高一数学单元复习（人教A版必修第一册）一元二次不等式、分式、绝对值不等式（8大重点题型）含解析

专题02一元二次不等式、分式、绝对值不等式

A题型建模•专项突破...............................................................1

题型一、解不含参数的一元二次不等式.............................................................1

题型二.解含参数的一元二次不等式（重点）......................................................1

题型三、分式不等式（含高次不等式）.............................................................2

题型四、一元二次不等式求参数问题（常考点）....................................................2

题型五、一元二次不等式恒成立问题（难点）......................................................3

题型六、一元二次不等式有解问题.................................................................4

题型七、一元二次不等式与实际问题...............................................................5

题型八、绝对值不等式................................................................5

B综合攻坚■能力跃升...............................................................6

3题型建模•专项突破］

题型一、解不含参数的一元二次不等式

I.（24-25高一上•全国•课前预习）解下列一元二次不等式.

（I）X2-5X<0：

⑵/_4X+4>0;

（3）—x*+4x—5>0.

2.（24-25高一上•全国•课前预习）解一元二次不等式

（1）X2+2X-3<：0;

（2）X-X2+6<0;

（3）4A-2+4X+1>0:

（4）X2-6.V+9<0.

题型二、解含参数的一元二次不等式（重点）

1.解关于“的不等式：ar2-（3«-l）x+3<0（其中。>0）.

1/40

2.解关于实数》的不等式

（l）x2-（a+l）x+”O；

（2）好2-（2（7-1）X-2>0；

⑶/-QX+1<0.

3.（24-25高一上•全国•课后作业）（1）解关于x的不等式。/-（4+1）工+|<0（。<丁）.

（2）解关于x的不等式2£+如+2>0.

题型三、分式不等式（含高次不等式）

1.解下列不等式:

1—Y

⑴一2

⑵

x+2

2.解下列不等式:

⑴殁>0；

x-5

⑵占3；

⑶田<2：

3.求不等式（1-x）*2一X-6）<0的解集.

4.（24-25高一上•上海•假期作业）4）解不等式」>0：

x-2

(x+l)(l)

(2)>0；

(I)，

(x+l)(l)2

(3)>0.

(1)3

题型四、一元二次不等式求参数问题（常考点）

I.若不等式公：2+6+2>0的解集是卜一；<工<；»,则。+力的值为（）

2.40

A.-10B.-14C.10D.14

2.（23-24高一上・江苏泰州•开学考试）已知函数y=f+bx+3（其中h是实数）中，y的取值范围是[。,+8）,

若关于x的不等式犬+尿+3<。的解集为〃?则实数c的值为（）

A.16B.25C.9D.8

3.（24-25高一上•湖北黄冈•期中）（多选题）已知关于x的不等式渡+人+CNO的解集为“|-2W},

下列说法正确的是（）

A.a<0

B.ab>0

C.a+b+c>0

D.不等式以2一反+4<0的解集为或x>J

4.（23-24高一上•辽宁丹东•期中）（多选题）已知一元二次不等式分+bx+c«0的解集为{xlxV-1或xN3},

贝IJ（）

A.a>0B.2a+b=0

C.a+b+c>0D.3b~C+1<-V3

2a

5.（23-24高一上•云南昆明・期末）（多选题）已知公Z,若关于x的不等式/7<心》-1）只有一个整数

解，则人的可能取值有（）

A.-IB.1C.2D.3

6.（多选题）若关于x的不等式x、（〃?+3）x+3〃?<0的解集中恰有3个整数，则实数胴的取值可以是（）

A.--B.--C.yD.—

2222

7.（24-25高一上•安徽黄山•期末）若关于工的不等式S-4）/+（a+2）x-120的解集不为空集，则实数。

的取值范围为.

