山西省太原市2025-2026学年九年级上学期9月学情诊断数学试卷【附答案】

2025-2026学年第一学期第一次质量监测

（卷）

九年级数学

（本试卷满分100分，考试时间90分钟）

一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.剪纸是我国特别悠久的民间艺术形式之一，它是人们用祥和的图案期望吉祥、幸福的一

种寄托.下列剪纸图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

2.在平行四边形48CO中，ZZ）=15O°,则（）

A.140°B.40°C.150°D.30°

3.如图，在口力8CQ中，4c=&）.再添加一个条件，仍不能判定四边形力8CQ是正方形

的是（）

A.AB=BCB.Z/1^C=90°C.AC1BDD.NABD=/CBD

4.如图，将三角形48c绕点C顺时针旋转a(0"<a<180)得到三角形EQC.若4C8=30。,

NBCE=100。，则a的值为()

试卷第1页，共6页

A.60°B.70°C.40°D.100°

5.综合实践课上，老师发给每人一张印有RtZX48C的卡片，如图1,然后要求同学们画一

个与RtZ\/8C全等的三角形.嘉淇同学先画出了/MBW=90。后，后续的作图步骤如图2

所示，则能判定Rt4T8'CNRtA48C的依据是（）

A.SASB.SSSC.HLD.AAS

6.如图，在菱形/8C。中，AC,4。交于点。.若。6=4,AC=2+,则菱形力4CO的

边长为（）

4--------------------D

A.A/7B.2币C.4D.V5

7.如图，矩形力88中，点E在48的延长线上，且=NK=72。，则NO8C=

()

8.“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段

试卷第2页，共6页

矩形绸缎制作了•条如图所示的蓝丝带，若N4/1Q=45c.重叠部分图形的面积是36&cm2,

则丝带的宽为（)

B.12cmC.65/2cniD.12夜cm

9.矩形力8c。中，点M在对角线4C上，过M作48的平行线交力。于£交BC于F,连

接。河和8M,已知Z）E=3,ME=8,则图中阴影部分的面枳是（）

C.28D.36

10.如图，将长方形纸片/"CO沿EF折叠，使点。落在点8处，点C落在点。'处，点P

为折痕律上的任意一点，过点P作PGLBE、PH1BC,垂足分别为G、H,如果

力。=8,3=3,那么尸G+/W的值为（）

A.3B.4C.5D.8

二、填空题（本题共15分）

11.将点力（-1,4）向右平移2个单位后，得到的对应点6的坐标是.

12.已知函数卜二h+6和n=加工+〃的图象如图所示，则关于x的不等式区+〃>/心+〃的解

集是.

试卷第3页，共6页

13.顺次连接四边形力以?。的各边中点得到中点四边形£PG〃，若力。24。且XCK〃D,

则中点四边形EFG"的形状是_____(填“矩形”或“菱形”或“正方形”)

14.如图，O是坐标原点，菱形/80C的顶点4在x轴的负半轴上，顶点。的坐标为(3,4),

则顶点A的坐标为_____.

15.如图，在菱形48C。中，N8=60。，点E和点尸分别在边力C,力8上，BF=4,

若点M、点N分别为线段即、4C的中点，则线段MN的长度等于.

三、解答题(本题共8个小题，共55分)

16.分解因式：

(l)l2a2b-4ab;

(2)[a2-ab^+c(a-b).

17.先化简a+2'然后从2°.1中选择一个合适的值代入求值.

18.解分式方程：

试卷第4页，共6页

2JV+5<3(X+2)

19.解不等式组：x-1x

----<—

23

20.如图，在△48。中，分别是相，力。的中点，连接。上.

B(

(1)实践与操作：作出线段4C的中点/(尺规作图，保留痕迹，不写作法)；

(2)应用与证明：在(1)的条件下，连接。尸，CD.若CDJ.BD于点D.求证：四边形。EC厂

是菱形.

21.某车间加工1300个零件后，采用了新工艺，工效提升了30%,这样加工同样多的零件

就少用10h.采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？

22.“转化”是数学中最常用的思想，其精髓在于将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归

纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题.我们学习过一元一次方程，因此在求解二元一次方

程组时，通过“消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程；类比求解二元一次方程

组，小明对一元二次方程x2+8x-9=0求解过程提出了如下思考：

①若而=0,则有4=0或者6=0；

②结合八年级下册学习过的因式分解相关知识，X2+8X-9=(X+9)(,V-1),

③当/+8x-9=0时，(A+9)(X-1)=0

④所以可以将原方程转化为两个一元一次方程和，这是一个“降次”的过程.

