三角恒等变换（讲）-高考数学一轮复习（新高考）解析版

专题5.4三角恒等变换

1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.

新课程考试要求

2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.

本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多

核心素养

例）、数据分析等.

（1）和（差）角公式：结合拆角、配角方法，将两角和与差的正弦、余弦、正切公式

及二倍角公式等相结合，考查三角函数式的化简求值或求角问题

（2）二倍角公式与同角公式综合考查，重点解决三角函数求值问题；

高考预测

（3）和差倍当的三角函数公式的综合应用.

（4）对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用（正用、逆用、变用）、计算

为主，其中多与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查.

【知识清单】

知识点1.两角和与差的三角函数公式

(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C(a/)：cos(«—/?)=cosacos/?+sinGsin夕：

Cg+尸)：cos(a+/?)=cosacossin_«sin/?；

S(ai/?)：sin(a+/0=sinacos夕+cosasin夕；

S(a-.)：sin(a—p)=sin_acos_J?—cosccsin/?；

tana+tanfi

%沙.0+#=1-tanata”；

tana-tan

T®如tan(tt-^)=l+tan«tan//-

(2)变形公式：

tana±tantan(a±/?)(1+tanatan/7)；

sina±cosa=V2siii(a±^).

（3）辅助角公式

b为常数）可以化为J（a）=q储++sin（a+卬）（其中tan8=勿或加）=

一般地,函数/(a)=4sina+/?cos〃(a,

（其中lan9=。

7a24b2cos(a一中)

知识点2.二倍角公式

（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式:

Sj«；sin2a=2sin_cccos_«；

C%：cos2a=cos2a-siirct=2cos2a—1=1-2sin2a；

_—2tana

i2a-tan~■——.

1—tana

(2)变形公式:

,1+cos2a.、

cos~a=，sin-a=2

1+sin2a=(sina+cosa)21-sin2a=(sina-cosa)2

【考点分类剖析】

考点一两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用

【典例1】(2021•全国高三其他模拟)已知点尸—，。为坐标原点，线段0P绕原点。逆时针旋转;,

11J13y3

到达线段o《，则点6的坐标为(

(12+5735-12⑸

A.--------,---------

2626

【答案】D

【解析】

根据三角函数的定义确定出终边经过点尸的a的三角函数值，然后根据位置关系判断出a+巳的终边经过

3

结合两角和的正、余公式求解出［的坐标.

【详解】

512

由P的坐标可知?在单位圆上，设a的终边经过点?，所以cosa二一,since=一,

1313

jrrr

乂因为OR由绕原点。逆时针旋转7得到，所以a+彳的终边经过点E且R也在单位圆上,

JJ

71

所以Ecosa+—,sin

II3j

1V3=^^,sinJ+4=Lina+且cosa=*

又因为cosa+—=­cosar----sintz

I322

（5-12>/312+5用

所以1

2626

故选：D.

【典例2】(2020•山东聊城。高一期末)角。的终边与单位圆的交点坐标为,将a的终边绕原点顺

37t

时针旋转一，得到角夕，则cos(a+〃)=()

4

,76--x/2\fb4-V2r^3—1

444

【答案】A

【解析】

由角。的终边经过点(走」)，得sin。,cosa=@，

2222

3兀

因为角尸的终边是由角。的终边顺时针旋转一得到的,

4

所以sin/?=sin（a—网）=sinacos旦—cosasin网='x（-也）—且x也

44422224

8s6=8叱吗=8sa8s&sinas3=2（-乌+k2生

44422224

cos（a+0=8sa8s/—sinasin/?=^x^^—gxZ^^=^^，

故选：A.

【典例3】【多选题】(2020•广东鬲一期末)己知函数/(A=sin(m+^)

（co.r+—）（0<（o<6）

12

的图象关于直线x=l对称，则满足条件的co的值为（）

A.三B.三7乃

C*D.

633~T

【答案】BC

【解析】

因为fM->/2sin（6t;x4----）=5/2sin（6yx+—）,

1246

.7T.71.

11i（OX4——KTlH—,keZ,

62

因为0vgv6,所以X=—-i---->kwZ,

co3<y

3+473

R.

10

「4-364+36

D.

1010

【答案】c

【解析】

CO.=|,sin.=1,s=

依题意，有:SCO/?旦sin/7-i,

22

G3I44-36

cos(/7-a)=cospcosa+sin夕sina=----X—+—X—=

252510

故答案为：C.

3

2.（2020•湖南娄星。娄底一中高一期末）已知。为锐角，且cos(a+f)=[,则sina=()

65

.4石+3B・哈36+4373-4

A•Xr-✓•1Lx•

101010

【答案】B

【解析】

3

.cos(ad—)_（a为锐角）,

6-5

**•o+—为锐角，

6

,冗4

/.sin(aH—)=—,

65

717171TCTC.万

sina=sin[(a4—)—]=sin(a+—)sin—

666666

4V33xLW,

—x

525210

故选B.

