对数函数（九大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（人教A版必修第一册）解析版

第17讲对数函数

【人教A版2019】

内容导航

一：对数函数的概念

夯基•基础知识梳理

二：对数函数的图象与性质

「题型1对数函数的判定

一题型2求对数函数的函数值或解析式

广题型3对数（型）函数的定义域与值域

L题型4对数式的大小比较

匚提升•必考题型归纳一-题型5解对数不等式

'题型6对数函数的图象的识别及应用

1题型7对数（型）函数的单调性问题

J题型8对数型复合函数的应用

I题型9对数函数的实际应用

课后作业（19题）

思维导图

定义：,般地.函数尸kg,x(a>OJLR1)叫做对数函数.

对数函数的K中x是H变法.定义域是(0.+8).

—对数函数的定义

r概念

图象分两种情况：①0々7<1；②

对数函数的图象性质：①定义域：(0,+x);②值域：R;③过定点：(1.0)；④单调

「与性质性：21时，在(0,+oc)上是减函数；时，在(0,+X)上是增函

数；⑤函数值的变化范围

⑴底数。与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”

(2)函数产bg.,.i。v=Mg「i(a>0.[L存1)的图象关「X轴对称

底数对对数函数

「图象的影响

V对数函数的(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低

图象与性质

①反函数的定义；②反函数的性质

一反函数

(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质.函数图象上的

特殊点排除不符合要求的选项

一对数函数图象的(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利

识别及应用用数形结合法求解

模块―N对数函数的概念

》知识梳理

1.对数函数的定义

(1)对数函数的定义：一般地，函数产log“x5乂).且存1刈做对数函数,其中工是自变量，定义域是

(2)判断一个函数是对数函数的依据：

①形如产logM；②底数。满足a>0,且内1;③真数是X；④定义域为(0,+8).

例如：产log“x是对数函数，而y=log“(x+l),y=logj都K是对数函数.

题型归纳

【题型1对数函数的判定】

U【例1】(24-25高一上•全国•课前预习)下列函数是对数函数的是()

A.y=loga(5+x)(a>。且aHl)B.y=log(抬_i)z

C.y=log3(-x)D.y=logxV3(x>0且％*1)

【解题思路】利用对数函数的定义求解.

【解答过程】根据对数函数的定义"%)=logttx(a>0且Q*1),

分析A,B,C,D函数形式，

函数y=log(冉产为对数函数.

故选：B.

【变式1.1](24-25高一上.全国•课堂例题)下列函数中是对数函数的为()

A.y=log2%2B.y=log(x—1)

33

C.y=log(N+i)xD.y=logKx

【解题思路】运用对数函数概念可判断.

【解答过程】根据对数函数概念，形如y-logax(a>0且a41)的函数是对数函数.结合选项知道y-lognx

为对数函数.

故选：D.

【变式1.2](24-25高一上•全国•课后作业)下列函数，其中为对数函数的是()

A.y=logi(-x)B.y=21og4(l-x)C.y=InxD.y=log(a2+a)x

【解题思路】利用对数函数定义，逐项判断作答.

【解答过程】函数y=logK-x),y=21og4(l-x)的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是：

2

函数y=Inx是对数函数，C是；

函数y=log(M+a产的底数含有参数a,而a的值不能保证M+a是不等于1的正数，D不是.

故选：C.

【变式1.3](24-25高一上•全国•课后作业)下列函数中，是对数函数的有

①y=logM(aeR)；②y=log3x；③y=Inx；@y=Iogx(x+2)；⑤y=21og4x.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解题思路】根据对数函数的概念分析可得答案.

【解答过程】①y=logaX在Q>0且Q工1的条件下才是对数函数，故①不是对数函数；

②y=log"和③y=in%符合对数函数的定义，是对数函数；

④y=logx(X+2)中，底数不是常数，不是对数函数；

⑤y=21og4”中系数不是L不是对数函数.

故选：B.

【题型2求对数函数的函数值或解析式】

1J[例2](24-25高一上•全国•课后作业)已知对数函数的图象过点M(9,-2),则此对数函数的解析式

为()

A.y=log2xB.y=log3x

C.y=logixD.y=logix

故选：B.

