高考数学一轮复习（新高考版）强化训练4 三角函数中的综合问题

强化训练4三角函数中的综合问题

用基础保分练

1.（2020.北京东城区模拟）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自

成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几

何？"（一步-1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为

（）

A.135平方米B.270平方米

C.540平方米D,1080平方米

答案B

1124

解析根据扇形的面积公式，S=?r=；X45X空=270（立方米）.

2.（2021・日照联考）在平面直角坐标系xQy中，角a的顶点在原点O,以x轴非负半轴为始边,

终边经过点P（l,〃?）（〃?〈（）），则下列各式的值恒大于0的是（）

A.sina+coso.B.sintz—cosa

C.sinacosaD.eq

答案D

解析由题意知sina<0,cosa>0,sina+cosa的符号不确定，A不成立；sina—cosa<0,B

不成立；sinacosa<0,C不成立；lana<0,:一>（）,D成立.

Idlla

3.（2021•张家口质检）已知锐角a满足3cos2a=l+sin2a,则cosa等于（）

A.eqB.eqB.C.eqC.D.eqD.

答案A

解析3cos2a=1+sin2a可化简为

3（COS2«—siira）=siir«+cos2a+2sinacosa,

即3（cosa-sina）（sina+cos«）=（sina+cosw）2,

因为a为锐角，所以3（cosa-sina）=sina+cosa,

化简得到cosa=2sina,

代入sin%+cos%=1,解得cosa=^^.

J

4.（2020•东三省四市模拟）已知直线），=-2与函数人x）=2sin*（其中/>0）的相邻两交点

间的距离为冗，则函数7U）的单调递增区间为（）

A.ecpk^Z

B.eq.MZ

C.eq,k£Z

D.cq,kSZ

答案B

解析Vy=-2与函数JCr）=2sin（QK-*（其中①>0）的相邻两交点间的距离为兀，

，函数的周期T=g即普=兀，得a=2,

则於）=2siQ-9，

由

2E—NOnk^Z,

得E-雪，A£Z,

即函数火x）的单调递增区间为［反一=，E+骂］,kRZ.

5.（多选）给出下列函数：①），=cos|2H；②y=|cosx|：③尸⑥侬+卷）；④尸tan（2x一5其中

最小正周期为冗的有（）

A.①B.②C.③D.@

答案ABC

解析①中，y=cos|2.r|=coslx,其最小正周期为兀；②中，知y=|cos川是y=cosx将/轴下

方的部分向上翻折得到的，故周期减半，即），=|cosx|的最小正周期为兀；③中，），=cos（2r+/

的最小正周期7=竽=几；

④中，），=tan（2x—；）的最小正周期7=与

6.（多选）（2020•宁德模拟）已知函数/U）=sin（3+0）（M>0,|夕|<9的最小正周期为兀，且将图象

向右平移各个单位长度后得到的函数为偶函数，则下列关于儿］）的说法错误的是（）

A.关于点（含0）对称B.关于直线k寿寸称

C•在［一有用上单调递增D.在［有用上单调递减

答案ABD

解析:/U）的最小正周期为兀，

*,*7，=~=7T,得（9=2,

此时y(x)=Sin(2x+3),

将图象向右平移合个单位长度后得到

产si42（L专）+J=sin3+9*）,

若函数为偶函数，则勿一季=加+去k《Z,

得0=4兀+寸，火£Z,

VM<!，・,•当2=—1时，（P=~y

则/U）=sin（2x-1）,

则/罔=sin（2X驾_*sin*1,

故阿不关于点修，0）对称，故A错误;

sin（2X^—^J=sin0=0,

故段）不关于直线对称，故B错误；

当一有相时，一亨W2丫号W?,此时函数外）为增函数，故C正确;

当,WxW需时，一台2L黑拳此时函数启）不单调，故D错误.

7.（2020.咸阳模拟）若1211〃=；,311（仪+/?）=白，则tan«=.

答案|

解析因为£=（a+0）-a,

且tana=；,tan（a+/<）=^,

所—以31^八=3叱（。+,£小）—0=不tan藏（«+^冷）—商tana"

1I

2—311

=-I1=5,所以tan夕=不

1+落

乙<J

8.（2020•咸阳质检）己知cos2x—sin2r=Asin（5+w）+b（A>（）,（o>0）,则A=，b=

套案亚-

令2E/2x+号WTI+2E,2£Z,

解得一专k£Z,

则函数y=_"）在［。，号上单调递减,

故。的最大值是名

11.已知函数./U)=，5cos2x+sinG+卦sing—54

（1）求府）的最小正周期及刈称中心;

⑵若刎=3，且a£偌，求cos2a的值.

