数列求和-2026年高考数学总复习讲义（北师大版）

5.4数列求和-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义

(北师大版2019)

学校:姓名：班级：考号：

一、判断题

1.如果数列｛q｝为等比数列，且公比不等于1,则其前〃项和()

2.当〃之2时，-^―=if^-一一y.()

n-12\n-ln+\J

3.求S.=a+2/+3/+•+〃，之和时只要把上式等号两边同时乘以。即可根据错位相减法

求得.()

4.推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得

sin2l°+sin22°+sin23°+..+sin288°+sin289°=44.5.()

5.若S“=l—2+3—4+L+(—1产・〃，则S5o=-25.()

二、单选题

6.设首项为I,公比为2;的等比数列｛%｝的前〃项和为S”，则

A.Stl=2an-\B.S“=3q「2C.S〃=4-3"“D.*=3-2%

7.数列｛%｝的通项公式为3),则它的前100项之和S⑼等于()

A.200B.-200C.400D.-400

8.一个球从100机高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次

着地时，经过的路程是()

A.100+200(1-2一，B.100+100(1-2-9)

C.200(1-2-9)D.100(1-2-9)

三、填空题

9.已知数列｛凡｝的通项公式为％则数列U｝的前〃项和邑=.

10.在等差数列｛q｝中，=3/2-31,记2=冏|,则数列也｝的前30项和为.

四、单选题

11.等差数列伍」的公差是2,若生，4，4成等比数列，则｛凡｝的前〃项和S.二

A.i+DB.〃(〃FC.也SD.的尹

22

五、解答题

12.等比数列｛4｝中，4=1,%=4%.

⑴求｛q｝的通项公式：

⑵记S”为｛〃“｝的前〃项和，若鼠=31,求〃?.

13.已知等比数列｛4｝的前〃项和为S.，且2s“=3%+「3.

(I)求｛可｝的通项公式；

⑵求数列⑸｝的前〃项和.

14.已知数列｛4｝的前〃项和S.=gK,〃wN.

(1)求数列｛为｝的通项公式；

(2)设2=2%+(—1)"4,求数列｛〃｝的前In项和.

2

15.已知数列｛叫的前〃项和S“=W，

⑴求数列｛为｝的通项公式；

(2)设a=2%+(-174,求数列低｝的前〃项和却

16.已知数列｛4“｝满足4=1,a,E=2a“+l(〃eN)

(1)证明｛%+1｝是等比数列，并求｛%｝的通项公式；

⑵求数列血+〃+1｝的前门项和S”.

17.已知正项数列｛4｝满足4+2/+3出+••+〃凡=〃2+2〃，且”二江+("+2)(”1).

〃+1n

⑴求数列也｝的通项公式；

试卷第2页，共4页

⑵求数列｛2｝的前〃项和S“.

18.记各项均为正数的数列｛q｝的前〃项和为S.,已知凡是甘与当口的等差中项.

⑴求｛《J的通项公式；

⑵设包=碧L+数列出｝的前〃项和为。，证明：Tn-4n<2.

19.记S”为数列｛q｝的前〃项和，已知％=1,且邑=。川-3.

(I)求数列｛q｝的通项公式；

⑵已知数列｛cj满足,记。为数列｛6｝的前〃项和，证明：Tn<2.

“”•2②]=地4这两个条件中任选一个，补充在第(2)问中的横

从①c"

(%+1-1)(4向一2)4八

线上并作答.

20.已知数列｛4｝是公比大于()的等比数列，其前〃项和为S”，若q=1,S2=a「\.

(1)求数歹叫%｝前〃项和S”;

々，〃=4.

(2)设〃尸

也T+2N%<〃<%

(i)当422,〃求证：bn_{>akbn.

(ii)求以.

f=l

六、填空题

21.“一尺之梃，口取其半，万世不竭''出自我国占代典籍《庄子•天下》，其中蕴含着等比数

列的相关知识.已知长度为4的线段AB,取A8的中点C,以AC为边作等边三角形(如图

①)，该等边三角形的面积为在图①中取CB的中点G，以CG为边作等边三角形(如

图②)，图②中所有的等边三角形的面积之和为邑，以此类推，则*=；

.

r-l

《5.4数列求和-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义(北师大版2019)》参考

答案

题号67811

答案DBAA

1.正确

【分析】结合等比数列的通项公式，根据等比数列求和公式求解即可.

