空间向量及其运算（专项训练）-2026届高三数学一轮复习

空间向量及其运算

一、单项选择题

1.向量a二⑵T,D,b二(1,l,x),若a_Lb,则x=()

A.-2B.-l

C.1D.O

2.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(l,-4,1),则向量屈与前的夹角为()

3.已知空间向量&二(1,2,0),4(0,-1,1)“二(2,3,01),若a1)"共面，则实数m=()

A.1B.2

C.3D.4

4.己知a=(2,2,l),b=(l,l,0),则a在b上的投影向量的坐标为()

A.(1,1,0)B.(1,2,0)

C.(2,2,0)D.(1,1,1)

5.半正多面体又称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学

的对称美.把正四面体的每条棱三等分,截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面

体,如图，点P,A,B,C,D为该半正多面体的顶点,若正二a,PB=b,PC=c,则而二()

A.--a+b+-cB.-a_b--c

2222

C.a--b+icD.-a+b--c

2222

6.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体,该几何体是上下两个底面平

行,且均为矩形的六面体.现有一“刍童"ABCD-ABCD,如图所示.AB二AA产4,AB二AD=2,AD=1,AB〃

AB,N'BAAI+NDAAI丹,AC与B.D.的交点为0,则丽•丽的最大值为()

•5

A.8近+5B.18

C.88+5D.21

二、多项选择题

7.已知向量a=(l,5,2),b=(-2,0,1),c=(T,1,-2),则下列说法正确的有()

A.|a|=2V7

B.（a+b）•c=a•（c+b）

C.（a十b+c）‘二a十b+c

D.a,b,c共面

8.关于空间向量，以下说法正确的是（）

A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面

B.若a-b<0,则<a,b>是钝角

C.设｛a,b,c｝是空间中的一组基底,则｛a+b,b+c,c+a｝也是空间的一组基底

D.若而空间中任意一点0,有丽=i0A+i0B+^OC,则P,A,B,C四点共面

632

9.如图,在平行六面体ABCD-A.B.C.D.中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6,且彼此夹角都是

60°,下列说法中不正确的是（）

A.AC,=6>/6

B.AC,_BD

C.向量豌与矶夹角是60°

D.向量则与前所成角的余弦值为今

三、填空题

10.已知正四面体ABCD的棱长为1,点M是BC的中点，则反而•丽的值为.

11.已知平行六面体ABCD-ABCD的所有棱长均为1,ZA.AB=ZA.AD=ZBAD^,则同=.

12.定义：设a,a2,83｝是空间向量的一个基底,若向量p=xai+ya2+za3,则称实数组（x,y,z）为向量p在

基底基a2,基下的坐标.己知｛a,b,c）是空间向量的单位正交基底，｛a+b,a-b,2c｝是空间向量的另一

个基底.若向量p在基底｛a+b,a-b,2c｝下的坐标为（1,1,1）,则向量p在基底｛a,b,c｝下的坐标

为.

13.空间四边形ABCD中,AC与BD是四边形的两条对角线,M,N分别为线段AB,CD上的两点，且满足

AM=-AB,DN=-DC,若点G在线段MN上,且满足就=3煎,若向量前满足前=xX§+v前+z而,则

34

x+y+z=.

14.正多面体也称柏拉图立体,被誉为最有规律的立体结构,是所有面都只由一种正多边形构成的多面

体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体,即正四面体、正六面

体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），M,N分别

为棱AD,AC的中点,则丽-BN-.

四、计算题

15.如图，在三棱锥P-ABC中，PA，平面ABC,PA=AB二BC=1,PC=V3.

(1)求证:BC_L平面PAB;

(2)求二面角A-PC-B的大小.

16.如图,在四棱锥P-ABCD中,ACGBDO,底面ABCD为菱形,边长为2,PC±BD,PA=PC,且

NABC=60°,异面直线PB与CD所成的角为60°.

(1)求证:P0_L平面ABCD;

⑵若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离.

17.如图，在三棱柱ABC-ABC中，所有棱长都为21N如AC=60。，平面AiACC_L平面

ABC,点P为AB的中点，点Q为A.C.的中点.

4Q

B

⑴求点R到直线PQ的距离；

⑵求点B到平面PQC的距离.

20.在平面四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,ZADC=30°,ZDAB=120°,将ZXACD沿AC翻折

至AACP,其中P为动点.

⑴设PC1AB,三棱锥P-ABC的各个顶点都在球0的球面上.

(i)证明:平面PACJL平面ABC;

(诃)求球0的半径.

⑵求二面角A-CP-B的余弦值的最小值.

