高考数学一轮复习（新高考版）强化训练8 空间位置关系中的综合问题

强化训练8空间位置关系中的综合问题

S基础保分练

1.（2021・保山模拟）下列叙述错误的是（）

A.若PRaC。,且则

B.若直线则直线。与力能确定一个平面

C.三点A,B,C确定一个平面

D.若AW/,BW/且则/U。

答案C

解析选项A,点P是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B,由公理的推论可

知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C,只有天共线的三点才能确定一个平面，故

错误；选项D,由公理1得，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内.

2.（2021・资中模拟）若人，（2为异面直线，直线右与/2平行，则人与/3的位置关系是（）

A.相交B.异面C.平行D.异面或相交

答案D

解析将直线/2,/3放在正方体中，作为正方体的棱，可知D选项正确.

3.（2021・潍坊模拟）已知”，〃为不同的直线，a,少为不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.若a_La,bLa,则

B.若小bUa,a//p,则a〃/7

C.若a〃a,bLp,a//b,则

D.若aC0=b,〃Ua,aLb,则a_L//

答案C

解析A选项，若a_La,bJ_a,则/?〃a或/?Ua,A错；B选项，若a,bUa,a〃b//p,

当时，a与夕可能相交，故B错；C选项，若。〃乩b邛,根据线面垂直的性质，可

得。_1_夕，又。〃a,根据面面垂直的判定定理，可得。3_夕，故C正确；D选项，若aC$=b,

aU%aJ_b,垂直于交线，并不能推出垂直于另一平面，因此不能得出a邛,即不能推出〃_L/?,

故D错.

4.（2021•合肥模拟）如图,在直三棱柱ABC—4B1G中,。为48的中点，AB=BC=2BB\=2,

AC=2小,则异面直线80与AC所成的角为（）

AC

B

A.30°B.45°C.60°D.90°

答案C

解析如图，取81G的中点E,连接BE,QE,则AC〃4G〃QE,

所以NBDE即为异面直线与AC所成的角或其补角,

由已知可得8。=。E=8七=5，/XBOE为正三角形，所以/9。E=60。,

所以异面直线8。与4C麻成的角为60。.

5.（多选）如图，在正方体A8CQ-A由Cid中，下面结论正确的是（）

A.BO〃平面OS。］

B.ACilBD

C.平面ACG4J_CB|O|

D.异面直线入。与CS所成的角为60。

答案ABC

解析对于A,为正方体,

:.BD〃BiDi,由线面平行的判定可得80〃平面CBi。，A正确;

对于B,连接AC,

,：ABCD~A\B\C\D\为正方体，

・・・8QJ_AC,且CG_L8O,由线面垂直的判定可得4。_1_平面4CG,A«D±ACi,B正确;

对于C,由上可知BOJL平面ACG,

入BD〃B\D\,・・・8O_L平面ACG,

则平面ACCi4J_CB|。,C正确；

对于D,异面直线A。与CBi所成的角即为直线BC与CBi所成的角为45。，D错误.

故选ABC.

6.（多选）如图，棱氏为1的正方体ABCQ-AIBIGDI中，P为线段4B上的动点，则下列结

论正确的是（）

A.平面。|A|P_L平面4A产

B.NAPS的取值范围是（0,.

C.三棱锥办一。iPC的体积为定值

D.OG_LOiP

答案ACD

解析在A中，因为AiQ_L平面人MP,

4£>iu平面D\A\P,

所以平面£）］A|P_L平面ApAP,故A正确；

在B中，当户与A］重合时，ZAPDi=j,故B错误；

在C中，因为△小。iC的面积是定值，

AI〃平面BQC,

所以点P到平面SQC的距离是定值，

所以三棱链一。iPC的体积为定值，故C正确；

在D中，因为DCiA.BC,DiCn«C=C,DiC,BCu平面BCTMi,

所以。G_L平面8CQA,又。iPu平面BCQAi,所以Z）G_LO|P,故D正确.

7.如图所示，在三棱锥A-6CO中，截面EFG平行于底面，RAE：AB=\：3,已知△3CO

的周长是18,则△EFG的周长为.

c

答案6

解析由已知得石尸〃8D,EG//BC,FG//DC,

:.△EFGsWDC,

./XEbG的周长EF

的周长=丽'

..EF=AE=]_

入•BD~AB~V

所以第=注解得CP喙

故截面与平面8CGS交线段

PE=、CE2+CP2=^22+（j）2=y.

