.1统计

三I题型目录

题型一随机抽样

题型二统计图表

题型三频率分布直方图

题型四计算众数、中位数、平均数

题型五计算标准差及方差

题型六均值及方差的性质

题型七总体百分位数的估计

才典例集练

题型一随机抽样

例I.（2023•江苏•高三专题练习）（多选）某学校高三年级学生有500人，其中男生320人，女生180人.为

了获得该校全体高三学生的身高信息，现采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm）,

计算得男生样本的均值为174,方差为16,女生样本的均值为164,方差为30.则下列说法正确的是（）

A.如果抽取25人作为样本，则抽取的样本中男生有16人

B.该校全体高三学生的身高均值为171

C.抽取的样本的方差为44.08

D.如果已知男、女的样本量都是25,则总样本的均值和方差可以作为总体均值和方差的估计值

2.（浙江省嘉兴市2022-2023学年高二上学期期末数学试题）某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，

产量分别为8（）件、60件、6（）件.为了检验产品的质量，现按分层抽样的方法从以上所有产品中抽取5（）件进

行检验，则应从丙型号产品中抽取（）

A.10件B.15件C.20件D.30件

举一反三

练习1.（2023春・河南开封・高三河南省杞县高中校联考阶段练习）（多选）下列情况不适合抽样调查的有（）

A.调查一个县各村的粮食播种面积

B.了解一批炮弹的杀伤直径

C.了解高三（1）班40名学生在校一周内的消费

D.调查一批鱼苗的生长情况

练习2.（2023・江苏•高三专题练习）（多选）在分层随机抽样中，每个个体等可能地被抽取，下列说法错误

的是（）

A.每层的个体数必须一样多

B.每层抽取的个体数相等

C.每层抽取的个体数可以不一样多，但必须满足〃=〃・N七■"=1,2,…，k）,其中i是层数，〃是样本量,

N是第i层所包含的个体数，N是总体容量

D.只要抽取的样本量一定，每层抽取的个体数没有限制

练习3.（2023・高三单元测试）为了解学生身高情况，某校以10%的比练习对全校700名学生按性别进行分

练习4.（2023春・山东枣庄•高三枣庄八中校考阶段练习）用分层抽样的方法从某高中学生中抽取1个容量

为45的样本，其中商三年级抽20人，高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生.

总数为（）

A.900B.1100

C.1200D.1350

练习5.（2023•全国•高三专题练习）现要用随机数表法从总体容量为240（编号为001到240）的研究对象中挑

选出50个样本，则在下列数表中按从左至右的方式抽取到的第四个对象的编号为（）

3245174491145621651002456896405681655464416308562105214845131254102145

A.5B.44C.165D.210

题型二统计图表

例3.（2023春・全国•高三专题练习）（多选）光明学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校

