因式分解（期中复习讲义）-湘教版八年级数学上学期

专题01因式分解（期中复习讲义）

.明•期中考情.

核心考点复习目标考情规律

1.因式分解的能准确判断因式分解的变形过程，辨析与易错点：混淆因式分解与整式乘法的逆运算

概念与意义整式乘法的区别（辨析能力）关系（如将Q+2）。一3）当作分解结果）

能快速找出多项式各项的公因式，并正确高频考点：含负号、系数为分数时的漏提错

2.提公因式法

提取（操作能力）误（如一2%2+4%提一2%）

3.公式法（平方能根据多项式特征选择合适公式分解，并命题趋势：结合几何图形面积验证因式分解

差、完全平方）验证结果（选择与验证能力）的正确性（跨学科题型）

能对四项及以上多项式合理分组，综合运易错点：分组后未继续分解到底（如。2一

4.分组分解法

用提公因式和公式法（综合应用能力）/+2Q-2b未继续用平方差公式）

■记•必备知识.

知识点01因式分解的概念

一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式.

•示例:x?-4=（x+2）（x—2）是因式分解,而（x+1）2=X?+2x+1不是。

•易错点：忽略“乘积形式”要求，误将展开当作分解。

知识点02提公因式法

一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外

面，这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法

示例：6xy2-9x2y=3xy（2y-3x）（系数取最大公约数，字母取最低次幕）。

易错点：漏提“1”或负号（如一x?+x=-x（x-1））。

知识点03提公因式法

杷乘法公式从右到左使用，就可以杷某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法.

2222

示例：16x-9y=（4x+3y）（4x-3y）；x+6x+9=（x+3）O

易错点：误用公式（如将/+4分解为Q+2）2）。

■破•重难题型.

0题型一因式分解的概念

解I题|技|巧

判断标准：确认变形是否为“乘积形式”，且每个因式必须是多项式(如单项式X多项式不算分解)。

逆向验证：将分解结果展开，若与原式一致则正确。

易I错I点I拨

混淆变形：误将整式乘法(如(x+2)(xl)=x2+x2)当作因式分解。

分解不彻底：如x49=(x2+3)(x23)未继续分解到(x2+3)(x+g)(xV5)(实数范围内)。

【典例1】(2324八年级下•四川成都•期中)下列等式从左到右的变形，是因式分解的是()

A.3xy(2x-3)=6x2y-9xyB.15x2y=Sx2-3y

C.x2-2xy+y2-1=(x-y)2-1D.x2-y2=(x+y)(x-y)

【答案】D

【分析】根据因式分解的定义，逐一分析每个选项从左到右的变形是否将多项式化为儿个整式根的形式.本

题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键.

【详解】解：A、等式的右边不是多项式的乘积的形式，不是因式分解，此项不符合题意；

B、等式的右边不是多项式的乘积的形式，不是因式分解，此项不符合题意；

C、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解，此项不符合题意；

D、等式的右边是乘积的形式，且左右两边相等，是因式分解，此项符合题意.

故选：D.

【变式1】(2324七年级下•江苏徐州•期中)下列从左到右的变形是因式分解的是()

A.Sa2b4=2ab2-4ab2B.(a+h)(a—b)=a2—b2

C.x2-2x+1=(x-I)2D.a2-2a-3=a(a-2)-3

【答案】C

【分析】本题考查了因式分解的定义，这类问题的关键在于是否正确应用因式分解的定义来判断.根据因

式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断即可.

【详解】解：A、8a2b4=2Qb2.4ab2不是因式分解，不符合题意；

B、(a+b)(a-b)=a2—62是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；

C.X2-2X+1=(X-1)2是因式分解，符合题意；

D、。2一2。一3二。(。-2)-3没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意;

故选:C.

【变式2】(2425七年级上•上海期中)下列各式从左到右是因式分解的是()

A.a2+3a-2=a(a+3)-2B.(a+b)(a—b)=a2—b2

C.x2-2x-1=x(x-2-D.x2—2x-3=(x-3)(x+1)

【答案】D

【分析】本题考查因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此判断即

可.