题型五、一元二次不等式恒成立问题（难点）

1.（24-25高一_L・重庆・期中）当x>0时，/+"+l>x恒成立，则4的取值范围为（）

A.-1<。<3B.-1工。43C.Q>-1D.ci>-2

2.（24-25高一上•河北邢台・月考）对任意的;4x41,关于xH勺不等式（。+2）/-4x+120恒成立，则。

的取值范围为（）

3

A.a>-2B.a>-C.a>2D.a>\

2

3.（24-25高一上•河南驻马店•期中）<4VXG[-2,1],/（6=/+勿.％©R）,,的一个充分条件可以是

3/40

题型七、一元二次不等式与实际问题

1.（24-25高一上•上海•月考）某工厂生产商品4每件售价80元，每年产销80万件.工厂为了开发新产品，

经过市场调查，决定将商品力的年产销量减少10〃万件，同时将商品力的销售金额的P%作为新产品开发费

（即每销售100元提出〃元）.若新产品开发费不少于96万元，求实数〃的取值范围.（注：工厂永不停产,

新产品永在开发）

2.（24-25高一上•全国•课后作业）某小区内有一个矩形花坛力68,现将这一矩形花坛扩建成-■个更大的

矩形花坛AMPN，要求点8在4M上，点。在/N上,且对•角线/MU过点。，如图所示.已知48=3m,4。=2m.

要使矩形AMPN的面积大于32n?，则DN的长应在什么范围内?

3.（24-25高一上•重庆•期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的

单价每提高0.1元，俏售量就减少2000本.

（1）试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？

（2）假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利涧/（x）最大？

4

.美国国家海洋和大气管理局（NOAA）最近发布的一则预测引发全球关注：预计在2024年6月，拉尼娜现

象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防界

降温套装，其每月的成本（单位：万元）由两部分构成：

①固定成本（与生产产品的数量无关）：20万元；

/2\

②生产所需材料成本：[10工+^J万元，x（单位：万套）为每月生产产品的套数.

（1）该企业每月产量X为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？

（2）若每月生产x万套产品，每万套售价为：（30+点）万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制

定计划，才能确保该套装每月的利润不低于625万元.

题型八、绝对值不等式

1.（24-25高一上•河南洛阳・月考）不等式国2-3的解集为（）.

A.0B.RC.[-3,3]D.（e,一3]53,+8）

5/40

2.（24-25高一上•福建莆田・月考）设集合4={xl/<4}]={x|卜-1区1},则力114=（）

A.{x|0<x<2}B.{X|0<A<2}

C.{xl-2<x<2}D.{x|-2<x<2}

3.（23-24高一上•广西玉林•期中）“k一2|>1”是“x>3”的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（24-25高一上•上海•期中）不等式国力的解集是.

5.（23-24高一上•上海普陀・期中）不等式|x-2|<|2x+l|的解集是.

6.（2025高一•全国・专题练习）解不等式：|x-2|<2x

[综合攻坚•能力跃升]

1.（24-25高一上•江苏苏州•期末）若命题“VxwR,%2-x+〃?20”是假命题，则实数〃?的取值范围是（）

1111

A.—<x>,—B.—8,一C.一,+3D.

444

2.（24-25高一下•广东揭阳•期末）已知命题P：玉wR,ax'+2or+320为真命题，则实数。的取值范围是

()

A.RB.{a|a>D}C.{4。<0或q>3}D.{a\d>3}

3.（24-25高一上•黑龙江齐齐哈尔•月考）Vxw{M<x<2}时，不等式/,”机<0恒成立，则〃?取值范

围是（）

A.m\m<2}B,{w|w>2|C.卜〃|1<小<2}D.m\m>2)

4.（24-25高一上•辽宁•月考）对任意的关于x的不等式g+2*-4x+120恒成立，则〃的取

值范围为（）

3

A.[2,-KO)B.—,+COC.[-2,+oc)D.[l,+8)