3.（2019•河南鹤壁高中高考模拟（文））平面直角坐标系X0V中，点是单位圆在第一象限内的

点，ZJCOP=a»若cosa+\=--,则%+尤为______

\3，13

恪案】哈

【解析】

71力■51J兀兀11

由题意知：as0,1,a+—w彳，工乃,由cosCZ+-,得sin(a+q

I2）336yzV3)13

..7t7171万1.71

%=sma=sina+—=sin|«+—cos----cosa+—sin—

33)I3J3I3)3

4A/3JJ_V3_15x/3

-TT2~13~~26

(417r..T

=coscr=cosa+—cos—+sina+—sin—

I3；333

-1114x/3V31

-------+---------,-

13213226

1573115百+1故答案为：噜1

%+Vo

2626-26-

【总结提升】

（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“己知角”的和或差的形式.

⑵当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知弟”的和或差的关系，然后应用诱导公式把

“所求角”变成“已知角”.

高频考点二两角和与差的正切公式的应用

【典例4】（2021•安徽高三其他模拟（文））已知a,4为锐角，tana=2,cos尸=区5,则tan（。一22）=

5

()

£

D.

H

【答案】C

【解析】

由已知求出tan2/7,再利用差的正切公式“J•求.

【详解】

因为。，。为锐角，所以cos夕二半.所以sin/?=半，tan/?=i,

tan2/3=

又

2—二

,Otanez-tan32

则lan(a-2/3)=----------=―支=—.

1+tancr-tan2p11

3

故选：C.

【典例5】（2021•湖南衡阳市八中高三其他模拟）己知d夕为锐角,

则lan(a+2Q)=()

9139

A.一—B.C.D.

13913

【答案】A

【解析】

由正切的二倍角公式求得tan再由tan(a+2.)-tan

【详解】

因为tan—~2p=tan2。一夕

167

7171_„

所以tan(a+2〃)=tan4+---------

6,(6IB

故选：A.

【规律方法】

1.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tana+tan/?

=tan（a+夕）.（1-tanatan6）和二倍角的余弦公式的多种变形等.

2.应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆

用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用

后，才能真正掌握公式的应用.

提醒：在与T（a从中，a,人a±夕都不等于即保证匕11々，1@11//,1@11（"+/0都有意义；

若“，夕中有一角是E+女&WZ）,可利用诱导公式化简.

【变式探究】

1.（2018年全国卷II文）已知tan（Q—乎）=（,则tana=__________.

【答案】|.

【解析】

5n

/5兀、tana-tan—tana-11

tan（a---）=--------、=-----=二，

41+tanatan—1+tana5

解方程得tana=1.

2.（2021•广东高三其他模拟）我国古代数学家僧一行应用“九服展影算法''在《大衍历》中建立了展影长/与

太阳天顶距0（0。*。480。）的对应数表，这是世界数学史，较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，暑

影长度/等于表高/?与太阳天顶距。正切值的乘积，即/=〃tan。若对同一“表高”两次测量，“曷影长”分别是

“表高”的2倍和3倍（所成角记耳，3）,则tan（a-4）=.

【答案】

【解析】

根据题意得到tana=2,tan/=3,结合两角差的止切公式，即可求解.

【详解】

由题意，“唇影长”分别是“表高”的2倍和3倍，可得tanq=2,tan2=3,

/八八、tan0,-tanft2-31

所以tan（4_&）=-----!-------2-=-------=——.

~1+tan耳tan41+2x37

故答案为：一

7

【总结提升】

L'T'的代换：在7；垓中如果分子中出现力”常利用l=tan45。来代换，以达到化简求值的FI的.

2.若Q+/?=£+E,kGZ,则有(1+tana)(l+tan6)=2.

3.若化简的式子里出现了"tan〃±tan/F及“tanatan/T两个整体，常考虑tan(a±/?)的变形公式.

考点三二倍(半)角公式的应用

【典例6】(2021.全国高考真题(文))若aw(0,g],tan2a=Jos。，则tana=(

I2J2-sin。

平

B6cV5D.

53

【答案】A

【解析】

sinla2sinacosa,再结合已知可求得sin"卜利川同住三角函数的

由二倍角公式可得tan2a=

cos2aI-2sin2a

基本关系即可求解.

【详解】

ccosa

tan2a=-----------

2-sina

sin2a2sinacosacosa

tanla=--------=

cos2a1-2sin2a2-sina

f/、万)八2sma1.1

,/aG0,—,.•.cosawO，/.---------；­=-----------,解得sina=一，

I2jl-2sin'a2-sincr4

r——―\/15sinaV15

/.cosa=VI-sin*-a--------/.tana=---------=------♦

4cosa15

故选:A.

【典例7】(2020•浙江高一期末)已知as(%,2%),若tana=_,则tan(a+—)=_；cos2—

442

【答案】7L

【解析】

3

因为。€(>,24)，若tana=—,

4

34

故可得sin。=---,costz=---

55

7

71tana+1

则ianaH—=十7；

I\-tana

4

22、7251()

故答案为：7；，

【典例8】（2019年高考全国I卷文）函数/（x）=sin（2x+T）-3cosx的最小值为_____

【答案】-4

3兀)

［解析】f(x)=sin(2.r+—)-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1

v-l<COSX<1,.•.当COSX=1时，/(X)min=T，

故函数/（x）的最小值为T.

