幂函数（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（人教A版必修第一册）解析版

第12讲幕函数

【人教A版2019】

了模块一：幕函数的概念

工模块二：鬲函数的图象与性质

「题型1对鬲函数的概念的理解

一题型2求幕函数的函数值、解析式

-题型3根据函数是幕函数求参数值

一题型4求幕函数的定义域、值域

、题型5幕函数的废象

一题型6由鬲函数的图象与性质求参数

、题型7比较幕值的大小

I题型8利用鬲函数的性质解不等式

》思维导图

概念，•般地.函数叫做耶函数,其中x是自变；也a是常数

「零函数的概念一〔房函数的特征：①系数为1：②底数是自变■;③指数为常数

幕函数的概M曲数的膨式是j=x"（aGR）.其中只仃一个参数〃.

幕函数的解析因此只需•个条件即可确定其解析A.

式一

常见幕函数的①定义域；②值域；③奇偶性；④单调性；⑤定点：（1.1）

图象与性质

一般导函数的图象：①当0=1时，尸珀9图象是一条直线；②当a=o时，

1=1（.寸0）的图象是一条不包括点（0.D的直线；③当a为其他值时，分三种情况

一股幕函数的4人宜由瓶tn性用「石+性开

1~般其函数的性质.五大性质____________________________________________

象与性质_______________在比竣幕值的大小时，必须结合幕值的特点，选择适当的函数，借助其单调

\匕匕较零值的大性进行比较，准确掌握各个鬲函数的图象和性质是解题的关键

'小一

图象：与直线LK,1轴无限接近

对勾函数的图性质：①定义域为ME）｝；②值域为口,-2]U[2.r）；③奇偶性：奇函数；④

象与性质单调性：函数在（1.心）上单调递增，在（-1.0）,（0.D上单调递减

》知识梳理

1.累函数的概念

⑴事函数的概念：

一般地，函数曰L叫做基函数，其中工是自变量，色是常数.

⑵案函数的特征：

①片的系数为L

②片的底数是自变量;

③公的指数为堂数.

只有同时满足这三个条件，才是基函数.

2.黑函数的解析式

基函数的形式是j，=x«a£R）,其中只有一个参数。，因此只需一个条件即可确定其解析式.

»题型归纳

【题型1对寡函数的概念的理解】

【例1】（24-25高一上•全国•课后作业）下列函数是'制函数的是（）

A.y=（%+1尸B.y=%+jC.y=x4D.y=5X

【解题思路】根据寻函数定义判断即可.

【解答过程】由哥函数的定义可知，y=一是呆函数.

故选：C.

22

【变式1.1］（2526高一上全国课后作业）在函数y=x-2,y=2x,y=（x+l）,y=3x中，某函数

的个数为（）

A.0B.1

C.2D.3

【解题思路】利用寻函数定义直接判断作答.

【解答过程】函数丫二%一2是基函数，

函数y=2%2,y=（x+l）z都是二次函数，函数y=3%是一次因数，它们都不是累函数,

所以所给函数中辕函数的个数是1.

故选:B.

【变式1.2］（24-25高一上•云南西双版纳•期中）下列结论正确的是（）

A.塞函数的图象一定过原点

B.a=1,3,决寸，幕函数y=xa是增函数

C.基函数的图象会出现在第四象限

D.y=2M既是二次函数，又是暴函数

【解题思路】利用塞函数的简单性质判断即可.

【解答过程】解：寝函数图象不一定过原点，例如y=%T,函数的图象不经过原点，故A不正确；

当a=1,3,时，基函数、=",y=x3,y=a=返在定义域内均为增函数，故B正确；

由函数的定义及寤函数在第一象限均有图象可知，事函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确；

函数y=2一是二次函数，但是不是累函数，曙函数得形如y=x，a€R),故D不正确.

故选：B.

【变式1.3](24-25高一上•上海•随堂练习)下列函数是幕函数的是()

A.y=2xB.y=2x-1

C.y=(x+l)2D.y=

【解题思路】根据寡函数的定义即可得解.

【解答过程】根据基函数的定义，A、B、C均不是寻函数，只有D选项y=W?=蓝，形如y=(a为

常数)，是靠函数，所以D正确

故选：D.

