重庆市西北狼教育联盟2025-2026学年高三上学期开学学情诊断数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页重庆市西北狼教育联盟2025-2026学年高三上学期开学学情诊断数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数满足（其中i为虚数单位），则（

）A． B． C． D．2．已知命题，，则是（

）A．， B．，C．， D．，3．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（

）A．－7 B．7 C．－5 D．54．若一组样本数据为，，，另一组样本数据，，的方差为8，则，，这组数据的方差为（

）A．4 B．2 C．6 D．85．已知是减函数，则函数的大致图象为（

）A． B．C． D．6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（

）A．的图象关于y轴对称 B．为的一个周期C． D．二、多选题9．已知在的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则下列说法正确的有（

）A． B．只有第3项的二项式系数最大C．的系数为 D．各项系数之和为10．某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏．甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是（

）A．事件与事件互斥 B．事件与事件B相互独立C． D．11．已知函数，则（

）A．，使得为单调函数B．，的图象恒有对称中心C．当时，D．若，，是方程的三个不同的根，则三、填空题12．已知幂函数在上是减函数，则实数．13．据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之．”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．现从3名男生和2名女生中任选3人参加围棋比赛，则所选3人中至多有1名女生的概率为．14．已知，则的最小值为．四、解答题15．已知集合，，其中．(1)若，求；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．16．为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示.(1)用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数；(2)将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），已知样本的标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量，求的数学期望；(3)从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率.参考数据：若，则，.17．已知函数．(1)当时，求在点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)若，使成立，求的取值范围．18．电影《哪吒2》上映以来引起了全社会甚至全世界的关注，全球票房突破百亿．“跟着吒儿去旅游”成为热门出游方式，某景点宣传投入金额（单位：万元）与游客满意度评分（满分：100分）之间可能存在一定的关系，以下是随机抽取的6个不同线上宣传投入金额和游客满意度评分的数据：线上宣传投入金额（万元）203040506070游客满意度评分（分）606570788085(1)根据表中所给数据，用相关系数加以判断与两个变量线性相关性的强弱.（精确到小数点后两位）；(2)《哪吒2》中更是蕴含着丰富的中国传统文化，某校举办中国传统文化比赛，甲、乙两人进入决赛，决赛采用“五局三胜制”，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为；①当时，设比赛结束时甲、乙比赛的局数为，求的分布列和期望；②甲以获胜的概率为，求的最大值．参考公式：相关系数，参考数据：．19．我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，对于二元函数，若存在正数m，满足，，则称具有性质T．已知二元函数．(1)若恒成立，求a的取值范围．(2)已知正数m，满足．（ⅰ）证明：．（ⅱ）证明：具有性质T．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《重庆市西北狼教育联盟2025-2026学年高三上学期开学学情诊断数学试题》参考答案题号12345678910答案BCABBBBCACACD题号11答案ABD1．B【分析】利用复数的除法运算法则求得，进而可求得.【详解】因为，所以，故.故选：B.2．C【分析】根据存在命题的否定为全称命题即可求解.【详解】：，，故选:C3．A【分析】由奇函数的定义知，可知，再根据时的解析式，即可求得，从而求解即可.【详解】因为时，，所以，因为是定义在上的奇函数，所以.故选：A4．B【分析】根据方差的性质即可求解.【详解】设，，这组数据的方差为，则，得，故选：B5．B【分析】由已知可得，当时根据函数解析式可得函数的图象，即可求解.【详解】因为是减函数，且是增函数，所以，因为，又当时，，所以函数的图象是对称轴为直线，顶点为，开口向上的抛物线的一部分，只有选项B符合题意.故选：B.6．B【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合指数函数与对数函数的单调性，列出不等式组，即可求解.【详解】因为函数在上单调递增，且当时，单调递增，则满足，解得，即实数的取值范围是．故选：B．7．B【分析】本题可通过将函数在区间上有三个零点转化为与在上有三个交点，再分区间讨论并结合导数研究函数单调性来求解a的取值范围.【详解】函数在区间上有三个零点等价于函数与在上有三个交点，当时，在上单调递减，是过原点的直线，要使两函数图象有交点，需；当时，，令，得，令，，令，解得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取得最大值，又，.要使函数与在上有三个交点，则与在上需有一个交点、在上需有两个交点，则需满足，所以.综上，实数a的取值范围为.故选：B8．C【分析】根据抽象函数的奇偶性和对称性，求出周期，确定对称轴，求函数值的和分别判断各个选项.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，所以的图象关于y轴对称，故A正确；又因为，所以，所以，即，所以，所以，故B正确；在中，令，得，所以，故C错误；因为，所以，所以，所以，，故，故D正确．故选：C9．AC【分析】根据二项式系数和得，结合二项式系数的性质及展开式通项公式判断A、B、C，最后应用赋值法求各项系数之和判断D.【详解】由题设，可得，A对；展开式共有7项，故只有第4项的二项式系数最大，B错误；展开式通项为，，令，可得，则的系数为，C对；令，则，D错.故选：AC10．ACD【分析】根据条件概率，全概率公式，互斥事件和相互独立事件的概念逐一分析判断即可.【详解】由题意知，不可能同时发生，所以互斥，故A正确；，，故C正确；所以，，所以，则，所以事件与事件B不相互独立，故B错误，D正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率的步骤：（1）分析题意，弄清概率模型；（2）计算、；（3）代入公式求.11．ABD【分析】A对函数求导，假设函数单调，并结合二次函数性质列不等式求参数范围，即可判断；B由，再结合即可判断；C应用特殊值判断；D由并展开，结合已知表达式，即可判断.【详解】A：由题设，所以是开口向上的抛物线，要使为单调函数，只需恒成立，即，得，所以，使得为单调函数，对；B：对于，所以，即恒关于点对称，对；C：由题设，若，显然，错；D：由题设，又，则，对.故选：ABD12．【分析】根据幂函数定义及性质可得【详解】因为是幂函数，所以,解得或.当时，为增函数，不符合题意；当时，在上是减函数，符合题意；故答案为:.13．/0.7【分析】利用组合的知识结合古典概型的概率公式可解.【详解】从5人中任选3人，一共有种选法．所选3人中至多有1名女生的情况有以下两种：3人全都是男生，有种选法；3人中有2名男生1名女生，有种选法．则所选3人中至多有1名女生的概率,故答案为：.14．【分析】令，，通过指数式与对数式互化用表示出，再借助基本不等式进行求解即可.【详解】令，，则，，，令，，则，当且仅当，即时等号成立，，即.故答案为：.【点睛】关键点点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．15．(1)或，(2)【分析】（1）利用绝对值不等式、一元二次不等式的解法和交集、补集的定义求解；（2）根据必要不充分条件的定义可得真包含于，从而根据集合的关系可求解.【详解】（1）由，解得，即，故，因为，所以，由，解得，故，则或，或.（2）由可得，因为，所以，所以不等式的解为，即，因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，所以或，解得，又因为，所以，故实数的取值范围为.16．(1)(2)(3)【分析】（1）根据平均数的计算公式求解即可；（2）根据正态分布的对称性求解，然后根据二项分布的期望公式求解期望即可；（3）根据分层抽样、条件概率公式求解即可.【详解】（1）由题意有，所以估计此次知识竞赛成绩的平均数为；（2）由题意有，因为，即，所以，由题意得抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数服从二项分布，即，所以，所以抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数的数学期望为；（3）由频率分布直方图有：分数在和的频率分别为和，按照分层抽样，抽取10份，其中在应抽取份，分数应抽取份，令事件抽取3份试卷来自不同区间，事件取出的试卷有2份来自区间，所以，所以.所以抽测3份试卷有2份来自区间的概率为.17．(1)(2)详见解析(3)或.【分析】（1）需要先求出函数在切点处的导数，即切线斜率，再结合切点坐标得到切线方程；（2）通过对函数求导，分类讨论，根据导数的正负来判断；（3）需要分情况讨论函数在给定区间上的最值情况.【详解】（1）当时，，对求导得.则，又，所以切点为，