【详解】由题数列｛q｝为等比数列，且公比不等于1,则其前〃项和s“=3^=、^

故答案为：正确

2.正确

【分析】从右式入手，通分化简推得左式即可.

【详解】当〃22时，因：(一一—

2n-\〃+12(〃-1)(〃+1)n-1

则当“N2时，-^―=一一^］成立.

n-12\n-\n+\J

故答案为：正确.

3.错误

【分析】当。=1时，S.=l+2+3++〃，可用等差数列求和公式进行求和，不能用错位相

减法求和.

【详解】当a=l时，S„=1+2+3++〃，可用等差数列求和公式进行求和，不能用错位相

减法求和.

故错误.

4.正确

【分析】先列出原式的倒序和，再进行对应相加，利用诱导公式和同角的三角函数关系式分

组求和再相加即得.

【详解】5=sin2lv+sin22v+sin230+--+sin2«80+sin2,

则S=sin289°+sin288°+sin?87。+,+sin220+sin2l0,

两式相加，可得:2S=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+(sin230+sin287°)+

+(sin244+sin246)+2sin245+...+(sin288°+sin22°)+(sin289°+sin21°),

因为对任意锐角COSQ=sin(90-a),贝ijsin?a+sin?(90-a)=sin?a+cos2a=1,

答案第1页，共14页

故

sin2l°+sin289°=sin22°+sin288°=sin23°+sin287°==2sin245==sin289°+sin21°=1

即2S=!+1+J+!=89,故S=44.5,原式正确.

89个

故答案为：正确.

5.正确

【分析】根据条件并项求和可得结果.

【详解】由题意得，55O=(1-2)+(3-4)+L+(49-50)=-25.

故答案为：正确.

6.D

,2

【详解】&=也二"=幺/=+=3—2加.

\-q"q1

3

7.B

【分析】利用并项求和法求得S侬.

【详解】依题意

Sg=(4xl-3)-(4x2-3)+(4x3-3)--(4X100-3)

=4x[(l-2)+(3-4)+4-(99-100)]

=4x(-50)=-200.

故选：B

【点睛】本小题主要考查并项求和法，考查分析与解决问题的能力，属于基础题.

8.A

【分析】表示出第10次着地时经过的路程，利用等比数列的求和公式化简，即得解

【详解】由题意，第10次着地时，经过的路程是

100+2x(50+25+••+100x29)=100+2x100x(2-1+2"+…+2-9)

2Tx(1-2")

=100+200X-j—--=100+200(1-2-9)

故选：A

答案第2页，共14页

9.(-1)”〃

【分析】分〃为偶数和〃为奇数两种情况分别求解，再综合即可.

【详解】解：当〃为偶数时，设“21人N*,

贝ljS/t=q+ci-,+L+。“=(―1+3)+(—5+7)+L+[—(2〃-3)+(2〃-1)]=2x/=〃：

当“为奇数时，设”=2〃-1"£N“，

5.=5M+%=〃-1-(2〃-1)=-n；

综上，SO=(-l)"〃.

故答案为：(-1)"〃

10.755

【分析】先由4>。解得〃，利用等差数列前〃项和公式即可求解.

31

【详解】由a”=3〃-31>0=>">『~，即11时，〃“>。，0<〃410时，an<0,

所以S30T4I+同+同+…+底|=-(4+•+/+-+/)

+@+%+a“+.+/)=」°m；%)+20(a；+〃)=」°x(；8T)+20x(；+59)=755.

故答案为：755.

11.A

【详解】试题分析：由已知得，〃:=%•%，又因为｛6』是公差为2的等差数列，故

2

(«2+2t/)=6/2-(a2+6J),(%+4)2=%•(%+12),解得。2=4,所以a”二%+(〃-2)d=2”,

,,n(a.+an),,、

故S”=；=〃(〃+1)•

【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n项和.

12.⑴%=2M或%=(-2广.

⑵m=5.

【分析】(1)由条件求出公比，即可求解通项公式；

(2)根据(1)的结果，代入等比数列的前"项和公式，即可求解.

答案第3页，共14页

【详解】（1）7等比数列｛凡｝中，4=1,4=4%.

.-.lx^=4x(lx^),解得q=±2,

当g=2时，〃“二2"T

当9=-2时，4=（一2广,

・.・｛4｝的通项公式为，。“=2"-'或q=（-2）i.

