高三数学一轮复习讲义（提高版）二项分布超几何分布与正态分布

§10.6二项分布、超几何分布与正态分布

【课标要求】1.理解二项分布、超匚何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态曲线了解正态分

布的概念，并进行简单应用.

1.二项分布

(1)伯努利试验

只包含可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行〃次所组成的随

机试蛤称为.

(2)二项分布

一般地，在〃重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<l),用X表示事件A发生的

次数，则X的分布列为P(X=A)=,A=0,1,2,…，儿

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作.

(3)两点分布与二项分布的均值、方差

①若随机变量X服从两点分布，则E(X)二,D(X)=.

②若X~B5,〃)，则E(X)=,D(X)=.

2.超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取〃件(不放回)，用X表示抽

取的"件产品中的次品数，则X£勺分布列为P(X=k)=,k=m,m+1,川+2,…，r,

其中*N,MSN*,MWN,/〃=max{0,〃N+M},r=min{〃，M}.如果随机变量X的分布列具有

上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

3.正态分布

(1)定义

若随机变量X的概率分布密度函数为大幻二高e一号，x£R,其中〃SR,»0为参数，则称随机变

量X服从正态分布，记为.

⑵正态曲线的特点

①曲线是单峰的，它关于直线对称；

②曲线在处达到峰值品；

③当国无限增大时，曲线无限接近x轴.

⑶3。原则

①户0.6827；

②尸缶2。〈乂〈〃+2。户0.9545；

③{3。<*<〃+3。户0.9973.

(4)正态分布的均值与方差

若X~N0i,，)，贝I」E(X)二,DW=.

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“Y”或“x”)

(1)两点分布是二项分布当n=\时的特殊情形.()

(2)若X表示〃次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布.()

(3)从装有3个红球、3个白球的盆中有放回地仟取一个球，淬取3次，则取到红球的个数X服从超几何分

布.()

(4)当〃取定值时，正态曲线的形状由。确定，。越小，曲线越“矮胖”.()

2.己知随机变量之仇4,〃)，若E©=2,贝i」P("3)等于()

A.-B.-C.-D.—

24816

3.在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则尸(X=l)=.

4.已知随机变/)，若P(X<2)=0.2,P(X<3)=0.5,则P(X<4)的值为.

国微点提醒

1.若/),则X的均值与方差分别为E(X)=",D(X)=(r.

2.“恰好发生攵次”与“有指定的k次发生”不同：恰好发生攵次的概率P二%"(1〃严，有指定的2次发生

的概率P="(lp)球(D,1,2,…，〃).

3.“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分

布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.

4.超匚何分布有时也记为M,N),其均值E(X尸器方差5不二华(1一/)(1一色"

题型一二项分布

例1(2024.大庆模拟)2024年7月12日，国家疾控局会同教育部、国家卫生健康委和体育总局制定并

发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理中

就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的

体重却饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有:的学生每天饮用含糖饮料不

低于500亳升，这些学生的肥胖率为；；而每天饮用含糖饮料低于500亳升的学生的肥胖率为今

(1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率;

(2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X的分布列和数学

期望.

思维升华二项分布问题的解题关键

⑴定型：

①在每一次试验中，事件发生的概率相同.

②各次试验中的事件是相互独立的.

③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.

(2)定参：确定二项分布中的两个参数〃和〃，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率.

跟踪训练1某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了5()名男生和50名女生，通

过调查得到如下数据：50名女生中有10人课间经常进行体育活动，50名男生中有20人课间经常进行

体育活动.

⑴请补全2X2歹U联表，试根据小概率值a=0.05的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是

否有关联；

体育活动

性别合计

课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动

男

女

合计

(2)以样本的频率作为概率的值，在全校的男生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为X,

求X的分布列、数学期望和方差.

附表：

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

_____n(ad-bc)2______

附：/=其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

题型三正态分布

例3(1)(多选)(2024.南京模拟)已知三个密度函数方J尸焉e-FT(x£R,曰，2,3)的图象如图所示,

则()

A.〃I=42>〃3

B.fT|=(72<<73

C.若X〜Ml，必),P(X<2)=0.7,则尸(0<X<2)=0.4

D.若X〜Ng，布)，Y〜Ng源)，则存在实数xo，使得P(X<xo)=P(y4o)

(2)(多选)(2024.新课标全国I)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出

口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样

本均值汇=2.1,样本方差/=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布ML8,0.12),假设推动

出口后的亩收入y服从正态分布“(元，』)，贝心)

(若随机变量Z服从正态分布N(/i,『)，P(Z<"+f7户0.8413)

A.P(X>2)>0.2B.PB.P(X>2)<0.5

C.P(K>2)>0.5D.P(y>2)<0.8

思维升华解决正态分布问题的三个关键点

(1)对称轴为A-/Z.