模块二对数函数的图象与性质

》知识梳理

1.对数函数的图象与性质

对数函数）=log“X（4>0,且的/>0）的图象和性质如卜表所示:

0«/<1a>\

r=1r=l

产咏x

图象1「°).1

(1.0)X

1尸1中17

定义域(0,+8)

值域R

过定点(1,0)

性

质

单调性在（0,+8）上是减函数在（（），+00）上是增函数

当04V1时，y>0当0<x<l时，y<0

函数值的

当x=l时，y=0当下1时，），=0

变化范围

当Q1时，产0当Q1时，）>0

2.底数。对对数函数图象的影响

⑴底数〃与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”.

当〃>1时，对数函数的图象"上升”:

当0<兴1时，对数函数的图象，工隆

（2）函数产log“x与>=log।x（a>0,且#1）的图象关于x轴对称.

a

（3）底数的大小决定了图象相对位置的高低：

无论是>1还是0~<1,在第一象限内，自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变人.

①上下比较：在直线ml的右侧时越大，图象越靠近x轴;Ovavl时,。越小，图象越靠近x轴;

②左右比较：比较图象与直线产1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.

底

数

豪

底数大\

T1/—

越

大

产

底

数

越

来

越

小

3.反函数

一般地，指数函数y=ax(a>0且与对数函数y=logx(«>0且存1)互

定义a

为反函数，它们的定义域与值域正好互换

函数)=/U)的定义域、值域分别为它的反函数)=./-(幻的值域、定义域

性质

互为反函数的两个函数图象关于直线产X对称

4.对数函数图象的识别及应用

(I)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、

最低点等)排除不符合要求的选项.

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

题型归纳

【题型3对数(型)函数的定义域与值域】

【例3】(24-25高一上・江苏南京•期末)函数"x)=lg(l—|%|)的定义域为()

A.(-oo,-l]u[l,+a>)B.(-8,-1)U(1,+8)

C.[-1,1]D.(-1,1)

【解题思路】由对数有意义列出不等式，求解得函数的定义域.

【解答过程】函数/(%)=lg(l-m)有意义,则1-团>0,即阳VI,解得一1cx<1,

所以所求的定义域为(-1,1).

故选：D.

【变式3.1】(2025.甘肃庆阳•一模)函数/•(%)=lg/10-2x2的值域为()

A.(-co,1]B.(0,1]C.(0,1]D.(-co,1]

【解题思路】利用二次函数与对数函数的性质即可得解.

【解答过程】对于/(%)=lgV10-2x2,有1-2x"­0,解得一遍<x<V5,

W10-2%2>0

对于y=10-2X2,其图象开口向下，对称轴为％=0,

当x=0时，y=10,当久=±7^寸，y=0,

所以当一代Vx<花时，0<y<10,即0<10—2/410,

乂y=】gx在其定义域内单调递增，

所以gVlO—2%2<igVlO=I，则f(x)<1,

则/■(%)=lgx/10-2%2的值域为

故选：D.

【变式3.2](24-25高一上•河南开封•期中)函数y=lg(M+2x)的定义域为()

A.[-2,0]B.(-2,0)

C.(-oo,-2]U[0,+oo)D.(-8,-2)U(0,+8)

【解题思路】根据对数函数的定义域求解即可.

【解答过程】由/+2x>0,解得x>0或％<-2.

故y=lg(x2+2心的定义域为(-8,-2)U(0,4-00),

故选：D.

【变式3.3](24-25高一上•广东广州•阶段练习)函数f(%)=k)g2(2；O」og2(4x),LW[1,16]的值域为()

A.[2,30]B.卜Q]

C.[-^,30]D.[2,16]

【解题思路】令“log2x,te[0,4],由换元法可得g(£)=Q+l)(t+2),利用二次函数的单调性即可求解.

