体积与表面积（文理）-高考数学一轮复习专练解析版

考点7-3体积与表面积

侔练基础J//

1.（2023・全国•高三专题练习）已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图是一个圆心角为120。的扇形，则该

圆锥的表面积为（）

A.24B.3%C.4%D.5/r

【答案】C

【分析】

先求出母线长，再由圆锥的表面积公式求解即可.

【详解】

设圆锥的母线长为/，则/•整=2乃，解得/=3,则该圆锥的表面积为4x3xl+;rxl2=44.

故选：C.

2.（2022•全国•高考真题）已知正三楼台的高为1,卜.、下底面山长分别为3百和46,其顶点都在同一球

面上，则该球的表面积为（）

A.IOOTIB.I28nC.144兀D.192兀

【答案】A

【分析】

根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，i，4,再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关

系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【详解】

设正三棱台上下底面所在圆面的半径小弓，所以24=*-,2八即彳=3,弓=4,设球心到上下底

sin60*sin60

面的距离分别为4M，球的半径为R,所以4=斤%，4=7^二而，故|4-刈=1或4+dz=i,即

JRi-V/?2-16|=1或疹与+病二记=1，解得六=25符合题意，所以球的表面枳为S=4兀R?=1oo兀.

故选:A.

3.（2022.仝国•高三专题练习）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒

盖，可放小球的最大半径为若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为。，则匚=（)

A.与B.1C.2-V2D.g（0T）

【答案】D

【分析】

画出截面图，设储物盒所在球的半径为从而利用R表达出小球最大半径「和正方体棱长”，进而求出比

值.

【详解】

设储物盒所在球的半径为R，如图，

2

小球最大半径，•满足（女+山=~所以=

正方体的最大棱长”满足（、&）2+（J=R2,解得：a=^R.

.E=乌二1=2（夜_］）

**a221），故达：D.

3

4.（2022•江西•模拟预测（文））如图，在校长为2的正方体A8C。-AgG〃中，E是侧面内的一个

动点，则三棱锥。-AER的体积为.

【答案】|4

【分析】

根据三棱锥的体积公式可求出结果.

【详解】

点E到平面4。。的距离为2,

1114

所以%ex乂-cmry=4&.A勺M=T^。Dn-C2=-x-x2x。2x2=-.

4

故答案为：—.

5.（2022・辽宁•二模）市面上出现某种如图所示的冰激凌，它的下方可以看作一个圆台，上方可以看作一

个圆锥，对该组合体进行测量，圆台下底面半径为4cm，上底面半径为2cm，高为6cm,上方的圆锥高为8cm,

则此冰激凌的体积为end.

【分析】

先计算圆台的体积，再计算圆锥的体积，二者相加即可.

【详解】圆台的体积方=,〃X6X（42+2x4+22）=564,圆锥的体积笃=,入22凡"区8=%",

333

总体积为7=工+《=半，故答案为：华

JJ

2堆练能力

6.12022・天津・高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直

三棱柱的底面是顶角为120。，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）

5M

A.75B.25/2C.M

~7~

【答案】c

【分析】

设母线长为/,甲圆锥底面半径为小乙圆锥底面圆半径为弓，根据圆锥的侧面积公式可得4=2弓，再结合

圆心角之和可将小弓分别用/表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体枳公式即可得解.

【详解】

解：设母线长为/,甲I员1锥底面半径为小乙圆锥底面圆半径为4,

则也_=g='=2,所以4二2弓，又华■+华i=2万，贝ij与上=1,所以钎;"=：/

3乙乃曰4III33

所以甲圆锥的高,=j/2-\/2=9/,乙圆锥的岛飞=

8.（2022•全国•高考真题）己知正四楂锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36乃，且

3</<373>则该正四楂锥体积的取值范围是（）

【答案】C

【分析】

设正四棱锥的高为〃，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积

的取值范围.

【详解】

,/球的体积为36期，所以球的半径R=3,

22

设正四棱锥的底面边长为2a,高为力，则『=2々2+〃2,32=2/+（3-人尸,所以6〃=广，2a=P-h

所以正四棱锥的体积V=W1a=Iqx4/x/?=2wX（/2一/4天）XI丁2二\二（八一I6\，所以

3333669136J

9（6）9[6）

当3«”2卡时,r>0,当2#</K3石时,V'<0,

所以当/=2后时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为"，又/=3时，V==,/=3。时，V=2,

344

77「2764-

所以正四棱锥的体枳V的最小值为今，所以该正四棱锥体积的取值范围是—•故选：C.

4143」

9.（2022•全国•高三专题练习）在三棱锥P八8c中，,垂直底面八8。，AP=6,旧，若三棱锥的

3

内切球半径为则此三棱锥的侧面积为.

【答案】3旧

【分析】

设三棱锥内切球圆心为。,以。为顶点将三棱锥P-A4C分为四个小三棱锥，通过三棱锥体积不变即可求

出三棱锥的表面积进而可求得三棱锥的侧面积.