2

5.（24-25高一上•江西赣州•期中）若关于x的不等式/+2（〃?-1卜+〃?2_〃?<0的解集为""2）,且

—+—=2,则实数用的值为（）

X]x2

A.-4B.-1C.1D.4

6.40

6.（23・24高一上•河北沧州•期中）（多选题）已知关于x的不等式以2+队+°>0的解集为卜|-2<X<5},

则（）

A.a<0B./>+c=13

C.4。+3〃+5c>0D.不等式以*一6+a<0的解集为卜-%〈天

7.（多选题）关于x的不等式（ax-l）（x+2a-2）>0的解集中恰有4个整数，则。的值可以是（）

12-3

A.——B.——C.——D.-1

234

2Y

8.不等式二G的解集为__________.

x-2

9.（23-24高一上•天津和平•月考）已知关于"勺不等式（6-4卜2+（4-2）、-1N0的解集为空集，则实数。

的取值范围是.

10.（24-25高一上•福建泉州•期中）已知关于x的不等式（q+2）x+2〃<0的解集中恰有两个整数，则

年聚到〃的值为.

11.（24-25高一上,天津西青•期中）求解下列不等式的解集：

⑴一炉+以v—5;

⑵3X2-7X-6W0

（3）|3-2X|-4>0

12.解下列关于x的不等式.

(l)(x+4)(x+5)~(2-x)3<0；

X2—4Y+]

(2)A,<1

3X2-1X+2

13.解下列关于式的不等式

(l)|x-2)(x-a)<0；

(2)x2+ax+1<0；

(3)(x+a)(x-2a+l)<0；

(4)a.v2-x+l-tz<0(tz>0).

14.（24-25高一上•湖南长沙•月考）已知函数/（x）=——ax+i.

（1）若求不等式丁工7的解集；

7/40

(2)若yNO,在R上恒成立，求实数。的取值范围；

⑶若Vxe[l,2],y>-2恒成立，求实数a的取值范围.

15.(24-25高一上•四川宜宾・期末)为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98万元

购进一台生产设备，并立即投入生产使用.已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后(xcN),

其工年来所需维修保养费用的总和为(2/+10x)万元，设该设备产生的盈利总额为歹万元(盈利总额=总收

入一总支出).

(1)写出y与x之间的函数关系式：

(2)该设备从第几年开始盈利(盈利总额为正值)；

(3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种：

①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备(年平均盈利额=盈利总额+使用年数)；

②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备.

试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由.

16.(24-25高一上,广西南宁•月考)已知函数/(司=(加+1及2-(6-l)x+m—1.

⑴当机<()时，解关于x的不等式/(x)>3x+-2；

⑵若存在x«0,2],使得不等式/(x)W/+2x成立，求实数〃?的取值范围.

8’40

专题02一元二次不等式、分式、绝对值不等式

----------------目---------------------

A题型建模•专项突破...............................................................1

题型一、解不含参数的一元二次不等式.............................................................1

题型二.解含参数的一元二次不等式（重点）......................................................1

题型三、分式不等式（含高次不等式）.............................................................2

题型四、一元二次不等式求参数问题（常考点）....................................................2

题型五、一元二次不等式恒成立问题（难点）......................................................3

题型六、一元二次不等式有解问题.................................................................4

题型七、一元二次不等式与实际问题...............................................................5

题型八、绝对值不等式................................................................5

B综合攻坚■能力跃升...............................................................6

题型一、解不含参数的一元二次不等式

I.（24-25高一上•全国•课前预习）解下列一元二次不等式.

（I）X2-5X<0：

⑵/_4X+4>0;

（3）—x*+4x—5>0.

【答案】（l）0<x<5

（2）x^2

（3）无解.

【分析】（1）（2）分解因式后可解不等式；（3）由二次不等式对应二次函数图象与x轴的交点情况可解

不等式.

【详解】（1）原不等式可化为工（》-5）<：0,所以不等式的解为。<x<5；

（2）原不等式可化为（x-2>>0,所以原不等式的解为xw2；

（3）原不等式可化为/_4X+5<0,VA=42-4X5<0>则y一以+5图象恒在x轴上方，则原不等式

无解.

