高一数学单元复习（人教A版必修第一册）第二章一元二次函数、方程和不等式（知识清单8大易错训练）含解析

第二章一元二次函数、方程和不等式

清单01两个实数的大小比较

1、比较大小基本方法

方法

关系做差法与0比较做商法与1比较

a>ba-b>0@>1（。方>0）或且〈1（。方〈0）

bb

a=ba-b=O?=1伯=0)

b

a<ba-b<0—<l(a,>0)sE—>l(a,b<0)

bb

2、不等式的性质

性质性质内容

对称性a>b<=>b<a；a<b<=>b>a

传递性a>b,b>c=>a>c；ci<b,b<c=>a<c

可加性a>b=a+c>b>c

可乘性a>b,c>0=>ac>be；a>btc<0=>ac'<be

同向可加性a>c,c>d=>a+c>b+d

同向同正可乘性a>b>0,c>d>0=>ac>bcl

可乘方性a>b>0,nwN'=a">b"

3.、不等式的大小比较方法

（1）作差法比较大小的步骤

①作差；②变形；③判断差式与（）的大小；④下结论.

（2）作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤

①作商；②变形；③判断商式与1的大小；④下结论.

注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大

小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幕或者因式乘

积的形式，也可考虑使用作商法.

清单02基本不等式

1、基本不等式

（1）一般地，，有苏+加22H，，当且仅当。=匕时，等号成立.

（2）特另U地，当々>0,力>0时，分别用右，战代替上式中的4力，可得生电》疝，当且仅当a=b时，

2

等号成立.通常称不等式巴心石为基本不等式（也叫均值不等式）

2

其中生也叫做正数出〃的算术平均数，而叫做正数。功的几何平均数，基本不等式表明：两个正数的算

2

术平均数不小于它们的几何平均数.

（3）重要不等式/+/7222a〃与基本不等式虫心2瓦成立的条件是不一样的.前者为任意实数，

2

后者。，人只能是正数.但两个不等式;中等号成立的条件都是a=从

2、基本不等式的变形

（1）a+>22ym>,a/?W（"）.其中a,/?€R+,当且仅当a=Z;时，等号成立.

（2）当a>0时，Q+L22,当且仅当。=,，即〃=1时，等号成立；

aa

当〃＜0时，4+Lw—2,当且仅当。二一1时，等号成立.

a

（一0）+（制.

实际上,当。＜0时，a+—=-

Q)+---]22,；・W-2,即Q+2W-2.当且仅当-。=一2，即〃二一1（。＜0）

\a)aa

时，等号成立.

（3）当〃/同号时，2+322,当且仅当。=〃时，等号成立；当〃，〃异号时，2+@或一2,当且仅当

abah

。二一/?时，等号成立.

2

(4)不等式链：--j-W疝呼W（。＞0力＞0,当且仅当a=b时,等号成立.）

—+-

2

其中,分别叫做正数。功的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方

1r

—+—

ab

平均数.

3、利用基本不等式求最值

设x>0,y>0,则有

S2

（1）若x+y=S（和为定值），则当x=y时，积Ay取得最大值彳；

/I—yS,S'

(:Vx,yeR*,有JxyW------=—,•・xyW—.)

224

（2）若xy=P（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2、万.

（*.*Vx,yGR.,有x+yN2j~xy,，x+yN2YTP.）

4、利用基本不等式求最值时，必须满足三个条件，即：一正、二定、三相等.

一正：各项都必须为正数；

二定：和或积为定值.当和为定值时，积有最大值,当积为定值时，和有最小值;

三相等：等号能取到，即取得最值的条件能满足.

清单03一元二次不等式的概念

1、一元二次不等式的定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元

二次不等式.

2、一元二不等式的一般形式：or2+^+c>0(>0),or2+/?x+c<0(<0),(其中a,〃,c均为常

数).

3、一元二次不等式的解与解集

使某一个一元二次不等式成立的工的值，叫做这个一元二次不等式的解；

一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集；

将•个不等式转化为另•个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形.

3、二次函数的零点

一般地，对于二次函数y=ax2+/zr+c>0,我们把使aF+-+c=O的实数x叫做二次函数的零点.