【题型2求基函数的函数值、解析式】

【例2】(24-25高一上•新疆喀什・期末)已知函数/(x)=(k+I)--】是塞函数.则/*(2)=()

A.-B.2C.-D.1

32

【解题思路】根据函数是塞函数求参数，再求函数值即可.

【解答过程】因为函数/•(%)=(4+1)/%T是某函数，所以k+l=l,所以k=0,

所以/(x)=%T,所以"2)=2一1=/

故选：C.

【变式2.1](24-25高一上•河南•阶段练习)已知幕函数的图象经过点(2,：),则该函数的解析式为()

A./⑶=妥B./(x)=/C./(x)=\D./(X)=/

【解题思路】由基函数定义可设/'(%)=”，由条件列方程求a,可得结论.

【解答过程】因为函数/'(%)为某函数，故可设f(x)=”，

因为函数/(%)的图象过点

所以2。=；,

4

所以a=一2,

所以/'（%）=%-2,即/'（x）=W.

故选：A.

【变式2.2]（24-25高一上•云南昆明•期中）己知事函数y=/（幻的图象过点（2,企），则（）

A.f（x）=%2B./（x）=x2

C.fM=JD./（X）=x~2

【解题思路】利用待定系数法求解即可.

【解答过程】设/（%）=%%

由y=/（%）的图象过点（2,a），

则2a=无，解得。=土

所以/'（X）=X2,

故选：A.

【变式2.3]（24-25高一上•山西阳泉•期中）已知寤函数f（x）满足嫖=4,求/（；）的值（）

A.3B.1C.4D.3

【解题思路】设基函数的一般式，代入题干即可求解.

【解答过程】设案函数的解析式为/（%）=#，:=4=3。=4,

所以，（;）=（;）"=:・

故选：D.

【题型3根据函数是募函数求参数值】

【例3】（24-25高一上•吉林延边•期末）已知哥函数y=（m?一9m+19）工巾-4的图象不过原点，则

实数m的值为（）

A.0B.3C.6D.3或6

【解题思路】根据基函数的定义以及性质可得出关于实数加的等式和不等式，解之即可.

【解答过程】因为幕函数y=（病一96+19）婢-4的图象不过原点，则[病一9,+12=1,解得^=3

Im-4<0

故选：B.

【变式3.1]（24-25高一上•吉林延边•期末）已知寡函数丫=（血2一9血+19）%狙-4的图象不过原点，则实数

根的值为（）

A.0B.3C.6D.3或6

【解题思路】根据鼎函数的定义以及性质可得出关于实数m的等式和不等式，解之即可.

【解答过程】因为塞函数y=(m2-9m+19)x"-4的图象不过原点，

Am2—9m+19=1

则1ntm-4<0，

解得m=3.

故选：B.

【变式3.2](24-25高一上•广东广州•阶段练习)已知点M(2,b)在幕函数f(%)=(b-l)”的图象上,则b+

2n=()

A.2B.3C.4D.5

【解题思路】根据第函数的概念求解•.

【解答过程】由题意得b-1=1且(b-1)2〃=b,解得力=2tn=1,

则b+2n=4,

故选：C.

【变式3.3](24-25高一上•全国•课后作业)已知函数/(》)=--2而的图象过点e)，则实数m=()

A.iB.日C.三或/D.挫三

【解题思路】运用鼎函数经过的定点，代入计算即可.

【解答过程】/(%)=/一2后的图象过点。,企),则八2)=V2,即21而二企，

解得TH='或一去

故选：D.

》知识梳理

奇偶性直:函数假函数佥函数非奇非偶函数佥函数

单调性在R上为增函xt[0,十oc),在R上为增函在［0,十8)上工亡(0,+oc),增函数

数增函数数为增函数%£(-8,0),减函数

(-OO,0],

减函数

定点(1,1)

温馨提示：幕函数在区间(0,+8)上，当〃>0时，)，=尸是增函数；当a<0时，y=尸是减函数.

2.一般寻函数的图象与性质

(1)一般基函数的图象：

①当1时，产x的图象是一条直线.

②当«=0时，)=x"=1(.#0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线.

(2)一般基函数的性质：

通过分析导函数的图象特征，可以得到累函数的以下性质：

①所有的哥函数在(0,+8)上都有定义，并且图象都过点(1.1).

