第二十二章 相似形（单元测试·拔尖卷）-沪科版九年级数学上册【附答案】

第二十二章相似形,拔尖卷

【沪科版】

第I卷一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

（2025・吉林长春•中考真题）

1.将直角三角形纸片48c（ZC=90°）按如图方式折叠两次再展开，下列结论

错误的是（）

A.MN//DE//PQB.BC=2DE=AMN

MNDEPQ

C.AN=BQ=；NQD=—=—

DEPQBC

2.如图，在三角形纸片中，AB=6,JC=4,BC=8,沿虚线剪下的涂色部

分的三角形与△力8c相似的是（）

（24-25九年级上•贵州毕节•期末）

3.下图是边长为1的正方形网格，△北C与“龙尸的顶点都在正方形网格格点上,

则△力8c与必石尸的周长比为（）

试卷第1页，共10页

C.V2：x/5D.1:2

（24-25八年级下•山东济南・期末）

4.宽与长的比是或二1（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富

2

的美学价值,给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形:

作正方形初分别取力8、的中点E、F,连接跖；以点E为圆心，以ED

为半径画弧，交历1的延长线于点G；作G〃，C。，交。。的延长线于点儿则下

列矩形是黄金矩形的是（）

A.矩形B.矩形EFCBC.矩形4DHGD.矩形勿HG

（2025•重庆•一模）

5.凸透镜成像的原理如图所示，MN是凸透镜的主光轴，。为凸透镜的中心，

点/是焦点，PM上MN,BNtMN.若物距MO与像距NO之比为3:2,测得蜡烛

PM高为15cm,则像8N的长为（）

A.5cmB.6cmC.9cmD.10cm

6.如图，在取“BC中,ZC=90°,JC=3,Z?C=4,翻折N8,使点8落在直角边AC

上某一点。处，折痕为EF,点£、尸分别在功8C、AB匕若△CQE与ZUBC相

试卷第2页，共10页

似，则CE的长为（）

D.强为

（2025・湖南•模拟预测）

7.“8C中，AB=AC=TOcm、BC=T2cm.点尸从8出发以2c〃"s向。移动，秒

0>0）,当"PC为等腰三角形时，，的值为（）.

D.1或2

A.0B.1C.0或1

O

（2025•安徽亳州•三模）

8.如图，。月8CQ中，E为时角线“。上一点，过点E的直线MN分别交边相，BC

于点RG,交射线。以。。于点M,N.若旅=3,EF=2,则EG-EN的值为

()

（2025・湖南•一模）

9.魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测

试卷第3页，共10页

海岛的高.如图，点、E,H,G在水平线力C上，DE和FG是两个垂直于水平面且

等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为例）,EG称为“表距”（记为"），EH

则海岛N5的高为（）

上心-4

m2一叫m2-叫

c悬丁5d

D.

m2-吗

（24-25八年级卜山东泰安•期末）

10.如图，在正方形抽。中，E是8C的中点，尸是。上一点，且"=2

下列结论：

①AABES^ECF；②2BAE=30。；③AE_L£/；④AABE^^AEF；⑤LADF,

其中正确的个数为（）

三

A.1个B.2个C.3个D.4个

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

（2025•福建泉州•模拟预测）

11.如图，△44。和力M是以点O为位似中心的位似图形，若。4:/。=34,LABC

的面积等于9,则心酎的面积为.

试卷第4页，共10页

（24-25九年级上•吉林长春•阶段练习）

12.如图，△48C的中线4。、CE交于点G,点尸在边4C上，GF//BCf那么

GF:BC=.

（24-25八年级下•湖南郴州•期末）

13.在平行四边形"CO中，对角线力。，即相交于点。OE\\CD,若征=4,

则线段C。的长为

（2025•上海杨浦•一模）

14.两个等腰直角三角板如图放置，点产为8c的中点，AG=l,BG=3,则CH的长为

（24-25九年级下•山东烟台・期末）

试卷第5页，共10页

15.如图，在菱形/"CO中，点及EG,“分别是边力8,上的点，且

BE=BF=CG=AH,若菱形的面积等于120,8。=24,则M+G”的值为.