【解答过程】令£=log2,因为xw[l,16],所以££[0,4],

因为f(x)=log2(2x)-log2(4x)=(log22+log2x)(log24+log2x)

=(1+log2x)(2+log2x)>

2

所以g(t)=(t+l)Q+2)=£2+3£+2=(£+|)-%te[0,4],

函数g(t)在区间[0,4]上单调递增，

所以g(£)min=g(0)=2，g(£)max=。⑷=30,

所以函数/•(%)=log2(2x)-log2(4x),xW[1,16]的值域为[2,30].

故选：A.

【题型4对数式的大小比较】

[例4](24-25高一下•贵州毕节•阶段练习)设Q=log0_24,b=logo.34,c=log0,44,则三者的大小关

系为()

A.b<a<cB.c<b<aC.a<b<cD.b<c<a

【解题思路】由对数函数的单调性和运算性质可得.

【解答过程】Q=』,》=』（二』，

log40.2log40.3Iog40.4

由对数函数图象的性质可得log4（）.2<log40.3<log40.4<0,

"以>log40.3>log40.4,

即c<b<a.

故选：B.

【变式4.1］（24-25高一上•北京怀柔・期末）已知a=2?,b=log23,c=log20.5,则a,〃，c的大小关系

是（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【解题思路】根据已知条件，结合对数函数的单调性，即可求解.

【解答过程】Q=22=4,

1=log22<b=log23<log24=2,

c=log20.5<log2l=0,

综上所述，c<b<a.

故选：D.

【变式4.2］（24-25高一上•云南昭通•阶段练习）设a=log42,b=log83,c=0.25,贝！la,b,c的大小关系为（）

A.c<a<bB.a<c<b

C.a<b<cD.c<b<a

【解题思路】根据指数函数与对数函数的性质判断.

【解答过程】由已知c=0.22<（^）2=a=log42=g,b=log83>log8（2V2）=

.\c<a<b,

故选：A.

【变式4.3］（24-25高一上・江苏盐城•阶段练习）设Q=log??,b=log3$c=Q）,则a、/人c的大小关

系是（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【解题思路】根据对数函数和指数函数的单调性可判断大小.

3

【解答过程】由题意得，a=log23>log22=1,b=log3|<lcg3l=0,0<c=（1）=：V1,

综合比较b<c<a,

故选：c.

【题型5解对数不等式】

自目【例5】(24-25高一上•北京海淀•期末)已知函数八%)=1。82(》+1)+/一2,则不等式八文)〈0的

解集为()

A.(-co,1)B.(-1,1;C.(0,1)D.(1,+(»)

【解题思路】先求出f(x)的定义域，然后分析/(%)的单调性，再根据/(X)<00/(%)</(1)求解出不等式

解集.

【解答过程】f(x)=log2a+l)+x-2的定义域为(-1,4-00),

因为y=log2a+l),y=x-2均在(-1,+8)上单调递增，

所以/'(%)=log2a+1)+x-2在(-1,+8)上单调递增，

又因为f(l)=log22+1-2=0,所以fCc)V0=f(x)</(I),

所以不等式解集为

故选：B.

【变式5.1](24-25高一上•云南昆明•阶段练习)已知偶函数的定义域为R,若/(%)在[0,+8)上单调

递减且f(1)=3,则满足/'(k)g3%)<3的x的取值范围是()

A.[3,+oo)B.(0,1]C.[；,3]D.(0,；]U[3,+oo)

JJO

【解题思路】根据给定条件，利用函数7•(%)的单调性及对数函数单调性求解不等式.

【解答过程】依题意,不等式f(log3%)I3o/-(|log3x|)</(I)=|log3x|>1,

则log3%<-lsKlog3x>1,解得0<xW9或x>3,

所以所求x的取值范围是(0,3U[3,+co).

故选：D.

【变式5.2](24-25高一上•上海宝山•阶段练习)已知函数/(%)=logax(a>0,a=1)的图象过点尸(3,1).

(1)求实数a的值;

(2)解不等式/'(2x+1)<f(2-3x).

【解题思路】(1)根据P(3,l)在对数函数图象上即可列方程求解；

(2)根据对数函数单调性列不等式;即可求解.