②a>0时，幕函数的图象过原点，并且在区间［0,+8)上是增函数.

③Q<0时，辕函数在区间(0,+oo)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在)，轴右方

无限地逼近)，轴正半轴，当x趋于+8时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

④任何事函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何事函数的图象都不过第四象限.

⑤任何两个幕函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1),(-1,-1)外，其他任何一点都不是两

个

鼎函数的公共点.

3.比较嘉值的大小

在比较基值的大小时，必须结合呆值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各

个品函数的图象和性质是解题的关键.

4.对勾函数^=.丫+《的图象与性质

参考某函数的性质，探究函数/(x)=x+3的性质.

(1)图象如图：与直线Y轴无限接近.

sUZEEs

(2)函数/(.v)=x+-的定义域为｛x|xK()｝；

X

(3)函数/(x)=x+-的值域为(-8「2]U[2,+oo).

X

(4)奇偶性：•・・/(-x)=-x-5=-9+目=-〃x),・•・函数/(x)=x+：为奇函数.

(5)单调性：由函数/(%)=]+’的图象可知,函数/(x)=x+，在(・8打)，(1,+8)上单调递增，在

XX

(-1.0),(0J)上单调递减.

题型归纳

【题型4求幕函数的定义域、值域】

【例4】(24-25高一上.上海宝山•期中)幕函数f(x)=总的定义域是()

A.x>0B.[0,4-oc)C.x>0D.(0,+oo)

【解题思路】利用寻函数的定义直接求出定义域.

【解答过程】函数/■(')=£的定义域为[0,+8).

故选：B.

【变式4」】(24・25高三上•福建•阶段练习)已知/•(%)=”是曷函数，则“a是正偶数''是'/⑺的值域为[0,+8)”

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】利用寝函数的性质结合充分、必要条件的定义判定即可.

【解答过程】当a是正偶数时，显然/(0二:^之。，即其值域为［0,+8).

当f(x)=近时，f(x)的值域为［0,+8),但a不是正偶数.

故“。是正偶数”是“/(幻的值域为［0,+8)”的充分不必要条件.

故选：A.

【变式4.2］(24-25高一上・江苏南京•期中)已知哥函数"%)二厂/+2巾的定义域为R,且mwz,则m的值

为()

A.-1B.0C.1D.2

【解题思路】根据基函数定义域得到不等式，结合m£Z求出m=l,检验后得到答案.

【解答过程】因为弃函数的定义域为R,故一m2+26>o,

解得0<m<2,

又m6Z,所以m=1,

检验，m=1时，一根？+2m=1,即/(%)=x,满足题意.

故选：C.

【变式4.3］(24-25高一上•辽宁盘锦•阶段练习)下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是()

A.f(%)=与g(x)=B./(%)=与g(%)=

C./(%)=a与g(x)=%3D./(x)=%一1与g(x)=x3

【解题思路】根据寡函数的性质逐项分析即得.

【解答过程】对于A,/•(均=/的定义域为/?,・・・/20,.・・/'(幻=/的值域为［(),+8),

。(切=短的定义域和值域均为R,故A错误；

对于B,f(%)="T的定义域为{r|xW0},其值域为(一8,0)u(0,+8),

g(x)=%-2=卷的定义域为{万xW0},其值域为(0.+8),故B错误：

对于C,/'(%)=£的定义域为［0,+8),其值域为［0,+8),

90)=蓝=织的定义域为R,其值域为［0,+8),故C正确；

对于D,fa)=xT的定义域为卜|%/0},其值域为(一8,0)U(O,+8),

g(x)=/的定义域和值域均为R,故D错误，

故选：C

【题型5森函数的图象】

【例5】（24-25高一上•四川・期末）下列图象可能为靠函数图象的是（）

【解题思路】利用爆函数必过的点来判断即可.

【解答过程】塞函数y=（a为常数）的性质有：

若自变量工=0有意义，则必过原点，根据这条性质，排除A、R、C,

故D正确；

故选：D.

【变式5.1］（24-25高一上•湖北武汉•阶段练习）图中G、Q、Q为三个寻函数y=”在第一象限内的图象,

则指数a的值依次可以是（）

C.-1,3O.-1,53

［解题思路】结合图象及寻函数的性质判断即可.

