2022-2023学年高二数学湘教版选择性必修一课时检测试卷 3.2.2 双曲线的几何性质（一）（解析版）

2022-2023学年选择性必修一素养提升检测（湘教版）3.2.2双曲线的几何性质（一）（解析版）（测试时间60分钟）一、单选题（1．（2021·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段检测）“双曲线C的方程为”是“双曲线C的渐近线方程为”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】分成充分性和必要性分别讨论充分性：双曲线C的方程为”，能否推出“双曲线C的渐近线方程为”；必要性：“双曲线C的渐近线方程为”，能否推出“双曲线C的方程为”【详解】因为“双曲线C的方程为”，可得“双曲线C的渐近线方程为”，符合双曲线的基本性质；而“双曲线C的渐近线方程为”，则“双曲线C的方程为=m，m≠0”，所以命题甲推出命题乙，命题乙不能说明命题甲，说明甲是乙的充分不必要条件.故选：A.2．（2022·河北邯郸高二课时检测）已知双曲线的焦距等于实轴长的倍，则其渐近线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据离心率，由双曲线的性质，求出，即可得出渐近线方程.【详解】因为双曲线的焦距等于实轴长的倍，所以双曲线的离心率为，所以，则，即，所以，即，因此所求渐近线方程为：.故选：A.3．（2022·江苏扬州高二阶段检测）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共轭双曲线的结论不正确的是（

）A．与（，）共轭的双曲线是（，）B．互为共轭的双曲线渐近线不相同C．互为共轭的双曲线的离心率、，则D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上【答案】B【分析】由共轭双曲线的定义可判断A选项的正误；利用双曲线的渐近线方程可判断B选项的正误；利用双曲线的离心率公式以及基本不等式可判断C选项的正误；求出两双曲线的焦点坐标以及圆的方程，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，A正确；对于B选项，双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，B错；对于C选项，设，双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，所以，，当且仅当时，等号成立，C正确；对于D选项，设，双曲线的焦点坐标为，双曲线的焦点坐标为，这四个焦点都在圆上，D正确.故选：B.4．（2022·河南许昌高二期中）若实数k满足，则曲线与曲线（

）A．焦距相等 B．实轴长相等 C．虚轴长相等 D．离心率相等【答案】A【分析】根据实数的取值范围，判断两个曲线的类型及焦点位置，然后对四个选项逐一判断即可.【详解】因为，所以，，所以曲线是焦点在轴上的双曲线,曲线是焦点在轴上的双曲线，选项A：曲线与曲线的焦距分别为：，，所以两曲线的焦距相等，故A正确；选项B：曲线与曲线的实轴长分别为：，所以两曲线的实轴长不相等，故B错误；选项C：曲线与曲线的虚轴长分别为：，所以两曲线的虚轴长不相等，故C错误；选项D：曲线与曲线的离心率分别为：，所以两曲线的离心率不相等，故D错误；故选：A.5．（2022·四川德阳高二课时检测）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数．已知双曲线的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则m的值为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】利用实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，代入进行求解m的值．【详解】由题意得，在双曲线中，，∴．∵双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数，∴，∴，即，解得．故选：A．6．（2021·河南平顶山高二专题检测）P为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】C【分析】画出图形，将转化为，进而化简，结合图形得到答案.【详解】如图，圆C的圆心C为（2,0），半径r=2，，则当点P位于双曲线左支的顶点时，最小，即最小.此时的最小值为：.故选：C.7．（2022·山东威海高三专题模拟）已知，是双曲线的两个焦点，R是C上的一点，且，，C经过点，则C的实轴长为（

）A． B． C．6 D．3【答案】B【分析】由双曲线定义及分别求出，再由余弦定理得，进而结合C经过点解出即可求解.【详解】由双曲线定义可得，又可得，由余弦定理可得，即，化简得，又，可得；又C经过点，故，即，解得，故C的实轴长为.故选：B.8．（2022·江苏苏州高三专题模拟（理））若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设点，由结合两点间的距离公式得出点的轨迹方程，将问题转化为双曲线与点的轨迹有个公共点，并将双曲线的方程与动点的轨迹方程联立，由得出的取值范围，可得出答案．【详解】依题意可得，设，则由，得，整理得.由得，依题意可知，解得，则双曲线C的虚轴长.二、多选题（）9．（2022·江西婺源高二阶段检测）已知双曲线，则下列各选项正确的是（

）A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C的虚轴长为4【答案】BC【分析】根据双曲线方程求出、、，再一一判断即可.【详解】解：双曲线，则、，所以，则焦点坐标为，故A错误；离心率，故C正确，虚轴长为，故D错误；渐近线方程为，即，故B正确；故选：BC10．（2021·四川宜宾高二课时检测）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与椭圆有相同的焦距，且一条渐近线方程为，则双曲线的方程可能为（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】求出椭圆的焦距即双曲线的焦距，从而可设双曲线方程为，分和两种情况讨论，即可求出双曲线的标准方程．【详解】解：椭圆中，，焦距，双曲线与椭圆有相同的焦距，一条渐近线方程为，设双曲线的方程为，即，当时，，解得，双曲线的方程为；当时，，解得，双曲线的方程为；综上，双曲线的方程可能为或．故选：AD.11．（2022·福建厦门·高二期末）曲线，则（