16.现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图1所示的形状，R为。石的中

点，阳分别交力。，。于尸，。，易得BP:PO：QR=3:1:2.若取四个直角三角形

拼成如图2所示的形状，S为£尸的中点，8s分别交4C,CD,DE于尸,。，R,

贝ljBP:PQ:QR:RS=.

图2

第H卷三.解答题（共8小题，满分72分）

<23-24九年级上•广东河源期中）

17.如图，已知。E〃8C,40、DF交于点C,比/EAB=/BCF.求证:

G

{\}AB//DF-

⑵OB?=OEOF.

（24-25九年级上•浙江绍兴•期末）

18.如图是由边长为1的小正方形组成的4x4网格，4,B,C三点均在格点上.

试卷第6页，共10页

c

A

(1)分别求寡与先的值.

AD

⑵在网格中画△相£,使力，B,E三点组成的三角形与。相似.(只需画出

一个)

(2025・山东烟台•一模)

19.已知：如图，在四边形48co中，AB//CD,连接力C、BD,△NBC是等边三

角形，DE//BC,DE与AC交于点、E,AADE^ADBC.

⑴请写出与/QBC之间的数量关系，并证明；

(2)求证：点E是线段/C的黄金分割点.

20.如图，在RSABO中，NABO=90。，其顶点O为坐标原点，点B在第二象

限，点A在x轴负半轴上若BD_LAO于点D,OB=石，AB=26.

(1)求OA的长；

(24-25九年级上•山东济南•期中)

21.在R3"C中，ZC=90\JC=12cm,8c=8cm,现有动点?从点C出发,

试卷第7页，共10页

沿C4方向向点A运动，动点。从点4出发，沿5c方向向点。运动，如果点尸的速

度是2cm/s,点。的速度是lcm/s,它们同时出发，当有一点到达终点时，点P,

。就停止运动，设运动时间为/秒，求：

(1)当/为多少时，四边形力“加的面积是ACP。面积的2倍?

(2)当，为多少时，K尸。中有一个内角与力相等?

(2025•辽宁丹东•二模)

22.在Rt△4BC中,44。=90°.

图1

(1)如图1,直线/经过点3,且顶点4,C在直线/的两侧，作4V/_L直线/于点

M,作CNJ■直线/于点N.求证：/\ABMs丛BCN.

(2)如图2,点尸在边8C上，N8P=8交4c于点/，AP=5

PM=2,求费的值.

(3)如图3,BC=\AC=5f。是边。延长线上一点，且40=2,作/£=初，连接

DE,BE.若NDEB=90。,求的的长.

(24-25八年级下•山东淄博・期末)

23.如图，矩形/8CO中，E,F分别在力。，BC上,将四边形相反沿石户翎折,

使A的对称点尸落在CZ)上，8的对称点为G,PG交BC于H.

试卷第8页，共10页

图1图2

⑴如图1,求证：AEDPsAPCH、

(2)如图2,若尸为CQ中点，且”=2,BC=3,求G”的长;

(3)如图3,若尸为C。中点，〃为4c中点，连接BG,请直接写出行的值.

(2025•河南洛阳•一模)

24.定义：有一组对角互余的四边形叫做“对余四边形”.

图①

【认识模型】

(1)如图①，四边形”8是对余四边形，则/力与的度数之和为；

【性质探究】

四边形48CO是对余四边形，8。为对角线，已知48=8C.

如图②，若480=60。，求证：力厅+。。2=/)2,小唯发现将△8CQ绕点8按逆

时针方向旋转60。，构造等边三角形结合对余四边形即可得证，下面是小唯的部

分证明过程：

证明：如图②，将△8CO绕点4按逆时针方向旋转60。，得到△%/"连接和，

试卷第9页，共10页

・•.BF=BD,4尸=CD,/BCD=NBAF,

△8人。是等边三角形，

(2)请补全上面的证明过程；

(3)如图③，连接4C,若4B5C,480=45。，(2)中的结论是否仍然成立？

若成立，给出证明过程，若不成立，请说明理由.