⑤即x=-9或x=l

请根据小明的思考过程，完成下列问题：

(1)序号©中的两个一元一次方程分别为和

(2)应用小明的思路，求解下列两个一元二次方程：

①一-7工-18=0；@2?+5x-3=0

23.(1)如图1,正方形,48。。的边长为4,对角线4C、8。相交于点O,E是边AB上点、

(点£不与A、8重合)，将射线OE绕点。逆时针旋转90。，所得射线与4c交于点尸，则

四边形OE8产的面积为.

【类比迁移】

试卷第5页，共6页

(2)如图2,矩形N8CQ的对角线的交点0是矩形44G。的一个顶点，将矩形44。。绕

着点。旋转，4。与边力△相交于点。。与边C8相交于点N,连接MN,猜想

4M,CV,MN之间的数量关系.并进行证明.

【拓展应用】

(3)如图3,在直角△4C8中，ZC=90\AC=6cm,BC=8cm,/P。。的顶点。在边

的中点处，“DQ=9(T,它的两条边。。和。。分别与直线4cBe相交于点P，O，/P。。

可绕着点。旋转，当/尸=4cm时，则尸。的长度为cm.

图3备用图

试卷第6页，共6页

1.D

【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图

形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图

形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做

中心对称图形，这个点就是它的对称中心.

【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；

故选：D

2.C

【分析】本题考杳了平行四出形的性质.根据平行四访形的性质“对角相等”即可得.

【详解】解：•.•四边形48CQ是平行四边形，且/。=150。，

.-.ZZ?=ZZ)=150o

故选：C.

3.B

【分析】本题主要考查了正方形的判定，根据矩形的判定定理及正方形的判定定理即可解答.

【洋解】解：在中，AC-BD,

•••四边形力BCD是矩形，

A、当力8=8。时，四边形48CQ是正方形，正确，故A不符合题意；

B、当N45C=90。时，无法确定矩形如火:。就是正方形，故B符合题意；

C、当时，矩形是正方形，正确，故C不符合题意；

D、当时，则NJ8O=NC8O=45。，ZS(7C=90°,所以是正方形，

正确，故D不符合题意；

故选：B.

4.B

【分析】本题考查了找旋转角，旋转的性质.先利用旋转的性质得到/。。后=乙4。8=30。,

cr=ZBCD,再利用。=/8。。=1()0。-30。，计算即可.

【详解】解：•.•将ZUB。绕点。顺时针旋转矶0。＜。＜180。)得到△EQC,

答案第1页，共17页

ADCE=ZACB=30°,a=/BCD,

-ZBCE=100°,

a=ZBCD=NBCE-ZDCE=100°-30°=70°,

故选:B.

5.C

【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定.根据演示由尺规作图的方法确定作图的具

体步骤，可判定选项C正确.

【详解】解：由图示知，嘉淇第一步为截取线段*C=8C,第二步为作线段CW=C4,判

定方法为HL；

故选：C.

6.A

【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的性质得=2,0。=；/。=不，

AC1BD,再由勾股定理求出8C=J7,即可得出结论.

【详解】解：在菱形48CZ）中，AC,8。交于点O.DB=4,AC=20

：.OB=—BD=2,OC=—AC=Q,AC_ZBD,

22

•••NCOS=90°,

在RL8OC中，由勾股定理得：BC=J。/+g=不22+（可=近，

即菱形/8CO的边长为近，

故选：A.

7.C

【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，连接力。，根据矩形的性质得出

AC=BD=AE,即可求出Z/lCb,进而可求出ZO6C，熟练掌握矩形的性质是解题关键.

【详解】解：连接力C,交8。于点O,如图，

答案第2页，共17页

:.AC=BD,/ABC=NCBE=90。，OC=、AC,OBJBD,

22

OB=OC,

/.ZACB=ZDBC,

•：AE=BD,

：.AC-AE,

VZE=72°,

:"ACE=72°,NBCE=18°,

:"DBC=ZACB=72。-18。=54°.