）A．C上的点满足， B．C关于x轴、y轴对称C．C与x轴、y轴共有3个公共点 D．C与直线只有1个公共点【答案】ACD【分析】去掉绝对值即可根据双曲线和椭圆的性质判断.【详解】表示椭圆在x轴上方的部分，表示双曲线在x轴下方的部分，作出图象：双曲线的一条渐近线为，故选项ACD正确，选项B错误.故选：ACD.12．（2022·河北保定高三专题模拟）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个顶点分别是A1、A2，左、右两个焦点分别是F1、F2，P是双曲线上异于A1、A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（

）A．B．直线PA1、PA2的斜率之积等于定值C．使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个D．△PF1F2的面积为【答案】BC【分析】对于A：利用双曲线定义分析判断；对于B：设，利用斜率公式计算得，再根据点在双曲线上得，整理代入运算；对于C：因为，结合题意只能或，再结合图象及性质分析判断；对于D：根据定义结合余弦定理整理得，再结合面积公式整理判断．【详解】根据双曲线的定义可得：，A错误；设，则，即∵，则∴，B正确；不妨P在第一象限，根据双曲线的定义可知若，结合图象易知，则满足条件的点存在且唯一若，结合图象易知，则满足条件的点存在且唯一根据双曲线的对称性可知使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个，C正确；不妨P在第一象限，则∴则D不正确；故选：BC．填空题13．（2021·上海市大同中学高三阶段检测）若双曲线的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为_____.【答案】【分析】根据双曲线方程的几何性质可得结果，【详解】由题得，所以，又，所以，所以.所以双曲线的虚轴长为.故答案为：.14．（2022·四川·阆中中学高三阶段检测（文））双曲线的右焦点到直线的距离为________．【答案】【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，所以右焦点到直线的距离为.故答案为：.15．（2022·江苏无锡高二课时检测）设A、B、C是双曲线上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若且，则焦距为______.【答案】【分析】设双曲线的另一个焦点为E，由题意可得在RtABF中，OF为斜边AB上的中线，再结合双曲线的定义从而可求得，从而得到焦距.【详解】设双曲线的另一个焦点为E，由题意可得在RtABF中，OF为斜边AB上的中线，即有，令，，，由双曲线的定义有，，所以.在RtEAC中，，代入，化简可得.又得，.在RtEAF中，，即，所以.故答案为:16．（2022·山东曲阜高三专题模拟）如果一双曲线的实轴及虚轴分别是另一双曲线的虚轴及实轴，则称此两双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线，互为共轭双曲线，的焦点分别为，，顶点分别为，，的焦点分别为，，顶点分别为，，过四个焦点的圆的面积为，四边形的面积为，则的最大值为________.【答案】【分析】设出的焦点和顶点坐标，从而表示出的焦点和顶点坐标，表达出和，利用基本不等式求出的最大值.【详解】不妨设，，，，则，，，，当且仅当时等号成立故答案为：四、解答题（）17．（2021·广东·佛山市南海区狮山高级中学高二阶段检测）求下列双曲线的标准方程（1）与双曲线有共同渐近线，且过点；（2）与双曲线有公共焦点，且过点【答案】（1），（2）【分析】（1）设所求双曲线方程为，再将点代入可求出，从而可求得双曲线方程；（2）设双曲线方程为，将点代入求出的值，从而可得双曲线方程【详解】解：（1）由题意设所求双曲线方程为，因为双曲线过点，所以，得，所以，即所以所求双曲线方程为，（2）由题意设所求双曲线方程为，因为双曲线过点，所以，得，，解得或，所以所求双曲线方程为18．（2022·山西太原高三专题模拟）已知反比例函数的图象是以轴与轴为渐近线的等轴双曲线.(1)求双曲线的顶点坐标与焦点坐标；(2)设、为双曲线的两个顶点，点、是双曲线上不同的两个动点.求直线与交点的轨迹的方程；【答案】(1)顶点坐标，，焦点坐标、(2)【分析】（1）分析可知双曲线的顶点和焦点均在上，联立直线与双曲线的方程，可求得双曲线的顶点坐标，进而可求得该双曲线焦点的坐标；（2）设点，利用向量共线的坐标表示结合化简可得出轨迹的方程.（1）解：因为反比例函数的图象在第一象限和第三象限，第一、三象限的角平分线所在直线的方程为，所以，双曲线的顶点和焦点均在直线上，联立可得或，故双曲线的顶点坐标、.所以该等轴双曲线的焦距为，设双曲线的焦点坐标为，则，解得，因此，双曲线的焦点坐标为、.（2）解：因为点、是双曲线上不同的两个动点，则且，设交点，，且，，所以，，①，且，，所以，，②因为点在双曲线上，则，且，将代入①式化简可得，③将代入②式化简可得，④③式与④式相乘可得，可得，因此，轨迹的方程为.19．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段检测）设双曲线：，为其左、右两个焦点．(1)设为坐标原点，为双曲线的右支上任意一点，求的取值范围；(2)若动点与双曲线的两个焦点的距离之和为定值，且的最小值为，求动点的轨迹方程．【答案】（1）；（2）【详解】（1）设，，左焦点，∵（），对称轴为，∴.（2）由椭圆定义得点轨迹为椭圆，，，，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，∴，则，∴，，∴动点的轨迹方程为.20．（2023·江苏苏州高三专题模拟）椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是P，的周长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点任作一动直线交椭圆与两点，记，若在