试卷第10页，共10页

1.D

【分析】本题考杳了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟

练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键.

由折叠可得：DE1AC,PQA.AC,MNA.AC,AM=MD=DP=PC,则

MN//DE//PQ//BC,那么工ADEsAACBsAAMNsAAPQ,继而根据相似三角形的性质

以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可.

【详解】解：由折叠可得：DE1AC,PQ1AC,MN1AC,AM=MD=DP=PC,

.-.MN//DE//PQ//BC,故A正确，不符合题意：

:•4ADEsAACBs4AMN,

DEAD1MNAM1

二==—,==—，

BCAC2DEAD2

:.BC=2DE,DE=2MN,

:・BC=4MN,

••.BC=2DE=4MN,故B正确，不符合题意；

・：MN"PQ〃BC,

PCBQ_\AM_AN_1PMQN_1

••就一万一"~AC~^4B~2

:.BQ=AN=；AB,QN=；AB,

•••AN=BQ=3NQ,故C正确，不符合题意；

vAADEs"CBs/\AMNsAAPQ,

MNAM1DEAD=2PQAP3

'~DE~'AD~2fPQ-APf~BC~7c~4

MNDEPO

二不丁工石;工盛，故D错误，符合题意,

DEPQBC

故选：D.

2.A

【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等

的两三角形相似是解题关键.

根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可.

【详解】解：在三角形纸片力以？中，AB=6,AC=4,BC=8.

A.因为N=]=L穹=:=：,则与=整，又由/C=NC,故沿虚线剪下的涂色部分

AC42£>Co2ACBC

答案第1页，共23页

的三角形与△力4。相似，故此选项符合题意；

B.因为当===?,冬=《=：,=工!，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△/4C

AB62AC6442

不相似，故此选项不合题意；

C.因为岑=3，41=7=7*即：故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△48C

AB38c8434

不相似，故此选项不合题意；

D、因为黑=:，41=7*7*7*故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△48c不相似,

BC2AB332

故此选项不合题意；

故选：A.

3.D

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理与网格问题；先证明

△ABCs^DEF、根据相似三角形的怦质即可求解.

【详解】解：•:BC=3,EF=6,AB=0DE=26,/ABC=NDEF=45。

^BCAB_\

"~EF~~DE~2

:•LABCs^DEF,

：,LABC与QEF的周长比为1:2

故选：D.

4.C

【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识点，熟练掌握性质

和定理是解题的关键.

设正方形48CQ的边长为2x,根据勾股定理得七。=石］，易得票=与1,即矩形4)〃G

AD2

是黄金矩形，据此即可解答.

【详解】解：设正方形月6。的边长为2人，

•.•正方形488,AB.C。的中点E、F,

:.AE=EB=DF=CF=x,AD=EF=BC=2x,AB=BC=CD=DA,

ZBAD=ZADC=ZABC=ZBCD=90°

•••ED=yjEF2+DF2=>/5x»即EG=&，

：.AG=EG-AE=(4S-\^X,

答案第2页，共23页

VGH1CD,NGAD=NADH=90°,

二四边形4O"G是矩形，

.史二回1卜二回1),即四边形是黄金矩形，

AD2x2

故选：C.

5.D

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，通过证明△POA/s^AON,得出

PM:BN=OM:ON=3:2,即可解答.解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例.

【详解】解：根据题意可得：NPMO=NBNO=90。,

•：4P0M=々BON,

：.△POMSRON,

:.PM:BN=OM:()N=3:2、

'：PM=15cm,

/.AN=10cm,

故选：D.

6.C

【分析】根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得

CE的长，从而可以解答本题.

【详解】解：由题意可得，

当△CQEs^c以时，

则三”，

JCABA

•.•/。=90。,力。=31。=4,翻折N8,使点8落在直角边力。上某一点。处，

/.AB=5,BE=DE,BE=4-CE,

CE4-CE

——=------,

35

解得CE=?