【解答过程】由图可知，G：在第一象限内单调递减，则指数Q的值满足a<0：

C2：在第一象限内单调递增，且图象呈现上凸趋势，则指数a的值满足Ova<1：

：在第一象限内单调递增，且图象呈现下凸趋势，则指数的值满足

C3aa>1.

故选：D.

【变式3.2］（24-23高一上•云南昆明•阶段练习）函数>=小的大致图象是（）

【解题思路】根据呆函数的奇偶性以及单调性和增长速度判断图象可得结论.

【解答过程】易知y=A满足(一4二:，即函数丫二蓝为偶函数；

图象关于y轴对称，可排除D,

易知当x6(0,+8)时，函数y=l单调递增,可排除C,

且当%>1时，函数y=蓝的增长速度越来越慢，其图象在y=z图象下方，排除A；

故选：B.

【变式5.3](24-25高一上•北京•阶段练习)如图所示的曲线是察函数/Ix)=/在第一象限内的图象.已

知”分别取一1,1,右2四个值，则与曲线CI，Q,Q，C4相应的〃依次为()

O\x

A.B.2,-1,1』C.D.-1,1,2,1

【解题思路】由嘉函数的图象性质，观察得答案.

【解答过程】根据基函数的性质可知，当Q>0时，/(%)=产在[0,+8)上递增，且在(1,+8)上a越大，增

长速度越快，

当Q<0时，/(%)=”在(0,+8)上递减，从而可知，曲线对应的。二一1,

曲线CI，Q，GJ对应的Q依次为Q=2,a=l,a=

故选：A.

【题型6由暴函数的图象与性质求参数】

【例6】(24-25高一上•浙江衢州•阶段练习)已知幕函数/•(刈=炉-《1(血£可・)为奇函数，且在区间

(0,+8)上单调递增，则m等于()

A.1B.2C.1或3D.3

【解题思路】根据寒函数/i(%)为奇函数，旦在区间(0,+8)上单调递增可得答案.

【解答过程】因为f(x)在区间(0,+8)上单调递增，所以4一机>0,解得m<4,

又因为mwN，所以m=l,2,3,且f(x)为奇函数，所以m=l,3,

故选：C.

【变式6.1](24-25高一上•天津北辰•阶段练习)若函数f3=-巾-5)婢2-恤+1为基函数，且在区

间[0,+8)上单调递增，则皿=()

A.-2B.3C.-2或3D.2或一3

【解题思路】由曷函数及单调性列出满足的条件求解即可.

【解答过程】函数/'(、)=(血2-根一5)工疗-4血+1为塞函数，且在区间(0,+8)上单调递增,

2

所以m-m-5=1解得m=-2,

?n2-4m4-1>0

故选：A.

【变式6.2](24-25高一上•四川成都•期中)暴函数y二”"-2m-3(mwz)的图象关于、轴对称，且在(0,+8)

上是减函数，则m的值是()

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】首先根据幕函数的单调性，确定m得到取值，再回代函数确定函数的奇偶性，即U求解.

【解答过程】因为基函数y=%m2-2m-3(7nWZ),在区间(0,+8)上是减函数，

所以m?-2m-3V0,解得：—lvmv3,

因为mWZ,得m=0,1,2,

当m=0时，函数y=x-3是奇函数，不关于y轴对称，故舍去，

当m=l时，函数y=%T是偶函数，关于y轴对称，符合题意，

当？n=2时，函数〉=%-3是奇函数，不关于y轴对称，故舍去，

所以m=1.

故选:A.

【变式6.3](24-25高一上•上海•期中)已知寻函数y=(7n3一比+2m2是奇函数，且在(o,+8)上

是增函数，则满足条件的不同m有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解题思路】根据塞函数定义确定根3-机+1=1,确定m=0或m=±1,再根据条件：函数在(0,+8)上

是增函数，确定2+3皿一2血2>0,确定血=1或根=0,再根据函数为奇函数验证m的值即可求解.

【解答过程】因为函数V=伽13-加+1)H2+3m-2m2帚函数，

所以m3-机+1=1,解得m=0或m=±1,

因为函数在(0,+8)上是增函数，

所以2+3机一2巾2>o,解得所以m=-1(舍去)，

因为函数是奇函数，当m=0时，寤指数2+3m-2m2=2,不合题意；

当m=1时，幕指数2+3m-27n2=3,y="为奇函数，符合题意；

所以满足条件的m为1.