9/40

2.(24-25高一上•全国•课前预习)解一元二次不等式

(1)X2+2X-3<0：

(2)x-x2+6<0;

(3)4X2+4X+1^0;

(4)X2-6X+9<0.

【答案】(1H

(2)xv-2或x>3.

(3)一切实数.

(4)x=3.

【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可得答案.

【详解】(1)vA>0,方程/+2》一3=0的解是芭=-3,5=1.

・••不等式的解为m.

2

(2)整理得,X-X-6>0.

*/A>0,方程》27-6=0的解为为=-2,X2=3.

原不等式的解为戈<-2或x>3.

(3)整理，^(2x+l)2>0.

由于上式对任意实数x都成“，.•.原不等式的解为一切实数.

(4)整理，得(x-3)2«0.

由于当x=3时，(X-3)2=0成立；而对任意的实数X,(X-3)2<0都不成立,

.•.原不等式的解为x=3.

题型二、解含参数的一元二次不等式(重点)

1.解关于“的不等式：ar-(3^-l)x+3<0(其中。>0).

【答案】答案见解析

【分析】因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解.

【详解】因为。>0,不等式可化为(x-3)［下面分类讨论：

①当3=',即。=(时，不等式化为。-3)2<0,此时不等式无解；

a3

②当3VL即0<”1时，解得3Vx

a3a

③当』<3,即时，解得LX<3；

a3a

综上：当。时，解集为0;

10/40

当0<a<：时，解集为卜3c卜

当时，解集为<xg<x<3'

2.解关于实数x的不等式

(l)x2-(a+l)x+”O；

(2)辽丫-_(2Q—l)x-2>0；

(3)r2-ax+l<0.

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

(3)答案见解析

【分析】(1)因式分解，比较两根大小，分别求出不等式解集；

(2)根据系数进行分类讨论，分别解出不等式解集；

(3)用根的判别式进行分类讨论，分别求出不等式解集.

【详解】(1)易知方程/一(〃+1■+。=0的△=("1)&(),

由/_(a+])x+a=o得(工_〃)(工_1)=0,解得玉=田与=1,

当”>1时，X2-(a+\]x+a<0的解集为,

当“=1时，--(4+1”+。<0的解集为0,

当”<1时，x2-(a+\)x+a<0的解集为｛x|a<xvl｝.

(2)不等式0¥2一(2。一1)%—220可彳七为(仆+1)。-2)20,

当“=0时，x-2>0,不等式的解集为[2,+oo)；

当”>0时，不等式化为(X+』)(X-2)N0,其解集为(y,_l]U[2,+8)；

aa

当。<0时，不等式化为2)<0,

a

(i)当一！<2,即时，不等式的解集为

az〃

(ii)当-1=2,即〃=-工时，不等式的解集为｛2｝：

a2

(iii)当一!>2,即一:<。<0时，不等式的解集为[2,一口.

a2a

(3)对方程x?-ar+1=0,

当八=〃2—4工0时，即-2WGW2时不等式的解集为0：

11/40

v<x

当A=/-4>0时，即。>2或"一2时/一级+1=o的根为x.=-——,x2=土^~~-——»-i2

2-2

不等式的解集为・X"一竹7<工<"十手工■；

综二，-2«。42时不等式的解集为0,。〉2或。<-2时不等式的解集为卜"岩二-<工<丝苫

3.（24-23高一上•全国•课后作业）（I）解关于x的不等式ar‘-（a+l）x+l<O（a<l）.

（2）解关于x的不等式2/+如+2>0.

【答案】（1）答案见解析：（2）答案见解析

【分析】⑴分。=0、。<0及结合一元二次不等式的解法计算即可得；

（2）计算△,分A<0及△之0,结合一元二次不等式的解法计算即可得.