10.（2021.海淀模拟）已知正四面体A—8c。的棱长为2,点E是A。的中点，点尸在线段8C

上，则下面四个命题中：

®BFG5C,EF//AC；

②FFRB3EFW小;

③mFQBC,E〃与A。不垂直；

④VFGBC,直线石尸与平面BCO夹角正弦的最大值为坐

所有不正确的命题序号为.

答案①③

解析如图，

对8c后产与AC异面或相交，故①错误；

当点”为3C的中点时，EF为异面直线AQ和8c的公垂线段，此时科取得最小值，当”

与B,C重合时，石厂取得最大值小，故②正确；

因为AD1.CE,BEACE=石，所以4/）J_平面BEC,故AOJLE凡故③错误；

因为E到平面8C。的距底为定值乩设直线所与平面8c。的夹角为仇则sin0=4：,当F

Hr

为8c的中点时，易知E尸为异面直线A。和8。的公垂线段，此时E尸取得最小值，sin6=^H7r.

有最大值，此时。r=小，DE=1,故信产=73—1=啦,由可知，EFDE=DFd,

解得d=坐,所以$in8=《=坐，故④正确.

JLrJ

11.（2020・长春模拟）如图，在四棱锥P-/WCZ）中，底面ABCO为梯形，AB//DC,NBAO=

90。，点E为PB的中点，且CD=2AO=2A8=4,点/在CD上，且。尸=!尸C.

(1)求证：E尸〃平面必。；

⑵若平面〃。_L平面ABC。，且％_LPO,求三棱锥P—CEb的体积.

⑴证明如图所示，取以的中点M,连接。M,EM,

因为点E为P8的中点，且CD=24O=2AB=4,

所以EM//AB且EM=^AB=1,

因为DF=|FC,

所以。b=；QC=l,所以EM=Q/=1,

又因为A8〃QC,所以EM〃DF,

所以四边形EMDF为平行四边形，

所以EF//DM,

又QMU平面PAD,EH平面PAD,

所以EF〃平面PAD.

⑵解S体形的7)=](1+2)X2=3,

S^BCF=2X3X2=3,

所以S&BCF=K棒形A8C。，

因为平面B4OJ_平面43CD,且平面以。C平面44co=A。，PA=PDt取AO的中点N,连

接PN,

则PNJ_平面ABC0

因为以_1_尸。，所以PN=；AO=1,

所以Vp-CEF=；Vp-BCF=；Vp—A8CD=WxgxSABCDXPN=~^X6X1=^.

12.如图，在三棱锥4-4C3中，AB=BD=AD=AC=2,△4CO是以4。为斜边的等腰直角

三角形，P为的中点，石为B。的中点.

C

(1)求证：AE_L平面BCQ；

(2)求直线PD与平面ACD所成角的正弦值.

(1)证明由题图可知，是边长为2的等边三角形,

•••E为B。的中点，：,AELBDy且

如图，连接CE,

•・•△8CO是斜边长为2的等腰直角三角形，JCE=；BD=1,

在△AEC中，AC=2,EC=1,AE=y[3,

222

/.AC=AE+ECf：.AELEC.

■:BDC\EC=E,BQU平面BCD,ECU平面BCD,

平面BCD.

⑵解方法一取CO的中点居连接AF,EF,

*：AC=ADt：.CDA.AF.

由(1)可知，AEXCD,

*：AEQAF=A,AEU平面AE/,A尸U平面AE尸，

.•・CO_L平面AEFt

又COU平面AC。，・•・平面人石尸_1_平面ACO.

设P。，AE相交于点G,则点G为△AB。的重心，

•»AG=DG=~^AE=•

过点G作GHA.AF于H,则GH_L平面ACD,

连接。H,则NGOH为直浅P。与平面ACO所成的角.

易知AAGHsRAFE,EF=^BC=堂,4T

2.

"

••GH-AF"-近义221

2

GH_巾

••・sin/GQ〃=~DG~7

即直线尸。与平面AC。所成角的正弦值为乎.

方法二由(1)可知AE_L平面BCO,且CE_LB。..••可作如图所示的空间直角坐标系E—xyz.