故选：A.

【题型7比较幕值的大小】

zo\0.3/1\0.3/[、—0・3

【例7】(24-25高一上•天津•期中)已知Q=(|),b=(3,c=Q)，则m从c的大小关系

为()

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.b<a<c

【解题思路】利用制函数f(X)=/3的单调性比较大小即可.

【解答过程】C=G)H3=403,

幕函数/(%)=%03在(0,+8)上单调递增，

因为;<^<4,

45

所以/©)</◎<”4),

配)。y产婢，

所以b<a<c,

故选：D.

2,211

【变式7.1](24-25高一上•甘肃白银•阶段练习)设为=73・3,y2=9,y3=125-,则()

'•乃>乃>月B.丫3>%>y2

c.yi>y3>D.y3>yz>%

【解题思路】将月,外，为换算成基函数y=%]」的形式，然后根据函数的单调性求解.

332221111

【解答过程】由题意可知，%=7=(73)14=34311，y2=9=(9)=81,

因为y=炉•】在(0,+8)上是增函数,且343>125>81,

所以yi>y3>y2-

故选：c.

【变式7.2](24-25高一上•山东•期中)下列比较大小中正确的是()

A•(济〈(yB.(-r<(-r

C.(-2.1)?<(-2.2)4D.

【解题思路】根据寤函数单调性分别判断各选项.

【解答过程】A选项：由函数y=”7在(0,+8)上单调递增，所以《广乂/二A选项错误；

B选项：由函数y=》一】在(―％0)上单调递减，则(―|)一,>(一§一二B选项错误；

C选项：(-2.1京=(一§彳(-2.2)4=(-^y,

33

又药数y=」在R上单调递增,所以(一意丫<(一苣丫，即(-2.“(-2.2#C选项正确;

44

D选项：(一斤=(斤，函数丫=/在(0,+8)上单调递增，

则宿便即(-济G)iD选项错误;

故选：C.

【变式7.3](24-25高一上•全国探后作业)若幕函数/(%)是R上的偶函数，且在区间(-8,0)上单调递减,

若a=/"(-L5),b=f(-1.4),c=/(0.6),则Q,瓦。的大小关系为()

A.c>a>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a

【解题思路】运用箱函数知识，结合偶函数和单调性性质，转化比较大小即可.

【解答过程】f(x)为偶函数，所以c=/(0.6)=/(-0.6),又因为暴函数/(%)在(一8,0)上单调递减，

所以/'(-1.5)>>/(-0.6)=/(0.6),即a>b>c.

故选：B.

【题型8利用幕函数的性质解不等式】

【例8】(24-25高一上•湖北•阶段练习)已知幕函数/(%)=(3M2一加一1)/血-1是定义域上的奇函

数，则满足/(a+2)Vf(4-2a)的实数a的取值范围为()

A.(|+8)B.(-8,-2)U(-2,2)

C.(-oo,-2)U(|,2)D.(-oo,2)

【解题思路】根据基函数的定义求出m的值，再代入解析式中检验，即可得到/(%),从而得到函数的单调性，

根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.

【解答过程】因为/•(切=(3/一血一为基函数，所以37n2一机一i=i,解得血=1或瓶=一寺

•5

当m=l时，fM=x2,此时/■«为偶函数，不符合题意；

当m=一：时，/(%)=%-3,此时/'(X)为奇函数，符合题意;

所以/a)=x-3,则/(%)的定义域为以优o},且函数在(0,+8)上单调递减,

则f(x)在(-8,0)上单调递减,

所以不等式/(a+2)</(4-2a),

即口+2>4—2a>0或0>a+2>4—2a回

4-2a>0

解得:<a<2或无解或Q<-2,

所以实数a的取值范围为(一8,-2)U(|,2),

故选：C.

【变式8.1](24-25高一上・江苏南京•阶段练习)已知某函数y=Nn2-2m-3(mez)的图象关于y轴对称，且

mm

在[0,+8)上单调递减，则满足(Q+1)->(3-2a)T的实数a的取值范围为()

A.(-oo,-l)u(p1)B.(-8,|)

C.T)U《,+8)D.(0,|)

【解题思路】结合呆函数性质由条件求m,结合函数丫二工^的性质化简不等式，解不等式可得结论.