【详解】（I）CIX1-（Cf+l）x+l=（£7X-1）（x-l）<0,

①若。=0,则原不等式可化为-x+l<0,解得X>1；

②若。<（）,则原不等式化为（X——1）>0,解得或x>l；

③若0<。<1,则原不等式化为解得l<x<L

\a）a

综上所述，当。<0时，原不等式的解集为（一加（1收）；

当“=0时，原不等式的解集为（1,也）；

当0<〃<1时，原不等式的解集为（《）

（2）由题意得A=02-16,

①当△<（）,即-4<a<4时，

方程2/+〃x+2=0无实根，所以原不等式的解集为R：

②当AN0,即心4或时，

方程2/十以+2=0的两个根为网="6-16-。+&r-16,

4-4

所以当。=-4时，原不等式的解集为（YO,1）U（1,E）；

a.K-r-yWr（———J/-16..-4+J/-16

当a>4或。<-4时，原不等式的解集为-8,-----------U----------,内；

I4JI4）

当G=4时，原不等式的解集为（T°,一1）U（-1,+°°）.

12/40

题型三、分式不等式（含高次不等式）

1.解下列不等式:

I—X

⑴

⑵

【答案】（1），X--<x<\

3

(2){x|x<-2}

归）丈乎求解即可;

【分析】（1）由

3x+5工0,

⑵移项通分得到言>。即可求解.

Y—1

【详解】⑴原不等式可化为不皿

(x-I)(3x+5)<0,

3x+5。0,

-卜:即-沁"

"一3'

故原不等式的解集为.■.

（2）原不等式可化为，皿,x-i+2)>o,

x+2x+2

——>0,贝ijx<-2,

x+2

故原不等式的解集为{x|x<-2}.

2.解下列不等式:

、-X+]八

⑴k°;

(2)6-23；

x+8-

【答案】（1）（1,5）

73

⑵

13/40

⑶(一8,-2)叫收)

【分析】(1)先将原不等式等价转化为(x-l)(x-5)<0,再结合一元二次不等式的解法即可求解;

(2)先将原不等式等价转化为窘"。，再等价转化为再结合一元二次不等式的

解法即可求解：

(3)先判断分母大于0,再将原不等式等价转化为x+8v2f+4x+6，再结合一元二次不等式的解法即可

求解.

【详解】(1)原不等式==<0=(x-l)(x-5)<0,解得1c<5,

所以原不等式的解集为(1,5).

(2)原不等式=二一-320。”已20。”已40

3-5x3-5x5x-3

2二二

O!(15X-7)(5X-3)£()O155

15x-3w03

x土一

5

73

解得正《x<—,

所以原不等式的解集为5,|).

(3)由X2+2X+3=(X+1『+2N2>0,

则原不等式=%+8<2/+44+602/+3%-2>0=(》+2)(2.-1)>0,

解得xv-2或,

所以原不等式的解集为(-8,-2)=(；,+8).

3.求不等式(1-幻(-7-6)<0的解集.

【答案】{M-2<X<1或x>3}

【分析】解法一：根据符号法则列出式子计算；解法二：将式子因式分解然后利用穿针引线计算即可.

【详解】解法一：原不等式同解于下列两个不等式组：

1-x>0,_l-x<0,

①{2(八或者②<2久n

x-x—6<0x—x-6>0.

解①得—2<x<l；解②得x>3.

综二所述，原不等式的解集是{x|-2<x<l或;v>3}.

14/40

解法二:原不等式可化为式+2)(%-1)。-3)>0.

借助数轴，讨论各个因式之积的符号，如图1所示(数轴标根法).

一/20x

图1

由此得到原不等式的解集是卜卜2Vx<1或x>3}.

