高考数学一轮复习（新高考版）两角和与差的正弦余弦和正切公式

【考试要求】1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的

余弦公式推导出两处和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了

解它们的内在联系.3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角

公式，这三组公式不要求记忆).

第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式

知识梳理

两角和与差的余弦、正弦、正切公式

(l)公式C(a削cos(a-6)=cosacos£+sinasinB;

(2)公式+小：cos(«+0=cosacos0—sinasinB；

(3)公式Sg-0：sin(a-6)=sinacos£-cosasin6；

(4)公式Sg।用：sin(a+A)=sinacos£+cosasin8;

八小〜tan«—tanB

(5)公式T(a-削tan(«-^)=1+ian6ttan^；

八二，~tan«+tanB

⑹公式Ts成=1—血加/

【微思考】

1.诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？

提示诱导公式可以看成和差公式中夕=k^(keZ)时的特殊情形.

2.两角和与差的公式的常用变形有哪些？

提示(1)sinttsin尸+cos(a+£)=cos«cosp.

(2)cosasin夕+sin(a-p)=sinacosp.

(3)tan«±tanp=tan(a±/0(1+tanatan0).

基础自测

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)存在实数a,B，使等式sin(a+//)=sina+sin//成立.(J)

(2)在锐角△A8C中，sinAsin8和cosAcos8大小不确定.(X)

(3)公式tan(a+/?)=:比北可以变形为tana+tan/?=tan(«+/?)(l-tanatan夕)，且对任意

角a，6都成立.(X)

(4yV5sina+cosa=2sin(a+$.(X)

题组二教材改编

2.若cosa=一a是第三象限角，则sin（a+；）等于（）

A.-*B.eqB.C.--j^D.eqD.

答案C

I_______3

解析是第三象限角，，sina=-qi=cos%=-5,

34

*..71_-XX--7小

=sinacosj+cos«sin55X

2一10•

3.cos170cos770+cos73ccos13°=.

答案\

解析cosI70cos77°+cos73°cos13°=cos17°sinI3°+sin17°cos13°=sin(17°+13°)=sin300

\

=2-

4.tan100+tan5O°+，5tan100tan50°=.

答案73

5”,tan100+(an50°

解析Vtan60^tan(10-+50-)^1_tanl(nan5(r

Alan1004-tan50°=(an60°(l-tan10°tan50°)

=小一小tan10°tan50°,

.•.原式=A/5—5/5tan10°tan5O°+A/3tan100tan500=y/3.

题组三易错自纠

1+tan15°

5.计算:1-tan15o=

答案小

MIL1+tan15°tan45°+tan15°,

解析1-tan15o=1-tan45°tan15o=lan(45°+15°)=tanr

6.(多选)下面各式中，正确的是()

.，兀」_兀、.兀兀।亚兀

A.sinQ十可=sinjcos^cosj

5兀啦.7tnn

B.cos^2=2s,n3-cos4C0S3

C.cos(一geos号+乎

7C7cH

D.cosY2=COS耳―COS1

答案ABC

•/cosg=-cosg=-cos|

3十4,

A/2.It7171

2s,ncos4cosg,・・・B正确;

AC正确;

..兀(nnit

・COSYJ=COS(?-W产COSJ-cosa・•・D不正确.故选ABC.

例I(1)(2020・全国IH)已知sin。+sin(e+§=1,则sm(e+2等于(

)

A.cqB.cqB.C.cqC.D.cqD.

答案B

解析因为sin〃+sin(e+W)

=sinh+f-1+sin(，+跳)

匹cos^+^jsin*+sin

-sin

6s,n6

=2sin(0+^)cos专

=Wsin仅+§=1.

所以sin(0+§=9.

(2)已知sina=1.aE兀).tan(jr—/?)=T.则tan(a—/?)的值为()

2

-11

HD.-2

B.aeGqB&.

A.答

案A

解

析4

V--tan«=4

a-5

又tan(7r-^)=2»**.tanp=—g,

解析Vsina+cos夕=1,①

cosa+sin夕=0,②

・•.①2+②2得1+2(sinacos夕+cosasin£)+1=1,

:.sinacos夕+cosasinp=—

.*.sin(a+/Z)=—

思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而用要熟悉公式的逆用及

变形.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.