【解答过程】因为函数y=”3-2.-3在(o,+8)上单调递减，

所以m?-2m—3<0,又mGZ.

所以m=0,1,2,

因为函数y=xm2-2m-\rnEZ)的图象关于y轴对称，

所以小？一2机一3=(m-3)(m+1)为偶数，

所以m=1,

函数y二不二的定义域为(一8,0)U(0,+8),

且函数y="飞在(一8,0)和(0,+s)上单调递减，

当XV0时，y<0,当x>0时，y>0,

mm

所以不等式(Q+1)~>(3-2Q)T可化为

(a+1>0a+1<0

或HP<-2a<0^

la+1<3—2ala+1V3—/a

所以-1VaVg或a>p

所以a的取值范围为(—1,9U(|,4-oo).

故选：C.

【变式8.2](24-25高一上•吉林长春•期中)已知某函数f(x)=x~i—(mGZ)在(0,+8)上单调递增，且/■(幻

的匆象关于y轴对称.

(1)求m的值及函数/'(%)的解析式；

(2)若/'(Q—2)</(1+2Q),求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)根据条件，由索函数的性质，可得m=2,即可求解；

(2)由(1)知/(%)=/,结合条件，利用函数的奇偶性和单调性得3a2+8。-3>0,即可求解.

【解答过程】(1)由哥函数/(外在(0,+8)上单调递增知，个包>0,解得0cm<4,

又meZ,则m=1或zn=2或m=3,

当m=l或m=3时，f(x)=X2,此时工w[0,+8),不符合/(%)的图象关于y轴对称，故舍去.

当m=2时，/(x)=x2,定义域为R,且/•(-%)=(-%)2=/=/(%),所以/•(%)=/图像关于y轴对称，

符合题意.

综上所述，f(x)=X2.

(2)由(1)得/(%)=/,易知“盼=》2为偶函数,且在[0,+8)上单调递增,

因为/1(Q-2)</(I+2a),所以|a-2|<|1+2a|,

两边平方，得小—4a+4<4a2+4Q+1,

化筒得3a2+8a-3>0,解得aV-3或a>

3

故实数。的取值范围为(―8,-3)U

【变式8.3](24-25高一上•北京•期中)已知塞函数/Xx)=(3m2-eR)在定义域上不单调.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)函数/(%)是否具有奇偶性？请说明理由；

(3)若/(Q+1)4-/(2a-3)<0,求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)由寻函数的定义可得m=或爪=1,结合函数f(x)的单调性验证得解.

(2)结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性；

(3)利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解.

【解答过程】⑴由基函数/(x)=(3疗-2m)%7r\得3m2-27n=1,解得/n=l或m=

若771=1,则/(%)=%在定义域R内单调递增，不合题意：

若血=一；，则/'(%)=%-3=£=在定义域(一8,0),(0,+8)内单调递减，

JVx

但/(%)在定义域(一8,0)u(0,+8)内不单调，符合题意;

所以函数/•(%)的解析式为/(%)=4

(2)函数/(%)为奇函数，理由如下：

函数/'(X)的定义域(一8,0)u(0,+8)关于原点对称，

且/(—%)=台=一表=-f(x),所以函数/(%)为奇函数.

(3)由“。+1)+/(2。-3)〈0及/(%)为奇函数，

得f(Q+1)<-/(2a-3)=f(3-2a),

即S+l)T<(3-2a)T,

而/•(%)在(-8,0)上递减且恒负，在(0,+8)上递减且恒正,

ci+1>0a+1<0

所以3—2。>0或3-2a<0或O黑解得Q<-1或,<a<|»

a+1>3—2aa+1>3—2a

所以实数a的取值范围(一8,-1)u

课后作业(19题)

一、单选题

1.(24-25高一上•重庆・期末)已知辕函数丫="切的图象过点(9,3),则/"(4)=()

A.2B.8C.V2D.16

【解题思路】由点求得函数解析式即可求解；

【解答过程】设y=/•(%)=”，

则3=9%解得：n=1,

所以f(4)=4：=2,

故选：A.