答案

1.B若a±b,贝ija•b=2-l+x=0,解得x=-l.

2.D由已知得丽二(2,-2,4)-(2,-5,1)=(0,3,3),北二(1,-4,1)—(2,-5,1)=(T,1,0),所以

cos〈瓯麻＞二焦焦=丁"亏=因为空间向量的夹角0范围是0W0《180°,所以向量靠与品的

|AB||AC|372x722

夹角为本

3.A因为a=(l,2,0),b=(0,-l,l)不共线,a,b,c共面,所以存在一对有序实数(x,y),使c=xa+yb,所

x=2,(x=2,

以(2,3,m)=x(l,2,0)+y(0,T,l)=(x,2x-y,y),所以2x-y=3,解得y=1,

.y=m,(m=1.

4.C向量a在b上的投影向量为*x白=02,】：(】［，。)x喑=(2,2,0).

|b||b|V2V2

5.A如下图所示,PC=PA+AC=PA+2BD=PA+2PD-2PB,

J^rWPD=--PA+PB+-PC=--a+b+-c.

2222

6.C没NBAA尸a,则NDAA/-a,

3

由题意得AO=AAj+AiO=AAi+^A1B1+=AA1+:AB+:AD,AC=AB+AD.

fi/fWAO-AC=(AA7+-AB+-AD)•(AB+AD)=AA7-AB+AA^-AD4--AB2+-AD2+-AB-

14411442

XB二16cosQ+8cos(詈-a)+4+l=4V5sina+12cosa+5=8百sin(Q+9+5,

当ZBAA(=aq时,AO•而取得最大值,且最大值为8V3+5.

7.BC对于A项，|a|="12+52+22=同＞2夕"错误;

对于B项,a•b=0,b•c=0,(a+b)•c-a•(c+b)=b•c-a•b=0,B正确;

对于C项，a・c=lX(-1)+5X1+2X(-2)=0,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a•b+2b•c+2a•c=aZ+Y+c；C正确；

对于D项，由选项BC知，向量a,b,c两两垂直,则a,b,c不共面,D错误.

8.ACD对于A项，因为有两个向量共线,所以这三个向量一定共面,A正确；

对于B项，若a-b＜0,则＜a,b＞是钝角或是180°,B错误;

对于C项，因为｛a,b,cl是空间中的一组基底，所以a,b,c不共面，假设a+b,b+c,c+a共面，则a+b二人

俨=1,

(b+c)+u(c+a),即｛入=1,显然不存在入和u,所以a+b,b+c,c+a不共面,所以｛a+b,b+c,c+a｝也是

U+|i=0,

空间的一组基底,C正确；

对于D项，因为丽=^OA+|OB+；0C,且:+：+闫，所以P,A,B,C四点共面,D正确.故选ACD.

632632

9.CD•・•在平行六面体ABCD-ABCD中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6,且彼此夹角都是

60°,

/.AA^«AB=AD=AD-AB=6X6Xcos600=18.

对于A项，(矶+AB+AD)2=砧2+通2+而2+2初.AB-2AB-AD+2AA7•而二36+36+36+3X2X

18=216,

，I瑞|二|西+通+而祗6VS,A正确；

对于B项,科•丽二(矶+而+而)・(AB-AD)

二矶-AB-AA7-AD+AB2-AB-AD+AB-AD-AD2=O,

:.AC71BD,HPAC,±BD,B正确；

对于C项,连接AD由题意可知AAA。是等边三角形，则NAAD二60°,

•・・鸵=硒，且向量硒与瓯的夹角是120°,

・•・向量豌与矶的夹角是120。，C错误；

对于D项，♦.•丽7=而+矶一丽，亚=丽+闻，

BD7-AC=(AD+AA^*-AB)•(AB+AD)=AD-AB4-AD2+AA^-AB4-AA7-AD-AB2-AB-

AD=36,

I丽I=j(而+瓯-通)2=6四,|前1(屈+殖2=6®

；・cos〈函，氤〉二黑德=¥L=-,D错误.

1IBDJIIACI6&X6百6

10.-i如图，正四面体ABCD的棱长为1,

4

小A

C

.-.AB.AC=AB.AD=AC.AD=lXlXcos6。。告

又点M是BC的中点，

AM=1(AB+AC),

又而=AD-AC,

/.AM-CD=1(AB+AC)•(AD-AC)

=1(AB-AD-AB-AC+AC-AD-AC2)

22224

11.3+3A/2因为平行六面体ABCD-ABGDi的所有棱长均为1,

NA|AB=NA】AD=/BAD』，

4

所以说：=(而+前+无〉2

2

二通2+前2+CC7+2AB-BC+2AB•CC^+2BC•CC^

=3+6cos^3+3V2.