（2）记S.为凡｝的前〃项和.

当―『2时，当二

\-q1-(-2)3

>（一琛无解:

由鼠=31,得S4=31,mwN,

3

卬（1一。'）_1一2"

当,=1,夕=2时，Sn=2"1,

\-q1-2

由鼠=63,得S"r=2"'-l=31,m€N,

解得〃?=5.

⑶⑴可端\W-1

0、15⑶”315

⑵了仁——n------

24

【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项;

（2）利用分组求和法即可求S”.

【详解】（1）因为2s“=3。向-3,故2sz=3，“-3,

所以24=3〃向—初“（/?>2）即5q=3〃用故等比数列的公比为,/=|,

故24=3%-3=3"x^|—3=5a「3,故4=1，故.

lx呜"

（2）由等比数列求和公式得5“=353

2132

所以数列｛SJ的前〃项和

答案第4页，共14页

53

—n

132

⑶>-f-T

3UJUJ315f5Y315

224UJ24

14.(1)%=〃

⑵〃=2?叫〃-2

15.,/?=1

【分析】（1）应用q=[c、,分步求解即可；

[Sn-Sn_rn>2

（2）根据分组求和和并项求和思想，结合等比数列求和公式求解即可.

【详解】（1）当〃=1时，at=S,=\：

当〃之2时，an=Sn-Sn-i??=〃.

4也满足％=〃，故数列｛q｝的通项公式为凡=〃.

（2）由⑴知。“=〃，故2=2"+（-1）"〃，记数列也｝的前2〃项和为七,

贝iJ《”=（2i+22++22,,）+（-l+2-3+4-+2/?）.

iEA=2'+22++22rt,fi=-l+2-3+4-+2〃，

则A=9e.2,

1-2

8=(-1+2)+(—3+4)++[-(2/?-1)+2〃]=n.

故数列｛瓦｝的前2〃项和〃=A+8=22ff+,+n-2.

15.(1)%=〃

等，〃为奇数

2"川

⑵4=

*一2+同为偶数

【分析】（1）令〃=1求得4=1;当〃22时，由凡=S,「兀求解a”=〃，再检验《=1适合,

答案第5页，共14页

即可得解；

(2)采用分组求和的方式，分”为偶数和〃为奇数两个部分，结合等比数列求和公式和并

项求和思想分别求和.

【详解】(1)因为数列｛q｝的前〃项和S,广厂也，〃wN'，所以4=；+：=1；

222

当〃之2时，4=Sa_S“T=g〃2+g〃_=〃，

又q=l适合上式，所以巩=〃；

(2)2=2"+(-1)”〃，

所以数列低｝的前〃项和北=(2+2、23+…+2”)+[-1+2-3+41)”.〃[

当〃为偶数时，(=£^|1)+(_1+2)+(—3+4)++[_(〃-1)+〃]=2"7—2+3,

22

当〃为奇数时,Tn=^-)+(-1+2)+(-3+4)++[-(〃-2)+(〃-1)]一〃

=2"J2+七L〃=2"i-2-空，2句-上吵

222

2，川一生地,〃为奇数

综上，7；=2

2"“-2+々〃为偶数

16.⑴证明见解析：an=2"-\

(2)S,,=2"+i+\，-2

【分析】(I)根据题意结合等比数列定义可证2用=2,可得｛q+1｝是首项为2,公比为

n

2的等比数列，利用等比数列通项公式代入运算；(2)因为％=2"+〃，利用分组求和结合

等差、等比数列求和公式整理运算.

【详解】(1)由题意可得：％+1=2/0

...a用+124+1+12(0+1)=2

•凡+1q+1应+1

所以｛q+1｝是首项为2,公比为2的等比数列

则/+1=2",即4=2”一1

答案第6页，共14页

因此｛4｝的通项公式为%=2"-1

(2)由(1)知%=2"-1,令"=巴+〃+1则"=2"+行

所以S.=4+&+…+2=(2，1)+(22+2)+...+(2”+〃).

=(〉+22+...+2")+(1+2+...+〃)

2(1-2")〃”〃)

—+

1-22

=2%」——L一2.

