江苏省部分高中2024-2025学年高二年级上册期末迎考数学试题（含答案解析）

江苏省部分高中2024-2025学年高二上学期期末迎考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

2

1.已知数列｛q｝的首项q=1,且。"+i=-+3（/?eN,）,则这个数列的第4项是（）

615113

A.行B.6-D.3

2.根据如下样本数据得到的回归直线方程为/=去+3,则下列结论不正确的是（）

X23456

y4.02.5-0.50.5-2

A.«＞0B.右＜0

C.4右+4=0.9D.预计x=7时，y＞一2

3.直线》-歹-2=0关于直线/：3x-y+3=0对称的直线方程为（）

A.7x-y-22=0B.7x+y+22=0

C.6x-y+22=0D.6x+y+22=0

4.在1和7之间插入m个数，使得这〃什2个数成等差数列.若这小个数中第1个为x,第，n

125

个为则一+一的最小值是（）

xy

99

A.-B.4C.3D.一

24

5.有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学

校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（）

A.90B.150C.390D.420

6.已知双曲线C:工—工=1的一条渐近线/与椭圆E二+二=15〉6>0）交于48两点,

26Mb?

若阳周=|4B|（人玛是椭圆的两个焦点），则椭圆£的离心率为（）

A.x/3-1B.V3+1C.D.

22

7.若圆/+产=4上总存在两个点到点（a,l）的距离为3,则实数a的取值范围是（）

A.(-M)B.(-276,276)

试卷第1页，共4页

c.(-1,O)U(O,1)D.(-2而0)“0,24)

8.已知曲线E:胆+理=1,PgJ。）是曲线E上任意一点，则百/十%＞的最大值为（）

36

A.孕B.—C.V15D.回

22

二、多选题

9.设等差数列｛%｝的前〃项和S“=2〃2-ll〃（〃eN）则（）

A.该数列的公差为4B.卬=21

121

C.j有最小值-15D.S“有最小值

O

10.已知函数/（x）=（4x-l1=40+”+。户？+…+4］户”，则（）

A.B.展开式中，二项式系数的最大值为Cl

C.%+%+%+…+4=产D.〃5）的个位数字是1

H.已知抛物线「：产=”的焦点为尸,过产的直线4交「于必），风打为）两点,r

在点8处的切线为小过A作与平行的直线4,交「于另一点。（天，%）.记4与y轴的交点

为。，则（）

A.必必=2B.须，再，七成等差数列

C.舄=1D.V/18C面积的最小值为16

\DF\

三、填空题

12.若直线2K一夕一2—0（：eR）与x+2y+3—0垂直，贝/二.

13.已知椭圆式+丁=1的焦点为片，用，尸是该椭圆上的动点，若4；阴是锐角，则点尸

4

的横坐标的取值范围是.

14.已知数列｛〃〃｝满足。川+（-1）"%=2〃-1（〃6N）,且其前62项的和为1885,则

%=-

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.已知圆C:X2+JJ=4,宜线/过点力(-2,1).

(1)当直线/与圆。相切时，求直线/的方程；

(2)设线段44的端点B在圆C上运动，求线段44的中点M的轨迹方程.

16.随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正

逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径.某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调

查了200名消费者,得到如下列联表:

合

年龄不超过40岁年龄超过40岁

计

是微短剧消费者3045

不是微短剧消费

者

合计100200

(1)根据小概率值a=0.05的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”

有关联？

(2)记2020〜2024年的年份代码x依次为1,2,3,4,5,下表为202M2023年中国微短剧市

场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模歹(单位：亿元)与x的统计数据：

年份代码

12345

X

市场规模

9436810173749m

y

根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为i=132.71x-192.85，求相关系数/•，并判断

该经验回归方程是否有价值.

n(ad-be)"

参考公式：X2=其中〃=a+8+c+C,x=3.841.