【总结提升】

1.转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结

构的差异，寻求联系，实现转化.注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题

（1）公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.

（2）注意特殊角的应用，当式子中出现J,1,斗，小等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”

构造适合公式的形式.

2.已知0的某个三角函数值，求刍勺三角函数值的步骤是：（1）利用同角三角函数基本关系式求得。的其他三

角函数值：（2）代入半角公式计算即可

【变式探究】

1.（2021•沈阳市・辽宁实验中学高三二模）己知。£（0,兀），sina+cosa=当，且cosa>sina.

（1）求角。的大小;

(2)Xe("6〃?,给出〃7的一个合适的数值使得函数y=sin.E+2siMg+a的值域为-亍G+1

/IN，IZ

7T

【答案】（1）。=一；（2）加的值可取九

12

【解析】

(1)根据sina+cosa=0sin。+'=—，结合〃€（0小），可得£+=二^或=，再根据

k42433

cosa>sina求解;

⑵由y=6sin(x-e)+1,根据值域为1-；,石+1

,结合正弦函数的性质求解.

【详解】

_V6

(1)因为sina+cosa=&sin(o+A

—2'

所以sina+—1=—，

I4j2

乂〃£（0,兀），所以a+，午

_.It兀327t_.7T_57r

可得a+—=一或一，可得a=一或1A一，

4331212

又cosa>sin。，所以a二』".

12

(2)y=sinx+2sin2—+—=sinx+l-cosx+-

.1212；I6J

..7T..7T

=smx+l-cosxcos—+sinxsm—,

66

J•73,fT.7T

=—sinx------cosx+1=\/3sinx----+1,1

22<6)

当x=时，

6

当sin工一看）=1时，y=G+l，

所以由题意可得〃z—>一,可得〃?》—»

623

年，+8）即可，m的值可取7i.

所以〃ZW

2.12020•河南林州一中高•月考）已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点

P(-3,>/3).

71

㈠)求tan(—a)+sin(万+。)的值:

cos("-a)sin(—3〃-a)

(X

(II)求tan2a+tan—的值.

2

2

【答案】(I)--；(II)2

3

【解析】

(I)由题意得：sina=—,cosa=,tana=

223

-tana+cosaq)2

原式=7---------1—=r=

(一cosa)sinaJ3i3

—x—

22

2tan«asina

(II)tan2a=6tan——=----------

1-ian2a21+cosa

2

a

tan2a+tan—=2.

2

【特别提醒】

1.倍角的含义:

对于“二倍角”应该有J,.义的理解,如2a是。的二倍角，4a是2«的二倍角，8。是4a的二倍角，a是3的二

倍角……这里的蓄含着换元思想.这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的.

2.公式的适用条件:

在§2”，C2a中，a£R,在&，中，a?与+£且存E+恭£Z）,当a=E+5Z）时，tana不存在，求tan2a

的值可采用诱导公式.

考点四简单的三角恒等变换…化简与证明

【典例9】（2021・重庆一中高三其他模拟）已知sin,=*，COS（a+/）=K，a€（0£），4£（0z），

则sina=.

【答案】2

65

【解析】

注意综合已知条件，进一步缩小厂的范围，以及。+尸的范围，利用同角三角函数关系和二倍角公式正确

求出s%/7,cos/?,sin（a+尸）的值，由sina=sin（（a+/?）-/?）,利用两角差的正弦公式计算.

【详解】

左（0,4），孔sin2=@，.・.COS2=2,又,.，sin2=在＜L

212J2525252

sin^=2sin^cos^=^,cos/?=|,

sin(a+£)=j|

又•・•〃£((),1,Aa+/3G0,弓)，又・.・cos(a+/?)=得

sina=sin((a+£)-/)=sin(a+/?)cos/?-cos(a+/)sin/?

1235416

=-x---------x—=——,

13513565

故答案为：建.

65

[典例10]求证：tan«+-------------=-—.

tan(^+|)cos。

【答案】见解析

cos(泻)

【解析】左边=煞

sin(—+—)

42

..ka、，兀a、

sinorsm(—十—)+cosacos[+—)

、

cosasi•n(K—+ya)

cos(^+--6?)

42

cos«sin(—+y)

cos(^-—)

42

coscrsm(—+y)

sin(-+-)1

------^—2—=—:二右边.

cosasin(^+^)C0S<2

故原式得证.

【总结提升】

1.三角函数式化简的方法

(1)弦切互化.异名化同名，异角化同角，降幕或升基.

(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需

要升次，去掉根号.

2.三角函数式的化简遵循的三个原则

(1)--看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公

式.

(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”.

(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式

分解”“二次式配方”“遇到平方要降事”等.

3.三角恒等式的证明方法

(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目.

(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子.

(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立.

提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根

据角的范围确定三角函数的符号.

【变式探究】

2I

1.(2021•全国高三其他模拟(理］)若tana=--，tan/?=-,则sin(2