4

12.(2,0,2)因为向量p在基底(a+b,a-b,2c｝下的坐标为(1,1,1),所以p=a+b+a-b+2c=2a+0b+2c,所

以向量P在基底｛a,b,c｝下的坐标为⑵0,2).

13.—因为前=AM+K^=-^+-l^=-AB+-(MB4-BN)=-AB+-(-AB4-BN)^AB+-AB+

123434v34、334

-BN=-AB+-BN=—AB+-(BC+CN)=-AB+-(AC-AB+-CD)=iAB4--AC+-CD=-AB4-

4124124V124v464166

-4AC+—161(AD-AC)=6-AB+—16AC+—16AD,

所以x+y+z=i+2+2=*

olo101Z

14.|由题意,可得由=AN-AB=|AC-AB,FM=FD+DM=BA+DM=-AB-|AD,又由正八面

体ABCDEF的棱长都是2,且各个面都是等边三角形,在AABD中，由AB二AD二2,BD二2夜,可得

AB^ArkBD?,所以ABJ_AD,所以丽•限二(二川5-硝・(-AC-AB)=-AD-AC+iAD-AB--AB-

22422

AC+AB2=-ix2X2x-+0--x2X2x-+22=-i-l+4=-.

22222

15.(1)证明因为PA_L平面ABC,BCu平面ABC,所以PAJ_BC,同理PA_LAB,所以APAB

为直角三角形，又因为PB=VPA2+AB2=V2,BC=1,PC=百,所以PB^BC^PC2,则4PBC

为直角三角形，故BC1PB,又因为BC1PA,PAAPB=P,所以BC_L平面PAB.

⑵解由⑴知BC_L平面PAB,又ABc平面PAB,则BC±AB,

以A为原点,AB为x轴,过A且与BC平行的直线为y轴,AP为z轴，建立空间直角坐标

系，如图，则A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,l,0),B(l,0,0),

^flUAP=(O,0,1),AC=(1,l,0),BC=(0,l,0),PC=(l,l,-l),

m可=。即

设平面PAC的法向量为m=(xyZi),则・Zi=0,

bblm•AC=0,xi+y1=°,

令xi=l,则yi=-l,所以0),设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,z2),则

n•BC=0,

in•PC=0,

V2=0，

即

x2+y2-z2=o,

令x2=l,则z2=l,

所以n=(l,0,1),所以cos〈m,=/后=

|m||n|v2XVZ2

又因为二面角A-PC-B为锐二面角，

所以二面角A-PC-B的大小为主

16.(1)证明因为四边形ABCD为菱形，所以AC_LBD,因为PCJ_BD,PCAAC=C,PC,ACu平

面APC,所以BDJ_平面APC,因为POc平面APC,所以BD1P0,因为PA=PC,0为AC中点，

所以POLAC,又因为ACnBD=O,AC,BDc平面ABCD,所以PO_L平面ABCD.

⑵解以0为原点,OB,OC,OP方向为x,y,z轴方向,建系如图，因为AB〃CD,所以NPBA

为异面直线PB,CD所成的角，所以NPBA=60°,在菱形ABCD中，AB=2,因为NABC=60°,

所以DA=1,0B=V3,设P0=a,则PA二好不［PB=V彳迄

在APBA中，由余弦定理得,PAJBA"BP2-2BA-BP-cosZPBA,

所以a2+1=4+a2+3-2Va24-3,解得a=V6,

所以0,0),C(0,l,0),P(0,0,V6),E(0,0),

BE=(-V3,J,0),BP=(-V3,0,V6),|铜二组|的=3,所以d=

|BE|2-(BE•磊)2=仔I=I，所以点E到直线BP的距离为|.

17.解(1)由三棱柱ABC-ABG中，所有棱长都为2,则四边形ACCA为平行四边形,且棱

长都相等，即为菱形，又因为△ABC,△ABG都为等边三角形,连接CAb所以AACA1为等

边三角形,取AC中点0,连接0Ai,0B,则0A,1AC,又因为平面AACC」平面ABC,平面

AiACCA平面ABC=AC,OA.cz平面A^ACG,所以0A」平面ABC,则OA」OC,0A.10B,又因为

OB±AC,所以0B,0C,0A］两两垂直.