所以切线方程为，即.（2）对求导得.当时，，所以在上单调递减.当时，令，即，，，解得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（3）在有解，即当时，，当时，由（2）知函数在上的最大值在端点处取得.此时，，所以或，得或，又，所以舍去，所以.当时，函数在上单调递减，那么最大值在处取得.此时，所以，得.综合两种情况，可得的取值范围为或.18．(1)，与两个变量线性相关性的很强(2)①的分布列见解析，期望为；②的最大值为【分析】（1）根据题意，分别求出，，，，，最后代入相关系数公式即可求得，根据的值判断线性相关性强弱即可.（2）①根据题意，，的取值可能为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.②根据题意，求得的表达式，再对求导，通过分析导数的正负确定函数的单调性，进而求出的最大值【详解】（1）由题意得，，，，，则.因为，接近1，所以与两个变量线性相关性的很强.（2）①由题意的取值可能为，且甲获胜的概率为，当时，甲连胜3局或乙连胜3局：.当时，前3局甲2胜1负，第4局甲胜；或前3局乙2胜1负，第4局乙胜：.当时，前4局甲2胜2负，第5局甲胜；或前4局乙2胜2负，第5局乙胜：.所以的分布列为：345期望.②甲以获胜，即前4局甲2胜2负，第5局甲胜，所以.对求导得，令，解得.则当时，，单调递增，当时，，单调递减.因此当时，取得最大值.19．(1)(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析【分析】（1）恒成立即为恒成立，利用导数求出左侧函数的最大值后可求参数的取值范围.（2）（ⅰ）由可得，利用极值点偏移可证;（ⅱ）要证具有性质T即证，设，从而将前者转化为证明即，利用导数可证明后者.【详解】（1），令，则．令，得，令，得，所以函数在上单调递增，