【解答过程】⑴由题意/(3)=loga3=l,解得a=3；

(2)由⑴可得fG)=log3%是增函数,

从而/•(2X+1)</(2-3%)成立，当且仅当解得一

IZXI1>U~5

所以不等式/(2x+1)<f(2-3、)的解集是(—：().

【变式5.3](24-25高三上•新疆乌鲁木齐•阶段练习)已知函数/(x)=log2(l+x),ga)=log2(l-%)

(1)求函数/(%)-g(x)的定义域；

(2)求使得不等式/(幻一g(x)>1成立的x的取值范围.

【解题思路】(I)根据对数的性质即可列不等式求解，

(2)根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可求解.

【解答过程】(1)/(幻一。(乃的定义域满足{；)：]；，解得-1VXV1,

故定义域为{%[-1<x<1}

(2)/(x)-g[x}=Iog2(l+x)-log2(l-x),

要使，则(

f(x)-g(x)>1log2l4-x)-log2(l-%)>1=>log2(l+x)>log22(l-x),

因此1+%>2(1-％)>0,解得

故X的范围为1}.

【题型6对数函数的图象的识别及应用】

|[例6](24-25高一上•四川泸州•期末)如图(1)(2)(3)(4)中，不属于函数y=logix.y=logix,

C.(3)D.(4)

【解题思路】根据对数函数的图象和性质判断即可.

【解答过程】因为log「Vlog《二k)gK，

即当％=3时，logiX<OgiX,

575

:.(3)是y=logy,(4)是y=logps

75

又y=logix=-logs%与y=logs无关于X轴对称,

5

是

:.f.1)y=log5r.

故选：B.

【变式6.1】(2025高三上•全国•专题练习)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中Q>0,a工1)的图象

如图，则下列结论成立的是()

C.0<a<l,c>1D.0<a<1,0<c<1

【解题思路】根据函数图象可根据函数的单调性以及经过的点求解.

【解答过程】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以0VQV1;

因为图象与y轴的交点在y轴上方，所以y=loga(0+c)>0=logal,所以0<c<1.

故选：D.

【解题思路】由对数函数的性质以及复:合函数单调性逐项判断即可；

【解答过程】对于B、D,因为f(x)=log2>在其定义域上为单调增函数，

由复合函数的单调性可得/(%)=意在(0,1)和(L+8)上单调递减，故B、D错误;

对于C,由对数函数的性质，当(0,1)时，/(幻=毒<0,故C错误；

故选：A.

【变式6.3](24-25高三上•云南•阶段练习)函数/(%)=log2x,g(x)=log5x,h(x)=Igx的图象如图所示,

则f(%),g(x),九(%)的图象所对应的编号依次为()

A.③B.③®®

C.③②①D.①③②

【解题思路】利用特殊值确定正确答案.

【解答过程】令/(%)=log2^=1，解得％=2；

令g(x)=log5x=1,解得％=5；

令/!(%)=lg%=l,解得X=10,

即当X>1时，对应的底数越大，图象越靠近X轴

故f(x),g(幻，人(幻的图象所对应的编号依次为③②①.

故选：C.

【题型7对数(型)函数的单调性问题】

LJ［例7］(24-25高一上•山东泰安•阶段练习)函数/(无)=-logi(x2-6x+8)的单调递增区间为()

A.(4,4-oo)B.(—co,2)C.(3,4-co)D.(3,4)

【解题思路】先求出函数的定义域，再根据同增异减可求递增区间.

2

【解答过程】/(x)=log2(x-6x+8),

由题设有/-6x+8>0,故不<2或%>4,

设i=/-6%+8,x<2或x>4,y=log2t,则y=log2t在(0,+8)上为增函数，

而t=/-6%+8在(一8,2)上为戒函数，在(4,+8)上为增函数，

故/'(X)在(一8,2)上为减函数，在(4,+8)上为增函数，

故选：A.

【变式7』】(24-25高一上•湖北武汉•阶段练习)已知函数y=logjx2-ax+2)(a>0且a*1)在［0,1］上

单调递减，则实数a的取值范围是()

A.(0,1)B.［2,3］C.［2,3)D.(2,+8)

【解题思路】由复合函数的单调性，函数£=x2-ax+2(t>0)在区间［0,1］上严格递减，分a>1和0<QV

1两种情况结合£>0列不等式组求出范围即得答案.

