2021北京重点校高一（上）期中数学试卷试题汇编：集合章节综合2

1/12021北京重点校高一（上）期中数学汇编集合章节综合2一、单选题1．（2021·北京·北师大二附中高一期中）定义全集的子集的特征函数对于任意的集合、，下列说法错误的是．A．若，则，对于任意的成立B．，对于任意的成立C．，对于任意的成立D．若，则，对于任意的成立2．（2021·北京八十中高一期中）设集合，，则A． B． C． D．3．（2021·北京八十中高一期中）如图中阴影部分所表示的集合是（）A． B．（A∪B）∪（B∪C）C．（A∪C）∩（∁UB） D．4．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期中）已知集合，，则（）A． B． C． D．5．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期中）下列所给元素与集合的关系正确的是（）A． B． C． D．6．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）已知集合，，则（）A． B．C． D．7．（2021·北京八中高一期中）若集合，，则集合（）A． B． C． D．8．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期中）已知集合，那么等于（）A． B． C． D．9．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）已知集合，集合，那么（）A． B． C． D．10．（2021·北京·北师大二附中高一期中）若集合，则等于（）A． B． C． D．11．（2021·北京·北师大二附中高一期中）设集合，，则它们之间最准确的关系是（）．A． B．C． D．12．（2021·北京·人大附中高一期中）R为全体实数集，集合A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{y|y＝x2+1，x∈R}，则＝（）A．[1，4） B．（﹣1，+∞）C．[4，+∞） D．（﹣∞，1]∪（4，+∞）13．（2021·北京市第十三中学高一期中）已知集合，则（）A．{1} B．{-1}C．{1，2} D．{1，2，3，4}14．（2021·北京·101中学高一期中）若集合，则（）A． B．C． D．二、双空题15．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）设集合，，若，则___________；___________.16．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）设关于的不等式的解集为.（1）若中有且只有一个元素，则的值为___________；（2）若且，则的取值范围是___________.三、填空题17．（2021·北京·人大附中高一期中）设集合，其中为实数，令，，若中的所有元素之和为6，中的所有元素之积为_________．18．（2021·北京·北师大二附中高一期中）设，集合，，若，则__________．19．（2021·北京八中高一期中）设集合，，若，则实数________．20．（2021·北京·101中学高一期中）已知集合，若，则实数的值是__________21．（2021·北京·人大附中高一期中）某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：等级项目优秀合格合计除草301545植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为_________22．（2021·北京·人大附中高一期中）满足的集合的个数为____________个.23．（2021·北京·北师大二附中高一期中）已知集合，若，则___________.四、解答题24．（2021·北京·北师大二附中高一期中）对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．（）判断集合是否是“和谐集”（不必写过程）．（）请写出一个只含有个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”．（）当时，集合，求证：集合不是“和谐集”．25．（2021·北京八十中高一期中）已知集合，集合，集合，且集合满足，.（1）求实数的值.（2）对集合，其中.定义由中的元素构成两个相应的集合，，其中是有序实数对，集合和中的元素的个数分别为和，若对任意的总有，则称集合具有性质.①请检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和.②试判断和的大小关系，并证明你的结论.26．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）已知集合，.（1）若，求；（2）若，求的取值范围；（3）若，求的取值范围.27．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）对于一个所有元素均为整数的非空集合，和一个给定的整数，定义集合.（1）若，直接写出集合，和；（2）若，其中，，求的值，使得集合中元素的个数最少；（3）写出所有满足的整数和，使得当集合时，有，并说明理由.28．（2021·北京八十中高一期中）已知集合，.（1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围.29．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期中）已知集合、集合.求（1）；（2）；（3）.30．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期中）设集合，若，求a的取值范围.