4、三个“二次”之间的关系

对于一元二次方程ar2+bx+c=0(6/>0)的两根为％、9且内(占，设△=/一4t/c,它的解按照A>0,

A=0,△<()可分三种情况，柞应地，二次函数》=依2+历:+c(a>0)的图像与x轴的位置关系也分为

三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式办：2+区+C>0(。>0)或依2+法0(4>0)

的解集.

判别式△=〃2-4讹A>0A=0A<0

二次函数

\[/JV

y=cix2+bx+c=0（4*0）

的图象（。>0）

o1Xi=X2Xo]

图象说明图象与X轴有两个不同图象与X轴只有一个交图象与x轴没有交点

的交点点i顶点在“轴上)

—元二次方程有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根

b

ax2+bx+c=0(。工0)的解X1工X?Aj=X-,=———

1■2a

av2+bx+c>0（a>0）的解集{小<X]sUx>X}bR

2rxw-----

2a）

00

小+加+。<0(〃>0)的解集{小|<x<x2}

5、一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的一般步骤是：

(1)利用不等式的性质，将二次项系数化为正数；

(2)计算△=从-48的值,并判断△的符号;

(3)当△20时，求出相应的一元二次方程的根；

(4)画出对应的二次函数的简图；

(5)根据一元二次不等式的形式，结合简图，写出其解集.

6、一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.

其中，①当△>0时,一元二次不等式ax2+bx+c>O(a>0)的解集在“两根之外”，即“大于大根或小于小

根”；一元二次不等式ar?+"+c<0(a>0)的解集在“两根之内”，即“大于小根且小于大根”，简记为

“大于0取两边，小于0取中间”；

f.

②当△=0时\一元二次不等式ax24-/7X+O(X。>0)的解集为1XX工—；一元二次不等式

2a)

ax'+"+°<0(4>0)的解集为0;

③当△<0时，一元二次不等式ax2+bx+c>^a>0)的解集为R;一元二次不等式

ax'+bx+c<0(a>0)的解集为0.

7、一元二次不等式在R上恒成立的问题

一(a>0(a=b=0

(1)ar+Z?x+c>0在R上恒成立，则有：4,或《；

△="-4"<0[c>0

.ft/<0[a=b=0

(2)arc<0在R上恒成立，则有：，或《；

A=/?~-4ac<()c<0

(3)一兀二次小等式aF+/?x+c20在R上恒成立，则有：尸>°,;

[A=/?--4ac<0

(4)一元二次不等式ar?+法+cwo在R上恒成立，则有.

b=b--4。。与0

8、分式不等式的解法

各标准形式的分式不等式的解法为：

6加。或,fM<0

(1)与不等式组＜同解,与不等式/(•¥)•g(X)＞0同解;

g(x)K*)<0

(2)上也20与不等式组＜//g⑴平司解；

g(x)[g(x)wO

(3)KOcO与不等式组，7(x)>017(x)<0

或《同解,与不等式八％)•g(x)v0同解;

g(x)g(x)<0、g(x)>。

(4)上也忘0与不等式组＜f/(x).^(x)<0

心)lg(x)wO

由以上解法可以看出：将分式不等式转化为标准形式后，再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求

解.

易错总结

易错01:忽略不等式成立的条件

易错05:忽略二次项系数为0

易错02:多次使用同向相加

易错06:一元二次不等式

性质，扩大了取值范围

一元二次函数、方分类讨论不当

程和不等式

易错03:忽略基本不等式

易错07:分式不等式等价转化不当

成立的条件

易错08:混淆一元二次不等式

易错04:多次使用基本不等式

中恒成立和有解题目

注意等号成立是否一致

【说明】试题或者解析中区间的概念说明：设，b是两个实数，而且。＜匕，我优规定:

定义名称符号

|x|r7<x<Z>}闭区间

„<x</?}开区间(〃力)

半闭半开区间,，5)