【解答过程】令£=/一QX+2(t>0),则y=log/，

2

函数'=loga(r-flx+2)在区间［0,1］上严格递减,

当Q>1,由函数y=log/在区间［0,1］上严格递增，

则i=x2-ax+2(t>0)在区间［0,1］上严格递减，且t>0,

t=x2-ax+2(t>0)对称轴为x=p

所以1z-1,所以2<a<3；

(l-a+2>0

当0Va<1,由函数y=log/在区间［0,1］上严格递减，

则t=x2-ax+2(t>0)在区间［0,1］上严格递增，且t>0,

t=x2-ax+2(t>0)对称轴为义=p

所以°,所以a无解；

则实数a取值范围是［2,3).

故选：C.

2

【变式7.2］(24-25高一上•天津河东•阶段练习)已知函数/(x)=log2(x-4x+3)单调递减区间是()

A.(—8,1)B.(—co,2)C.(3,+8)D.(2,+8)

【解题思路】根据复合函数单调性“同增异减”的原则可得函数的单调减区间.

【解答过程】由/一4工+3>0得％>3或%<1,

2

/./(X)=log2(x-4x+3)的定义域为(-8,1)u(3,4-00).

Vy=x2-4x+3对称轴为直线x=2,

Ay=x2-4x4-3在(-8,1)上为减函数，

Vy=log2t在(0,+8)为增函数，

2

，根据复合函数单调性可得f(x)=log2(x-4x+3)单调递减区间为(一8,1).

故选：A.

【变式7.3］(24-25高一上•江苏南通•阶段练习)若函数f(%)=loga(2-ax)(a>0,aW1)在区间(1,3)内单

调递增，则。的取值范围是()

A.格1)B.(0图C.(0()D.6+8)

【解题思路】根据内函数为减函数，根据其单调性知外函数也为减函数，则0VQV1,再结合对数的真数

大于0,则得到2-3aN0,解出即可.

【解答过程】y=2-ax为减函数，

又f(x)=loga(2-QX)在区间(1,3)内为增函数，则0<a<1,

且当x€(1,3)时，y=2-ax>0恒成立，所以2-3QN0,解得a<|»

则0va/，

故选：B.

【题型8对数型复合函数的应用】

童J【例8】(24-25高一上・福建厦门・阶段练习)设函数/(幻=|1。(7^=1+%)|,则关于x的不等式

/"@+1)>/(2%)的解集为()

A.(-8,1)B,(/+8)C.D.(-1,0

【解题思路】由对数运算公式可知ln(kFT+x)+ln(VPTl-%)=0,可知/(均为偶函数，又当%>0时,

VPVT+x>1,可知当x±0时，/。)的解析式，结合复合函数单调性及函数的奇偶性可值f(x)的单调

性，根据奇偶性及单调性可解不等式.

【解答过程】由对数运算公式可知In(疹率T+x)+In(荷TT—x)=ln(x2+l-x2)=Ini=0,

所以/<(-%)=|ln“(T)2+1一工)=|ln(Vx2+1-无)|=|ln(Vx2+1+x)|=/(x),即函数f(x)为偶函

数.

又当％NO时，Vx2+1+%>VO2+14-0=1,BPln(Vx24-1+%)>0»

所以当%>0时，/(x)=|lnVx24-1+x\=ln(Vx2+1+x).

又函数y=hu在t6(0,+8)上单调递增，函数七=VFTT+%在［0,+8)上单调递增，

所以函数/(%)=|ln(斤巨+力|在［0,+8)上单调递增.

又两数为偶函数，所以f(x)=|ln(kTT+%)|在［0,+8)上单调递增，在(一8,0)上单调递减，

所以不等式/(%+1)>/(2%)等价于|X+1|>|2%|,即(％+1尸>(2x)2,解得-：V%VL

故选：C.