4.(24-25高一上•上海•假期作业)4)解不等式“+中'7)>0；

x-2

(2)I,J>。；

(4-2)

(3)-——八」2

(I)

【答案】(1)(-l,l)U(2,+oo);(2)(YO,-1)U(2,+OO)；(3)(-oo,-l]U{l}U(2,+oo)

【分析】(1)将分式不等式转化为整式高次不等式后计算即可得；

(2)将分式不等式转化为整式高次不等式后计算即可得；

(3)将分式不等式转化为整式高次不等式后，结合分母不为零计算即可得；

【详解】(1)(产)(1))0,即"+l)(x—1)"-2)>0,

x-2

令(x+)(工-2)=0,有x=-l或x=l或x=2,

则该不等式的解集为(-l」)U(2,+g)；

(2)

-----—~~~>0,K|J(x+l)(x-Tr(x-2)'>0,

(x-2)

令(x+l)(x-l)2(x-2p=0,有x=-l或x=l或x=2,

又(x-l>20恒成立，

故该不等式的解集为(F「1)U(2,+OO)；

(3)

之0f(x+l)(x-l)2(x-2)3^0

(x-2)--

由(x-2)，0,故XH2,

对(X+1)(X-1『(X-2)3>0：

15/40

令（x+l）（x-l）“（x-2），=0,有x=-l或x=l或x=2,

又（x-1）飞0恒成立，故有XC（Y），TU{1}U[2,+OO）,

故该不等式的解集为（-8,-l]U{l}U（2,y）.

题型四、一元二次不等式求参数问题（常考点）

1.若不等式32+/>工十2>0的附小集是（X—,则aT/）的值为（）

A.-10B.-14C.1（）D.14

【答案】B

【分析】由含参一元二次不等式解集及根与系数关系列方程求参数，即可得答案.

a<0

b111[a=-12

【详解】由题设一一=一彳+彳=一£，可得^，故。+6=-14.

a236b=-z

故选：B

2.（23-24高一上・江苏泰州•开学考试）已知函数歹=/+队+3（其中〃是实数）中，y的取值范围是[0,+8）,

若关于x的不等式/+瓜+3<c•的解集为m-8<%〈机，则实数c的值为（）

A.16B.25C.9D.8

【答案】A

【分析】首先根据值域得82=12,再利用韦达定理代入卜2-玉|=+-心也即可得到方程，解出即可.

【详解】因为y的取值范围是M”），则12=0,且一^之。，解得b=—2百，

因为不等式/+区+3<。的解集为胆

则令/+队+3=6，即/+bx+3-c=0，两根玉二/〃-8,占二〃？，

则卜2_I=7（X1+X2）2~^X\X2=Jg_4（3_,=8*

即J12-4（3-c）=8,且判别式△=/—4（3—c）=12—4（3—c）>0,

解得c=16,

故选：A.

3.（24-25高一上•湖北黄冈•期中）（多选题）已知关于x的不等式如2+公+CNO的解集为3-2W3},

下列说法正确的是（）

A.a<0

B.ab>0

16/40

C.a+b+c>0

D.不等式c/-bx+a<0的解集为*|xv-g或

【答案】AC

h=­a

【分析】由已知得。<0,且-2和3是方程⑪2+云+c=（）的两个实数根，由韦达定理求出，对选

c=-6a

项逐个判断即可.

【详解】因为关于x的不等式ad+bx+cN。的解集为{X|_2WX«3},所以。<0,故A正确.

由题意得，-2和3是方程尔+云+°=0的两个实数根，

因为a<0,b=-a>0,所以R?<0,故B错误.

a+b+c=a-a-6a=-6a>0,故C正确.

111av2+a<0W-6ax2+ax+a<0»即6--x-l<0,解得一故D错误.

故选：AC.

4.（23-24高一上•辽宁丹东•期中）（多选题）已知一元二次不等式ad+bx+c40的解集为{xlxW-l或x23},

则（）

A.a>0B.2a+b=0

C.a+b+c>0D."-c+1w-VJ

2a

【答案】BCD

【分析】由题意知T,3是方程的两根ax2+bx+c=0,且a<0,根据韦达定理可得出a,h,。的关系，代入

各项即可判断.