2.(24-25高一上•重庆•阶段练习)密函数f(x)=(十一3)%。，在(0,+8)上单调递减，则a=()

A.2B.V3C.-2D.-V3

【解题思路】利用基函数的定义及单调性列式求解即得.

【解答过程】由第函数/'(无)=(。2一3)/,在(0,+8)上单调递减，得卜2-371,所以Q=-2.

故选：C.

3.(24-25高一上•重庆•期中)已知函数/'(%)=(m2-m-1)"标-2血-2是寤函数，且为奇函数，则实数加=

()

A.2或一1B.-1

C.4D.2

【解题思路】利用寝函数的定义及奇函数的概念即可求解.

【解答过程】由题意得一m-1=1,所以m2-m-2=0,所以(m-2)(m+1)=0,

解得m=2或m=-1,

当m=2时，/(%)=/2-2X2-2=%-2,为偶函数，故m=2不符合题意，

当？n=—l时，/(%)=X(T)2-2X(-I)-2=%,为奇函数，故m=-1符合题意.

综上所述：7M=-1.

故选：B.

4.(24-25高一上•上海宝山•期中)索函数y=M027的图象一定经过()

A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、三象限和原点D.第二、四象限和原点

【解题思路】根据寡函数的解析式确定图象特征即可判断得解.

【解答过程】幕函数y二/。27是定义在R上的奇函数，其图象经过第一、三象限和原点.

故选：C.

5.(24-25高一上•河北邢台•阶段练习)“累函数/(幻=(m2-m-1)/-1在(o,+8)单调递减，是“m=2”

的()

A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.充要条件

【解题思路】根据暴函数的定义求出加的值，再根据充分、必要条件的定义判断即可.

【解答过程】若f(%)为转函数，贝!机2一机一1=1,解得m=-1或m=2,

因为当m=-1时，/(x)=%-2在(0,+8)上单调递减；

当?n=2时，/(x)=%在(0,+8)上单调递增，

故由“幕函数/(X)=(m2-m-l)%mT在(0,+8)单调递减”当且仅当"TH=-1”成立，

即“幕函数/(%)=(m2-m-l)x"i在(0,+8)单调递减”是“m=2”的既不充分也不必要条件.

故选：A.

6.(24-25高一上•安徽安庆•阶段练习)己知。=2。4b=O.402,c=0.15°,，则a,6c的大小关系是

()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

【解题思路】根据幕函数单调性分析判断即可.

【解答过程】因为y=”2在R上单调递增，所以2。2>0.4。-2,即。>人

又因为0.4°2=(0.42)。,=o.l601,乂且y=在［0,+8)上单调递增，

所以0.16°，>0.15°,,b>c,所以a>b>c.

故选：A.

7.(24-25高一上•甘肃兰州•阶段练习)己知函数/(%)=%三，则下列说法正确的是()

A.f(x)是偶函数B.f(x)的图象恒在%轴上方

C./(%)的图象经过原点D.f(x)是R上的减函数

【解题思路】化简/(%)的解析式，结合函数的定义域、单调性、奇偶性及图象性质逐项判断可得结果.

【解答过程】由题意得，fW=定义域为(0,+8).

由函数/(%)定义域不关于原点对称可得/(%)为非奇非偶函数，选项A错误.

rtix>oW/(x)>o,故/•(%)的图象恒在%轴上方，选项B正确.

由函数定义域为(0,+8)可知外幻的图象不经过原点，选项C错误.

因为-：V0,所以根据塞函数的单调性可知f(x)在(0,+8)上为减函数，选项D错误.

故选：B.

8.(24-25高一上•重庆•阶段练习)已知嘉函数/(%)的图象经过点(8,2),若/'(2Q+7)+f(1-Q2)30,则

实数。的取值范围是()

A.[-4,2]B.[-2,4]

C.(-8,-2]U[4,+8)D.(—co,-4]U\2,4-oo)

【解题思路】由暴函数的单调性、奇偶性即可求解；

【解答过程】设f(x)=%%则8。=2,得a=%

则/V)=蓝为增函数，且/(%)为奇函数，

222

则由/'(2。+7)<-/(I-a)=/(a-1),得2a+7<a-l,解得a<一2或Q>4.

故选：C.