【变式8.11(24-25高一上•全国•课后作业)已知函数八力=ln［l+(l-幻2］,若对于任意£eR,不等式/(廿+

2t+4)>/(/c)恒成立，则实数k的取值范围是()

A.(0,3)B.(-3,1)C.(-1,3)D.(1,3)

【解题思路】探讨给定函数的性质，把恒成立的不等式转化为/(£)</(3),再借助函数性质求出范围.

【解答过程】函数/•(%)=1时1+(1-刈2］定义域为M其图象对称轴为3=1,

函数/•(%)在(1,+8)上单调递增，在(-8,1)上单调递减，

又产+2t+4=(t++3N3,对于VteR,/(t2+2t+4)>f⑶,

依题意,f(k)vf(3),因此比一1|v解得一lvk<3,

所以实数Z的取值范围是(-1,3).

故选：C.

【变式8.2］(24-25高一上•北京西城•阶段练习)已知函数/a)=log3(2+幻一log3(2-幻.

(1)判断外幻的奇偶性，并证明；

(2)若f(m)-/■(一m)V2,求TH的取值范围.

【解题思路】(1)首先求出函数的定义域.，再计算八-切，即可证明；

(2)首先判断函数的单调性，根据单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可.

【解答过程】(1)/(均为奇函数，证明如下：

由题意可得{；}C，解得-2<x<2,

所以函数f(%)的定义域为(一2,2).

又f(r)-log3(2-x)-log3(2+x)--[log3(2+x)-log3(2-x)]=-fM，

所以函数/(%)是定义在(-2,2)上的奇函数.

(2)因为/(x)=log3(2+x)-log3(2-x)=log3(芸)=>og3|-1+三)，

又y=一1+共在(_2,2)上单调递增，y=10g3%在定义域上单调递增，

所以f(%)=log3(-1+六)在(-2,2)上单调递增,

又f⑴=1，

不等式/(m)-/(-m)<2,即2/(m)<2,即f(m)<1,即/(m)</(l),

.(—2<m<2

'Im<1

解得—2VmV1,

所以m的取值范围为(一2,1).

【变式8.3](2小25高一上.重庆期中)己知函数/(x)=logzf为奇函数，且fG)=l.

(1)求实数a，b的值;

(2)判断/(外在定义域内的单调性，并说明理由(不需要证明)；

(3)解不等式/(2X-1)4-/(X+1)>0.

【解题思路】(1)根据奇函数的性质以及函数定义域可知Q=b,再结合运算求解即可;

(2)根据题意结合复合函数单调性分析判断.

(3)根据奇函数可得/'(%+1)>/(1-2%),再结合单调性列式求解即可.

【解答过程】(1)由言>0=Q+a)(x—b)<0,奇函数定义域关于原点对称，故Q=b,

由「6)=1，得0="=2,/(x)=log2|z^*

此时/(幻的定义域为(—2,2),且/(—%)+fM=iog2l=0,故f(x)为奇函数，

所以Q=b=2.

(2)因为/(%)的定义域为(一2,2),

设t-—»则y=log2t,

因为t=念=£-1在％e(-2,2)单调递增，y=log2t在£e(0,+8)单调递增，

故f(x)在Xe(-2,2)单调递增.

(3)因为/(切为奇函数且在工6(-2,2)单调递增，

若f(2无-1)4-/(x+1)>0,则+1)>-f(2x-1)=/(I-2幻，

(-2<lx—1V2

可得］-2<r+1<2,解得0<xV1.

\x+l>l-2x

所以不等式的解集为(0,1).

【题型9对数函数的实际应用】

1J［例91(24-25高一上•江苏苏州•阶段练习)声音的等级/X"单位：dB)与声音强度x(单位：co/m2)

满足/'(%)=10x1g薪.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB.若喷气式飞机起飞时声音强度约为汽

车穿梭在马路上声音强度的106倍，则汽车穿梭在马路上声音的等级约为()

A.KX)dBB.80dBC.60dBD.30dB

【解题思路】由函数/(幻的解析式，求出喷气式飞机起飞时声音强度，根据喷气式飞机起飞时声音强度约为

汽车穿梭在马路上声音强度的106倍求出结果.