跟踪训练2(1)己知。£(甘，分tana=sin76°cos460—cos760sin46°,则sina等于()

A.eqB.—^C.eqC.D.一^^

答案

解析由tana=sin76°cos460—cos760sin460=sin(76°—46°)=sin30°=弓

VftGl-y,

sin«1

联立卜sa-Q

,sin2«+cos2a=1,

解得sin。=乎.

⑵(1+tan20°)(l+tan210)il+tan24°)(l+tan25°)=.

答案4

解析(1+tan20°)(l+tan250)=1+tan200+tan250+tan20°tan25o=l+tan(20o+250)(l-

tan20°tan25°)+tan20°tan25°=2,同理可得(1+tan21。)。+tan240)=2,所以原式=4.

例3(1)已知sin。=邛^,sin3-a)=-a,/?均为锐角，则少等于()

A.eqB.eqB.C.eqC.D.eqD.

答案C

解析因为sin”=邛^,sin0—a)=—且a,夕均为锐角，所以cosa=当，cos(/?—a)

3回…、j.八.,一.、、.、।.“、2小、,3班।小

—|Q,所以sinp—sin[a+(p—a)]—sma・cos(/—a)十cosasin(p-a)——X

义（—锢=号*=坐，所以万寸故选c.

（2）（2020•黑龙江大庆实脸中学训练）已知a,££（苧，兀），sin（a+6）=一5,sin（少一点）=会则

（

cosa十]=________.

答案*4

解析由题意知，a+/?e（y,2兀），sin（a+/?）=—]<0,所以cos（a+"）=*

因为£一台像个）,

所以COS,一£）=S

cos(a+J=cos3+份一1一初

=cos(a+/7)cos(y?m+sin(〃+/7)sin［：)=一4

5,

思维升华常见的角变换：2a=（a+.）+（a一夕），。="^+生子，力+。=尹（专—。），a=（a

+仇一夕=（。_川+夕，（今+。）+（：-。）=今等.

跟踪训练3(1)已知a£(一$0),cos(a+5)—sin则sin(a+"^)的值是(

)

A.平B."^C.eqC.D.

答案B

4s

解析由cos|a+习—sina=

5，

得cosacos看—sinasin/sin「芈,

44H

为

因

V23-即-G-

所以Jcosa-ya-

si5-y

所以a+狂

所以sin"+31-cos2(a+qj=5,

所以sin(^«=sinT(^«

走

GR比4

+-

-sn•n7CA-s-X-

23J25

V2

IO-

々12

(2)已知cos(«—sin(a+^)=—7,则sin2a等于()

/»'1JJ

答案B

解析因为所以Ova一加寸，兀＜«+0*号，由cos(a一")=岸，得sin(a一夕)=卷，

34

由sin(a+0=一《，得cos(a+0=一则sin2a=sin[(a—/0+(a+.)]=sin(a—/Ocos(a一夕)十

cos(a—p)sin(a+£)=*X(一号+首义(一,)=一捐.故选B.

课时精练

立基础保分练

1.—sin133°cos197°—cos47°cos730^T()

A.eqB.eqB.C.eqC.D.eqD.

答案A

解析—sin133°cos1970—cos470cos73°=—sin470-(—cos17°)—cos47°sin17°=sin(47°—

17。)=sin300=1.

2.在△ABC中，cosAcosasinAsinB,贝的形状是()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

答案C

解析依题意可知cosAcosB—sinAsin8=cos(A+8)>0,所以一cosC0,所以cosC〈0,所

以C为钝角.故选C.

3.已知"£(一方。tana,tan夕是方程/+⑵+1Q=O的两根，则tan(a+份等于()

A.eqB.-2或;

C.eqD.—2

答案A

解析因为a,夕£(一会引，tana,tan/是方程/+⑵+10—0的两根，所以tana+tan//

tana+tan,—124

=—12,(ana-tan^=10,所以tan(a+£)=故选A,

1-tantttanB

俘

兀

则

等

于

4一G

-4aSa

应

需

BV2c或

四-

1OD.

A.10

答案B

信

兀

兀J

升

解析

以

一

2a4一C

Q

，31

又-

a--一

si52

、4;

nB

-

4

84

-

y

心”•.\(兀/兀】.(姑兀I(*.兀3_y24^^/2A/2

所以sin夕=5Q1。-初+不_|=$111(6(一利。。§j+cos^a—^Jsin彳=§乂勺_§义勺=一行.