所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数

少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则（）

A.选取的这部分学生的总人数为500人

B.合唱社团的人数占样本总量的40%

C.选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人

D.选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125

例4.（2023・甘肃张掖・高台县第一中学校考模拟预测）2022年，我国彩电、智能手机、计算机等产量继续

排名全球第一，这标志着我国消费电子产业已经实现从"跟随''到"引领”的转变，开启了高质量发展的新时

代.如图是2022年3月至12月我国彩电月度产量及增长情况统计图（单位：万台，%）,则关于这10个月

的统计数据，下列说法正确的是（）（注：同比，即和去年同期相比）

D.2022年正月初四的车流量小于20万车次

练习7.（2023・高三课时练习）在考试测评中，常用难度曲线图来检测题目的质量，一般来说，全卷得分高

的学生，在某道题目上的答对率也应较高，如图是某次数学测试压轴题的第1,2问得分难度曲线图，第1,

2问满分均为6分，图中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1,2问的平均难度，则下列

说法正确的是（）

难度曲线♦第1问♦第2问

A.此题没有考生得12分

B.此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏

C.分数在［40,50）的考生此大题的平均得分大约为4.8分

D.全体考生第1问的得分标准差小于第2问的得分标准差

练习8.（2023•江西鹰潭・贵溪市实验中学校考模拟预测）下图反映2017年到2022年6月我国国有企业营业

总收入及增速统计情况

2017年到2022年6月国有企业药业总收人及增速统计图

根据图中的信息，下列说法正确的是（）

A.2017-2022年我国国有企业营业总收入逐年增加

B.2017-2022年我国国有企业营业总收入逐年下降

C.2017-2021年我国国有企业营业总收入增速最快的是2021年

D.2017-2021年我国国有企业营业总收入的平均数大于630000亿元

练习9.（2023・河南•校联考模拟预测）如图为近一年我国商品零售总额和餐饮收入总额同比增速情况折线图,

根据该图，下列结论正确的是（）

（%）

40

20

0

-40

-40

2022年3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月2023年

1・2月1・2月

A.2023年1—2月份，商品零售总额同比增长9.2%

B.2022年3—12月份，餐饮收入总额同比增速都降低

C.2022年6—10月份，商品零售总额同比增速都增加

D.2022年12月,餐饮收入总额环比增速为-14.1%

练习10.（2023・江苏•高三专题练习）随着经济的发展和人民生活水平的提高，我国的旅游业也得到了极大

的发展，据国家统计局网站数据显示，近十年我国国内游客人数（单位：百万）折线图如图所示，则下列结论

不正确的是（）

7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000

0

2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年2021年

---------国内游客（百万人次）

•--------城镇居民国内游客（百万人次）

•......•农村居民国内游客（百万人次）

A.近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数

B.近十年，城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差

C.近十年，农村居民国内游客人数的中位数为1240

D.2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加

题型三频率分布直方图

例5.（2023・全国•高三专题练习）（多选）样本容量为100的样本，其数据分布在［2,网内，将样本数据分为

4组：［2,6）,［6,10）,［10,14）,［14,18］,得到频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是（）

A.样本数据分布在［6,10）内的频率为0.32

B.样本数据分布在［10,14）内的撅数为40

C.样本数据分布在［2,10）内的频数为40

D.估计总体数据大约有10%分布在［10,14）内

例6.（2023春・山东枣庄•高三枣丘八中校考阶段练习）（多选）某学校为普及安全知识，对本校1500名高

三学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动（满分为100分）.现从中随机抽取100名学生的得分进行统

计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是（）

B.该校高三至少有80%的学生竞赛得分介于60至90之间

C.该校高二学生竞赛得分不小于90的人数估计为195人

D.该校高三学生竞赛得分的第75百分位数估计大于80

举一反三

练习11.（2023.云南.校联考三模1（多选）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重,

经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分

布直方图，则（）

B.这100名学生中体重低于60千克的人数为80

C.估计这100名学士.体重的众数为57.5

D.据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25

练习12.（2023•高三单元测试）某中学举行了一次“环保知识竞器”，全校学生参加了这次竞赛.为了了解本

次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计.请根

据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题:

频率分布表

组别分组频数频率

第1组[50,60)80.16

第2组[60,70)a

笫3组[70,80)200.40

第4组[80,90)0.08

第5组[90,100]2b

合计

频率分布直方图

⑵在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识

的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学中至少有I名同学来自第5组的概率.

练习13.（2023春・湖南•高三校联考阶段练习）某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意致匠心，技能

动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之

间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法错误的是

)

A.在被抽取的学生中，成绩在区间190,100）内的学生有160人

图中x的值为0.020

C.估计全校学生成绩的中位数约为86.7

这400名学生中成绩在80分及以上的人数占得

D.

练习14.（2023春•全国•高三专题练习）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据

绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在120,130）,[130,140）,[140,150）三组内的学生中，用分层抽样

的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150）内的学生中选取的人数应为（）

练习15.（2023・高三课时练习）某校1。0名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示；其中成绩

分组区间是[50,60）,[60,70）,[70,80）,180,90）,[90,100].