2

综上S”=2"+i+〃0+")-2

17.(1)/=乂里

n

⑵*罕一号

2〃+1

【分析】(1)根据卬+2々+3%+…+〃/=/+2〃，即可得到

2

q+2a2+3%+=(«-1)+2(«-1)(,7>2),两式作差即可得解;

1

⑵依题意可得,利用分组求和及裂项相消法求和即可;

M+1

【详解】(1)解：因为q+2%+36+…+=/+2〃，①

当〃之2时，4+2。2+3。3*1--F(〃-1)〃"_]=(〃-1—+2(〃-1).②

①-②得叫=2〃+1,所以%=手

当〃=1时，q=3,也满足上式,

匚2〃+1

所以q二-----

n

(2)解：因为

71+1n

a22.7+1,21~+1--

则”,=n+n+\——=------+n+\——=〃+1-----

n+\nW)n(n+\)nn+\

11111)n(n+3)n

则S“=2+3+,，+〃+1-I

223〃〃+1,2〃+1

18.(1)4=2〃-1

(2)证明见解析

答案第7页，共14页

【分析】(1)由底是4甘与审的等差中项,可得诋=，」+4r

，化简得

乙乙乙乙

4sLm+1)2,可得4sx=(%+l)2(〃N2),作差可得4「4T=2(〃N2),则可得｛《｝的

通项公式；

(2)由(I)得5,,=〃2,2=」一厂三+4+!--分组求7；,可得

7；.=4n+2--!—r--nJW7：,-4«=2--i-r—-^<2,即可得证.

【详解】(1)由题意，得2后=铝+铝，

即2底=a.+l,即4s,=(4+1)2①,

所以4sl=(%+1)?(〃之2)②，

①-②，得4%=«；+2a„-a；_,-2an_t,

即(4+%)3-%-2)=0.

又。”>0,所以=2(〃N2).

由凡是三与喈的等差中项，得当〃=1时，

2。=，+用3,解得％=1,

所以｛%｝是以I为首项，2为公差的等差数列，

故可=2〃-1.

(2)由(1)得S“二〃2,则

b=3^+色理」__二+4+„,

“〃-(〃+1厂〃(〃+l)n~(/7+1)"n〃+1

所以

44”=(1-卦悖-卦+[｝舟卜4"+(局+(出+，

,I,,1

=1-----7+4/z+1------

(〃+1)-〃+1

/C11

=4/1+2-------------,

(〃+1)~〃+1

答案第8页，共14页

«fW7；-4n=4,4.2-----4«=2--<2,

所以（一4〃<2.

1,n=1,

19.（1）4=《

2",n>2.

（2）证明见解析

【分析】（1）分类讨论〃=1和〃之2,利用作差法得。向=2%,从而根据等比数列定义求出

（2）若选择①利用裂项相消求和，若选择②利用错位相减求和，最后证明结论即可.

【详解】（1）工=-3①,

当〃=1时，a[=a2-3f,-.a2=4；当时，S“_[=a“一3②

①-②得，即-=2%

又.言…2,

・•・数列｛q｝是从第2项起的等比数列，即当〃之2时，％=生・2"2=2".

1,n=1,

2",n>2：

（2）若选择①:

2*2221

=2

+,B+,n+,rtn+,

k>i-l）k+i-2）（2"-l）（2-2）（2-l）（2-1）2”_|2-1r

-------+------------------+.♦+<2.

22-122-!23-12”-12

〃+1〃+2黑+短④,

若选择②%=崇，则7>京+*+•••4----------1---------r

rr+,2"】

I3111n+2^3n+2

③-④得W空=7+[>+寸+-----+

乙一2〃+12^-442”+2

FC〃+4-

r=2-尸<2・

20.⑴S.=2"-l

（3〃-1）4"+1

⑵（i）证明见详解；（五）

i-\9

答案第9页，共14页

【分析】（1）根据4=1和$2=%-1，可得关于公比4的方程，即可解得公比，再利用等比

数列前〃项和公式计算即可；

（2）（i）根据题意分析可知4=21也=〃+1,*=乂2*-1）,利用作差法证明即可；

卧-11__

（ii）根据题意结合等差数列求和公式可得=虻（31）4~3k-4）4力，再利用裂项

i=2"T9

相消法求解即可.

