计数问题专项讲义：容斥原理-小升初数学模块化思维提升

专题2容斥原理

小升初数学模块化思维提升

（知识梳理+典题精讲+专项训练）

知钠梳理

1、在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会

发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一

种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目

先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏

又无重复.这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题.

一般方法：

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思

容斥原理1：两量重受问题

A类与B类元素个数的总和二A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B

类的元素个数用符号可表示成：AUB=A+B-AnB（其中符号“U”读作“并”，

相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“n”读作“交”，相当于中文“且”

的意思）.

容斥原理2：三量重叠问题

A类、B类与C类元素个数的总和二A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数

-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C

类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数.

用符号表示为：AUBUC=A+B+C-AnB-BnC-AnC+AnBnC

A

ADBCCIA

BDCAHBnc

【典例一147名同学参加了数学和语文考试，两门都没得100分的有26人，

数学得满分的有17人，语文得百分的有12人，试问两门都得100分的有几人？

【分析】两门都没得100分的有26人，那么至少一门得100分的就是

47-26=21人，由此根据语文、数学得100分的人数画图分析：

至少一门得105亍得共有21人

两门都得100分得人数

由此利用容斥原理即可求出两门都得100分的人数.

【解答】解：至少一门得100分的有：47-26=21（人），

两门都得100分的有：12+17-21=8（人），

答：两门都得100分的有8人.

【点评】此题考查了利用容斥原理解答问题的灵活应用，这里求出至少一门

得100分的人数是解决问题的关键.

【典例二】六一班的王老师在一次数学测验中共出了三道题，结果做对第一

题的有39人，做对第二题的有42人，做对第三题的有28人，同时做对第一、

二题的有33人，做对第一、三题的有22人，做对第二、三题的有21人，全对

的有17人，没有全错的.全班有多少人？

【分析】因为全对的有17人，所以只做对第一题和第二题的有33-17=16人，

只做对第一、三题的有22-17=5人，只做对第二、三题的有21-17=4人，由此可

以画图分析，观察图形可知，因为同时做对第一题和第二题的，同时做对第一、

三题的，同时做对第二、三题的人数，重复加了1次，全做对的17人重复加了

2次，把做对第一题、第二题、第三题的总人数加起来，减去重复加的人数，就

得到这个班的总人数.

只做对第一、二题一'”、、

、做对第二题的42人

做对第-题的39人（

\广、只则第二、三题

只做对第一、三题、一一做时茶二颖的”人

【解答】解：只做对第一题和第二题的有33-17=16（人），

只做对第一、三题的有22-17=5（人），

只做对第二、三题的有21-17=4（人），

（39+42+28）-（16+5+4）-17x2,

=109-25-34,

=50（人）：

答：这个班一共有50人.

【点评】此题考查了利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，利用画图法进

行分析解答，可使计算过程更加简洁明了.

【典例三】东方小学的统计数据表明：学校共有学生1200名，其中男生650

名，高年级学生300名，三好学生100名，男生中的三好学生60名，高年级学

生中男生160名，高年级女生中三好学生20名，非高年级女生中不是三好学生

的400名.试说明：这个统计数据一定有错误.

【分析】根据题干分析可得：（1）根据“全校女生550人，高年级女生140

人，非高年级女生410人.女生中三好学生40人，”可以求出非高年级女生20

人；

（2）另一方面，根据“非高年级女生有410人，也可以求出非高年级女生

三好学生10人，”10声20,前后矛盾，说明统计数据一定有误.

【点评】两量重叠问题：A类与3类元素个数的总和二A类元素的个数+B

类元素个数-既是A类又是B类的元素个数。

2.九龙坡区今年五月份的天气有4种情况(如图)，五月份至少有()

天是同一种天气。

晴天多云阴天雨天

A.6B.7C.8D.9

【分析】把四种天气情况看作4个抽屉，五月有31天，把31天看作31个

元素，然后根据抽屉原理解答即可。

【解答】解：31+4=7(天)……3(天)

7+1=8(天)

答：五月份至少有8天是同一种天气。

故选：Co

【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差

情况考虑。

3.下列4句话中正确的说法是哪些？()

(1)步测一段距离，每步的平均长度和走的步数成反比例.

(2)用4个圆心南是90。的扇形肯定可以拼成一个圆.

(3)将形状、大小一样的红、白两种颜色的小球各5个，放在一个不透明

的袋子里，任意摸出1个球，摸到红球和白球的可能性相等.