【详解】一元二次不等式以2+笈+°Ko的解集为5|x工_［或x23},

则一1,3是方程的两根a*2+力工+c=o,且°<0,

则A错误；

2a+b=2a-2a=0,B正确：

a+b+c=a-2a-3a=-4a>0,C正确；

3b2-c2+\12a2-9a2+13a2+1313a1»43a1也口内业一3。1

--------------=------------------=---------=-a+-=-(r——b——)<-2J-------------心，I且仅当二一=不

2a2a2a22422a丫22。2-2

17/40

即“=_立时，等号成立.故变二"14-石，D正确.

32a

故选：BCD

5.（23-24高一上•云南昆明・期末）（多选题）已知£wZ,若关于x的不等式/-x＜£（x-1）只有一个整数

解，则左的可能取值有（）

A.-1B.1C.2D.3

【答案】AD

【分析】分类讨论4的取值范围，结合不等式/-工＜女（、-1）只有一个整数解，确定A的取值，即得答案.

【详解】关于X的不等式/2一工＜4。一1）即F一伏+|）x+〃＜0,

即（1）（.j）＜0,

当上=1时，（x-l）（x-〃）＜0即（x-l）2＜0,解集为空集，不合题意：

当时,（x-l）（x-4）＜0的解满足1cx〈左,

要使得关于X的不等式工2-工＜3-1）只有一个整数解，需2〈人3,

由于AwZ,故〃=3；

当#＜1时,的解满足:＜xvl，

要使得关于x的不等式/-工＜々。-1）只有一个整数解，需-14k0,

由于AwZ,故人=一1,

综合得上的可能取值7,3,

故选：AD

6.（多选题）若关于x的不等式f-（〃?+3）x+3〃?＜0的解集中恰有3个整数，则实数〃?的取值可以是（）

13I113

A.——B.——C.vD.—

2222

【答案】BD

【分析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可.

【详解】由f-（〃7+3）x+3m＜0,得（x—3）（x—〃?）＜0

当加＞3时，不等式（工-3）（工-〃?）＜0的解为3c＜/〃，要想有3个整数解，只需6＜〃/7；

当阳=3时，不等式5-3）（人」〃?）＜0的解集为0,不符合题意：

当拉＜3时，不等式（工-3）。-〃?）＜0的解为桃＜》＜3,要想有3个整数解，只需-"/〃＜0；

综上所述：实数机的取值范围是（6,7]=[-1,0）.

对选项逐一检验，只有〃?=-：,，〃=；符合.

22

故选：BD

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7.（24-25高一上,安徽黄山•期末）若关于%的不等式（r-4）x2+（a+2）x-lN。的解集不为空集，则实数a

的取值范围为.

【答案】S—2）U肉+8

【分析】对。分类讨论，结合二次不等式与二次函数的关系即可分类求解.

【详解】若。=-2,则不等式为-120,不符合题意，舍去，

若。=2,则不等式为4X-1N0,解得工之!，符合题意，

4

若G>2或”一2,此时/_4>0,丁=（/一4卜2+（〃+2）》一1为开口向上的二次函数，

此时不等式的解不为空集，符合题意，

若—2<。<2,此时。2一4<0，）=（。2-4卜2+卜/+2八一1为开匚向下的二次函数，

要使不等式的解不为空集，需要满足所以"”？，

综上可得a21或a<-2,

故答案为：（-oo,-2）u

题型五、一元二次不等式恒成立问题（难点）

1.（24-25高一上•重庆・期中）当x>0时，/+办+1>%恒成立，则。的取值范围为（）

A.-1<«<3B.-1<«<3C.a>-\D.a>-2

【答案】C

【分析】问题转化为士皿:r+1-L恒成立，再结合基本不等式求解即可；

XX

【详解】当x>0时，/+ax+1>七恒成立，等价于a〉上"―^-x+l-L恒成立，

XX

又-X-L+1£-2^x5+1=-1,当且仅当工=:即x=l时取等号，

所以a>-1,

故选：C.

