高一预习：函数的应用（一）-初升高数学暑假专项提升（人教版）

3.4函数的应用(一)

【知识梳理】

知识点一一次函数模型

形如)，=丘+〃的函数为一次函数模型，其中々六0.

知识点二二次函数模型

1.一般式：)，=加+饭+c(〃K0).

2.顶点式：y=a(x—h)2-\-k(a^0).

3.两点式：y=a(x—ni)(x—n)(a^0).

知识点三幕函数模型

1.解析式：y="+"b,a为常数，。工0).

2.单调性：其增长情况由片中的a的取值而定.

【基础自测】

1.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以

上事件吻合得最好的图象是()

【答案】C

【详解】由题意，先匀速行驶，位移时间图象应是直线，停留一段时间，应该是平行于“轴的一段线段，

之后加速，应该是上凸的曲线.

2.某厂日产手套总成本“元)与手套日产量M副)的函数解析式为y=5x+400(),而手套出厂价格为每副10

元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()

A.200副B.400副C.600副D.800副

【答案】D

【详解】每天的利润W(x)=IOx-y

=10x-(5x+4000)

=5A—4000.

令W(x)，()，・・・5%一400020,解序x28()0.

所以为了不亏本，日产手套至少为800副.

3.(多选)某商品A以每件2元的价格出售时，销售量为10万件.经过调查，单价每提高0.2元，销售最减

少5000件，要使商品A销售总收入不少于22.4万元，该商品A的单价可定为()

A.2.6元B.2.8元C.3元D.3.2元

【答案】BCD

故选:BCD

4.用长度为24m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为

【答案】3

【详解】设隔墙的长为xm,矩形面积为Sn?,

24—4x

则S=x~9--=x(12-2r)=-2r+12x

=-2(X-3)2+18,0<.V<6,

所以当K=3时，S有最大值为18.

5.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图

表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间Mmin)的关系，其中甲在公园休息的时间是10min,

那么)，=y&)的解析式为________________.

*x,04W30,

【答案】y=fix)=<2,30a<40,

■jp：—2,404W60

【详解】由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得

(1

■j^x,(XW30,

y=/(x)=v2,30<V<40T

■j^v—2,4(XW60.

【例题详解】

一、二次函数模型

⑴求使用设备生产多少年，总利润最大，最大是多少？

⑵求使用设备生产多少年，年平均利润最大，最大是多少？

⑵使用设备8年后的年平均利润最大，且最大值为8万元

【详解】（1）设该设备使用x年后获得总利润为）'万元，

（2）由（1）可知，年平均利润为

所以使用设备8年后的年平均利涧最大，且最大值为8万元.

⑴估计该设备从第几年开始实现总盈利；

⑵使用若干年后对该设备处理的方案有两种：

方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；

方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以6077元的价珞处理：

问哪种方案较为合理？并说明理由.

【答案】（1）第2年；（2）方案二，理由见解析

（2）根据二次函数性质和均值不等式分别计算总利润，得到总利润相同，再比较时间得到答案.

（2）方案二更合理，理由如下：

综上所述：两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适.

二、分段函数模型

⑵当2022年产量为多少千辆时，该企业利润最大?最大利润是多少？

（2）当2022年产量为5千辆，该企业利润最大，最大利润是380万元.

【分析】（1）根据已知，利用获利减去成本得到利润；

（2）利用一次函数、二次函数以及分段函数求最值.

故当2022年产量为5千辆，该企业利润最大，最大利润是380万元.

（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？

（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A,8两种芯片.设投入上千万元生产8芯片，用/（幻表示公司

所获利润，当上为多少时，可以获得最大利润?并求最大利润.（利润=A芯片毛收入+8芯片毛收入发耗费资

金）

（2）由（1）的结果，比较即可.

回当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入大；

当投入资金等于16千万元时，生产A、A芯片的毛收入相等；

当投入资金小于16千万元时，生产8芯片的毛收入大

（3）公司投入4亿元资金同时生产A、3两种芯片，设投入4千万元生产8芯片,

【课堂巩固】

1.下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（）

①这几年生活水平逐年得到提高；

②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；

③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；

④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】认真观察图形就可以判断.

【详解】由图知，“生活费收入指数〃减去"生活价格指数〃的差是逐年增大的，故①正确;

“生活费收入指数”在2014〜2015年最陡；故②正确；

“生活价格指数”在2015〜2016年最平缓，故③不正确；

“生活价格指数”略呈卜.降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故④正确.

故选：C.

【答案】D

它的图象如D选项所示;

故选：D.

3.如图所示，液体从一个圆锥形漏斗漏入一个圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满液体，经过3秒漏完，圆柱

形桶中液面上升速度是一个常量，则漏斗中液面下降的高度H与下降时间t之间的函数关系的图象只可能

【答案】B

【解析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的体积相同，当

时间取1.5分钟时，液面下降高度与漏斗高度的搭比较.

【详解】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，

当时间取夕时，漏斗中液面下落的高度不

会达到漏斗高度的对比四个选项的图象可得结果.

故选：B.

【点睛】本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题.在解答的过程当中充分体现了分段函数的知

识、分类讨论的思想以及函数图象的知识.属于基础题.

【答案】B

故选：B.

5.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价〃，计费方法如下:

每户每月用水量水价

2.5元/m‘

5元/m’

7.5元而

若某户居民本月交纳的水费为65元，则此户居民本月用水量为（）

【答案】A

【详解】设用户的用水量为xn?,缴纳的水费为y无，

故选：A.

A.5小时B.6小时C.7小时D.8小时

【答案】C

共计7个小时.

故选:C

D.6

【答案】C

所以每辆客车营运5年时，其营运的年平均利润上最大,

X

故选：C.