(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)005

试卷第3页，共4页

n--------za-元）（乂-用

X（Z-?）2=442.03,相关系数，.二।/"I".厢=3.16.

"但（•…）2和（*-才

V1=1Vr=l

若"20.75,则认为经验回归方程有价值.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

17.已知S”为数列｛q｝的前〃项和，a,=1,且a“=5”|+〃(〃22且〃£1\1').

⑴证明：加“+1｝是等比数列，并求数列｛%｝的通项公式；

2刀

(2)若〃“二------,记《为数列仇｝的前〃项和，求证：37；22.

%・%+i

VI

2

18.己知数列｛叫和也｝,数列也｝的前〃项和邑=/,=|11(〃wN),数列｛5｝满

足c“=a,也.

⑴求证：数列出｝是等差数列；

(2)求数列卜“｝的前〃项和7“；

⑶若q4〃?对一切“wN，恒成立，求实数m的取值范围.

22

19.己知。为双曲线£^-3=15>0力>0)的左顶点，点(拉，行)在E上，且£的离心

率为2.

(1)求双曲线后的方程.

(2)过点(3,0)且斜率为尢的直线/交上的右支于4B两点,△力8。的外心为。为坐标

原点，线段0M所在直线斜率为左2.

①求证:直线AD和直线BD的斜率之积为定值；

②试探求仁和々的关系，并说明理由.

试卷第4页，共4页

《江苏省部分高中2024-2025学年高二上学期期末迎考数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ADBACADCACBD

题号11

答案BCD

1.A

2

【分析】可根据数列的递推公式/♦「丁+3,由首项1逐步求出内、外，进而求出为

n

2

【详解】已知4=1,将〃=1代入递推公式。川=丁+3中,

22

可得：%=—+3=；+3=2+3=5,

q1

2

将〃=2代入递推公式4+1=—+3中,此时电=5,

%

2c2、21517

则：%=—+3=£+3=£+W=W,

a25555

217

将〃=3代入递推公式%=一+3中，此时生=?,

、5

2、2—5,105161

a.=—+3=F+3=2X—+3=—+—=—

则:4a31217171717

5

这个数列的第4项是当.

故选：A.

2.D

【分析】根据表格中的数据，求得样本中点的坐标，结合由y随着x的增大而趋于减小，逐

项判定，即可求解.

一1-1

【详解】由表格中的数据，可得x=w(2+3+4+5+6)=4,旷=工(4+2.5-0.5+0.5-2)=0.9,

所以样本点的中心的坐标为(4,0.9),

对于B中，由V随着x的噌大而趋于减小，可得夕二八十&的斜率3<o,所以B正确;

对于A中，当x=0时，可得》=3>0,所以A正确；

对于C中，将样本中心(40.9)代入回归方程，可得4右+力=().9,所以C正确；

对于D中，由由y随着x的增大而趋于减小，预计x=7时，，<-2,所以D错误.

故选：D.

3.B

答案第1页，共14页

【分析】先求两直线的交点?，再在直线x-y-2=0取点题0,-2）,求点A关于直线/的对

称点H,依据两点P,H,可得所求直线的方程.

5

x-y-2=()x=~2（5

【详解】联立，解得；则交点坐标为2卜5

3x-y+3=0

V=----3

取直线r-y-2=0上一点力（0,-2）,设点A关于宜线/：3x-y+3=0的对称点为,

则由口/出=-1，且线段的中点在直线/上,

』3=-1

/=-3

解得，।

与—卜二T

3x-0--+--f-------2--+-y-+3=0

22

故所求直线过点夕卜去一3,（一3，一1）・

9川

所以所求直线方程为：y+-=—1x+|j,即7x+y+22=0.

2-3+?

2

故选：B

4.A

125

【分析】由题意可得x+y=8,利用基本不等式1的代换，可求一+一的最小值.