(4)一个班有40名学生，其中有18人参加美术组，15人参加数学组，有

10人这两个小组都参加，那么这两个小组都没参加的有17人.

A.(1)(2)(3)B.(1)(3)(4)

C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(4)

【分析】(1)判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应

的比值一定，还是对应的乘积一定：如果是比值一定，就成正比例：如果是乘积

一定，则成反比例.

（2）用4个圆心角是90。的扇形要拼成一个圆，还需要扇形的半径相等；

据此解答即可.

（3）将形状、大小一样的红、白两种颜色的小球各5个，红球和白球的个

数相等，那么可能性就相等；据此解答即可.

（4）有18人参加美术组，15人参加数学组，则参加的人数有15+18=33人，

其中有10人两个小组都参加（重复计算了一次），则实际参加的人数是33-10=23

人，那么两个小组都没参加的人数有40-23=17人；据此解答即可.

【解答】解：（1）每步的平均长度x走的步数=步测一段距离（一定），是

乘积一定，每步的平均长度和走的步数成反比例,所以原题说法正确.

（2）只有用4个圆心角是90。，且半径相等的扇形才能拼成一个圆，所以

原题说法错误.

（3）因为5=5,所以任意摸出1个球，摸到红球和白球的可能性相等；所以

原题说法正确.

（4）15+18-10=23（人）

40-23=17（人）

即这两个小组都没参加的有17人，所以原题说法正确.

综上所述，正确的说法（1）（3）（4）.

故选：B.

【点评】本题考查的知识点比较多，要结合各自的特点和算理解答即可.

4.六（1）班有46人，喜欢打乒乓球的有32人，喜欢打羽毛球的有26人，

既喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的至少有（）人。

A.11B.12C.13D.14

【分析】由题意可知，不喜欢打乒乓球的有46-32=14（人），不喜欢打羽毛

球的有46-26=20（人）：则不喜欢打羽毛球或乒乓球的人最多有14+20=34（人

）,从而喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的至少有46-34=12（人），由此选择即可。

【解答】解：不喜欢打乒乓球的有：46-32=14（人）

不喜欢打羽毛球的有：46-26=20（人）

则不喜欢打羽毛球或乒乓球的人最多有：14+20=34（人）

从而喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的至少有：46-34=12（人）

答：既喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的至少有12人。

故选：

【点评】解答此题的关键是，在理解题意的基础上，利用最值问题，找准对

应的量，列式解答即可。

5.某单位举办设有A、B、。三个项目的趣味运动会，每位员工三个项目

都可以报名参加。经统计，共有72名员工报名，其中参加A、B、。三个项目

的人数分别为26、32、38,三个项目都参加的有4人，则仅参加一个项目的员工

人数是

（）

A.48B.40C.52D.44

【分析】三量重叠问题：A类、3类与C类元素个数的总和=人类元素的

个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是3类的元素个数-既是3类又

是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类

的元素个数；据此解答即可。

【解答】解：26+32+38=96（人）

96-72-4x2=16（人）

72-16-4=52（人）

答：仅参加一个项目的员工有52人。

故选：C。

【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决

问题。

6.在一次国际会议上，人们发现与会代表中有10人是东欧人，有6人是亚

太地区的，会说汉语的有6人。欧美地区的代表占了与会代表总数的2以上，而

3

东欧代表占了欧美代表的；以上。由此可见，与会代表人数可能是（）

A.22人B.21人C.19人D.18人

【分析】用东欧代表的人数除以2,即可求出欧美地区的代表的人数，再用

3

欧美地区的代表的人数除以2,即可求出与会代表的总人数，去取整数解答。

3

9

【解答】解：10，=15（人）

3

15-=竺亡22（人）

32

答：与会代表人数可能是22人。

故选：Ao

【点评】本题考查分数除法的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式

计算即可。

7.某班学生从颁奖大会上得知，该班获得奖励的情况如表所示:

人数

项目三好学生优秀学生干部优秀团员

级别

市级323

校级18612

已知该班共有28人获得奖励，其中只获得两项奖励的有且只有13人，那么

该班获奖励最多的一位同学获得的奖励最多为（）

A.3项B.4项C.5项D.6项

【分析】获奖人次共计18+3+6+2+12+3=44人次，减去只获两项奖的13人

计13x2=26人次，则剩下44-13x2=18人次，28-13=15人，这15人中有只获一

次奖的，有获三次以上奖的.