【详解】解：A.a2+3a-2=a(a+3)-2,等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；

B.(a+6)(a—b)=a2—b2是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；

(：戊2一2%-1=%(%-2-3右边含分式，不是因式分解，不符合题意；

D.x2-2x-3=(x-3)(x+1)是因式分解，符合题意；

故选：D.

【变式3】(2425八年级上•山东淄博•期中)下列从左到右的等式变形中，属于因式分解的是()

A.(%+1)(%—1)=%2—1B.ma+mb=m\a+b)

C.(x+y)2=x2+2xy+y2D.ax2++c=x(ax+b)+c

【答案】B

【分析】本题考查了因式分解的判定，理解定义是关键.

因式分解的定义：把•个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解(也叫作分解因

式).

【详解】解：A.(x+l)(x-l)=x2-l,等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；

B、ma+mb=m(a+b),等号右边是积的形式，符合定义，符合题意；

C、a+y)2=/+2xy+y2,等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；

D、ax2+bx+c=x(ax4-b)+c,等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；

故选：B.

0题型二提公因式法的综合应用

解|题|技|巧

【分析】本题考查了因式分解的应用，整体思想求代数式的值等知识，正确分解因式是解题的关键；提取

公因式得(2x-y)2(x+2y),再整体代入即可求解.

【详解】解：(2x-y)3-(2x-y)2(x-3y)

=(2x-y)2(2x-y-x+3y)

=(2z-y)2(x+2y),

以、)，满足方程组产7=12，

X+2y=11,

(3原式=122x11=1584.

Q题型三公式法的应用

易I错I点I拨

用公式：如x2+y2错误分解为(x+y)2(忽略2xy项)。

【典例1】(2526八年级上•全国•期中)在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是()

A.a24-b2B.4m2-16mC.-4x2—y2D.—x2+16

【答案】D

【分析】本题主要考查了因式分解，平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式.

利用平方差公式逐项进行判断即可.

【详解】解：A.不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；

B.不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；

C.不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；

D.-x2+16=16-X2=(4+x)(4-x),符合平方差公式的特征，能用平方差公式分解因式，故此选项符

合题意.

故选：D.

【变式1】(2223八年级上•四川广安•期中)因式分解：

(l)x2y-9y；

(2)2/+8%+8.

【答案】(1)丫(％+3)(%-3)

(2)20+2)2

【分析】本题考查门大I式分解,熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解此题的关键.

(1)先提取公因式y,再利用平方差公式计算即可得解；

(2)先提取公因式2,再利用完全平方公式计算即可得解.

【详解】(1)解：x2y-9y=y(x2-9)=y(x+3)(x-3)；

(2)解：2/+8%+8=2(%2+4X+4)=2(%+2)2.

【变式2](2526八年级上•全国•期中)分解因式：

(l)4x4+4x3+无2；

(2)(a+d)(a-b)+4(b-l).

【答案】(1)/(2%+1)2；

(2)((z+b—2)(a—b+2).

【分析】本题考查了因式分解，熟知各因式分解技巧是解题的关键.

(1)先提公因式，再用公式法因式分解即可；

(2)先去括号,再利用分组分解法即可解答.

【详解】(1)解：原式二%2(4无2+4x+1)=%2(2%+1)2；

(2)解：原式=a2—b2+4b—4=a2—(b2—4b4-4)=a2—(b—2)2=(a+b—2)(a—b+2).

【变式3](2425七年级上•上海•期中)因式分解:4(x+2y)2-25(x-y)2.

【答案】3(7x-y)(3y-x))

【分析】本题可将4a+2y产与251x-y)?分别看作[2(X4-2y)f与[5(%-/猿，这样就符合平方差公式十一

b2=(a+b)(a-b)的形式，然后对式子进行因式分解，最后再对分解后的式子进行化简.本题主要考查了

平方差公式以及整式的运算，熟练掌握平方差公式十一//=①+①①一匕)，并能准确识别式子中对应的Q

与b,以及整式的加减运算法则是解题的关键.

【详解】解：4a+2y)2-25(x-y)2

=[2(x+2y)]2-[5(x-y)]2

=[2(%+2y)+5(%-y)][2(x+2y)-5(x-y)]

=(2x+4y+5x-5y)(2x+4y-5x+5y)

=(7x-y)(9y-3x)

=3(7x-y)(3y-x)).