【解答过程】因为140=10x1g尚n%=102a)/m2,

所以穿梭在马路上声音强度为黑=10-4u)/m2,

所以汽车穿梭在马路上声音的等级约为10x1g募=80dB.

故选：B.

【变式9.1］(24-25高一上•浙江宁波・期中)中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：C=

Wlog2(l+5)，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传宛速率C取决于信道带宽川、信道内信号的

平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中［叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W,将信噪

比J从2000提升至10(X)(),则。大约增加了(lg2*0.3010)()

N

A.18%B.21%C.23%D.25%

【解题思路】由已知公式，将信噪比J看作整体，分别取2000,10000求出相应的C值，再利用对数运算性质

与换底公式变形即可得解.

【解答过程】由题意，将信噪比自从2000提力至10000,

则最大信息传递速率C从G=W10g2（l+2000）增加至的=Wlc，g2（l+10000）,

110001

所以C2-C1_Wlog210001-Wlog22001_］og2^FT

7

Cl-Wlog22001-Iog22001

,10001.10000.10

=%001〜-2000_电1__〜021=21%

-!g2001~lg2000-lg2+lgl03-0.301+3~口/，一4m

故选：B.

【变式9.2］（24-25高一上•江苏连云港•期中）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已

经对地震有所了解，例如地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为IgE=4.8+

1.5M.若甲地发生里氏4.5级地震，乙地发生里氏8.0级地震，则乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出

的能量的（）

A.5.25倍B.5.2倍C.10525倍D.倍

【解题思路】根据题设关系式求得甲地能量J=1048+1Sx4\乙地能量％=104-8+1-5x80,再做商即可求结

果.

【解答过程】由题设，甲地里氏4.5级地震的能量为瓦,则怛殳=4.8+1.5x4.5,即=邮+出",

乙地里氏8.0级地震的能量为%，则恒%=4.8+1.5X8.0,即第=104-8+1-5x8°,

p4.8+1.5X8.0_c.〜c.

所以等=in=10L5x3S=io5-25,

£11Q4.5+1,5X4.5

即乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的10$25倍

故选：C.

【变式9.3］（24-25高一上•江苏南通・期中）火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇

宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：v=uln曹.〃表示气体相对

于火箭的喷射速度，Mo表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），M表示推进剂用完后火箭的质

量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为4km/s.理想情况下，对于初始质量为24吨的单

级火筋，速度要达到11.2km/s,则需装载的推进剂的吨数约为（）

（参考数据】n2=0.7,ln3=1.1,e04*1.5）

A.22.1B.22.3C.22.5D.22.7

【解题思路】首先将条件中的数据代入速度公式求M,再估算即可判断选项.

【解答过程】由题意可得=24,u=4,v=11.2,

二代入题目公式，可得：11.2=4xln=,2.8=ln24-InM,

M

\nM=In24—2.8,vln24=ln(8x3)=3ln2+In3*3.2,

代入值可得：InM=3.2-2.8=0.4,M=e04«1.5,

•••需装载的推进剂的吨数约为%-M=24-eO4«22.5.

故选：c.

»课后作业(19题)

一、单选题

1.(24・25高一上•福建福州.阶段练习)已知函数/(%)=logaQ+2),若图象过点(6,3),则/"(2)的值为()

A.-2B.2C.-D.--

22

【解题思路】首先代入点求函数的解析式，再求函数值.

【解答过程】由条件可知，/(6)=loga8=3,得a=2,

所以/'(2)=log24=2.

故选：B.

2.(24-25高一上•全国•课后作业)函数y=log(a_3)(7-。)中，实数”的取值范围是()

A.(-co,7)B.(3,7)

C.(3,4)U(4,7)D.(3,+oo)

【解题思路】根据对数函数的定义列式求解即可.

7—Q>0

【解答过程】Vy=log(a_3)(7-G),PIiJa-3^1,解得3VaV7,且ao4,

a-3>0

・,・实数a的取值范围是(3,4)U(47).

故选：C.

3.(24-25高一上•云南昆明•阶段练习)已知函数f(x)=loga(x+2)(a>0且a丰1),若/()的/象过点(6,3),

则f(2)的值为()

A.-2B.2C.-D.--

22

【解题思路】根据八6)=3求出a的值，可得出函数/G)的解析式，然后代值计算可得出八2)的值.