当寸，

eCEDE

则不一=——，

CBAB

vZC=90°,JC=3,5C=4,翻折使点8落在直角力IC上某一点。处，

答案第3页，共23页

AB=5,BE=DE,BE=4一CE,

CE4-CE

/.一=----,

45

解得CE二£；

由上可得，。石的长为T或?，

故选：C.

【点睛】本题考查相似三足形的判定与性质、翻折变换，利用数形结合的思想和分类讨论的

数学思想解答是解答本题的关键.

7.D

【分析】本题考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定

和性质是关键.

根据题意分类讨论：当4C=CP=10。〃时：当力。=AP=10c小时：当4P=PC时，设BP=xcm.

则PC=8C-BP=l2-x=P4,可证△48Cs△尸力。，解得，X=H;由此即可求解.

【详解】解：当4C=CP=10cm时，BP=BC-CP=\2-\0=2cmt

.♦.，=2+2=l(s)；

当力P=10c〃?时，点民?重合，E=0,此时与/>0矛盾，不符合题意，舍去；

当4P=PC时，设BP=xcm,^\PC=BC-BP=\2-x=PA,

：.NPAC=ZPCA,

•：4B=AC,

••"ABC=NACB,

APAC=/ABC,NPCA=ZACB,

：.GABCS^PAC>

ACBCf1n1012

PCAC12-x10

解得，x二?，

检验，当x=?时，原分式方程有意义，

:.BP=-y-m,

答案第4页，共23页

综上所述，当"PC为等腰三角形时，，的值为l(s)或U(s)，

6

故选：D.

8.C

【分析】本题主要查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例.根据平行四边形的性质,

RFFFRF

可得力O〃4C,/14〃CO,再由平行线分线段成比例可得多="而二元从而得到

MEDE

FGFF

—=—,即可求解.

MEEN

【详解】解：•••四边形"CQ是平行四边形,

：.AD//BC,AB//CD,

EGBEEFBE

''ldE~~DEy~EN~~DE

EGEF

，:MF=3、EF=2,

EG2

：,-----=-----,

3+2EN

••・EGEN=10.

故选：C

9.A

【分析】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属广基

础题.根据〃/G,可得“BHSAEDH©CFGSACB4,从而得到

DEEHFGCGEHCG.川皿相EHCG

—=，—=—9而得至U=—9再rtl比例的性质可-----------=-------------------

ABAHBACAAHCAAE+EHAE+EG+GC

从而得到（CG-EH>4E=EH•EG,进而得到力£=给空，再由力〃=+可得

CG-EH

EHEG

"DEAHDECG-EH产S即可求解.

EHEHEH

【详解】解：根据题意得：AB//DE//FG,

：.AABHs^EDHqCFGs^CBA,

DEEHFGCG

,:DE=FG=h。,

EHCG

''~AH~~CA'

答案第5页，共23页

EHCG

•'AE+EH~AE+EG+GC'

CG•AE+CG•EH=EH•AE+EH•EG+EH•GC,

.­\CG-EII）AE=EHEGt

,广EHEG

AE=-------------,

CG-EH

•:AH=AE+EH,

.AB-DETH_DE（AE+EH）

"~EH~ElT

DEAEDEEH

~EH+EH

DE-EHEG

二CG-EH|DEEh

EHEH

_DEEG

+DE

~CG-EH

•:EG=d,DE=%,EH=皿，CG=m2,

m2-叫

故选：A

l().C

【分析】本题主要考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三

角形的判定方法是解题的关键.借助正方形的性质和已知条件，易证AABESAECF,故

ADRp

结论①正确；利用①可得N4E8+zTEC=9O。，故结论③正确；且可得一二=丫，可证得

AEEF

△4BES、4EF,故结论④正确；而今工第，所以结论⑤不正确；根据相似三角形的性

CECr

质得到NB4E=NE4F工ND4F,可判断②错误.