■过•分层验收.

期中基础通关练(测试时间：10分钟)

1.下列从左到右的变形，属于因式分解的是()

A.(a+b)(a—b)=a2—b2B.ab+ac+d=a(b4-c)+d

C.a2+2ab+/J2=(a+d)2D.12ab2=3a-4b

【答案】C

【分析】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式

乘法的区别.根据因式分解的定义逐一判断可得答案.

【详解】解：A.9+6)9-切二。2一/?2是整式乘法，不属于因式分解，不合题意；

B.ab+ac+d=a(b+c)+d,等号右侧没有写成几个整式积的形式，不属于因式分解，不合题意：

C.a2+2ab+h2=(a+h)2,属于因式分解，符合题意；

D.12ab2工3Q-4山等号左侧不是多项式，不属于因式分解，不合题意；

故选C.

2.把多项式m+m2%因式分解，应提取的公因式是()

A.mB.mxC.xD.m2x

【答案】A

【分析】本题考查公因式的确定方法，根据公因式确定的方法：“①系数：取各项系数的最大公约数；②

字母：取各项都含有的相同的字母；③指数：取各项相同字母的最低次累〃进行求解即可.

【详解】解：m4-m2x=m(l+mx),

则把多项式rn+m2》因式分解，应提取的公因式是m.

故选：A.

3.分解因式：6x2+9x=.

【答案】3x(2x+3)/3x(3+2x)

【分析】本题主要考查因式分解的基本方法:提公因式法的应用能力.关键观察多项式各项的系数和变量部

分，找到公共的因式进行提取.

【详解】解：在多项式6/+9%中，公因式是3匕

将公因式提取出来:6/+3%=2居9%+3%=3,

所以6/4-9%=3x(2%+3).

故答案为：3x(2%+3).

4.因式分解：a3-6a2+9Q=.

【答案】a(a-3)z

【分析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式.注意提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，

注意分解要彻底.先提取公因式a,再根据完全平方公式进行二次分解.

【详解】解:原式二Q(Q2—6Q+9)

=a(a—3产，

故答案为：a(a-3)2.

5.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？

(l)4a(a+2b)=4a2+8ab；

(2)a2—4=(a+2)(a—2)；

(3)x2—3%+2=x(x-3)+2.

【答案】(1)不是因式分解；不是整式乘积的形式

(2)是因式分解；是两个整式乘积的形式

⑶不是因式分解；不是整式乘积的形式

【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式表示为几个整式的积的形式；熟悉因式分解的定义是

关键；

(1)根据因式分解的定义判断即可；

(2)根据因式分解的定义判断即可；

(3)根据因式分解的定义判断即可；

【详解】(1)解：4a(Q+2b)=4a2+8ab,左边是整式的乘积形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不

是因式分解；

(2)解：az-4=(a+2)(a-2),左边是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解；

(3)解：X2-3X+2=X(X-3)+2,右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解.

6.已知多项式/++b因式分解的结果为(X+3)(%-4),求。，〃的值.

【答案】Q=-1,b=-12

【分析】本题主要考查因式分解的定义以及多项式乘多项式；

把a+3)(%-4)展开后的多项式多项系数与/+ax+b的各项系数进行对比，即可得到答案.

【详解】解：因为(％+3)(x—4)=/一4%+3x-12=一一%一12,多项式/++匕因式分解的结果

为Q+3)(%-4),

2

所以/+ax+b=x-x-12t

所以Q=—1,b=-12.

7.若对于“满足关系式：x2+2x-2=0,求代数式/+3/-8的值.

【答案】-6

【分析】本题考查了提公因式分解因式，代数式求值，根据题意先求出"+2%=2的值，再将/+3X2-8

变形为x(无2+2%)+/_8,再整体代入求值即可.

【详解】解：­：x2+2x-2=0,

•••x24-2x=2,

0x3+3/-8

=x3+2x2+x2-8

=x(x2+2%)+x2-8

=2x-I-x2-8

=2-8

=-6»

二原式的值为-6.

8.因式分解：

(l)x2-20212；

(2)2m(a—b)—3n(b—a).

