河北省张家口市NT20名校联合体2025-2026学年高三上学期入学摸底考试数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页河北省张家口市NT20名校联合体2025-2026学年高三上学期入学摸底考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若，则（

）A． B． C． D．2．已知集合，则（

）A． B． C． D．3．样本数据的分位数是（

）A．22 B．24 C．25 D．264．已知空间向量与共线，则（

）A．-1 B． C． D．15．已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，该圆锥的表面积为，则圆锥的母线长为（

）.A．2 B． C． D．36．若，则（

）A． B． C． D．7．若，则的值为（

）A．12 B．5 C．12或5 D．3或58．2025年2月13日，《哪吒之魔童闹海》在上映的第16天，票房成功突破百亿，成为中国影史首部票房破百亿（全球票房）的影片后，哪吒的故事愈发深入人心.在影片中的一场经典战斗里，哪吒身处一片无垠的海面与敖丙对抗.此时，每次挥动混天绫，哪吒有的概率朝着敖丙方向前进一步.有的概率向后退一步，且向前向后相互独立.当哪吒挥动混天绫5次时，他位于比初始位置更靠近敖丙1步处的概率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列命题正确的有（

）A．一条直线和一个点确定一个平面B．直线与平面垂直，在平面内存在无数条直线与直线相交C．直线与平面相交，平面内存在无数条直线和直线异面D．平面与平面垂直，若直线与平面垂直，则直线与平面平行10．函数的图象与直线恰有2个交点，则的可能取值有（