(1)求图中〃的值；

(2)若这10()名学生语文成绩某些分数段的人数。)与数学成绩相应分数段的人数⑶)之比如表所示，求数学

成绩在［50,90)之外的人数.

分数段[50,60)[60,70)[70.80)[80,90)

1:12:13:44:5

题型四计算众数、中位数、平均数

例7.(2023春•上海浦东新•高三上海市建平中学校考阶段练习)某中学举行了一次“环保知识竞赛为了解

参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了5()名学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)作为样本进

行统计，按照［5Q6O),［6O,7O),［7O,8O),［8O,9O)J9O/OO］的分组作出如下的频率分布直方图.

(1)若x=0.03,估计本次竞赛学牛成绩的平均数(同一组中的数据用组中俏代表)：

V

(2)若样本中位于［90,100］的成绩共有2个，一=7.5,估计本次竞赛学生成绩的中位数.

y

例8.(2023春•上海杨浦・高二上海市杨浦高级中学校考开学考试)已知文是1,2,x,4,5这5个数的中位

4

数，又知T,5,-一，y这四个数据的平均数为3,则%+)，的最小值为.

举一反三

练习16.（2023・全国•高三专题练习）（多选）某产品售后服务中心选取了20个工作日，分别记录了每个工

作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）:

63382542564853392847

45525948416248505227

则这组数据的（)

A.众数是48B.中位数是48C.极差是37D.5%分位数是25

练习17.（2023春•贵州黔东南•高三校考阶段练习）已知a>b>0,若数据1,2,3,，，，〃的中位数与平

均数均为“，则点夕①⑼（)

A.在直线x-y=o右下方,在直线标7—3=0右下方

B.在直线左上方,在直线3x-.y-3=0左上方

C.在直线x-），=0右下方,在直线3x-），-3=0左上方

D.在直线x-）=0左上方，在直线3x-y-3=0右下方

练习18.（2023春.重庆沙坪现•高二重庆一中校考期中）卜.图是根据某班学生体育测试成绩画出的频率分布

215

C.73D.——

3

练习19.（2023春•陕西安康・高三陕西省安康中学校考阶段练习）某高中体育教师从甲、乙两个班级中分别

随机抽取女生各15名进行原地投掷铅球测试，并将每名学生的测试成绩制成如图所示的茎叶图.以样本估计

总体，下列说法错误的是（）

甲乙

995.699

8656.778

87547.56688

83218.345

329.1

A.甲班女生成绩的中位数与乙班女生成绩的中位数大致相同

B.从甲班女生中任取1人，她的成绩不低于8.2的概率大于0.2

C.乙班女生成绩的极差大于甲班成绩的极差

D.乙班女生成绩不低于7.5的概率约为0.6

练习20.（2023春・山东滨州•高三山东省北镇中学校联考阶段练习）某高校为了对该校研究生的思想道德进

行教育指导，对该校120名研究生进行考试，并将考试的分值（百分制）按照

[40,50）,[50,60）,[60,70）,…,[90.1001分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.已知助=a+c,分值在

（2）若思想道德分值的平均数、中位数均超过75分，则认为该校研究生思想道德良好，试判断该校研究生的

思想道德是否良好.

题型五计算标准差及方差

例9.（2023春•上海浦东新•高二上海市建平中学校考阶段练习）已知1,玉,占，与，%这5个数的平均数为3,

方差为2,则凡,勺，斗，孔这4个数的方差为.

例10.（2023・江苏•高三专题练习）在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表:

班级人数平均分数方差

甲40705

乙60808

则两个班所有学生的数学成绩的方差为（）.

A.6.5B.13C.30.8D.31.8

举一反三

练习21.（2023•江苏•高一专题练习）某学校共有学生2000人，其中高三800人，高二、高三各600人，学

校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调杳统计，全体学生每天的读书时间的平均数为［=3,方差为

?=1.966，其中三个年级学生每天读书时间的平均数分别为£=2.7,X2=3,1，X=3.3，又已知高三年级、

高二年级每天读书时间的方差分别为s；=l,4=2,则高三学生每天读书时间的方差s；=.