【答案】⑴(％+2021)(%-2021)；

(2)(a—b)(2?n+3n)

【分析】(1)/—20212符合十一川的形式，可以利用平方差公式进行因式分解.

(2)先将代数式变形，使每一项都含有(a-6)或(b-a)的形式，然后提取公因式即可.

本题主要考查了因式分解的技巧，包括平方差公式和提取公因式的方法.熟练掌握平方差公式小-炉=

(«十b)(u-b)以及提取公因式的方法是解题的关键.

【详解】(1)解：x2-20212

=(x+2021)(%-2021)；

(2)解：2m(a—b)—3n(b—a)

=2m(a-b)+3n(a-b)

=(a-b)(2m+3n).

期中重难突破练（测试时间：10分钟）

1.32015+5除以32012一1,所得的余数是（）

A.313-1B.311-1C.32D.8

【答案】C

【分析】本题考查了因式分解的应用和同底数幕的乘法，先将32315+5转化为33x32012-33+32,然后分

子再提公因式，最后相除即可求出结果.

33x32012-33+32

二32012_i

33（32012一I）+32

=32。"-1

=27-32,

二32015+5除以32°12_1,所得的余数星32.

故选：C.

2.多项式4/y-M可分解因式为4xy（/一y2+Q》），那么M等于（）

A.-4xy3+4abxyB.-4xy3-4abxyC.4xy3+4abxyD.4xy3-4abxy

【答案】D

【分析】本题考查了因式分解提公因式法，利用单项式乘以多项式，进行计算即可解答.

【详解】解：由题意得：

4x-y-M=4xy（x2—y2+ah'）

=4x3y—4xy3+4xyab

=4%3y—（4xy3—4xyab）

（3M为：4xy3-4xyab,

故选：D.

3.若多项式4——axy+y2可用完全平方公式进行囚式分解，则。的值为（）.

A.4B.-4C.2D.±4

【答案】D

【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题关键.根据完全平方公式可得4%2一Qxy+y2=

（2式±丫）2,则可得4/一0%、+）/2=4/±4'丫+'2,比较等式两边各项的系数即可得.

【洋解】解：团多项式4/一依y+y2可用完全平方公式进行因式分解，

04A2—axy+y2=（2x±y）z,

04>,2—axy+y2=4x2±4xy+y2,

0-a=±4,

故选：D.

4.已知ab=-2,Q+b=4,则砂力+。/)2的值为

【答案】-8

【分析】本题主要考查了因式分解，已知式子的值，求代数式的值，利用提公因式法分解因式+

然后再代入时=-2,Q+b=4进行计算即可.

【详解】解：Tab=-2,a+b=4,

:db+ab2

=ab(a+b)

=-2x4

=-8

故答案为：一8

5.若m=2"+l,n=4X+2X,用含m的代数式表示n,则九=.

【答案】m2-m

【分析】此题考查因式分解，由己知等式变形得乎=巾-1,再变形九=4》+2%=2«2%+1),即可得到

答案.

【详解】解：曲n=2'+l,

(32*=m-1,

=4X+2X

=(22y+2x

=0)2+2X

=2X(2X+1)

—nt(rn—1)

=n2—TH,

故答案为：m2-m.

6.【阅读与思考】用求差法比较大小

两个数量的大小可以通过它们的差来判断.

如果两个数”，〃比较大小，那么反过来也对，即

当时，一定有a-b>0：当a-b>0时，一定有a〉b：

当a=b时，一定有Q—匕=0：当Q—b=0时，一定有a=b：

当avb时，一定有。一匕<0.当Q-bvO时，一定有a<b.

因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小.

【探究与实践】

⑴请用作差法证明不等式的性质3:不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的力向改变.

如果a>匕，<?<0,那么ac<儿（或2V2）.

CC

（2）制作某产品有两种用料方案.

方案一：用4块A型钢板，8块8型钢板：

方案二：用3块人型钢板，9块月型钢板.

已知A型钢板的面积比B型钢板大，从省料角度考虑，应选哪种方案？

【答案】（1）证明见解析

⑵从省料角度考虑，应选方案二

【分析】本题考查了整式的加减运算，因式分解的含义，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键.