{x|a<x<Z?{半开半闭区间（。,可

【易错01：忽略不等式成立的条件】

不等式在遇到乘法或者除法运算时候，是很容易出错的，需熟记一下几个不等式性质：①可乘性：a>b,c>0

=4>力,。（0=々？<加；②可乘方性：a>b>O=a〃>b"5uNm..2）、③不开方性：

a〉〃>0n布〉物(〃£N,几.2)；④同号可倒性：a>b>0=>7>—>0；«<Z?<0=>—<—<0：

baba

【典例】（多选题）已知则（）

a+ca

-----<—B.b2>ac

b+ch

C.D.a(c2-\)>b(c2-i)

b+ca+c

【针对训I练】

1.若a>b>0,c>d,则下列结论正确的是（）

A.a-b<（）B.ac>bd

C.ac2>be2

2.已知。也c为实数，则（）

A.若州>2,则〃>力

B.若ac2之be2,则a>b

cc

C.若巴",则a。<beD.若avb,则/vZ?2

cc

【易错02：多次使用同向相加性质，扩大了取值范围】

1、在多次运用不等式性质时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了取值范围.为了避

免这类错误，必须注意①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式.

2、解决思路

一般先用整体法建立所求代数式与已知代数式的等量关系，再通过不等式的性质求得.

3、解决步骤

第一步：把所求代数式s用条件的代数式〃，f表示出来，即s=〃?〃+”.

第二步：列方程组，求出勿，〃的值.

第三步：分别求出〃w和〃，的取值范围.

第四步：求出s=〃?p+”的取值范围.

【典例】（多选题）已知实数x，J满足lKx—）W5,3<3x+y<ll,则（）

A.x的取值范围是{x|lW4}

B.了的取值范围是{y|-4K），43}

C.工+'的取值范围是卜+止1"+），<5}

D.2工+），的取值范围是{2工+丫|1《21+声8}

【针对训练】

1.已知实数x,j，满足l4x+）W4,-\<x-y<2f则4x—2），的取值范围是（）

A.[-1,10]B.[-3,6]C.[-5,13]D.[-2,10]

【易错03：忽略基本不等式成立的条件】

1、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.

（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：

【典例】（多选题）已知后1,则下列函数的最小值为2的有（）

4

C.y=3x--D.j=x-l+

xx+\

【针对训练】

1.（多选题）下列说法正确的是（）

4函数），=:驾的最小值是2

A.函数y=x+-（x<0）的最大值是-4B.

G+9

16

C.函数y=x+（x>-2）的最小值是6D.若X+），=4,则f+丁的最小值是g

x+2

【易错04：多次使用基本不等式注意等号成立是否一致】

连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用

基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立.

【典例】已知所>0,心0,则当81L+/+侬取得最小值时,n的值为（）

A.-LB.3C.$D.2

2222

【针对训练】

1.对任意的正实数。也叫满足Hc=l,则8加+4+型的最小值为________

be4+1

【易错05：忽略二次项系数为0】

解形如ax2+bx+c>0类型的不等式的步骤首先判断二次项系数与0的大小，否则分类讨论，当水0时，利

用不等式性质化为正值，然后若能分解因式，则分解因式，然后判断根的大小，写出解集）；若不能分解

因式，需判断判别式，若判别式符号不确定，则分类讨论；在解题中注意三个二次（二次函数、二次方程、

二次不等式）之间的联系，同时要树立起函数与方程、分类讨论、数形结合的数学思想方法.

【典例】若命题“丸eR,（m-1濡+（阳-1）%+14。”是假命题，则实数的取值范围是.

【针对训练】

1.已知关于X的不等式〃田2+〃”•+机一1V0始终成立，则m的取值范围为.

【易错06：一元二次不等式分类讨论不当】

含参数的一元二次不等式的一般步骤

注：求解方程的根时诃优先考虑用因式分解的方法求解，不能因武分解时再求判别式4,用求根公式计算.

【典例】(多选题)已知aeR,关于x的一元二次不等式3-2)(》+2)>0的解集可能是()

2

A.«xx>—或xv-2)B.{x|x>-2|

a

C2D.\x-<x<-2

C.、x-2<x<—，

a

【针对训练】

1.解关于x的不等式：/一(。+/卜+/>0(4eR).

【易错07：分式不等式等价转化不当】

f(x)

解分式不等式的注意事项及分式不等式的一般解题思路：移项通分，注意转化为整式不

g(x)

等式后需要确保分母对应的因式不能为0,根式不等式要注意保证根号有意义等隐含条件.