练习22.（2023春・全国•高三专题练习）某班共有40名学生，其中23名男生的身高平均数为173cm,方差

为28；17名女生的身高平均数为162cm；若全班学生的身高方差为62,则该班级女生身高的方差为.

练习23.（2023春・山东滨州•高三山东省北镇中学校联考阶段练习）已知一组数据1,2,加，4,5的平均

数为3,则这组数据的方差为.

练习24.（2022秋・广东广州•高三铁-中学校考阶段练习）在某市举行的唱歌比赛中，5名专业人士和5名

观众代表组成一个评委小组，给参赛选手打分.这10个分数的平均分为8分，方差为12.若去掉一个最高

分10分和一个最低分6分，则剩下的8个分数的方差为.

练习25.（2023春•安徽•高三安徽省颍，第一中学校联考阶段练习〉小明在整理数据时得到了该组数据的平

均数为20,方差为28,后来发现有两个数据记录有误，一个错将11记录为21,另一个错将29记录为19.

在对错误的数据进行更正后，重新求得该组数据的平均数为；，方差为则（）

A.%>20»/<28B.；<20，?>28C.7=20,?<28D.捻=20，52>28

题型六均值及方差的性质

例II.（2023春・全国•高三专题练习）若数据4,乙，七，L，。的方差为01，则数据1。西+1，109+1，

10斗+1,L,10%+1的方差为.

例⑵（2023•福建宁德•校考模拟预测）已知一组数据芭,和…，《的平均数为1标准差为$.若

3%-2,3々-2,…,3匕-2的平均数与方差相等，贝卜―工的最大值为（）

举一反三

练习26.（2023・全国•高三专题练习）已知样本数据和修，…，&的平均数与方差分别是"和。，若

y=f+2（i=l,2，…,50）,且样本数据的3%，…，为平均数与方差分别是人和％则$2+xJ+…+甯=

练习27.（2023春•山西•高三统考阶段练习）己知一组数据和0%…，毛的平均数为6,方差为9,则另一

组数据25-11,2当-1120-11「、2工-11的平均数和方差分别为（）

A.1,36B.U2C.12,18D.12,7

练习28.（2023・江苏•高三专题练习）若一组样本数据引、々、匕、五的平均数为10,另一组样本数据2内+4、

2占+4、L、2%+4的方差为8,则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（）

A.17,54B.17,48C.15,54D.15,48

练习29.（2023・全国•高三专题练习）经过简单随机抽样获得的样本数据为芭,占，…多，且数据乱与，…，4的

平均数为了，方差为S?,则下列说法正确的是（）

A.若数据%,8，…，兀，方差一=0,则所有的数据七（』,2,•••,〃）都为0

B.若数据王,孙…，工，的平均数为f=3,则y=2Xj+l（i=l,2，…,〃）的平均数为6

C.若数据内,8，…,a，的方差为『=3,则丫=2芯+1。=1,2,…川的方差为12

D.若数据玉,马，…，/，的25%分位数为90,则可以估计总体中有至少有75%的数据不大于90

练习30.（2023•全国•高三专题练习）（多选）已知样本〃产的，砥，…，的均值为4,标准差为〃?,

样本〃2：2^,-1,2X2-1,2r.-1的均值为3,方差为4,则下列结论正确的是（）

A.a=2B.nt=4

C.样本Pi和样本P2的极差相同D.样本P1和样本Pz的中位数相同

题型七总体百分位数的估计

例13.（2023春・河南•高三校联考期末）有一组样本数据如下:56,62,63,63,65,66,68,69,71,74,

76,76,77,78,79,79,82,85,87,88,95,98,则其25%分位数与75%分位数的和为（）

A.144B.145C.148D.153

例14.（2023春•全国•高三专题练习）少年强则国强，少年智则国智.党和政府一直重视青少年的健康成长，

出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质.