（1）先作差可得ac—bc=c（Q—b）,£—g=再结合条件进一步证明即可.

（2）设一块A型钢板的面积为X,一块8型钢板的面积为y,利用作差法进行比较，即可解答.

【详解】（1）解；Sac—be=c（a—b）,a>c<0»

Sa-b>0,c（a—b）VO,

Sac-be<0,

Bae<be；

…>0,^<0,

（2）解：设一块A型钢板的面积为x,一块B型钢板的面枳为y,

方案一所用钢板的面积为4x+By,

方案二所用钢板的面积为3x+9y,

•••4x+8y-(3x+9y)=x-y,

x>y,

国4K+8y—(3x4-9y)=x-y>0,

:.4%+8y>3x+9y,

•••从省料角度考虑，应选方案二.

7.整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.

下面是小明对多项式(/一3x+4)(x2-3x+6)+1进行因式分解的过程.

解：设/-3x=m.

原式=(m+4)(m+6)+1

=M+lOzn+25

=(m+5)2

=(X2-3X+5)2.

请你模仿以上方法尝试对多项式(Q2-4Q+2)(Q2-4Q+6)+4进行因式分解.

【答案】(a—2尸

【分析】本题考查了因式分解，设。2—4。二九，再结合多项式乘以多项式法则进行化简，最后再利用完全

平方公式分解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：设十一4a=几，

13原式=(n+2)(n+6)+4=n2+8n+124-4=n24-8?i4-16=(n4-4)2=(a2—4a+4)2=(a—2)4.

8.(2526八年级上•全国•期中)观察下列等式：

第1个等式：V2X3+1+2=3；

第2个等式：V3X4+2+2=4：

第3个等式：V4X5+3+2=_；

解决下列问题：

⑴请在横线上写出等号右边的数；

(2)请写出符合上述规律的第4个等式；

⑶请写出符合上述规律的第〃仞为正整数)个等式，并说明理由.

【答案】⑴5

⑵75x6+4+2=6

⑶，(几+1)(』+2)+>+2=n+2,见解析

【分析】本题考查了算术平方根的规律问题，多项式乘法及完全平方公式分解因式的应用，找到规律是关

键；

(1)直接计算即可；

(2)根据前3个式子找到规律，即可写出第4个等式；

(3)根据规律写出第〃个等式，利用多项式乘法展开，再用完全平方公式分解因式即可.

【详解】(1)解：V4x5+3+2=V25=5,

故答案为：5；

(2)解：第4个等式：V5X6+4+2=6；

(3)解：J(n+1)(九十2)十n+2=n+2.

理由如下：

0(n+l)(n4-2)4-n+2=n2+3n4-2+n+2=n2+4n+4=(n+2)2,n+2>0»

0y(n+1)(九+2)+ri+2=n+2.

期中综合拓展练(测试时间：15分钟)

1.已知％2+3X+1=0,M2X44-5X3+2X+5=.

【答案】4

【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，解题的关键是将原式通过提取公因式构建出(7+3%).先

将己知变形为/+3x=-1,然后将原式通过提取公因式构建出(7+3x),进行代入计算即口;得到答案.

【详解】解：团/+3%+1=0,

0x2+3x=-1,

02>-4+5x3+2无+5

=2x4+6%3-%3+2%+5

=2x2(x2+3%)-x3+2x+5

=-2x2-x3+2x+5

=(-x3-3x2)+x24-2x+5

=-x(x24-3x)+x2+2x+5

=x+x2+2x+5

=x2+3x+5

=-1+5

=4

故答案为：4.

2.若1+X+/+炉=0,贝|11+工+/+/+-+工2018+X2019的和为

【答案】0

【分析1本题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

先分组，再提取公因式，最后代入即可.

【详解】解：1+%+%2+%3+...+%2018+%2019

=(1+X+/+/)+(工4+支5++、7)+…+(/016+工2017+为2018+工2019)

=(1+X+X2+X3)+X4(l+X+X2+X3)+…+X2016(l+X+X2+X3)

=0+0+…+0

=0.

故答案为：0.

3.把2023表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法有种.