【详解】解：•••四边形力8CQ为正方形，

AB=BC=CD=DA,/B=NC=ND=NBAD=90°,

•；E为BC中点,CF=\cDt

4

ABBE、

二--=---=2,

CECF

又NB=ZC,

.,.△ABESAECF,结论①正确；

•••LHAE=乙卜上C,

答案第6页，共23页

•:/BAE+/AEB=900,

.•"AEB+NFEC=9Q0,

••.N4EF=90。,BPAELEF,故结论③正确;

,:LABEs^ECF,

AEABBC

----,====2,

EFECEC

ABBC

-----=------

ABAE.ABBE

——=——=2,即nil——=——,

BEEFAEEF

又•••Z.ABE=Z.AEF=90°,

••.△ABES^AEF,结论④正确；

AD_DF、

v=2,=39

CECF

ADDF

:.----工----,

CECF

•••4ADF和AECF不相似，结论⑤不正确.

•:LABESAECF,AABESAAEF,△4/）尸和△Eb不相似，/8力。=90°,

Z.BAE=Z.CEF,NBAE=NEAF,Z.CEFZDAF,

•••ABAE=AEAF工ADAF,

.•.NA4EH；NA4Q=3O°,故②错误，

综上可知正确的结论为：①③④，共计3个.

故选：C.

11.49

【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质.根据位似变换的概念得到

AB〃DE,AABCs^DEF,从而得到△。力AS.OQE,根据相似三角形的性质求出

&=%="再根据相似三角形的性质计算即可•

DEOD7

【详解】解：-OA:AD=3.4,

：.OA:OD=3:7,

,:2ABC和GEF是以点、0为位似中心的位似图形，

:.AB"DE,AABCSADEF,

LOABs^ODE,

答案第7页，共23页

的面积等于9,

七产的面枳为49.

故答案为：49

12.1:3

【分析】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题

的关键.

由题得点G是△NBC的重心，得到公=；,可证明△4GFs”oc,得到

DG1

GF=AG_=AG2即可得到G尸：8C=1：3.

DCADAG+DG3

【详解】解：•••△/AC的中线力。、CE交于点G,

.•.点G是ZU8C的重心,

AG2

/.——=-,

DG1

GF〃BC,

.△AGFSAADC,

GFAGJG_2

"~DC~7D~AG+DG~3f

GF=-DC,

3

DC=-BC,

2

:.GF=gBC,

:.GF:BC=\:3.

13.8

【分析】本题考查平行四力形的性质，三角形中位线定理，证明是△8C。的中位线，利

用三角形中位线定理求解.

【详解】解：•••四边形/18CP是平行四边形，

：.OB=OD,

二。为瓦）的中点，

答案第8页，共23页

-OE\\CD,

BOBE

:.-----=-----,

ODCE

BE=EC,

・•.E为8c的中点，

••.OE■为△8CO的中位线，

:.CD=2OE=8.

故答案为：8.

|4-1

【分析】依据ZB=〃>45。，ZDFE=45°,即可得出NBGF=4CFH,进而得到ABFG〜ACHF,

依据相似三角形的性质，却可得到盥=芸，即黑=迪，即可得至UCH=。.

BPBG2V233

【详解】解：•••AG=1.BG=3.

.-.AB=4,

•••△ABC是等腰直角三角形，

•••BC=4啦，zB=zC=45°,

•••F是BC的中点,

.••BF=CF=20,

•・•△DEF是等腰直角三角形，

••.zDFE=45o,

.­.ZCFH=18O0-ZBFG-45。=135。-zBFG,

又•••△BFG中，ZBGF=18O°-4B-4BFG=135。-4BFG,

.-.zBGF=zCFH,

.•.△BFG-ACHF,

CHCFCH2及

---=,即pn-7==------,

BFBG2V23

-CH=r

故答案为g.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用

图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.

答案第9页，共23页

15.10

【分析】本题考杳了菱形的性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形相似的判定和性质,

熟练掌握性质和定理是解题的关键.连接4C,得到g/Cx24=120,即4C=10,证明

FF+GH

EF〃GH〃AC,得到ABEFSABACQDHGSADAC,列比例式得证———=1,解答

AC

即可.