【解答】解：根据题意，要使“该班获得奖励最多的一位同学”获奖最多，

则让剩下的15人中的一人获奖最多，其余15-1=14人获奖最少，只获一项奖

励,

则获奖最多的人获奖项目为18-14=4项.

故选：B.

【点评】本题考查从统计表中获取信息的能力.统计表可以将大量数据的分

类结果清晰、一目了然地表达出来.

8.有53人参加了英语兴趣小组和科学兴趣小组，其中参加英语兴趣小组的

有32人，参加科学兴趣小组的有28人，英语兴趣小组和科学兴趣小组都参.加的

有（）人・

A.6B.7C.8D.9

【分析】根据题意，把参加英语兴趣小组的人数与参加科学兴趣小组的人数

相加，求出两者的和，由于把两个兴趣小组都参加的人数重复计算了1次，所以

将两个兴趣小组的人数和再减去53人，就是英语兴趣小组和科学兴趣小组都参

加的人数.

【解答】解：32+28-53

=60-53

=7（人）

答：英语兴趣小红和科学兴趣小组都参加的有7人.

故选：B.

【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决

问题.

二,填空题（共8小题）

9.有两项社团活动，班级30名同学报名参加，每人至少参加一项，其中有

2的同学参加了科技社团，士的同学参加了文艺社团。有14人参加了两项

35------

社团活动。

【分析】先求出参加了科技社团和文艺社团的人数，根据容斥原理公式：既

A又8=A+B-总人数解答即可。

【解答】解：30x|=20（人）

4

30X-=24（人）

20+24-30

=44-30

=14（人）

答：有14人参加了两项社团活动。

故答案为：14。

［点评］此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决

问题。

10.全班48位同学中有！参加音舞类课外兴趣小组活动，有2参加书画类课

38

外兴趣小组活动，有5位同学两类课外兴趣小组活动都没有参加，有3位同

学两类课外兴趣小组活动都参加。

【分析】先用总人数乘分率和d+3求出两个兴趣小组的人数和，然后再减

38

去至少参加一组的人数和（48-5）,就是两类课外兴趣小组活动都参加的人数。

【解答】解：48x（l+-）-（48-5）

38

=46-43

=3（位）

答：有3位同学两类课外兴趣小组活动都参加。

故答案为：3o

【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B=A+B-总数量（两

种情况）。

11.（容斥原理）一次数学竞赛有4,B,C三题，参赛的39个人中，每

人至少答对了一道题。在答对人的人中，只答对4的比还答对其他题目的多5

人；在没答对4的人中，答对3的是答对。的2倍；又知道只答对A的等于只

答对3的与只答对C的人数之和，那么答对A的最多有23人。

【分析】由题意得，如图所示：只答对A的人数是外+Q,答对A还答对其

他题目的人数是助+〃-5,所以有：勖+〃+3八〃-5+3〃+2。=：,化筒得

4。+9〃=44,然后对.、b进行取值，求得八b,取八3的最大值；因为答对A

的人共3"〃+3。+。-5=6/?+2〃-5,把八3的最大值代入劭+2〃-5中，解决问题。

【解答】解：只答对A的人数是外+a,答对A还答对其他题目的人数是

3b+ci—5,所以有：3/?+a+3/?+a—5+3b+2a=39。

化简得:4。+9Z?=44o

因为八b都为自然数，所以当〃=2时，6=4；当〃=11时，/?=0：

。二24=11

即＜<

3=4b=0

答对A的人共3/?+〃+3/?+a-5=6/?+2a-5,把〃、8的最大值代入6/?+2a-5中，

最大值是：

6x1+2x2-5

=24+4-5

=23（人）

答：答对A的人最多有23人。

故答案为：23。

【点评】此题运用图示法，对集合元素和集合元素的确定，还要注意方程中

未知数范围的确定。

12.对120种食物是否含有维生素甲、乙、丙进行调查，结果是：含甲的62

种，含乙的90种，含丙的68种：含甲、乙的48种，含甲、丙的36种，含乙、

丙的50种；含甲、乙、丙的25种.问仅含维生素甲的有3种.

【分析】根据题意和容斥原理，知道仅含维生素甲的食物=含甲的+含甲、乙、

丙-含甲、乙的-含甲、丙的食物的种类.

【解答】解：62+25-48-36,

=87-48-36,

=3（种）.