(2)标准差为<7.

(3)分布区间.

利用对称性可求指定范围内的概率值；由〃，。，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3。特殊区

间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为产。

跟踪训练3(2024.洛阳质检)某教学研究机构从参加高考适应性考试的20000名优秀考生中随机抽取

了20J人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如图所示的频率分布直方图：

(1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均

数为1二110.据此估计这20000名优秀考生数学成绩的标准差5；

(2)根据以往经验，可以认为这20000名优秀考生的数学成绩X近似服从正态分布M/八r2),其中参数

〃和c可以分别用⑴中的土和s来估计.记考生本次考试的各科总成绩为Y,若r=5X10,试估计这20

000名优秀考生中总成绩re[600,660]的人数.

另：、与24；

若X~N3,(T),贝ijP(〃bWXW〃+b)H0.6827,P(〃2cWXW"+2亦0.9545.

答案精析

落实主干知识

1.(1)两个〃重伯努利试验

(2)C纷(Ip)减X~B(n,p)

⑶①PP(lp)②叩叩(lp)

9二分

3.(1)X〜『)(2)①广〃

②X=/<(4)//(T

自主诊断

1.(1)、(2)4⑶X(4)X

2.B3.-4.0.8

2

探究核心题型

例1解(1)设“学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升”为事件4,

则P(A)4，尸(不芸.

44

设“学生肥胖”为事件8,则

1-2

由全概率公式可得P(8)

=P(Bn)P(A)+P(3|,)P(不

所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该生肥胖的概率为:

4

(2)由题意可知，X〜8(3,J,且X的可能取值为0,1,2,3,则有

mG)°x君系,

「Mx""

尸―)匕，(丁义泠，

PgWx(I)3x(沪专,

所以X的分布列为

X0123

272791

P

64646464

X的数学期望石(X)=3X；4.

44

跟踪训练1解⑴依题意，列出2义2列联表如下：

体育活动

性别合计

课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动

男302050

女401050

合计7030100

零假设为:性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关.

因为/」OOX(3OX】O-20X40)21^4762>3.841书明,

450X50X70X3021

根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断“0不成立，

即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.

(2)由题意得，50名男生中课间经常进行体育活动的频率为黑=|,

所以在本校男生中随机抽取1人为课间经常进行体育活动者的概率为|,

由题意得X-(4,1),

则P(X=«=Cj(|)k(1-|广"，七0,1,2,3,4,

可得P(X=0)Mx(|)°x(|)4瑞，

P(X=1)=C1

P(X=4)=Cj

X的分布列为

X01234

812162169616

P

625625625625625

X的数学期望为E(X)=np=4X^,

X的方差为D(X)=np(\p)=4X^x(1-务||

例2解(1)设城市学校共有x所，

因为从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是:，

4

所以土竺三,

X4

解得尸80,即城市学校有80所，

补全列联表如下：

经常应用偶尔应用或者不应用合计

农村404080

城市602080

合计10060160

零假设为Ho：智慧课堂的应用与区域无关，

n(ad-bc)2

X(Q+匕)(c+d)(a+c)(b+d)

_160X(40X20-60X40)232

80x80x100x603

~10.667>7.879,

所以根据小概率值a=0.005的独立性检验，可以认为智慧课堂的应用与区域有关.

（2）在经常应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2：3,所以抽取的样本中有2个是农村学校，3个

是城市学校，再从样本中抽取2个，则X的可能取值为0,1,2.

P(X=0)=等福,

2

p(x=

所以X的分布列为

X012

331

P

10510

X的数学期望£（笛=0火11x：+2X白二：.

AvOAU5

跟踪训练2解（1）将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为62,66,70,72,73,77,78,79,80,

80,82,85,86,86,87,89,91,91,92,94.

因为20X25%=5,

所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为第=75.

（2）由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分；

分公司8中75分以下的有62分，70分，73分，

所以上述不满意的客户共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人

所以X的所有可能取值为1,2,3.

P（X=2）喈

尸g）喈三

所以X的分布列为

X123

331

P

10510

X的数学期望

E(X>IX3+2X%3XN芸

''105105

例3(l)BCD[根据正态曲线关于入=〃对称，且〃越大曲线越靠近右边，则川〈心二分，故A错误；

又〃越小数据越集中，曲线越瘦高，则内=6<内，故B正确；

X~M1,