【详解】解：连接力C,

••・菱形/8CO中，菱形的面积等于120,4。=24,

：.-ACBD=nO,

2

.-.-JCx24=120,

2

JC=10,

•••菱形488中，

:./ABD=/CBD,/ADB=/CDB,ACJ.BD,DA=DC=AB=BC,

-BE=BF=CG=AH,

:.BE=BF、DG=DH

EF1BD,GH工BD,

:.EF〃GH〃AC,

：.dBEFs^BACQDHGS4DAC,

EFBEGHDH

‘‘就一而'就一市’

EFGHBEDHBE+DHAH+DHAD,

:.------1-------=-------1-------=--------------=---------------=------=1,

ACACBADADADADA

EF+GH,

-------------=1,

AC

.-.EF+GH=AC=\0,

故答案为：10.

16.4:1:3:2

答案第1()页，共23页

【分析】首先证明ABCQ〜aBES,从而可求得CQ=；EF,DQ=；EF,然后证明4BAP〜△QDR

得到BP：QR=4：3从而可知：BP：PQ：QR=4：1：3,然后由DQIISE,可知：QR：

RS=DQ：SE=3：2,从而可求得BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2.

【详解】解：(1)•••四个直角三角形是全等三角形，

•••AB=EF=CD,ABHEFHCD,BC=CE,AC||DE,

••BP：PR=BC：CE=1,

vCDHEF,

.-.△BCQ-ABES.

又••BC=CE

.••CQ=；SE=；EF,

.•*DQ=-EF,

4

vABUCD,

.,.zABP=zDQR.

X,.zBAP=zQDR,

.--△BAP-AQDR.

•••BP：QR=4：3.

.•.BP：PQ：QR=4：1：3,

vDQHSE,

.•.QR：RS=DQ：SE=3：2,

•♦.BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2.

故答案为：4：1：3：2

【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，找出图中的相似三角形，求得相应线

段之间的比例关系是解题的关键.

17.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成

比例的性质是解题的关键；

(1)根据DE〃BC可得"DF=4BCF，结合已知NE4B=4BCF得出NEAR=NEDF,即

可证明/出〃。/：

答案第11页，共23页

(2)根据。E〃8C,〃力/得出­=k，k=，等量代换即可得出

OEOAOA

OB2=OE-OF.

【详解】(1)证明：'.DE//BC,

:"EDF=ZBCF,

•••NEAB=ZBCF,

:.Z.EAB=4EDF,

•••AB//DF.

(2)证明：•••/)£〃8C,

OB_PC

~OE~~OA'

vAB//DF,

PC_OF

OA~OB

OBOF

~OE~~OB

•-OB2=OE-OF.

18.⑴理="，生

BC2AB

(2)见解析

【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定:

(1)利川勾股定理求出的值，然后求比值即可;

(2)利用勾股地理和相似三角形的判定方法画图即可.

【详解】(1)解：vAB=2,BC=VF+F=2V2

,空=变，£=五

BC2AB

答案第12页，共23页

,:AB=2,BC=2&,Adz?"=2百,BE、=V12+12=72,^,=Vl2+32=V10,

AB_BC_AC〜泾

‘函一万一布一'

：."BCSAE\BA.

当点E在点刍处时，同理可证△45。6△刍8力.

19.(1)//O5=2/Z>6C,见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的性

质是解题的关键.

(1)根据△4)£：SZV)8C,得出N5=N4,根据。石〃8C,得出N5=N6,即可证明

ZADB=2NDBC.

(2)根据△力QES^QB。，得出NNEO=NOC4.证出/EDC=/1.根据A/IBC'为等边三角

形，得出/1=/2=60。，结合AB〃CD,得出/3=/瓦)。=60。，证出△CQE为等边三角形,

即可得CE=QE=CQ,结合4C=8c和△月。Es2\o8C,得出EC?=/小，即可证明点石

是线段4。的黄金分割点.