【典例】若集合4={.d0«x<l},B=\x->3\,则AJ8=()

x

A.(0,1)B.[0,1)C.[0,2)D.(0,2)

【针对训练】

Y

1.已知集合4=3X>1},8=<XL20,则()

2-x

A.[0,2)B.(1,2]C.(1,2)D.(2,-K»)

【易错08：混淆一元二次不等式中的恒成立和有解题目】

【典例】1.“不等式“2X*十工+4〃?>0在R上恒成立的取值范附是(〉

A.m>—B.0</??<—

44

八1、1T1

C.m<—D.tn<—或〃z>一

444

2.已知关于x的不等式加_2x+3a<0在(0,2]上有解，则实数〃的取值范围是()

【针对训练】

1.VA-G（-2,-KX））,d+（4—a）x+7—2々20恒成立，则实数〃的最大值为（）

A.GB.3C.2GD.6

2.命题“心«-3,2],/-212丘0”为假命题，则实数”的范围为.

易错训练

一、单选题

1.（24-25高一上•陕西渭南・月考）设xeR,则“二>「是。>5”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（24-25高一上•福建漳州・月考）若不等式/+仆+4<0的解集为0,则。的取值范围是（）

A.{x|-4<«<4）B.{x|Tvav24}

C.{x|x<-4«£x>4}D.{巾<-4或x>4}

3.（24-25高一上•广东广州・月考）已知命题尸:，x€R,（a+l*_2（a+l）x+3>（r为真命题,则实数。的取

值范围是（）

A.-1<«<2B.«>1C.a<\D.-\<a<2

4.（24-25高一上•山东淄博•月考）若不等式-（。-l）x-l<（）的解集为R,则实数〃的取值范围为

（）

A.{fz|-3<«<1}B.{«|-3<«<1）

C.{a|av-3必21}D.{a\a<-3^ia>1}

5.（24-25高一上•广东广州•月考）若命题“3xeR,使得f+（°-g+1<0”是假命题,则实数“的取值范围

是()

A.{x|-l^x<3}B.{x|-l<A<3)

C.{x|x<-lnJJ.r>3)D.{x|x<-l或x>3}

6.（23-24高一上•广东江门・月考）任意工«-1,1],使得不等式V-x+恒成立.则实数〃?取值范围是（）

1115

A./??>—B.m<—C.m<—D.m<—

2422

二、多选题

7.（24-25高一下•山西大同・月考）已知a,6,cwR,则下列命题不正确的是（）

B.若州>2则

A.若avb,则ac2<be2

cc

C.若a>b,ah<0,则D.若a匕>0,a>b,则

abab

8.（24-25高•上•江苏连云港・月考）下列命题中正确的是（）

A.当x>l时，x+—>2B.当xv0时，x-i--<-2

xx

2

C.当0<%<1时，\/x+-^>2D.当x>2时，&+722&

\lx

9.（23-24高一上.云南玉溪•期中）若a,"cwR,则下列命题中错误的是（）

A.若a>〃>c且aevO,则就B.若4>。>0且c>(),则〃+(>f

b+cb

C.若a>Z?>0且evO,则£>，D.若a>b>4,则〃+—</?+—

abba

10.（24-25高一下•陕西渭南•期末）已知实数”⑦满足-3va+2〃v2.-lv2a-bv4,则（）

A.-l<a<2B.-2</?<lC.-2<a+b<0D.0<a-b<4

三、填空题

11.（24-25高一上•上海•期中）关于1的不等式L>1的解集为.

X

14-r

12.（23-24高一上•云南玉溪•期中）不等式丁一的解集为.

\-x

13.（23-24高一上・甘肃白银•期中）若不等式f-2x+/〃<0有解，则实数〃?的取值集合是.

14.（24-25高一上•广东广州•期中诺不等式工2一次+1<0恒成立，则〃的取值范围为.

15.（24-25高一上•黑龙江哈尔滨•月考）若“小£；,2,使得"2一"+1<0成立”是真命题，则实数2的

取值范围是.

|4V

16.（24-25高一上•四川德阳•月考）若两个正实数x,》满足一+一=1,且不等式X+]<〃?2_3机有解，则

xy4

实数，"的取值范围是.