2.（24-25高一上•河北邢台•月考）对任意的;4x41,关于xR勺不等式（。+2）.5—4x+l之0恒成立，则。

的取值范围为（）

A.a>-2B.a>-C.a>2D.a>\

2

【答案】C

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14

【分析】参变分离，得到。+22-=+一，再由二次函数求最值即可.

【详解】由题意得(。+2).一24x—l,由;KxKl,得/>0,

则4+224^r-^l=-13+4上，恒成立.

X2X2X

令Z」，得Z=k[l,4],

AX

则二次函数y=—r+4/=-(/-2丫+4«4,当/=2时，取得最大值，所以。+224,

所以〃的取值范围为〃N2.

故选:C

3.(24-25高一上•河南驻马店•期中)<4VXG[-2,1],/(%)=公+%-卜<0(。FR)”的一个充分条件可以是

()

A.B.。二2

C.a=\D.a=0

【答案】B

【分析】/(力=/+2公一3〃<0转化为/(x)a<0,而/(')g是/⑴或/(一2)(把“X)看成。的一次函

数)，所以只需满足/⑴或/(-2)<0即叽

【详解】若函数/(x)=x2+2a.3〃<0在[-2,1]上恒成立,

/(1)=1+2«-3«<0

则只需

/(-2)=4-4^-3«<0

解得。〉1,即。的取值范围是(1,+e),

故"Vxe[-2,l],/(x)=x2+2or-3a<0(awR)”的一个充分条件可以是“a=2

故选：B

4.(24-25高一上•江苏南通・期中)，«-1,+8)/2+(1-4及+"左20恒成立，则实数4的取值范围为()

A.(-=»,-1]B.(-oo,0]C.(-3,1]D.(―1]

【答案】D

【分析】转化问题为％41+x+1对于x€(—1,也)恒成立,进而由立£1l=x+l+」一一1结合基本不等式

x+1x+1x+1

求解即可.

【洋解】由V+(l—%)x+l—攵之0.得女“+，+1,

X+1

则问题转化为k4"2；+1时xe(-L+8)恒成%

20/40

22

-T7X+X+\(x+l)-(x+l)+l1I、」~~~t,

义-------=-----------L-=x+1+-----1>2j(x+1)------1=1»

x+1x+\x+1Vx+1

当且仅当x+l=-；,即x=0时等号成立，

x+1

所以&K1,即实数攵的取值范围为

故选:D.

5.(24-25高一上・安徽亳州•期末)己知函数/(x)=(/-4)/+(a-2)x+4(4cR).

4

⑴若不等式/(x)<0的解集为或cl,求〃的值；

(2)若不等式/(x)>0对一切实数K恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)。=1

(2)卜8,-磊)32，+8)

【分析】(1)根据不等式的解集,利用韦达定理即可解：

(2)讨论/_4=0和/_4。0时，/(力>0恒成立的条件，然后求解即可.

【详解】⑴因为不等式/(4)<0的解集为"卜3或丫〉，

所以方程(/-4卜2+(。-2)彳+4=0的两根为—小1,

a2-4^0

解得a=1.

(2)当/一4=0时，a=±2,

若a=2,不等式/(x)>0转化为4>0对•切实数x恒成立，显然满足题意；

若”=一2,不等式〃x)>0转化为-4x+4>0对•切实数，恒成立，易知不满足题意;

[a*—4>0

当，-4HO时，由题意可知，LJ,八，八

|A=(a-2)-4(a2-4)x4<0

解得a<_,34或a>2.

1J

综上，实数〃的取值范围为18,-V)U[2,+8).

6.(24-25高一上•四川眉山・期中)已知用为实数，集合/二卜|04丫44}.

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⑴若命题“Hre4