%y

【详解】由等差数列的性质得x+y=l+7=8,且l<x</<7,

、

则rJ丁25丁肃1z+y)

4

X=­

x+y=8［2时取等号，即I一+25一的最小值是o:

当且仅当《15xr，即

20xy2

y=—"

3

故选：A.

5.C

【分析】根据录用的人数，结合组合和排列的定义分类讨论进行求解即可.

【详解】若5人中有且仅有3人被录用，满足条件的录用情况有A；=60种,

C1C1

若5人中有且仅有4人被录用‘满足条件的录用情况有C,A；=I8。种,

答案第2页，共14页

若5人都被录用，满足条件的录用情况有罢A；+等A；=150种，

A?A?

由分类加法计数原理可得符合要求的不同的录用情况种数是390.

故选：C.

6.A

【分析】由题意不妨设/的方程为y=根据题意可得A的坐标，代入椭圆方程，进而

计算可求得椭圆的离心率.

【详解】易知双曲线。的渐近线方程为y=±6r,不妨设/的方程为)，=石工

如图，由|阳=留用=2c,406=60。，可得力惇半)

代入椭圆方程，得£+三=1,又

4/4Zr

故=1,解得,=4-2百(/=4+2百舍去)，所以e=G-l.

44。y一夕)

故选：A.

7.D

【分析】问题转化为两圆相交，进而可得3-2<V7W<3+2,求解即可.

【详解】圆/+V=4的圆心为。(0,0),半径为「=2.

设圆(x—a)：+(y-l)2=9,

由题意，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以3-2<6+1<3+2,

解得0</<24,即-2及<”0或0<。<2而.

所以实数〃的取值范围是卜2石,0)=(0,26).

故选：D.

8.C

答案第3页，共14页

【分析】分类讨论可得曲线£轨迹，利用瓜f可看成是点尸（公,先）到直线6x+y=0的

距离的两倍，当点P（x。,为）在椭圆上时距离最大，利用三角代换可求最大值.

【详解】由史+幽=1，当x<0j>0时，方程为广一£=1,

3663

当工之0,»20时,，方程为二+匕=1,当x>0,y<0时，方程为工—匕=1,

3636

如图，曲线在第二、四象限是双曲线的一部分，在第一象限是椭圆兰+片

1的一部分,

36

|右/+川可看成是点尸（乙,%）到直线Gx+y=0的距离的两倍.

由图可知，点P（x0,九）在椭圆上时，距离最大.

设尸(百(;0$仇指$而6)(()<<9<]),

其中tan°=",则|6%+刃=屈.

则x/3x+y=3cos。+#sin0=4Tsin(6+(p),

0aT2।|max

故选：c.

9.AC

【分析】利用凡、£关系先求出通项公式，由此判断A、B,再利用数列函数的性质判断C、

D.

【详解】设等差数列血｝的公差为“，因为S"=2〃2-ll“〃eN）

5,=fl)=2-11=-9,

当“22时，有S.T=2(〃-1)2—11(〃-1)=2〃2-15〃+13,

得勺=S-e=2〃2-11〃-2〃2+15〃-13=4〃-13(〃之2),

检验。=-9符合上式,所以%=4〃-13,

对于A,1=?“一。”=4。2+1)-13-4〃+13=4,A正确,

答案第4页，共14页

定义B,知=4x11-13=31,B错误,

/、z

对于C,=2«2-11/7=21/?--!(»eN*),

"I4J8'7

可知〃=3时，S”有最小值§3=2(3—?)_111_=_1^0=_15>

所以C正确，D错误.

故选：AC

10.BD

【分析】对于A：根据二项展开式分析求解；对于B：根据二项式系数的性质分析求解；对

于C：利用赋值法，令x=0、x=l即可得结果；对于D：因为/(5)=(20-1广，结合二项

展开式分析求解.