答：仅含维生素甲的有3种.

故答案为：3.

【点评】解答此题的关键是，弄清题意，找出数量关系，根据容斥原理，列

式解答即可.

13.五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、。、

E1五个小组，若参加若组的有15人，参加3组的人数仅次于A组，参加C组、

。组的人数相同，参加石组的人数最少，只有4人。那么，参加3组的有7

人。

【分析】分别设出3组和C。两组的人数为未知数，列出不定方程，然后讨

论求解。

【解答】解：设参加3组的人数为a.人，参加C组、。组的人数均为）•人。

15+x+2y+4=36

可得x+2y=17

因为参加3组的人数仅次于A组，参加C组、。组的人数相同，

所以4<x<15,且*只能取奇数5、7、9O

经验证得，只有x=7、y=5时符合要求。

答：参加3组的有7人。

故答案为：7O

【点评】列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数，

正确列出方程。

14.某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生.参加语文竞赛有120名

女生，80名男生.已知该校总共有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两

科竞赛都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生人数是15

人.

【分析】首先根据参加数学竞赛有120名男生，参加语文竞赛有80名男生，

其中75名男生都参加了，求得参加竞赛的男生一共有多少人.进而根据该校总

共有260名学生参加竞赛，求得参加竞赛的女生一共有多少人.再根据参加数学

竞赛有80名女生，参加语文竞赛有120名男生，求得都参加的女生竞赛人数.利

用80名女生参加数学竞赛，从而求得没有参加语文竞赛的女生人数.

【解答】解：男生一共有：120+80-75=125（名）.

女生一共有：260-125=135（名）；

设有x名女生两科竞赛都参加了，则：

120+80-x=135

2007=135

200-x+x=135+x

2OO=135+x

135+135=200-135

x=65,

80-65=15（名）.

答：那么参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有15名.

故答案为：15.

【点评】本题考查容斥定理.解决本题的关键是根据题意首先推断出两科都

参加的人数，再算出两科都参加的女生人数.

15.六年级三个班共订阅了25种杂志，其中一班订了15种，二班订了16

种，三班订了14种，一班和二班相同的有10种，二班和三班相同的有5种，一

班和三班相同的有6种，三个班都订的杂志有」种.

【分析】根据容斥原理可得：三个班一共订了15+16+14=45种，其中重复相

加了一班和二班相同的有10种，二班和三班相同的有5种，一班和三班相同的

有6种，所以一共有4570-6-5=24种，这比已知的25种少了1种，是因为三

个班都订的杂志种数被重复多减了1次；据此即可解答.

相同的5种

【解答】解：根据题干分析可得：25-（16+15+14-10-5-6）,

=25-24,

二1（种），

答：三个班都订的杂志有1种.

【点评】此题主要考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，解答此类问

题可以利用画图的方法帮助分析.

16.在一次考试中，某班数学得100分的有17人，语文得100的有13人，

两科都得100分的有7人，两科至少有一科得100分的共有23人:全班45

人中两科都不得100的有人.

【分析】两门都得100分的有7人，那么至少一门得100分的就是

17+13-7=23人，然后再用总人数45减去至少一门得100分的人数就是两科都不

得100的人数.

【解答】解：至少一门得100分的有：17+13-7=23（人），

两科都不得100的有：45-23=22（人），

答：两科至少有一科得100分的共有23人：全班45人中两科都不得1C0的

有22人.

故答案为：23,22.

【点评】此题考查了利用容斥原理解答问题的灵活应用，两量重叠问题：4

类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+8类元素个数-既是A类又是B类

的元素个数.

三,解答题（共9小题）

17.五年级一班有40人，他们都参加了英语课外兴趣小组或信息技术课小

组，已知参加了英语课外小组的有32位同学，参加了信息技术课外小组的有20

位同学，那么，两个小组都参加的同学有多少位？

【分析】由容斥原理可知：参加了英语课外小组的有32位同学加上参加了

信息技术课外小组的有20位同学，再减去40人就是两个小组都参加的同学.

【解答】解：32+20-40

=52-40

=12（位）

答：两个小组都参加的同学12位.

【点评】本题为基本的容斥原理题目，其公式为：A类3类元素个数总和=

属于A类元素个数+属于3类元素个数-既是A类又是8类的元素个数.