【答案】12

【分析】本题考查了因式分解及平方差公式，将2023化为两个整数相乘的形式是解题的关键；

设2023=。2一』2,则(Q+匕)6一匕)=2023,将2023化为两个整数相乘的形式，再分情况讨论,求出每

一种情况下的整数解，综合可得结果.

【详解】设2023=a2-32,

(a+b)(a-/>)=2023,

V2023=1x2023=7x289=17x119,

中册+匕=2023或(a+b=l或［a+b=-2023或！a+b=-1

Ia-b=lla—匕=2023Ia-b=-lla—b=-2023'

解得r=1012或(a=1012或I。=-1012或=-1012

11=1011lb=-1011=-1011b=1011

对于后两种分解・，每种同样可以求出4组整数解，

共有4x3=12种表示方法.

故答案为：12.

4.因式分解：a?"-c)+〃(c一0)+-b)=.

【答案】(a—b)(Q—c)(b—C)(Q+8+C)

【分析】本题主要考查因式分解，原式根据分组分解、公式法、提公因式法进行因式分解即可.

【详解】解：M(b—c)+b3(c—a)+c3(a—Z?)

=a3b-a3c+b3c-b3a+c3a—c3b

=(a3b-b3a)—(a3c—b3c)+(c3a-c3b)

2

=ab(a-〃)-c(cP-〃)+c3^a_匕)

=(a—b)[ab(a+Z?)—c(a2+ab+b2)+c3]

=(a—b)[b2(a—c)—c(a2—c2)+ab(a—c)]

=(a—b)(a—c)[b2—c(a+c)+ab]

=(a-b)(Q—c)[(b2—c2)+a(b—c)]

=(a—b)(a—c)(b—c)(a+b+c).

故答案为:(Q—b)(Q—c)(b—c)(a+力+c).

5.阅读材料1：若一个正整数x能表示成。2一/(a、〃是正整数，且Q>b)的形式，则称这个数为“风月

同天数〃，。与力是x的一个平方差分解.例如：因为5=32—22,所以5是“风月同天数〃，5=32—22叫

做5的平方差分解.

阅读材料2：如果•个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自

然数叫做“投动数”.例如：自然数从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以是“投动数”；再如：656,

9898,37373,,…,都是"摆动数”.

⑴在7和2中是“风月同天数〃的是」

(2)已知M=/一+10%一8、+攵a、是正整数，2是常数，且x+1>y),要使M是“风月同天数”，

试求出符合条件的一个匕并说明理由；

⑶对于一个三位数N,N的十位数字是9,个位数字与百位数字相等且小于或等于2,N既是"摆动数"又是“风

月同天数”，请求出N的所有平方差分解.

【答案】⑴7

{2}k=9

⑶962-952或742_722

【分析】本题考查了平方差公式的应用，完全平方公式的应用，因式分解的应用，二元一次方程组的解法，

体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解.

(1)根据风月同天数的定义进行判断.

(2)由题意可得M=%2_y2+i0x-8y+k=a+5)2_(y+4)2+k—9,结合概念可得上—9=0,进

一步可得答案.

(3)根据题意得：2=191或2=292,然后分情况分别计算即可.

【详解】(1)解.：7是风月同天数，2不是风月同天数，理由如下：

设7=小_炉，小〃均为正整数，且。>从

所以Q+力>Q-匕，

则3+匕)(Q—匕)=7=7x1,

(3a+b=7,a-b=1,

解得Q=4,b=3,

则7=42—32,即7是风月同天数；

设2=。2一乂，小〃均为正整数，且Q>b,

所以a+b>Q—匕，

则(Q+b)(Q—b)=2=2x1,

(3a+b=2,a—b=1,

解得a=p匕=}

因为a,8的值不是正整数，所以2不是“风月同天数〃；

(2)解：0M=x2-y2+10x-8y+k

=x2+10%4-25-(y2+8y+16)+k—9

=(x+5)2-(y+4尸+k—9,

团M是“风月同天数〃，

就-9二0,

解得：k=9.

(3)解：根据题意得：乂=191或2=292,

当川=191.时，设可=。2-〃，a,。均为正整数，且a>b,

所以a+b>a-b,

则(a+b)(a-