【详解】对于选项A：(以-1厂的展开式的通项为

2/(旬”•(-1)'=(-1)'・产，・玛•,厂=0,1,2,…,12,

令，•=9,可得7；=(-1Y・4,.Cl•父=—4、xC•x3,

所以%=-43XC3故A错误；

对于选项B：因为〃=12为偶数，可知一项式系数的最大值为C3，故B正确；

对于选项C：令戈=0,可得4=1;

令x=l,可得/+q+%+…+〃i2=3”;

所以4+。2+。3+…+。12=3"T，故C错误;

对于选项D：因为/(5)=(20-1厂,

且(20-1广的展开式的通项为几=320%=0,1,2,…,12,

可知当k=0,1,2,…,11,小均为20的倍数,即个位数为0,

当£=12时，0=1,所以/(5)的个位数字是1,故D正确：

故选：BD.

11.BCD

答案第5页，共14页

【分析】A选项，求出焦点坐标与准线方程，设直线4的方程为、=依+1,联立抛物线方程,

得到两根之积，从而求出y必=1；B选项，求导，得到切线方程，联立抛物线方程，得到

%+为=2々；C选项，求出。(0,必+2),|。尸|=乂+1,结合焦半径公式求出|力尸|=乂+1,

C正确；D选项，弦长公式和点到直线的距离公式，表示出V/14C的面积，从而得到面积最

小值.

【详解】如图：

由题知尸(o,i),直线4,《的斜率存在.

y=h+1

对于A,如图，设直线团…'联立消去九整理得人*4=。，

所以玉+&=4%,x]x2=-4,

所以乂乃=立.*=七匚=1，故A错误.

124416

对于B,因为卜=上，所以y=：,所以抛物线正在点8处的切线/，的斜率为:当，

422

所以直线A：y-yt=^-(x-x,),即y=£x+Y+2-

联立必+2,消去儿整理得》2-2X/-4必-8=0,

X2=4y

所以凡+/=2七，故B正确.

对于C,由小丁=5工+必+2,令x=0,得y=%+2,所以。(0,必+2).

又尸|=乂+1,|/尸卜乂+1,故C正确.

22

对于D,\AB\=yj\+k=Jl+>2.^(X}+x2)-4xlx2=40+左)

结合图象可知，汽=2,+&7,占=2卜一护丁)，

又山阳+/=2勺，得旦=2/一X|=2k-6收十\，%-10/2-6T42+1+9，

答案第6页，共14页

2k2-6k\lk2+\-\0k2+6k42+1-9+1

所以点。到直线44的距离d=8VP+1，

\lk2+1

所以S“8c=gx4（k2+1）x8>/Fi=[6,2+i）弘16,当且仅当〃=0时等号成立,故D正确.

故选：BCD

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

（1）几何法，若题目的条件和结论能叨显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决;

（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，

再求这个函数的最值或范围.

12.1

【分析】利用两直线垂直的充要条件计算即可求得/的值.

【详解】直线2x—少—2=0（/£咫与工+2旷+3=0垂直，

所以2xI+（-/）x2=0,解得f=l.

故答案为：1.

1a2A/6.、2瓜

13.（-2,--—）U（—,2i

【分析】由题意可得对•房>0且点P不在左、右顶点处，设尸（%,%）,-2<X0<2,进而

计算可得：片-2>0,求解即可.

【详解】若/月次是锐隹，则两・巫〉0且点尸不在左、右顶点处.

设尸际打),-2<x0<2,则£(-石,0),((a0),

则「月・Pg=(-s/3-x0,-^(1)*(\/3-XQ,-^)=xl-3+y；=—-2>0,

2x/6

解得e(-2,-

所以点尸的横坐标的取值范围是（-2,-半U（孚,2）.

故答案为：（-2,-学）U（学,2）.

14.88

【分析】根据题意，分类讨论〃为奇数和偶数时的通项关系式，分组求和可计算出q,出，

再根据已知结论求解..

【详解】当〃为偶数时,勺+|+4。=-1，4〃+2-。”+1=2（?+1卜1,两式相加,得，“+4„+2=4”.