则以。为坐标原点,0B,0C,0A.所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系0-xyz,

如右图所示，

贝ijA(0,-1,0),A.(0,0,V3),B(V3,0,0),C(0,1,0),C,(0,2,V3),

由阿=而+瓯=而+调=(V5,o,o)+(o,i,g):(b,i,B),

则B,(V3,1,V3),P(y,0),Q(0,1,V3),

所以函二(V3,0,0),同二(一43,百)，

则|函＞低与鼾=当

所以点B倒直线PQ的距离为小国2.(牛料)2=乎.

(2)由(1)知质二(0,0,V3),

设"(a,b,c)是平面PQC的一个法向量,则

f—.V33厂

In•PQ=-—a+-b+v3c=0,

I4乙

(n•CQ=V3c=0,

取b=l,则n=(V5,1,0),

又因为我二(B,0,0),

所以点Bi到平面PQC的距离为与粤=f.

ml2

18.⑴证明取AC中点M,连接0MPM,如图，由题意，得P0尸1,BC=yAB=2,又P0”

BC,P0弓BC.

又ON〃BC,O2M=|BC,故P0,^02M,P01=02M,所以四边形PO.O2M为平行四边形,则PM〃oa,

又PMc平面PAC,0。。平面PAC,故0。〃平面PAC.

⑵解选①:S-B(WAC•BC=；x2X2=2,又OOJL平面ABC,所以三棱锥O「ABC的体积

v=ixs&BcXoaW,所以0I0=2.

JJ2

选②:因为0Q2JL平面ABC,所以NO1AO2为AOi与底面所成的角，

所以tanZ0iA02=V2,又A02=V2,所以0,02=2.

以02为坐标原点,02B,O2C,(Uh所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.

贝IJ有A(一企,0,0),B(V2,0,0),C(0,V2,0),P2),0,(0,0,2),故西二(V2,0,2),

设平面PBC的法向量n=(x,y,z),而阮二(-或,四,0),而二(咚,咚,2),

(n•BC=-V2x+V2y=0,

故1—>72V2

n>CP=--X-—y+2z=0,

22J

令z=l,解得x=y=V2,得n二(凡四,1),设所求角的大小为。,则sin。

"吟哥令蜉

所以直线AO.与平面PBC所成角的正弦值为誓.

19.⑴证明取PD中点N,连接AN,MN.

在ZXPCD中，M,N分别为PC,PD的中点,则MN//DC,MN=iDC,因为AB〃DC,AB」DC,则AB〃

22

MN,AB=MN,可知四边形ABMN为平行四边形，则BM〃AN,且BMQ平面PAD,ANc平面PAD,

所以BM〃平面PAD.

⑵解因为PD,平面ABCD,AD,DCc平面ABCD,则PD±AD,PD1DC,且AD1DC,以D为坐

标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示,取

CD的中点E,连接BE,

因为AB〃DC,AB=；DC,则AB〃DE,AB=DE,又因为AD±DC,所以四边形ABED为矩形,且

AB=AD=2,可知四边形ABED是以边长为2的正方形,则

D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),P(0,0,2),M(0,2,1),可得

DA=(2,0,0),DM=(0,2,1),DB=(2,2,0),设平面BDM的法向量为n=(x,y,z),所以

fn•DM=2y+z=0,

(n•DB=2x+2y=0,

令y=-l,则x=l,z=2.所以平面BDM的一个法向量为n=(l,-l,2),易知前为平面PDM的

一个法向量,所以cos<n,砒邛高=高=当,所以平面PDM和平面DMB夹角的余弦

|n||DA|V6x26

值为理

D

(3)解由(2)可知嬴二(2,0,-2),PC=(0,4,-2),贝cos<PAf同〉盘禽==呼，

|PA||PC|2V2X2V510

即cos/APC=叵>0,可知NAPC为锐角，则sin/APOfl-cos2ZAPC=—,所以点A到

10\10

直线PC的距离为|囱|sin/APC=2&x—=—.

105

20.(1)(i)证明在ZXACD中，由AC=CD=1,ZADC=30°,得NCAD二NADO30。，所以

AD=2ACcosZDAC=2X1Xcos30°且NBAONDAB-NCAD=120。-30°=90°，即AB

±AC.因为AB±AC,PC±AB,PCAAC=C,PC,ACc平面PAC,所以AB,平面PAC.又ABc平

面ABC,所以平面PACJ_平面ABC.

(ii)解以A为原点,AB,AC所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0),B(l,0,0),C(0,l,0),P(0,I，争，设球心0(a,b,c),半径为R,因为AABC为

直角三角形,所以其外心为BC边的中点(i0),则a=i,b=；,即。(黑,c)