【解答过程】由题意可得f(6)=loga8=3,可得M=8,解得a=2,所以，f(x)=log2(x+2),

因比，/(2)=log24=2.

故选：B.

4.(24-25高一上•广东佛山•阶段练习)已知函数/'(x)是定义在R上的偶函数，在区间［0,+8)上单调递增，

且/'(1)=0.则不等式/'(logz%)>0的解集为()

A.(-8,：)U(2,+8)B.Q,1)U(1,2)

C.G，l)U(2,+8)D.(0,”(2,+8)

【解题思路】根据函数的性质得到|10g2%|>l，解不等式，求出解集.

【解答过程】/(I)=0,故/(10g2X)>0=/(I),

函数/'(%)是定义在R上的偶函数，在区间［0,+8)上单调递增，

/(|10g2^l)>0=f⑴,故|log2%|>1，Wlog2X>1或log2%<一1，

解得x>2或0<x<；,

故f(log2%)>0的解集为(o3)U(2,+8).

故选：D.

5.(24-25高一上•辽宁沈阳•阶段练习)函数y=k)gK2-x-x2)的增区间为()

2

A-(-8，-乡B.c.(三,+8)D.

【解题思路】由函数解析式求得其定义域，根据二次函数与对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，

可得答案.

【解答过程】由y=logK2-x-#),WJ2-x-x23>0,分解因式可得(％+2)(%-1)V0,

2

解得一2<x<l,所以函数y=log式2-%-/)的定义域为(-2,1),

2

由函数y=2-％-/在(―8,-与上单调递增，在(―3+8)上单调递减，

且函数y=logy在(0,+8)上单调递减，

2

则函数y=logi(2-x--)的增区间为(一：，1).

故选：D.

6.(23-24高一上•北京东城•期末)已知函数/(幻=108式2-3£1外在区间。2)上单调递增，则0的取值范

围为()

A.01且£1云1B.0<a<

33

22

C.-3<a<1D.0<a<-3

【解题思路】先对参数范围分类讨论，再结合复合函数的性质建立不等式，求解参数范围即可.

【解答过程】由对数函数性质得Q>1或0va<l,下面，我们对a的范围进行分类讨论，

令设=2-3ax,则/(X)是由y=og0和〃=2-3ax构成的复合函数，

当Q>1时，由对数函数性质得y=log。〃单调递增，

由一次函数性质得〃=2-3ax单调递减，

由复合函数性质得/(均单调递减，不符合题意，故排除，

当OvaVI时，由对数函数性质得y=loga〃单调递减，

若f(x)在区间上(1,2)单调递增，故〃=2-3仙在区间(1,2)上单调递减，

此时一3a<0,解得Q>0,且2-3。%>0恒成立，

由一次函数性质得〃=2-3QX的最小值为2-6a,

得到2-6Q>0,解得Q4%

综上，得到a的取值范围为0<QW(故B正确.

故选：B.

7.(24-25高一上•陕西渭南•期中)已知Q=(g)tb=\n^c=0.6-Q-2,则Q,4c的大小关系为()

A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.c>b>a

【解题思路】分别根据y=(|)"、y=\nx.y=0.6、的单调性，比较a,b,c与()，1的大小，即可比较

【解答过程】y=()在(―8,+8)上是减函数，OVQ=(J<(，=I；

y=Inx在(0,+8)上是增函数，&=ln1<Ini=0；

y=0.6”在(—8,+8)上是减函数，c=O.6-0,2>0.6°=1,

故c>a>b.

故选：A.

8.(24-25高一上•河北保定•阶段练习)如图，曲线G是函数y<a<1)的图象，曲线C?与曲线G关

于y轴对称，曲线(72与曲线关于直线丫=%对称，曲线C3与曲线关于4轴对称，则曲线。2，。3，Q对应

xx

A.y=a~,y=-logax,y=logaxB.y=logax,y=a~,y=-logax

xx

C.y=\ogax,y=-logax,y=a-D.y=-\