【详解】（1）设等比数列｛q｝的公比为9,q＞。,

因为q=1,S2=4-1,即q+生=%-1,

可得l+9=q2-l,整理得^-9-2=0,解得4=2或“=一】（舍去），

所以/=21，S=—=2rt-l.

n1-2

（2）（i）由（1）可知q=2"T,且"N*42,

当〃=%+i=2*24时，则卜二?＜2T—〃-1,即

〔〃一1-

可知4=2i，2=A+l,

+（%「七一1）2：=4+2M21—1）=可2人一1）,

可得2_/卬也=攵（2£_1）_仅+1）21=（攵_1）21_左之2（攵_1）_攵="220,

当且仅当％=2时，等号成立，

所以加2%也；

（ii）由⑴可知:S“=2"-l=a川—1,

若〃=1,则s1=i，4=i；

若〃22,则%「％=2、

当21＜区2*-1时，bf=2k,可知他｝为等差数列，

可得£4=h21-'+2k2Q=k-4i='[（3攵-1）4上一（3女-4）4^'],

方，29

答案第10页，共14页

t

所以力,=1+±[5x42-2X4+8X43-5X42+...+（3〃-1）4"-（3〃-4）4"，]

1=19

（3/?-l）4n+l

=11，

9

且〃=1,符合上式，综上所述：%=』〃T)4"+1

r=l9

【点睛】关键点点睛：(l)分析可知当21＜浮2人-1时，bf=2k,可知他｝为等差数

列;

根据等差数列求和分析可得£[⑶-1)4*-(3"4)4J].

沁N9

21734u+4n4

21.-----X------------F—+—x

16329（39<4

【分析】依题可知，各等边二角形的面积成等比数列，公比为:，首项为打，即可求出名以

及5”，再根据分组求和法以及错位相减法求出.

1-1

【详解】依题可知，各等边三角形的面积形成等比数列，公比为:，首项为所以

1Y

[⑷1_46门丫]MDv2/

1——，即S3=F~；

I--*"―⑷\16

4

■喏用制卜竽住噫州哈等1设

+〃x

14

、3

1^0+ix（lp2x（l+作差得:

）

所以7=3所

以

4G+4（n4、1

-----X---------------r---1---X

f=l329139J<4

答案第11页，共14页

故答案为：生叵;

16

22.⑴4=4(-3尸

⑵4=⑵1)3+1

【分析】（1）利用退位法可求｛q｝的通项公式.

（2）利用错位相减法可求

【详解】（1）当〃=1时，4sl=4q=3q+4,解得q=4.

当〃22时，4sl=3%+4,所以4S”-4sl=4。”=3%-3%即％=-3>“_1，

而4=4工0,故《尸0,故上2-=-3,

an-\

/.数列｛%｝足以4为首项，-3为公比的等比数列，

所以4=4・(一3广1

(2)"=(-1尸•〃・4•(-3严=4〃­3"-',

02n-,

所以(=4+4+仇++bn=4-3+8-3'+12-3+--+4n-3

故37；=48+8・32+12・33+-+4〃・3"

所以-27；=4+43+402+..+4・3”7-4小3”

=4+4/0_3')_4，［-3“=4+2-3・(3"7_1)_473”

1-3

=(2-4〃)・3"-2,

7；=⑵一＞3"+1.

23.（1）%=〃

（2）证明见解析

【分析】（1）根据给定的递推公式，结合前〃项和与第”项的关系变形，再次变形可得

。向一。=1即可求出通项公式.

（2）由（1）的结论求出/一并利用基本不等式放缩裂项求和，再利用基本不等式放缩,

“J

答案第12页，共14页

作差比较得证.

【详解】(1)数列｛4｝中，巴＞。，当〃=1时，解得4=1,

=(%+/+'+%+%】成一(6+4++4f,则”3=2(%+%++%)+a“…

当〃22时，a：=2(%+/++〃,』)+《，两式相减得4；I-a；=a”+i+%,即。,用一。“=1,

所以数列｛q｝是首项为1，公差为I的等差数列，通项公式为4二〃

(2)由(I)知，<=(>团(%+f=(i；2〃+I),q产〃〃+]),

---=-----------4--------->-------1-6-----=---1-6------1-6-,当且仅当2=(时取等号,

bncn义(1一2)(2〃+1)(2〃+2)(2〃+1)(2〃+2)2n+12〃+2

因此c*T+(M)++(11

)1

2〃+12〃+2

⑹岸+L+-2(岸++I

)1

3452〃+12〃+2462〃+2

11、、儿I1+一,倒序相加得

=16(--------1--------一“设"--+一-+

〃+2〃+32〃+22〃+2〃+3

11111

2乙=(--------1----------、-------1---------)+