8.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图所示，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截

取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x,），应分别为.

【答案】15,12

【详解】由题干图知居y满足关系式看=专£

1U

即v=24—TX,

矩形的面积S=冷，=乂24_*r）=-

故上=15,），=12时，S取最大值.

9.某市的租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米（不超过3千米按起步价付费）；超过3千

米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8二米时，超过部分按每千米2.85元收费，另

每次乘坐需付燃油附加费1元.若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费元，若某人乘坐一

次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了千米.

【答案】14.599

【详解】设出租车行驶x千米时，付费），元，

9,0<rW3,

则）,=<8+2.15（工一3）+1,3<YW8,

8+2.15X5+2.85（x-8）+l,x>8,

当工=5.6时，,=8+2.15X2.6+1=14.59（元）.

由y=22.6,知心>8,

由8+2.15X5+2.85（x-8）+1=22.6,解得x=9.

【分析】设出矩形的一边长，用总长度表示出另外一边长度，最后表示出面积的二次函数表达式，利用配

方法可得答案.

11.某家庭进行网上理财投资，根据长期收益率市场预测，投及债券等稳健型产品的年收益与投资额成正

比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的年收益分

别为0.125万元和0.5万元（如图）.

⑴分别写出两种产品的年收益与投资的函数关系式：

（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收

益是多少万元？

⑵当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.

【分析】（1）根据待定系数法可得；

（2）设用于投资稳健型产品的资金为X,写出年收益的解析式，利用换元法可得最大年收益.

所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.

12.手机上网每月使用量在500分钟以下（包括500分钟）、60分钟以上（不包括60分钟）按30元计费，超过

500分钟的部分按（）.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上（包括

1分钟）按0.5元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费.

①12月份小王手机上网使用量20小时，要付多少钱？

②小舟10月份付了90元的手机上网费，那么他上网时间是多少？

③电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？

【详解】设上网时间为x分钟，由已知条件知所付费用y关于x的函数解析式为y=

。OWxvl,

O.5.r,l«60,

30,60<rW5()0,

.30+0.15(x-500),x>500.

①当x=2OX6O=l200,即x>500时,应付y=3O+O.15X（l200—500）=135（元）.

②90元已超过3（）元，所以上网时间超过50（）分钟，由30+0.15（工一500）=9（）可得，上网时间为900分钟.

③令60=30+0.15。-500）,解得x=700.

故当一个月经常上网（一个月使用量超过700分钟）时选择电脑上网，而当短时间上网（一个月使用量不超过

700分钟）时选择手机上网.

【课时作业】

A.实数〃?的值为10000B.销售单价越低，直播在线购买人数越多

C.当x的值为30时利润最大D.利润最大值为10000

【答案】D

由题意可得所得利润为：

故选：D.

2.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过

50co元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按卜表分段累计计算：

全月应纳税所得额税率

不超过3000元的部分3%

超过3000元至12000元的部分

超过12000元至25000元的部分

有一职工八月份收入20000元，该职工八月份应缴纳个税为（）

A.2000元B.1500元C.990元D.1590元

【答案】D

故选：D.

3.将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出4co个，每涨价1元，销售量就减少20个,

为了使商家利润有所增加，则售价。（元/个）的取值范围应是（）

【答案】A

【详解】设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，

故选:A

A.5B.10C.15D.20

【答案】B

【分析】依据题意列出不等式即可解得丫的最小值.

则V的最小值为10.

故选：B

5.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长工为（）

m.

A.400B.12C.20D.30

【答案】C

【分析】设内接矩形另一边长为），，可得y=40—x,求出面积即可得出最值.

解得y=40~x,所以面积S=x（4C—x）=-X24-40.V=—（^―20）24-400（0<x<40）,

当.r=20时，§2=400.

故选:C.

6.在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后,

血液中的药物含量呈指数衰减.卜.面能反映血液中药物含量。随时间，变化的图象是（）

【答案】B

【分析】根据在2〃内，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含最呈指数衰减即可得

出.

【详解】解：在在2〃内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A,D,

停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C.

能反映血液中药物含量。随时间/变化的图象是B.

故出

D

p

84mC

分段画出函数图形可得其形状与C接近

故选：C.

【点睛】解决本题的关键是将S的表达式求出来，结合自变量的取值范|制，分类讨论后求出S的解析式，属

于基础题.

A.80元B.60元C.50元D.40元

【答案】D

故选：D.

【答案】40

【分析】根据题意求出某商场每天获得销售利润）'关于售价X的函数关系式，再根据二次函数知识可求出结

果.

【详解】设某商场每天获得销售利润为了（元），

所以若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为4。元.

故答案为：40

10.长为5、宽为4的矩形，当长增加右且宽减少］时面积最大，此时x=,最大面积5=

【答案】I詈

故答案为：萼.

2o

⑴将利润尸（单位：元）表示为产量X的函数；（总收入=总成本+利润）

⑵当产量为何值时，零件的利润最大？最大利润是多少元？

⑶当产量为何值时，零件的单位利润最大？最大单位利润是多少元？

⑵当月产量为300个时利润最大，最大利润为25000元

⑶当产量为20个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元

【分析】（1）根据已知条件，结合利润公式，即可直接求得.

（）当时，（）2故当时，

20Vd400y=-yx-3004-25000,x=300ymOx=25000：

当工>400时，），=60000—100工是减函数，故y<60000-100x400=20000.

所以当月产量为300个时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元.

故当产量为200个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元.

（1）求函数H与K的解析式；

（2）若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值.

（2）设销售甲商品投入资金大万元，则可得利润关于x的函数，利用换元法可求利润的最大值.

答：该商场所获利润的最大值为?万元.

【点睛】本题考查函数的应用，注意模型的正确构建，对于无理函数的值域问题