答案第7页，共14页

当〃为奇数时，-an=2/7-\,an^2+an^=2+1）-1,两式相减，得。,+凡,2=2.

所以

^62=（%+生+…4J+（生+%+-&62）=［《+（如+%）+•'•（生9+%）］

+［。2+（。4+4）+…（。60+%）］

=+2x15）+［g+4x（4+X+-石。］=〃［+30+〃：+1920=1885,

所以q+生=-65.

又%=1,所以q=-33,〃2=-32,

因为q+%=%+%=2,所以%=%,同理可得6=%=…=%i，

所以。61=卬=一33,而“62-。61=121，所以《2=牝1+121=88.

故答案为：88.

15.⑴x=-2或3x—4y+10=0

⑵（x+l）2+，-1=1

乙）

【分析】（1）分直线斜率是否存在两种情况讨论可求切线的方程；

x.=2x4-2

（2）设点〃*/）,4（天,乂），可得（°利用点8在圆C上运动，可求点M的轨迹

旧=2），-1

方程.

【详解】（1）己知圆。的圆心是。©0）,半径是2,

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=-2,符合题意;

当直线/的斜率存在时，设直线）的方程为，-l=k（x+2）,即履-y+2Arl=0,

I2A-+1I3

则圆心。到直线/的距离为%==2,解得左二=,故直线/的方程为3x-4y+10=0.

x/K+14

综上，直线/的方程为x=-2或3x-4y+10=0.

x」o-2

（2）设点M（x,y）,8（%，%），则由点M是线段AB的中点得2।,所以，

y=>-o..+...l!：：：＞•

?2

因为点8在圆C上运动，所以石+尤=4②，将①代入②得（2x+2『+（2y-l）2=4,

答案第8页，共14页

化简得点M的轨迹方程是（x+1）2+（yj=I.

16.（1）有关联

（2）r*0.95,该经验回归方程有价值.

【分析】（1）先补全2x2列联表，再计算卡方，根据独立性检验原则即可判断:

（2）通过给出的经验回归方程公式求相关系数，再判断.

【详解】（1）2x2列联表如下：

合

年龄不超过40岁年龄超过40岁

计

是微短剧消费者301545

不是微短剧消费

7085155

者

合计100100200

零假设〃。“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”无关联,

200x(30x85-70x15)。

1

因为x=«6.452>3.841=x005»

100x100x45x155

根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断，。不成立，即认为“是微短剧消费者”与“年

龄不超过40岁”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05.

（2）由x的取值依次为1,2,3,4,5,得（=3，ZU-亍）2=1°，

/=1

因为经验回归方程为j=132.75-192.89,

2（七-可（.匕一为2（七-初》-田

所以右=上匕-----------=上——-------=132.71,

2（一）210

1-1

所以£（西一丁）（乂一刃=1327.1,

r-1

\(七一工)(必一刃_1327.1,

'>U-x)2>(z-f)23，16x4W0.95.

1-1

答案第9页，共14页

因为卜|=0.95>0,75,所以该经验回归方程有价值.

17.⑴证明见解析，⑸=2"-1（〃wN.）

（2）证明见解析

【分析】（1）当，亚3时，可得%=Si+”1,进而两式相减，可得凡=2勺_1+1,进而可

得｛%+1｝是等比数列，可求通项公式；

（2）利用裂项相消法可求得。=1-彳，，进而可证结论.

2—1

【详解】（1）当〃=2时，叼=。]+2=3；当〃=3时,生=%+%+3=7；

当3时，％=S,7+〃，可得a”」=S“_2+〃-l,

两式相减并整理得%=2%+1,所以%+1=2（*+1）（/7>3）.