I4

17.（24-25高三上•重庆・开学考试）已知均为正实数，且。+〃=1,则当上十;取得最小值时。=_

ab

—+―-的最小值为_______.

b3abc+\

22

18.（24-25高一上•山东威海•期口）已知实数”，〃满足〃7>2〃>0,贝卜犷+-；~~七的最小值为

fiyin-I

四、解答题

19.（24-25高一上呐蒙古包头•期末）已知关于x的不等式2加+仆-匕<0.

O

⑴若不等式2o?+公-?<。恒成立，求实数。的取值范围.

O

⑵在（1）的条件下，解关于X的不等式f_.r-a2+a<0.

20.（24-25高一上•山东淄博•期末）己知函数/（力=跋.

⑴关于大的不等式/（“<0的解集为（叽〃），求4〃?+〃的最小值：

⑵解关于x的不等式/（x）+（a+l）x>4.

21.（24-25高一上•全国•课后作业）（1）解关于x的不等式妆?-（。+1口+1<0（"<1）.

（2）解关于x的不等式2/+公+2>0.

第二章一元二次函数、方程和不等式

清单01两个实数的大小比较

1、比较大小基本方法

方法

关系做差法与。比较做商法与1比较

a>ba-b>0@＞1（。方＞0）或乌＜1（。方＜0）

bb

a=ba-b=O7=>（/^O）

b

a<ba-b<0g<l（a,b>0）或@>l（a,b<0）

bb

2、不等式的性质

性质性质内容

对称性a>b<^>b<a\a<b<^>b>a

传递性a>b,b>c=>a>c；a<h,b<c=>a<c

可加性a>b<=>a+c>b>c

可乘性a>b,c>O=>ac>bc；a>b,c<O^>ac<be

同向可加性a>CfC>d=>a+c>b+d

同向同正可乘性a>b>0,c>d>0=>ac>bcl

nn

可乘方性a>b>0tneN*=>a>b

3.、不等式的大小比较方法

（1）作差法比较大小的步骤

①作差：②变形；③判断差式与0的大小；④下结论.

（2）作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤

①作商；②变形；③判断商式与1的大小；④下结论.

注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大

小作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是鼎或者因式乘

积的形式，也可考虑使用作商法.

清单02基本不等式

1、基本不等式

（1）一般地,有"+〃飞2c活，当且仅当。=匕时，等号成立.

（2）特别地，当a>0,b>0时,分别用心,、仿代替上式中的九可得生二二J熊，当且仅当a=〃时，等

2

号戌立.通常称不等式竺女2而为基本不等式（也叫均值不等式）

2

其中生也叫做正数。功的算术平均数，而叫做正数出〃的几何平均数，基本不等式表明：两个正数的算

2

术平均数不小于它们的几何平均数.

（3）重要不等式与基本不等式空痴成立的条件是不一样的.前者。力为任意实数，后者

2

只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是a=h.

2、基本不等式的变形

（1）a-\rb>1^ab—.其中ER+,当且仅当。=b时，等号成立.

（2）当。>0时,〃+工22,当且仅当。="!■，即。=1时，等号成立；

aa

当。<0时,4+上W—2,当且仅当a=-\时，等号成立.

实际上，当〃<0时,。二一(一“)+(—£!].

V+(—〃)+[—，]W-2,即〃+，W-2.当且仅当一〃=一4,即〃二-1(a<0)时,

等号成立.

(3)当〃力同号时,。+州？2,当且仅当。=/?时，等号成立;当。力异号时,^+3w-2,当且仅当。=一〃时,

abah

等号成立.

(4)不等式链：-2—<4^b<^-<

(f/>o,z?>0,当且仅当。=b时，等号成立.)

ab

其中,71T，而，等分别叫做正数。力的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平

均数.

3、利用基本不等式求最值

设x>0,y>(),则有

S1

(1)若x+>=S(和为定值)，则当x=y时，积不，取得最大值一;

1cS)

(VVx,yGR+.^j\lxy<-----=—,xyS—.)

(2)若冲=P(积为定值)，则当x=y时，和x+y取得最小值2JA.

(*.*V.v,yGR“有x+y'2^/^，.二x+)后2\/^.)

4、利用基本不等式求最值时，必须满足三个条件，即:一正、二定、三相等.

一正：各项都必须为正数；

二定：和或积为定值.当和为定值时，积有最大值，当积为定值时,和有最小值;

三相等：等号能取到,即取得最值的条件能满足.