）A． B． C．1 D．11．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（

）A． B．C．是直角三角形 D．是个定值三、填空题12．已知函数（为常数），若为的一个极值点，则.13．设为等差数列的前项和，，则.14．有5个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取4次，每次取1个球.记为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则的数学期望.四、解答题15．已知中，.(1)求；(2)设，点是线段上靠近点的三等分点，求的长度.16．已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)当恒成立时，求实数的取值范围.17．如图，四棱锥中，平面，底面四边形为正方形，，点分别为棱的中点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值.18．比利时数学家G.F.Dandelin在1822年提出了一个模型，用以证明一个平面截圆锥，得到的截面是椭圆.在圆锥内放入两个大小不同的内切球，使得它们分别与圆锥的侧面和平面相切，平面与圆锥侧面的交线为椭圆，两个球与平面的切点为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球，下图是该模型的轴截面图.在平面与圆锥侧面的交线上取任意一点A，过点的母线分别与球相切于两点，已知图中球，球的半径分别为2和6，球心之间的距离为.经计算得两点之间的距离为4，以直线为轴，在平面内，以线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.(1)说明平面与圆锥侧面的交线为椭圆，并求椭圆的标准方程；(2)已知点，过右焦点的直线与椭圆交于两点，与直线交于点，是否存在实数，使得.19．甲､乙两人参加射击比赛，规则如下：每轮由1人射击两次，若全中则此轮的射击者赢得比赛，比赛结束，否则进行下一轮射击，由另外的人射击两次，如此类推.经过抽签，第1轮甲射击，已知甲､乙每次射击命中的概率分别为，，各次射击互不影响.(1)若，记为比赛结束时的轮数，证明：；(2)若，记事件“比赛在第轮时未结束”，“甲赢得比赛”，（i）写出与的关系式并求；（ii）求.（参考：对于任意，当趋于无穷大时，）《河北省张家口市NT20名校联合体2025-2026学年高三上学期入学摸底考试数学试题》参考答案题号12345678910答案DBDCACBABCAD题号11答案ACD1．D【分析】按照复数的计算法则计算【详解】由等式两边同乘以得.去括号化简得故选：D.2．B【分析】解绝对值不等式求集合，再由集合的交运算求结果.【详解】因为或，又，则.故选：B3．D【分析】先将数据从小到大排序，计算分位数的位置，再确定分位数.【详解】将数据按由小到大重新排序：，共8个样本数据，计算，因为5.6不是整数，所以取大于5.6的最小正整数6，就是重新排序后的分位数的位置，即第分位数是重新排序后的第6个数26.故选：D.4．C【分析】根据空间向量共线的条件即可得出答案.【详解】因为空间向量与共线，所以，解得，所以.故选：C5．A【分析】由圆锥的侧面积公式和表面积公式求解.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则，可得，圆锥的表面积为，，可得.故选：A.6．C【分析】由二倍角正弦公式及同角三角函数关系，将目标式化为，即求值.【详解】由.故选：C7．B【分析】根据组合数的性质列出方程求解即可.【详解】由组合数的性质可得，解得，又，所以或，解得（舍去）或.故选：B8．A【分析】设哪吒向前走的步数为，依题意，，利用二项分布概率公式计算即得.【详解】设哪吒向前走的步数为，依题意，.当哪吒挥动混天绫5次时，他位于比初始位置更靠近敖丙1步，即哪吒向前走了3步，向后退了2步，根据二项分布概率公式，有.故选：A.9．BC【分析】根据平面的性质及线线、线面、面面间的位置关系对各个选项逐一分析判断即可．【详解】对于A，当点在直线外时，直线与该点可确定一个平面，当点在直线上时，直线与该点不能确定一个平面，故A错误；对于B，平面内所有过垂足的直线均与相交于，这样的直线有无数条，B正确；对于C，设直线与平面的交点为，平面内所有不经过点的直线都与直线异面，这样的直线有无数条，故C正确；对于D，直线还有可能在平面内，D错误.故选：BC.10．AD【分析】将函数图象交点个数转化为方程根的个数，再画出与直线的图象即可得出结果.【详解】函数与直线恰有2个交点，也就是方程有2个解，即的图象与直线有两个交点，画出与直线的图象如下图：因为，由图象可知或，所以或.故选：AD.11．ACD【分析】由椭圆和双曲线的定义和性质推理和判断得出.【详解】选项A，因为有公共的焦点，得，即，又，所以可得.故A正确；选项B，因为有公共的焦点，可得，，，得，即，故B错误；选项C，因为有公共的焦点，可得，不妨设点在第一象限，由椭圆和双曲线的定义得，，，所以，，，，所以，故是直角三角形，故C正确；选项D，因为有公共的焦点，可得，，，因此，故D正确.故选：ACD.12．【分析】由取极值的必要条件列方程，经检验即可.【详解】函数在处有极值，，经检验成立.故答案为：.13．-8【分析】由等差数列的性质和前项和公式求解.【详解】因为是等差数列，所以，所以，又因为，所以，所以.故答案为：14．【分析】求出的可能取值和对应的概率，根据期望公式进行求解即可.【详解】随机变量表示事件“只有1个小球至少被抽取一次”，即四次抽取的都是同一个编号的小球.因此我们只需确定第一次抽取的是哪个编号的小球即可，故；随机变量“表示事件有2小球至少被抽取一次”，即四次一共抽取了两个不同编号的小球.因此我们先确定是哪两个编号，假如是，则包含的基本事件有，故；随机变量表示事件“有3个小球至少被抽取一次”，即四次一共抽取了三个不同编号的小球.因此我们先需确定是哪三个编号，假如是，则包含的基本事件有，故；随机变量表示事件“有4个小球至少被抽取一次”，即四次一共抽取了四个不同编号的小球，故；因此.故答案为：15．(1)(2)【分析】（1）根据题意可先求得，再利用和差公式化简得，进而得到；（2）解法一、由（1）知，再根据题意在中，利用余弦定理求边长即可；解法二、利用，先平方再开方求模长即可.【详解】（1）由题意可得，，且，所以，即，在中，，可化为，由，得，代入，化简后得，即，所以，所以.（2）解法一：由（1）可得，，且，点是靠近点的三等分点，对于，利用余弦定理可知，故.解法二：由（1）可得，，且，则有，又，所以，即的长度为.16．(1)单调递减区间为，无单调递增区间(2)【分析】（1）时，带入得到函数表达式，求导即可得到；（2）分离常数.，对求导求最大值即可【详解】（1）当时，，，令则，设，解得当时，单调递增；当时，单调递减.，所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.（2）因为，所以.设，则，设，解得当时，单调递增；当时，单调递减.，所以实数的取值范围是17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据三角形全等证得，再根据线面垂直得到，最后根据线面垂直的判定定理得证；（2）根据空间向量法计算面面夹角的余弦值，结合同角三角函数的平方关系计算得到两平面夹角的正弦值；【详解】（1）证明：在正方形中，分别为的中点，..又平面平面，又平面（2）由题可知两两垂直，以点为原点建立如图所示空间直角坐标系.不妨设，设平面的法向量，得，令，则是平面的一个法向量.设平面的法向量为，，得，令，则是平面的一个法向量平面与平面夹角的正弦值为18．(1)说明见解析，(2)存在实数，使得【分析】（1）利用圆的切线长定理计算得到，结合椭圆的定义分析判断平面与圆锥侧面的交线为以为焦点的椭圆，求出的值，即得椭圆方程；（2）依题意，作出图形，考虑直线的斜率为0时，由求得；在直线的斜率不为0时，设方程为，将其与椭圆方程联立，写出韦达定理，由化简求得，即可判定使成立的实数存在.【详解】（1）根据轴截面图，设与的交点为，由圆的切线长定理，知，过作，垂足为，则四边形为矩形，即.由可得，任意点满足由椭圆的定义，知平面与圆锥侧面的交线为以为焦点的椭圆.由此可得椭圆的长轴为，焦距为，所以椭圆的标准方程为：（2）如图，因,可知直线的斜率必存在.①当直线的斜率为0时，方程为，则，由，得，解得②当直线的斜率不为0时，设方程为，则设，由，消去，整理得，，由，得，又，代入上式得，解得，综上所述，存在实数，使得.19．(1)证明见解析(2)（i）答案见解析；（ii）【分析】（1）计算出，，利用条件概率公式得到；（2）（i）解法一：设出事件，分为偶数和为奇数两种情况，得到的关系，得到为奇数时，，此时是等比数列，利用等比数列的性质得到，从而得到当为偶数，，求出答案；解法二：设出事件，考虑当为偶数，由全概率公式知，当为奇数，同理，从而为奇数时，，此时是等比数列，利用等比数列的性质得到，从而得到当为偶数，，求出答案；（ii）解法一：甲只可能在奇数轮时获胜，结合互斥事件概率公式和等比数列求和公式可得，因为，所以；解法二：注意到，体现无记忆性，所以，即，解得.【详解】（1）表示第1轮甲射击没有全中，则，，故每一轮，甲乙射击没有全中的概率均为，故表示前轮射击没有出现全中，则，同理知，所以；（2）（i）解法一：甲在奇数轮时射击，乙在偶数轮数时射击，记事件“甲两次射击没全中”，事件“乙两次射击没全中”，则，当为偶数，第轮由甲射击，发生等价于发生且甲两次射击没全中，即，又各次射击互不影响，与独立，所以①，当为奇数，第轮由乙射击，同理②，由①②知，当为奇数时，.所以当为奇数时是首项为，公比为的等比数列，.当为偶数，，综上知，解法二：甲在奇数轮时射击，乙在偶数轮数时射击，记事件“甲两次射击没全中”，事件“乙两次射击没全中”，则，当为偶数，第轮由甲射击，由