A7)=(0,1

3

-

5>=(o,-

2,

设平面ACO的一个法向量为〃=（x,y,z）,

.n-AD=0,即小z=0,

l〃a=o,lr+y=°，

取x=y=l,则z=呼，

・・・〃=（1,I,用为平面4c。的一个法向量，

设P。与平面ACO所成的角为&则

.A|〃•丽S

sin6------

\n\-\DP\

故直线。。与平面ACD所成角的正弦值为平.

4技能提升练

13.（2021•太原模拟）如图，在正四面体O—A3C中，户£平面。84,则在平面0A3内过点。

与直线BC成60。角的直线共有（）

A.0条B.1条C.2条D.3条

答案C

解析在平面内过尸点与。8或4B平行的直线都与8C成60。的角，实际上只要求得

在平面DAB内过点B且与直线8C成60。角的直线的条数.在空间过点B与直线8C成60。

角的直线构成以8c为轴，BD为母线的圆锥侧面，此圆隹侧面与平面DAB只有两条交线.因

此满足题意的直线只有2条.

14.（2020•阳泉期末）如图，在直角梯形S48C中，/4BC=NBCS=90。，过点A作AO_LSC交

SC于点。，以A。为折痕把△SA。折起，当几何体S—"CD的体积最大时，则下列命题中

正确的个数是（）

①AC_LSB；

②A3〃平面SCD；

③SA与平面SBD所成的角等J'-SC与平面SBD所成的隹；

®AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角.

A.4B.3C.2D.1

答案D

解析当体积最大时，平面SAOJ•平面A8CO,如图所示,

对①，若AC_LSB又根据题意,AC_LSD,故ACJ■平面SOB,又BOU平面SOB,故可得

而根据题意，无法得知两直线位置关系，故不正确；

对②，AB//CD,由COU平面SCO,故A8〃平面SCD,正确；

对③，因为无法得知底面A“C。的边长关系，所以无法确定，故错误；

对④，与SC所成角度为NSC。，而。。与SA所成角度为NSAB,两个角度显然不相等，

故错误.

综上所述，正确的只有②.

立拓展冲刺练

15.《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一楂垂直于底面的四

棱锥.现有阳马S—八BCQ,S/AJ•平面八BCD,AB-1,八。一3,S八一小.BC上有一点、E,使

截面SDE的周长最短，则SE与CD所成角的余弦值等于.

答案平

解析要使截面SQE的周长最短，则SE+EO最短,

s

将底面ABC。沿BC展开成平面图形A'BC。'(如图)，连接5。'，交8C于E,

则SE+ED=SE+ED'2S。'，

当S,E,Df共线时等号成立,

此时，由AB=1,SA=小,得S8=2,

故SA'=3,AflY=A0=3,故BE=2,

作七/〃CD交AD于F,连接SF,

则S£与CO所成角为/SEF,

易得S”_LEF,由SE=2S，EF=\,

声…吟旺__!__啦

付COS/SEF-SEF亚一4.

16.已知在梯形ABC。中，AO〃BC,ZABC=ZBAD=^,AB=BC=2AD=4,E,尸分别是AB,

CO上的点，EF//BC,AE=x,沿EF将梯形ABCQ翻折，使平面4EFD_L平面E8CR如图).

⑴当x=2时：

①证明：E凡L平面A3£：

②求二面角。一8户一F的余弦值;

4

(2)三棱锥。一FBC的体积是否可能等于几何体A8E-FZ)C体积的§?并说明理由.

⑴①证明在直角梯形A8c。中，因为NABC=NBAO=5，故D4_LAB,BC1AB,

因为E尸〃8C,&EFYAB.

所以在折叠后的几何体中，有E/LLAE,EF1BE,

而AEABE=E,故石E_L平面4B£

②解如图，在平面AEFD中，过。作。G_LE/交E尸于G

在平面。8尸中，过。作。H_L8尸交B/于〃，连接G".

因为平面八平面“灰尸，平面AEFDC平面EbCF-EF,DGU平面AEFD,故。6_1_平

面EBCF,

因为平面£3C忆故。G_L8F,而DGCDH=D,

故8n1_平面。G”,又GHU平面DGH,故GHtBF,

所以NQ”G为二面角Q-8”一E的平面角，

在平面AEFQ中，因为AE_LEF,DGLEF,

故AE〃OG,

又在直角梯形A6C。中，E尸〃SC且E/=#6C+AO)=3,

故EF〃AD,故四边形AEG。为平行四边形，

故。G=AE=2,GF=1,

2

在RSEF中，tanNBFE=Q,

J

因为/8/石为三角形的内角,

2