故选：C.

8.A

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理.先证明四边形力BCQ

是平行四边形，则ND48=/BCO=45°,作。43十M，DN1BC±N,设

DM=DN=x,利用面积法证明,48=8C,得到四边形力8c。是菱形，再由勾股定理求得

AD=gx，然后根据重合部分四边形48CO的面积为力BxDW,列式求解作答即可.

【详解】解：由题意知，AD//BC,AB//CD,

••・四边形力次力是平行四边形，

ND4B=NBCD=45。,

如图，作于DN工BC于■N,连接40,则DW=QN,

设DM=DN=x,

•••四边形力8CQ是平行四边形，

••・S》BD=SKBD，即;4BXDM=；BCxDN,

AB=BC,

•••四边形力4c。是菱形，

Z.DAM=45°=/ADM,

答案第3页，共17页

：•AM=DM=x,

由勾股定理得，AD=>IAM2+DM2=V2x»

则初=历，

•••重合部分四边形ABCD的面积为：

ABxDM=-x=36-72♦

解得x=6（负值己舍去），

二丝带的宽为6cm,

故选：A.

9.B

【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明

=5-1沪8尸.

根据矩形的性质和三角形面积关系可证明名。加二邑"“，即可求解.

【详解】解：过M作M尸JL48于P,交。。于0,如图所示:

•••四边形力8。是矩形，

/.ZDAB=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AB//CD,AD//BC,

：.N/iEM=N/iDC=90。,NEFB=/BCD=9。。,

.♦./OEM=9()。，Z.CFM=90°,

4APM=/BPM=90°,

；.NEMQ=NQMF=90。,

.­.ZfMP=ZPMF=90o,

.•.四边形。EWQ,四边形0MFC,四边形力EM尸，四边形A1尸8/都是矩形,

S&DEM=，<?-C

S&QCM=S&MFC'S“EM=S,APM'»^△ABC-"△皿•'

V_c_c

•2aABCrQaMCF“"DC»

答案第4页，共17页

S.O/JEM0=S■3伊"，

.C-c

,,~UsBFM，

•:DE=3,A/E=8,

:SDEM=S.MFB=gx3x8=12,

影=12+12=24,

故选:B.

10.B

【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理和平行线的性质，熟练掌握各知识点

是解题的关键.

先证BE=BF,过点、E作EQLBF,垂足为0,证四边形E0M?是矩形，得RH=EQ=4,

根据角平分线的性质得到尸G=PR求出PG+PH=RH=4.

【详解】解：过点E作七。，8。，垂足为。，如图，

•••四边形48CZ)是矩形，

AD=BC>NC=N4QC=9()°.

•••40=8,C尸=3,

：.BF=BC-CF=AD-CF=5.

由折叠可得：DF=BF,/BEF=NDEF.

.-.DF=5.

vZC=90°,

■-DC=ylDF2-CF2=552—32=4•

vEQ±BCyNC=N4OC=9()。，

Z.EQC=900=ZC=ZADC,

••・四边形是矩形，

:.EQ=DC=4.

延长HP交4D于点、R,

•••AD〃BC,

："DRH=/RHB=90°,

:.NERH=900=NRH。=NEQH.

答案第5页，共17页

••・四边形是矩形，

,-.RH=EQ=4

•:EP平为乙GER,PG上BE,PR]AD,

:.PG=PR

：.PG+PH=RH=4

故选：B.

11.(1,4)

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，根据平移时点的坐标变化规律进行计算即

可.

【详解】解：由题知，将点力(-1，4)向右平移2个单位后，得到的对应点B的坐标是(1,4).

故答案为：。，4).

12.%>1

【分析】本题考查用一次函数图象求不等式的解集，关于x的不等式米+方>〃a+〃的解集可

以看作函数y=h+b图象在y=〃?x+〃的图象上方部分对应的X的取值范围，数形结合即可

得到答案，熟练掌握用一次函数图象求不等式的解集的方法是解决问题的关键.

【详解】解：关于X的不等式"+/)>/址+〃的解集可以看作函数歹=h+力图象在歹=如+〃

的图象上方部分对应的x的取值范围，

过两个图象交点作x轴的垂线x=l,如图所示：

答案第6页，共17页

・・・在X=1右侧,函数y=图象在y=+〃的图象上方,

则不等式kx+h>mx+n的解集是x>1,

故答案为：x>L

13.矩形

【分析】本题考查了中点四边形，首先利用三角形的中位线定理证得四边形及6〃为平行

四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可.