又，+1=4工0,所以+]=2（〃23）,又竺士1=合=2,满足上式，

所以数列｛%+1｝是以4+1=2为首项，2为公比的等比数列，

所以勺+1=2",所以%=2”-15」>0；

2n2"_]I

（2）由（1）知2=..,「（2"_1>（2"川_1）—2"-1-2二一1，

所以L&+&+…+4=/-止j+七-疆+…+晶-止1

=i—!—

2n+,-r

1?

因为〃N1,所以7；=1一递增，所以1之彳，即3T；2.

18.（1）证明见解析

6TR2〃+3

（2）7；=3―—―.

味「3间1•

【分析】（1）由S.求出数列｛4｝的通项，再根据等差数列的定义判断即可；

（2）将，代入求出外，进一步求得却=岁，利用错位相减法求解；

（3）判断数列｛/｝的单调性，求出｛1｝最大项得解.

答案第10页，共14页

【详解】（1）当〃=1时，A=，=i；

当〃22时，bn=S「S.\=〃2=2/z-l.

又4=1也符合上式，所以"=2〃-1（〃wN）.

因为=2(〃+1)-1-2〃+1=2,

所以数列也｝是等差数列.

2/i-RI

(2)由4=2〃-1,得Q=

/Ir咽

故Cn=a“-b”=

2"

T1352〃-32/7-1

Tn=2r+2?+2T+…+..2..〃..一-1+---2-月--

,I132〃-32〃-1

则5北=尹+尹+・・・+-------+-----

2〃2“u

两式相减得g1=；+2112nA

—+—r+■••+

婚232“A

利1-3

2/?-1_32〃+3

=-+2x

212九+i22"I

2

即4,=3-竽

2〃+12n-\3-2n

(3)因为c0+i-c”

2〃z”"

当〃=1时，c”+1-c0>0,即c“+]>g,当“N2时，易得叫[<%,

所以G＜。2＞。3＞。4＞…，故，2是数列｛，”｝中的最大项，且。2=1.

3

要使…〃对一切〃eN恒成立，只需加用即可,

故实数〃，的取值范围为Id-

19.(l)x2-^=l.

3

（2）①证明见解析•；2=2,理由见解析

【分析】（1）由已知可得d6,c的关系式，求解即可得双曲线月的方程；

⑵①设4（2）,8伍,％），直线的方程为…沙+3（］…且士半），与双曲线联立

答案第11页，共14页

-18m24

方程组，可得乂+匕=)必为=^-,设直线/I。的方程为x=〃H-l，直线BD

73~62~-173加2~一17

x=町『一1

的方程为》=叫歹-1,计算可得见必为定值，进而可得结论；②方法一：联立,,V

x---=\

3

涉'裁?）’进而求得8‘3欣+16〃?2

可求得力，求得线段力。的中垂线方程，线

、3〃，?"1'3欣«•-1

段BQ的中垂线方程，求得M的坐标，计算可得结论.方法二：设力（国,必），8（占,为），直线

AB的方程为》=”>，+3（加*0且±¥）,设出外接圆的方程

2

x++D.x+E,+F=0（D,+E.-4F>0）,分别与直线方程联立方程组,利用消去x后的方

程的根均是弘，外，计算可求解.

23-

/廿

【详解】（1）由点（亚,6）在£上，且£的离心率为2,得-=2

c2-cr+b2

解得。*方=3,故双曲线后的方程为

（2）①易得直线力。和直线8。斜率存在且不为零，且不为土行.

设直线力。的方程为x=^y-l,直线8。的方程为x1,则叫，叫均不为零且不为

4

设/（X],乂）,8（0,乃），直线48的方程为x=〃少+3（〃]工。且土

x=my+3

联立，2_/_,消去x得(3〃72-力？+]&町，+24=0,

""T"

答案第12页，共14页

△二（1&7行-4x（3w2-1）x24=36z«2+96>0,

-18/H24

…=E'必％"目

224）-1M“

mx--——+4mx-----+16

从而码〃4=但力+4讯…)+163/??2-i3w2-1

243

弘y2yty2

3m1-1

故直线AD和直线BD