清单03一元二次不等式的概念

I、一元二次不等式的定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元

二次不等式.

2、一元二不等式的一般形式：ar2+/?x+c>0（>0）,or?+/zr+c<0（K0）,（其中。。0,〃,0,c均为常数）.

3、一元二次不等式的解与解集

使某一个一元二次不等式成立的方的值，叫做这个一元二次不等式的解；

一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集；

将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形.

3、二次函数的零点

一般地，对于二次函数y=ad+法+c>0,我们把使奴2+/”+。=0的实数x叫做二次函数的零点.

4、三个“二次”之间的关系

对于一元二次方程or?+Z?x4-c=0（6i>0）的两根为玉、々且内4占，设△=〃-4〃c,它的解按照A〉0,

A=0,A<0可分三种情况，相应地，二次函数丁-4/+以+。（々>0）的图像与x轴的位置关系也分为

三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式a?+bx+c>（）（。>0）或a?+H+C<（）m>0）

的解集.

判别式△=//-4的A>0A=0A<0

二次函数

\1:/JV

y=av2+bx+c=0（〃*0）

的图象（心0）0

图象说明图象与X轴有两个不同图象与X轴只有一个交图象与X轴没有交点

的交点点i顶点在％轴上）

一元二次方程有两个不相等的实数根有芭个相等的实数根没有实数根

2b

ax十Zu+c=0（«=0）的解■VI-Ax2办=人、=一二-

-2a

2

cix+bx+c>0（。>0）的解集{小<Sex>x2}bR

CXH--------

2a\

av2+加+c<0（a〉0）的解集{巾［<X<}00

5、一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的一般步骤是:

（1）利用不等式的性质，将二次项系数化为正数；

（2）计算△二尸一4函的值,并判断△的符号；

（3）当AK）时，求出相应的一元二次方程的根；

（4）画出对应的二次函数的简图；

（5）根据一元二次不等式的形式，结合简图,写出其解集.

6、一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.

其中，①当△>0时，一元二次不等式依2+bx+c>0（。>0）的解集在“两根之外”，即“大于大根或小于小根”;

一元二次不等式of+bx+c<0（。>0）的解集在“两根之内”，即“大于小根且小于大根”，简记为“大于。取两

边，小于0取中间''；

r1'

②当△=0时，一元二次不等式ax2+bx+c>（）（々>0）的解集为XXw;一元二次不等式

2〃J

ax'+bx+c<0(。>0)的解集为0;

③当△<0时,一元二次不等式ax2+bx+c>0（。>0）的解集为R;一元二次不等式ax'++c<0（〃>0）

的解集为。.

7、一元二次不等式在R上恒成立的问题

6/>()(a=b=0

在上恒成立，则有：，

(1)ax'+〃x+c>0R△二〃'-4ac<0Z[c>0

a=b=0

(2)ax~++c<0在R上恒成立，则有:.,或，

\=b~-4ac<0c<0

a>0

(3)一元二次不等式办2+汝+。却在R上恒成立，则有：《

A=b2-4ac<0

a<0

(4)一元二次不等式ar?+Z?x+c<0在R上恒成立，则有：，

A=Z?2-4ac<0

8、分式不等式的解法

各标准形式的分式不等式的解法为:

”力>。或叱。

（1）红。>0与不等式组<同解，与不等式/（x）.g（x）>0同解;

g*）lg(x)>0g(x)<0

“口却与不等式组.[/(X)^(A-)>0

(2)/、八问解;

g*)1月(幻工0

[/u)>oj/a)<o

△rD<0与不等式组.同解，与不等式/(幻•g(x)<0同解;

ga)g(x)v。-lg(x)>o

忠a与不等式组.f(x)g(x)<Q

(4)

g*)g(x)工()

由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后，再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.

易错总结

易错01：忽略不等式成立的条件

易错05:忽略二次项系数为0

易错02:多次使用同向相加

易错06:一元二次不等式

性质，扩大了取值范围

分类讨论不当

一元二次函数、方

程和不等式

易错03:忽略基本不等式

易错07:分式不等式等价转化不当

成立的条件

易错08:混淆一元二次不等式

易错04:多次使用基本不等式

中恒成立和有解题目

注意等号成立是否