二、多选题

9.(24-25高一上•河南郑州•阶段练习)下列函数中是零函数的足()

A.y=yjxB.y=xsC.y=3xD.y=x-1

【解题思路】根据基函数的定义直接得出结果.

【解答过程】根据基函数的定义，知道y=G,y=x3,y=都是暴函数.y=3x不是幕函数，是正比例

函数.

故选：ABD.

10.(24-25高一上•吉林长春・期末)基函数/(%)=(m2+m-1)L注1MG则下列结论正确的是()

A.m=1B./(-2)</(3)

C.函数/'(%)是偶函数D.函数/Xx)的值域为(0,+8)

【解题思路】根据塞函数的定义求出zn判断A,根据单调性比较大小判断B,根据偶函数定义判断C,根据

塞函数的性质求出值域判断D.

【解答过程】对于A,因为f(x)=(m2+m-1)%-加-1,租£N*是基函数，

所以巾2+m-1=1,可得帆=1或巾=一2(舍去)，则/(%)=%-2,正确；

对干B,/(-2)=i,/(3)=所以/'(一？)〉/。)，错误：

对于C,7'(%)=点定义域为(一8,0)u(0,+8),且f(r)=/(x),所以函数/'(X)是偶函数，正确；

对于D,由/"(%)=12=*>0,得函数/(%)的值域为(0,+8),正确.

故选：ACD.

II.(24-25高一上・浙江金华・期末)已知/(幻=X。9£/?),则下列说法正确的是()

A.当。二一1时，f(x)的值域为RB.当a=3时，/(n)>/(3)

C.当a=g时，/(/)是偶函数D.当a=：时，产⑺是奇函数

【解题思路】根据第指数a的取值，结合寻函数的性质一一判断各选项，即可得答案.

【解答过程】当戊=一1时，/(X)=p此时/(》)的值域为{y|yH0},故A错误；

当a=3时，/'(%)=/在R上单调递增，所以/"(兀)>/(3),故B正确：

当叱=卜寸，f(x)=石，/(x2)=yfx^=\x\,定义域为R,关于原点对称，

Vxe/?J((-x)2)=|-x|=/'(x2),所以/(/)是偶函数,故C正确;

当a=：时，/(x)=X2,(z>0),ffl/2(x)=x,(X>0),定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D错

误.

故选：BC.

三、填空题

12.(24-25高一上•上海•期末)已知幕函数/⑺=/图象经过点3),则fQ)二色.

【解题思路】代入(9,3)求解鬲函数的解析式，即可代入求解.

【解答过程】将(9,3)代入/(%)=产中可得9a=3,故a=5故f(x)=标=而

因此途)=4=争

故答案为:V-

13.(24-25高一上•安徽宣城•阶段练习)已知暴函数/"(%)=(m2-3m-3)/浓+F3在(0,十8)上是减函数，

则m的值为一1.

【解题思路】根据已知条件，结合塞函数的定义与性质，即可求解.

【解答过程】幕函数f(x)=(m2-3m-3)》向+时3在(o,+8)上是减函数，

hill)2—3nl—3=1

'''m2+m-3<0'

解得m=-1.

故答案为：—1.

14.(24-25高一上.上海奉贤•阶段练习)如图是鼎函数y=Xa的部分图像，已知a分别取;,4,-4,-：这四

【解题思路】根据某函数的图象和性质之间的关系进行判断即可.

【解答过程】当QV0时，突函数在(0,+8)上单调递减，

当口>0时，’幕函数在(0,+8)上单调递增，

并且在直线％=1的右侧，图象自下而上所对应的函数的基指数a依次增大

故与曲线G、。2、。3、相应的Q依次为4,；,一；，一4.

44

故答案为：4,：,一：,一4.

44

四、解答题

15.(24-25高一上•河南郑州•期中)已知鼎函数/(无)=(m2-4m+4)•/mT在(_8,0)上单调递减.

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)若“1-2x)<f(x+2),求％的取值范围.

【解题思路】(1)根据函数是基函数，单调性计算求参即可.

(2)根据单调性求不等式.

【解答过程】(1)由鼎函数/(%)=(Tn?-4m+4)•/HIT在—go)上单调递减，

可得严;.+4：1,解得租=3,

2m-4>0

所以f(x)=x