解（1加工）=小「+；s1+$访（5+止一看卜亩«一§一坐

=^cos2x+；X2COSQ

4Ism

fcos2x4in(2x-g

卑。sin2X-2-cos

=^sin2x^4-cos

=1sin(2r+f).

所以7U）的最小正周期T=y=7c.

由2x+1=E,上Z得尸竽一去kez,所以外）的对称中心为管一/0）,kez.

⑵由刎=、得sin（2a+§=/,

佶，&

因为所以2a+罗仁

2'兀，

所以1-sin，2a+W

=-"你=_24

3，

=cos(2a+§.cosj+sin^2«+^j-sin71

3

2^/21,1y［3<3~>72

一3，2+彳2-6-

12.设/(x)=2小sin(ii-x)sinx—(sinx—cosx)2.

(1)求函数7u)的单调递增区间；

⑵把函数y=/(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象

向左平移1个单位长度，得到函数.y=g(x)的图象，求的值.

解(1)由/(x)=2V3sin(7r—x)sinx—(sinx—cosA)2

=2小sin2%—(1—2sinxcosx)

=小(1—cos2r)+sin2x~\

=sin2x-•\/5cos2x+小一］

=2sin(2x-§+小一1.

由2E—与W2E+4(k£Z),

乙、J

得E一柿&£Z).

所以的单调递增区间是［e—专，E+招］(k£Z)(或(质―专，E+尚伙WZ)).

(2)由(1)知火x)=2sin(2x-T)+小一1,

把)，=/&)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，

得至iJy=2sin(x-g+，§—l的图象，

再把得到的图象向左平移W个单位长度，

得到y=2sinx+5一I的图象，

即g(x)=2sinX+A/3—1.

所以庶)=2sin卷+#-1=小.

“技能提升练

13.(2020•厦门质检)已知函数；U)=sin(Q»+§+cos加:(/>())在［0,向上的值域为弓，小］,则

实数切的取值范围是()

A.eqB.eqB.C.eqC.D.eqD.

答案A

解析_/U)=sin(cox+§+coscox=^sin①x+'coss=^sin(⑦x+空)，

因为x£［0,河，所以（yx+券W，/兀+T，

因为府）在［0,句上的值域为，,由］,

所以与WCM+依，，所以!WCOW：

23303

14.已知函数/U）=2COS（Q»+0）+1（G>0,kl<5）,其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为

y,若心）>1对任意（一各3恒成立，则8的取值范围是.

答案［一去0

解析由题意可得函数4r）=2cos（sr+0）+1的最大值为3.=/U）的图象与直线y=3相邻两个

交点的距离为冬・•&•）的周期7=季••粤斗，解得0=3,

・\/（x）=2cos（3x+9）+对任意x£（—自，恒成立，，2cos（3x+0）+l>l,即cos（3工

+夕）>（）对任意工£（一有恒成立，.■・一彳+伊2女兀一多代Z且,+夕.24兀+会kGZ,解

得/22E—&£Z且w〈2E,〃£Z,即2E—彳〈夕W2E,2£Z.结合|初<^可得，中的取值

范围为［一去0.

立拓展冲刺练

15.（2020・安庆模拟）已知函数y（.r）=2（|cosx|+cosx）-sinx,给出下列五个命题:

①/（©的最小正周期为冗；

②/U）的图象关于直线尸割称；

③/U）在区间［一会制上单调递增；

④/U）的值域为［一2,2］；

@/U）在区间1―2兀，2汨上芍6个零点.

其中所有正确的编号是（）

A.②④B.①©⑤

C.③④D.②③©

答案C

,函数第）=小,/（T）=o..V（f）

解析7(x)=2(|cosM+cosx)sinx=2|cosxjsinx+sin2x

传），故函数府）的最小正周期不是冗，故①错误;

—x=2cos—cos—

由于/(^2)[|(2|+(2=2(|sinM+sinx)-cos

故府)的图象不关于直线对称，故②错误；在区间［/制上，2回一看可，

/(x)=2|cosx|sinx+sin2x=2sin2r单调递增，故③正确；当cosxeO时，/(x)=2|cos,t|s:nx+

sin2x=2sinxcosx+sin2.v=2sin2x,故它的最大值为2,最小值为一2；当cosx<0时，.人工)

=2|cosx|sinx+sin2x=-2sin.rcosx+sin2x=0,综合可得，函数於)的最大值为2,最小值

为一2,故④正确；当cosx<0时，“r)=0,在区间［―2X，2兀］上有无数个零点，故⑥错误.

16.如图所示，四边形ABC。是一块边长为7米的正方形铁皮，其中A77V是一半径为6米的

扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用.工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边

落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR,其中P是弧7N上一点.设N7H