18.四、五年级参加植树的共有多少人？

五年级参加植树的比

四年级多

【分析】先求出五年级的人数，五年级人数相当于（1+1）的四年级人数，再

4

加四年级人数就等于四五年级的总人数。

【解答】解：80x（1+3+80

4

=80x-+80

4

=180（人）

答：四、五年级参加植树的共有180人。

【点评】准确找到单位“1”的量是解决本题的关键。

19.某校六年级有120名学生，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和

为135,其中，既参加了体育兴趣小组又参加了文学兴趣小组有15人，既参加

了体育兴趣小组又参加了数学兴趣小组有10人，既参加了文学兴趣小组又参加

了教学兴趣小组有8人，三个兴趣小组都参加的有4人，求三个兴趣小组都没有

参加的人数.

【分析】此题属于三者容斥原理，根据公式

4jB|JC=A+B+C-AQB-Ap|C-BQc+/lpBQc,这里

A+B+C=135、噌3=15、噌C=10、£p|C二8、噌4,所以

&J4J号135-1隼1084（人），都没参加的有120-106=14（人），据此解

答.

【角军答】解：才艮据公式电|RJC=A+8+C—八0]8一4「|。一8「|。+人「|8口€',

这里A+3+C=135、App=15、Ap]C=10、Bp|C=8、码的。=4,

所以电到。=135—15—10—8+4=106（人），

都没参加的有120-106=14（人），

答：三个兴趣小组都没有参加的有14人.

【点评】此题考查了三者容斥原理公式的运用.

20.已知全班共有46人，有35人喜欢打篮球，还有35人喜欢踢足球，还

有38人喜欢游泳，还有40人喜欢乒乓球，问四种运动都参加的至少有多少人？

（体育项目与原题有出入）

【分析】如果46人4项均参加，项目总数应该是184人次；我们现在可以

确定本题的项目总数有148人次，显然不是46人都参加了4项运动，要求四种

运动都参加的人数最少，那就把参加3种活动都参加的人数最多，最多则为全班

人都参加了3种活动，由此即可解答.

【解答】解：四种运动都参加的至少有：

35+35+38+40-46x3=10（人）；

答：四种运动都参加的至少有10人.

【点评】最不利原则是小学奥数中最重要的解决问题的数学模型，常常和抽

屉组合成题，也可以自己成题.构造一个最不利的模型，核心问题是边界的确定

（临界状态）

21.某班有36名同学参加一项测试，答对第一题的有25人，答对第二题的

有23人，两题都答对的有15人。若用长方形面积代表全班人数，大圆的面积代

表第一题答对人数，小圆面积代表第二题答对人数，大小圆重叠部分面积代表两

题都答对人数，两题都没答对的同学有多少名？

【分析】依据题意结合图示可知，两题都没答对的同学人数=总人数-答对第

一题人数-只答对第二题人数，只答对第二题人数=答对第二题人数-两题都答对

人数，由此列式计算即可。

【解答】解：36-25-（23-15）

=36-25-8

=3（名）

答：两题都没答对的同学有3名。

【点评】本题考查的是容斥原理的应用，解决这类问题可以通过画图来解答，

这样更直观。

22.某年级有60人中有2的同学爱打乒乓球，2的同学爱踢足球，巴的同

345

学爱打篮球，这三项运动都爱好的有24人，问这个年级最多有多少人这三项运

动都不爱好？

【分析】根据题干可得：爱打乒乓球的40人，爱踢足球的45人，爱打篮球

的48人，去掉三种运动都爱的24人，则剩下的爱打乒乓球的16人，爱踢足球

的21人，爱打篮球的24人，由此即可进行讨论推理解决问题.

【解答】解：爱打乒乓球的人数：60x|=40（人），

爱踢足球的人数：60x-=45（人），

4

爱打篮球的人数：60x-=48（人），

5

60-40=20（人）

60-45=15（人）

60-48=12（人）

因为，不爱乒乓球20人，不爱足球15人，不爱篮球12人，全爱好24人,

全班60人，

20+15+12+24-60=11（人），

即不爱两种和三种都不爱的2倍之和，

[A+B+C+D+D]为11人，

则三种都不爱的最多为11+2=5-1;

答：这个年级最多有5人这三项运动都不爱好.

故答案为：5.

【点评】根据题干得出只喜欢两种运动或1种运动的人数，利用容斥原理进

行推理讨论即可解答.

23.六（1）班一次数学测试，语文及格率是90%,数学及格率是94%,4%

的人语、数都不及格，语、数两科都及格的有44人，六（1）班