【详解】解：中点四功形EFG”的形状是矩形,理由如下：

如图，

•:点、E、F、G、〃分别是边力8、BC、CD、D4的中点，

：.EF=-AC,GH=-AC,

22

：.EF=GH,

同理可得£77=/6,

.••四边形是平行四边形；

乂•••对角线XC、8。互相垂直，

与FG垂直.

••・四边形是矩形.

故答案为：矩形.

14.(-2,4)

【分析】本题考查菱形的性质，勾股定埋，坐标与图形性质，关键是由勾股定埋求出OC的

答案第7页，共17页

长.

由菱形的性质得到力C=OC,AC//BO,推出/C_LQW,由点C的坐标，得到

CM=3,0M=4,由勾股定理求出OC=5,得到力。=5,求出4必=2,可得结论.

..ACA.OM，

•••点。的坐标为(3,4),

：.CM=3,OM=4,

,OC=y/^C2+OM2=5»

:.AC=OC=5t

：.AM=AC-MC=2,

点力的坐标为(-2,4).

故答案为:(-2,4)

15.g

【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，由菱形的

性质可得48=8C,可证。是等边三角形，可得乙4c8=60°=/54C,由三角形中位

线定理可得M"MH=-CE=\,NH//RF,NH=-BF=2,可得

22

AACF=ZFHM,/BFH+NFHN=180。,可求NNHK=60。,由勾股定理可求解.

【详解】解：如图，连接CF,取3的中点从连接NH,过点、N作NK工MH交MH

延长线于K,

答案第8页，共17页

4D

•.•四边形49co是菱形，Z5=60°,

AB=BC,

。是等边三角形，

ZACB=60°=Z.BAC,

•••M、N分别为线段所、6c的中点，点"是B的中点，BF=4,C£=2,

.'.MH//CE.MH=-CE=l,NH//BF,NH=-BF=2,

22

："ACF=ZFHM,ZBFH+NFHN=18O。.

："FHN=1800-NBFH=180°-(60°+ZJCF)=120°-ZACF,

"MHN=Z.FHN+4FHM=120°,

：2NHK=60。,

•••NK_LMH,

NHNK=30°,

:.HK=£HN=\,NK=6,

：・MK=MH+KH=2,

•••MN=>]MK2+NK2=+3=y/l，

故答案为：y[l.

16.⑴4M(3〃-1)

⑵(j)(a+c)

【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解答本题的关键.

(1)原式提取公因式4而即可：

(2)原式提取公因式(〃-与即可.

【详解】⑴解：12/6-4而

答案第9页，共17页

=4ab-3a—4ab

=4a6(3a—1)；

(2)解：^a2-ab^+c(a-b)

=a(a-b)+c[a-h)

=(〃_/))(〃+c).

17.2a-4；当4=0时，原式二一4

【分析】本题主要考查分寸的化简求值，利用分式的运算法则对式子进行化简，再结合分式

有意义的条件，选取合适的数代入运算即可.

【详解】解：(Q+1—.生[

Ia-\)a+2

(a+\)(a-\)-32a-2

a-1a+2

a2-\-32a-2

a-1a+2

a2-42a-2

=-----------

a-\a+2

(iz+2)(tz-2)2(a-l)

a-\a+2

=2a-4；

当a=-2或1时，分式无意义，

所以，取。=0时，原式=-4

18.(l)x=4

(2)无解

【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键

(1)先将分式方程两边同时乘以x(x+2)化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验

即可求解

(2)先将分式方程两边同时乘以(x+l)(x-l)化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检

验即可求解.

23

【详解】(1)解：一二—

去分母，得2(x+2)=3x,

答案第10页，共17页

去括号，得2x+4=3x,

解得x=4,

经检验，x=4是原方程的根,

则分式方程的解为工=4；

去分母，得(X+1『-4=(1+l)(x—1)

去括号，得』+2x+l-4=/_i

解得x=1

经检验，x=l是原方程的增根

所以，原分式方程无解.

19.-l<x<3.