5.(多选)下列四个选项中，化简正确的是()

A.cos(—15)=Jf-4v

B.cos15°cos1050+sin150sin1050=cos(15°—105°)=0

C.cos(a—35°)cos(25°+a)+sin(a—35°)sin(25°+a)=cos[(a—35°)一(25°+a)]=cos(—60°)=

cos60。=3

D.sin14°cos160+sin760cos740=^

答案BCD

解析对于A方法一原式=cos(3(r-45o)=cos300-cos450+sin30°sin45°=阴孤

正_逅土也A秘R

X2—4,A错i天.

方法二原式=cos150=cos(45°-30°)=cos450cos30。一sin450sin30。=乎X乎+乎号=

观+陋

4.

对于B,^=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos90°=0,B正确.

对于C,原式=cos[(a—35。)一(25o+a)]=cos(—6(T)=cos60。=；,C正确.

对于D,原式=cos76°cos160+sin76°sin160=cos(76°—16°)=cos600=2,D正确.

（多选）已知函数於尸出则下列说法正确的是（）

6.？+*叱\

sin2x-y3cos2x

A._/u）的最小正周期为兀

B.7U）的最大值为2

C.小）的值域为（一2,2）

危）的图象关于（一自，o»j称

D.

答案

解析

，

•

SI2X+-

、

，兀¥）的值域为（一2,2）；由7=号=兀，得儿1）的最小正周期为兀；令2x+5=E（k£Z）,解得x

竽一切WZ）,即於）的图象关于（一方，0）对称.

7.(2020•浙江改编)已知tan0=2,则tan(。一.

答案!

解析Vtan<9=2,

.Atan^~tan4tan^-12-11

8.化简：sin(a+/?)cos(y-/?)—cos(^+a)sin(/?-y)=.

答案sin(a+y)

解析sin(6r+^)cos(y—/?)—cos(/?4-rz)sin(/?—y)

=sin(a+6)cos(。一y)-cos(a+

=sin[(a+/0—(尸一y)]=sin[a+y).

9.已知3cosa——小sina=2小cos(a+e),其中——北〈0〈兀，贝”,

7T

答案

解析

=2小(cosacos/一sinasin5)=2Scos(a+§,

X*.*3cosa—x/3sin1=2#8$(«+9)且一冗<8<71,

71

••哪•

10.已知sina=+-,sin(a—£)=一节~,a,夕均为锐角，则夕=

答案f

解析因为a,尸均为锐角，所以一/Z一六与

又sin(a一#=一4^,所以cos(a—/?)=2限.

.或“rr2小

Xsm5,所以cosa="^一，

所以sinfl=sin[a—(a—fi)]

=sinacos(a一彼)一cosasin(«­/?)

=旦退_型点_迪=也

-5X105X110J-2-

所以万寸

V5sin8=、系，求A+8的值.

11.已知A,8均为钝角，且sinA=

5，

J5

解因为A.8均为钝角,且sinA=拳.sinB—yio

10,

所以cosA=-yj1-sin2A=—

3逝

cosB=—\lI—sin2^=

10'

下、，也rE“兀，一九

所以cos(A+3)=cosAcosB-sinAsin5=—一万■义片■•又因为5々＜兀，E

<B<nt所以7C<A+8<27T,所以A+B=m.

31

12.已知a,夕均为锐角，且sina=g,tan(a一4)=一?

(1)求sin(a—0的值；

(2)求cos/7的值.

解(l)：a,匹(()，2),*•—^<a—p<^.

又tan(«—p)=一；V0,

・・・一*a—4Vo.

sin(Q一6)=—

(2)由⑴可得，cos(a—6)=今俱.

、34

为锐角，且sina=q,Acosa=J.

/.cos/f=cos[a—(a—ff)]

=cosacos(a-/O+sinasinia—/?)

_4x3^ip3f迪一汨

-5X10+5XC10J-50-

立技能提升练

13.若cos%—cos%=。，则sin(a+〃)sin(a一夕)等于(

A.—^B.cqB.C.~aD.a

答案C

解析sin(a+^)sin(a—fi)=(sinacos夕+cosasin彼)・(sinacosfl—cosasin^)=sin2acos2^—

cos2asin2/?=(l—cos2a)cos2^—cos2a(1—cos%)=cos%—cos2a=­a

14.若a,夕为锐角，且sina=乎，sin则sin(“+/?)=,a+p=.

及案啦工

口井24

解析Va,仅为锐角，sina=乎，sin