【详解】(1)解：4ADB=2/DBC,

证明：如图所示，

AADEsADBC,

Z5=Z4,

•:DE〃BC,

:.Z5=Z6,

Z4=Z6=Z5,

ZADB=2Z5,

即乙4DB=2ZDBC.

(2)解：，：4ADES4DBC,

答案第13页，共23页

:.NAED=4DCB.

•••ZAED=NEDC+N3,NDCB=Z1+Z3,

：.Z.EDC=ZX,

••・△ABC为等边三角形，

.-.Zl=Z2=60°,

•••AB//CD,

/.Z3=Z2=60°,

:.Z3=NEDC=60°,

••.△CQE为等边三角形，

•••CE=DE=CD,

•••△48C为等边三角形，

:.AC=BC♦

•：4ADEs〉DBC,

AEDE

，而=正’

AEEC,

辛=就,艮nn―

二点七是线段4c的黄金分割点.

20.(1)5;(2)/(-5,0),B(-1,2).

【分析】(1)根据勾股定理求出AO即可；

(2)由AO,即可得出A的坐标；证ABDO〜△ABO,得出比例式，代入求出OD、BD,

即可得出B的坐标.

【详解】解：(1)在RtA/48O中，乙18O=90。，OB=布,AB=2#,

由勾股定理得：J(石产+(2^)2=5,

(2)=

-A的坐标是(-5,0),

-BDLOA,

；/BDO=乙4BO=90°,

•:乙BOD=LBOD，

:.ABDOSAABO,

答案第14页，共23页

OPBDOB

OPBD45

解得：。。=1,BD=2,

即8的坐标是（-1,2）,

【点睛】本题考查了勾股定理，相似，线段长度与坐标，掌握勾股定理与相似的判定是解题

的关键.

21.（1*为4秒时，四边形力产。8的面积是ACP。面积的2倍.

（2）当,为令或2时，中有一个内角与/力相等.

【分析】本题是三角形的综合题，考查了三角形面积的计算，相似三角形的判定和性质，分

类讨论是解题关键.

（1）根据面积列出一元二次方程，求值即可.

（2）分两种情况讨论：NCPQ=/^/CQP=/A,再根据相似三角形的判定和性质即可

求得答案.

【详解】（1）解：•动点户从点C出发，沿C/方向向点A运动，点P的速度是2cm/s,

CP=2/cm,

,••动点。从点8出发，沿线段8c方向向点。运动，点。的速度是lcm/s,

BQ=rem,

?.C（）=（8-7）cm.

•••四边形力PQ8的面积是乙"。面积的2倍，AC=\2cn:,BC=8cm,

SS2

'-ACPQ=^.ABC=1X-X12X8=16（C/»）,

.'.|xCPxC£>=16,

即：!x2rx（8-/）=16,解得：/,=/2=4.

为4秒时，四边形APQB的面积是ACPQ面积的2倍.

（2）ZC=ZC=90\

①当NCP0=NA时，△CPQsaC/18,

.CPCQ

\4C~~BC'

答案第15页，共23页

2/8—/

/.—=---,

128

24

解得：t~:

②当NC0尸=//时，ACPQs^CBA,

.CP_CQ

~BC~~ACy

.2t_8-t

■y=ir

解得：，=2.

综上所述，当，为日或2时，△CP。中有一个内角与//相等.

22.⑴见解析

⑵与

4

⑶半

【分析】(1)根据余角的性质可得N84W=NC8N,即可求证；

DMPM2

(2)过点尸作尸O/4W于。，证明△的可得育=方=忑，可设

DM=2。,则QP=S，CM=PM=3a,从而得到％=而》初=》，证明

△PCDs^ACB,可求出现=变£,即可求解；

4

(3)过点力作于G,过点。作C〃18E交所的延长线于〃，根据平行线分线段

FGDA2

成比例可得需二丁;二彳，再根据勾股定理可得力8=4,再根据44865/\8。〃，可设

G/7AC5

BG=AECH=3。图=An,BH=3",从而得到&?=33=4",GH=4/7?+3n,再结

合空二］,可得〃=2〃?，然后根据勾股定理可得/〃=或，即可求解.