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，然后再求出它们的公共部分就是不等式组

的解集.

【详解】解不等式2x+5W3(x+2),

去括号得2x+5g3x+6,

解得x"1；

解不等式乎

去分母得3x-3<2x,

解得xV3：

二不等式组的解集是-1WXV3.

【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的解集，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小

取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

20.⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查尺规作垂线，中位线的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一

半，菱形的判定和性质，掌握中位线的判定和性质，菱形的判定和性质是关键.

(1)运用尺规作线段垂直平分线即可；

(2)根据中位线的判定和性质得到。E〃代，。£=尸。，则四边形。是平行四边形,

答案第11页，共17页

再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到。尸二^8。，结合菱形的判定和性质即可求解.

【详解】（1）解：如图，点尸即为所作，

（2）证明：如图所示，连接。歹,

;。，石分别是羽，4C的中点，

/.DE//I3C,DE=-BC,

2

;线段5C的中点是兄

:.CF=-BC

2t

DE//FC,DE=FC,

••・四边形。Eb是平行四边形，

•/BD1CD,

;线段4c的中点是凡

DF=-BC,

2

/.DF=CF,

••・四边形。Eb是菱形.

21.采用新工艺前、后每小时分别加工零件3（）个、39个

【分析】设采用新工艺前每小时加工x个零件，则采用新工艺后每小时加工L3x个零件，根

据题意列分式方程求解即可.

【详解】解：设采用新工艺前每小时加工x个零件，则采用新工艺后每小时加工L3x个零件,

根据题意，得幽-瞿=10

x1.3x

解得：1=30

经检验得：x=30是分式方程的解，符合题意

答案第12页，共17页

则L3x=39

答：采用新工艺前、后每小时分别加工零件30个、39个

【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，列出分式方程.

22.(l)x+9=0；x-l=O

(2)①土=-2,-9；②/=-3

【分析】本题主要考查因式分解一十字相乘法解•元二次方程，解答本题的关键是熟练掌握

因式分解的方法.

(1)根据“两个因数的积为零，那么这两个因数中至少有一个因数为零''可得答案；

(2)①把-18分解成-9与2的积，且-9+2=-7,方程可变形为(x+2)(x-9)=0,故可解

答；

②把2分解成2x1,-3分解成-1x3,而1x(l)i2x3=5,故方程可变形为(2xl)(xi3)=0,

故可解答.

【详解】(1)解：(x4-9)(.r-l)=0,

•••x+9=0或工一1二0,

故答案为：x+9=0；x-1=0；

(2)解：①F-7X-18=0,

(x+2)(x-9)=0,

x+2=0或x-9=0,

xi=-2,x2=9；

@2X2+5X-3=0,

(2x-l)(x+3)=0,

2工一1=0或1+3=0,

1力

玉=5，

23.⑴4cm.(2)AM~C—⑶手或半

【分析】(1)如图①中，证明△EOB经△RX?即可解决问题.

(2)延长交/。于G,连接MG,AC,证明△4DGg^COV(ASA),得到CN=4G,

答案第13页，共17页

ON=OG,再根据NMQM=NMOG=90。，得到MV=MG,最后根据©W?+/G?uMG?,

得至|J4W2+GV2=MN2：

（3）根据P在线段4C上和线段外分情况讨论，延长。。至，，使QD=DH,连接）7,

AH,证明"O"gA8O0（SAS）,得至叫。=力，，/_B=Z.DAH,结合〃。。=90得到

P0=P〃，再证明/尸力”=90’，得至。尸+力炉=。〃2,即力尸+8/二尸最后根据

RSCPQ中，PQ2=CP1+CQ~,代入PQ1=CP2+CQ2=AP1+BQ2歹ij方程求解即可.

【详解】解：（1）如图,

•.•正方形48CZ)的边长为4,对角线力。、8。相交于点。,

：.OB=OC,NOBE=NOCF=45。,Z50C=90°,

由旋转得/瓦加=90。，

NEOB=Z.FOC=90°-/FOB,

.■.△EC)^AFOC(ASA),

S四动形OE8F=S^EOB+S.FCB=^^OFC+S^FOB=^AOBC=S正方ff48CD=;X4X4=4cm

故答案为：4cm2；

(2)如图1,延长A/O交/O于G,连接A/G,AC,