参考答案1．C【详解】分析：根据题中特征函数的定义，利用集合的交集、并集和补集运算法则，对A、B、C、D各项中的运算加以验证，可得A、B、D都可以证明它们的正确性，而C项可通过反例说明它不正确．由此得到本题答案详解：且时，，，，所以，所以选项说法错误，故选．点睛：本题给出特征函数的定义，判断几个命题的真假性，着重考查了集合的运算性质和函数对应法则的理解等知识，属于中档题2．C【分析】由集合间的交运算求解即可.【详解】∵集合，，∴．故选．【点睛】本题考查集合间的交运算;属于基础题.3．A【分析】根据韦恩图的意义，结合集合交并补运算的表示，即可容易求得结果.【详解】根据韦恩图的意义，阴影部分表示的集合为：集合与在集合中的补集的交集.故可表示为：.故选：A.4．C【分析】先求解集合A中的不等式，判断A，B的包含关系，计算，分析即得解【详解】由题意，故，故选：C5．A【分析】根据实数、自然数、有理数、整数的知识逐一判断即可.【详解】，，，故选：A6．A【分析】根据交集的定义，即得解【详解】由题意，根据交集的定义故选：A7．D【分析】直接利用集合交集的定义求解.【详解】因为，，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力，属于基础题..8．C【分析】直接利用交集的定义求解即可【详解】解：因为集合，所以=，故选：C9．A【分析】求得集合，集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，所以.故选：A.10．A【分析】直接利用交集的定义求解.【详解】因为，所以.故选：A11．C【分析】利用列举法可判断集合、的包含关系.【详解】由集合得，，则，由集合得，，则，所以，，故选：C．12．C【分析】求出和集合B，由此能求出．【详解】解：R为全体实数集，集合A＝{x|﹣1＜x＜4}，∴＝{x|x≤﹣1或x≥4}，∵B＝{y|y＝x2+1，x∈R}＝{y|y≥1}，∴＝{x|x≥4}．故选：C．13．A【分析】直接根据集合的交集运算求解即可.【详解】解：因为，所以故选：A14．D【分析】利用集合的并集运算求解.【详解】因为集合，所以，故选：D15．11【分析】先求解集合A，B中的不等式，再结合，列出关于的等量关系，即得解【详解】由题意，集合由于，即或故，否则故集合或故解得故答案为：1，116．1【分析】（1）由题意，不等式的解集只有一个元素，利用开口方向和判别式控制，列出不等关系，即得解；（2）由且，列出不等关系，求解即可【详解】（1）由题意，不等式的解集只有一个元素故，解得（2）由题意，且故，解得故答案为：1，17．【分析】根据中的元素的和为6可得的元素，从而可求中的元素，从而可得各元素的积，注意分类讨论.【详解】因为，而，故，所以，若，则或（舍），此时，故中的所有元素之积为.若，则，这与或，这与中的所有元素之和为6矛盾.若，则或（舍），此时，这与中的所有元素之和为6矛盾.若，则，则，即，无解.故答案为：.【点睛】思路点睛：对于集合中元素的确定问题，注意利用元素的互异性、确定性和无序性来分类讨论.18．1或2【详解】，解方程可得因为，所以，当m=1时，满足题意；当，即m=2时，满足题意，故m=1或2.19．或4【分析】化简集合A、集合B，再结合，确定直线与平行或直线过点，最后求实数a的值.【详解】集合A表示直线，即上的点，但除去点，集合B表示直线上的点，当时，直线与平行或直线过点，所以或，解得或．故答案为：或420．【分析】由，分，两种情况讨论，结合集合中元素的互异性分析，即得解【详解】由题意，（1）若，则，和集合中元素的互异性矛盾，不成立；（2）若，则，由（1）若，则，，成立故实数的值是故答案为：21．15【分析】用集合表示除草优秀的学生，表示植树优秀的学生，全班学生用全集表示，则表示除草合格的学生，则表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论．【详解】用集合表示除草优秀的学生，表示植树优秀的学生，全班学生用全集表示，则表示除草合格的学生，则表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，设两个项目都优秀的人数为，两个项目都是合格的人数为，由图可得，，因为，所以．故答案为：．22．4【分析】根据子集的定义即可得到集合的个数；【详解】，或或或，故答案为：4.【点睛】本题考查子集的定义，属于基础题.23．【分析】根据元素与集合之间的关系以及集合的特征即可求解.【详解】，，则或，解得或，当时，集合中有两个相同元素，（舍去），所以.故答案为：24．(1)集合不是“和谐集”.(2)集合是“和谐集”；证明见解析.(3)证明见解析.【分析】（1）根据定义，判断集合{1，2，3，4，5}不是“和谐集”；（2）集合，根据定义验证即可；（3）不妨设，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④，由定义得出矛盾即可证明结论.【详解】（）集合不是“和谐集”．（）集合，证明：∵，，，，，，，∴集合是“和谐集”．（）证明：不妨设，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④，由①③得，矛盾，由①④得，矛盾，由②③得矛盾，由②④得矛盾，故当时，集合一定不是“和谐集”．【点睛】考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力、分析能力，属于创新题.25．（1）（2）①具有性质，不具有性质；，；②，证明见解析.【分析】（1）由，，可得，从而可求得的值，验证即可得结论；（2）①由（1）求得，，检验性质，即可得到结论；②分别证得和，从而可得．【详解】（1）由，，，，可得，则，则或，时，，不满足，时，，满足题意，综上，.（2）①，具有性质，，，，，但，则不具有性质.②，证明如下：对任意，有，，，则，则，若，则，，则不同对应的不同，则中每个元素在中都能找到不同元素与之对应，则中元素个数不少于中元素个数，对任意，有，，，则，则，若，则，，则不同对应的不同，则中每个元素在中都能找到不同元素与之对应，则中元素个数不少于中元素个数，综上.26．（1）（2）（3）【分析】（1）求出集合，再由并集与补集的定义求解即可；（2）根据数形结合的思想列出不等式，即可求解；（3）根据数形结合的思想列出不等式，即可求解；（1）或，当时，，或，；（2）当时，满足条件，此时有，此时无解，故；当时，由得：，解得，所以的取值范围是；（3）由（2）可知，由可知：或，解得或，所以的取值范围是27．（1），，.（2）答案见解析.（3），或，.【分析】（1）根据题意，集合，利用列举法，即可求得；（2）由，得到，得到时，此时中的元素个数最少，分类讨论，即可求解；（3）根据题意，分、和三种情况分类讨论，结合题设条件，即可求解.（1）解：由题意，集合，且，当时，可得；当时，可得；当时，可得.（2）解：由题意，集合，对于，其中，当时，此时中的元素个数最少，若为奇数，则时，中的元素个数最少；若为偶数，则或时，中的元素个数最少.（3）解：若时，可得，此时，且，所以；若时，可得，要使得且，则，即.若时，此时，显然中有很多整数空缺，所以不成立.综上可得：，或，.28．（1）或，；（2）；（3）或.【分析】（1）当时求出集合，再进行交并补运算即可求解；（2）由题意可得，讨论和，列关于的不等式或不等式组即可求解；（3）由可得