GH55

【详解】(1)证明：•・・N4BC=90。,

:•乙ABW1+乙CBN=9Qc,

•.•4"_1,直线/,CN_L直线/,

：./AMB=/BNC=90。,

.••/ABM+/BAM=90。,

:.NBAM=/CBN,

：.4ABMs丛BCN、

(2)解：过点户作。OX4”于。.

答案第16页，共23页

A

D

M

BPC

•••48。=90。，APIPM,

.'.ZAPM=ZABC=90°t

：.乙曰中+（所B=ZLCFM+乙所B=90°,

："BAP=/CPM,

•：4BAP=ZC,

:.乙EP=乙CFM=AC,

:.MP=MC,

•••W_L用田_L加，

：..FTMs：,

DMDPPM

••西一方一而‘

DM_PM二2

,•~5^一下一忑,

®DM=2a,贝ijQQ=6,

-CM=PM7DM2+DP2=3〃，

:.CD=CM+04=5a,—=—,

3aAM

••.PCZPD'+CD。=/（氐『+（5〃）=屈（］,初=如

：.隙=初+07=—,

2

•：4ABC=/PDC=9G°,ZC=ZC,

:ZCDsXACB、

PDPCH1,叵=理^

••・布=就，即加坦，

2

解得：用=殳&,

4

5瓜a

:.AB_4_布:

~PC~y/JOa~~

(3)解：如图，过点4作力G」仪;于G,过点C作CH1.BE交£4的延长线于〃,

答案第17页，共23页

•：/DEB=90°,即

CH//A3//CE,

EGDA_2

''GH~7C~~5,

•.•4C=3,4C=5,ZJ5C=90°,

-AB=>JAC2-BC2=4»

•.•Z/BS+AB^G=180°-4MB=90°,

/4G+ACBH=180°-乙497=90°,

:./BAG=ZCBH,

•••NAGB=ZBHC,

•••△ABGS^BCH,

AGGBAB4

:.设BG=4/77CH=3m/4S=4〃BH=3〃,

♦.•用=花=43，生，

:.EG=BG=4/7j»

GH=BG+BH=4/77+3/7,

EG2

,**=—,

GH5

4m2

------=—,

4m+3〃5

解得：n=2m,

A3=An=8",

AE2=AG2+EG2,

.*.42=(8〃?)~+(4〃?)~,

解得：〃?=立，

5

-BE=8/77=—.

5

答案第18页，共23页

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的

判定定理和性质定理.

23.⑴见解析；

⑵;；

【分析】(1)根据矩形的性质得到4=NZ)=NC=90。,求得/1+/3=90。，根据折叠的

性质得到/£尸，=4=9()。，求得/1+/2=90。，得到N3=N2,根据相似三角形的判定定理

得到结论；

(2)根据矩形的性质得到CO=月8=2,AD=BC=3,N.4=NZ)=NC=90。，设EP=4E=x,

54

得到=根据勾股定理得到)=力2=彳，ED=AD-AE=-,根据相似三

33

角形的性质即可得到结论：

(3)延长力&PG交于点M,连接根据折叠的性质得到8G_L直线后/，根据

等腰三角形的性质得到M4=MP,设=b=求得48=PG=CO=2y,根据线段中

点的定义得到3，=C〃，根据全等三角形的性质得到8必=CP=y,HM=HP,求得

MP=MA=MB+AB=3y,HP=,根据勾股定理得到AC=2CH=岛，求得

4D=BC=岛,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【详解】(1)证明：:四力形力8c。是矩形,

/.Z.A=ZD=ZC=90°,

•••NEPH=NA=9。。，

Zl+Z2=90°,

/.Z3=Z2,

:.△EDPsAPCH；

(2)解：•••四边形如"X1是矩形,

答案第19页，共23页

：.CD=AB=2,AD=BC=3,Z