【详解】

设三棱锥内切球圆心为。，以。为项点将三棱锥P-A8C分为四个小三棱锥，则三棱锥P-AEC的体积

13|313I313

vz=TxTx5%c+.xjxS月„,+a乂弓乂5/取.+,*5乂5人成.=4乂不）＜5总

PA垂直底面ABC,

••・三棱锥P-ABC的体积V=gxS,AiPA=2布,则通过三棱锥体积不变可知S总=4#,

s=ss

-m&~ABC=4A/5-V5=3A/5.

故答案为：34.

10.（2022・全国•高三专题练习）中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其

体积所用的“事势即同，则积不容异'’是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体积

等于与其同底等高的止四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图1所示）.现

将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部

分为如图2所示的几何体，该几何体中间截面三角形边长为半，则该几何体的体积为

【分析】

由趣设求出中间截面三角形的面积，再类比体积公式求解即可

【详解】

根据题意，图2立体图形的一半，其体积等于与其同底等高的正三棱柱中，去掉一个与其同底等高正三棱

锥之后的体积，

因为该几何体中间截面三角形边长为递，

3

所以该底面积S=1.迪.迪sin60=峋叵，

2333

因为圆柱的直径为4,所以该几何体一半的高为2,

所以对应正三棱柱及三棱锥的高均为2,

所以对应正三棱柱的体积丫=吧巫＞2=也3,

33

正三棱锥的体积V；」XMX2=",

,339

所以该几何体的体积为2(1/-乂)=超普.

故答案为：经正

9

练素养fff

11.(2022•浙江•三模)在四棱锥尸一A4A4中,尸耳=为%此w(0,l),i=l,2,3,4.记三棱锥

p-A4A，p-B避【员的体积分别为匕匕，四棱锥尸-444人,0-8内避.乃4的体积分别为

V^V4,A=X}X2X^JU=AX4,则()

A.四〈匕B.犯〉匕C.〃匕＜匕D.〃匕,匕

【答案】C

【分析】

V鼻S因8,.为

由K=V什M，匕=匕i叫见得寸——;—=2即可判断A,B选项；设三棱锥P—AAA，P一m也的体

1qS

y[SPBB^'h4

积分别为吟匕，同理得才--------=中1＞〃，则匕=匕+嚎匕=匕+匕＞〃匕+〃匕=〃匕即可判断0

D选项.

【详解】

PB.PB,PB、PB.

由题意知：3=%，寸=占，6:=七，江-=%,设4,用到平面处A2的距图分别为4,4，易得

F/4jr./1->F/I，F1

h、PB.

—=——-=x,,

4成

则K=匕«-&&仆=匕=QS小小"I，K=%_四%%=v%叫%=QS股处,^2♦

JJ

C-PB.PB^sinZA.PA,

•/也怯_2_________________-rr

《一]一七”2，

3…5PAp4.sin幺PA]

•4

则巴v=—|sPBR

—=XXX-^=2,叩K=%K，则A,B错误;

K%}2

%

3

设三棱锥夕-444，2-8避/4的体积分别为匕，匕，设A，用到平面PA4的距离分别为/%九，易得

%

则V=匕=匕、"AA,=QS.%A»也M=匕1-4员a=V%_PB\B」=.PB岛,儿，

5JJ

Sj”；P/P%sin/A时

q]

，外为APA.•PA,sinN&P&

VQS.%/也y々S明场也

则，---------=芭七七＞芭"/4=〃，即匕＞〃匕，又言="5------------=印了3=九＞〃，即匕＞〃K，

/―s-h**-S-h

3JP&4»〃3C°/*A&i

又匕=h+匕,匕=匕+匕>〃K+〃^i=〃匕，则C正确，D错误.

故选：c.

12.（2023・全国•高三专题练习）已知球。的体积为学，高为1的圆锥内接于球O,经过圆锥顶点的平

面a截球。和圆锥所得的截面面积分别为E，52,若&=辞，则S?二（）

8

A.2B.>/5C.x/6D.2>/2

【答案】C

【分析】

根据给定条件，求出球。半径，平面。截球。所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再求出平面a截圆锥

所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答.

【详解】

球。半径为凡由?岁得R=：,平面。截球0所得截面小圆半径小由S=兀/=等得（二2，

362825/2

因此，球心。到平面a的距离d=J/??一片=/=4,而球心。在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面。所成

的角为45，

因圆锥的高为I,则球心。到圆锥底面圆的距离为4=],于是得圆锥底面圆半径

r=jR、d；=M）S=2,

令平面a截圆锥所得截面为等腰△PA8,线段A8为圆锥底面圆Q的弦，点C为弦43中点，如图，

依题意，NCPQ=45,CQ=Pa=1,PC=42,弦A3=2j<-*2=2。

所以・尸C=〃.

•2

故选：C

13.（2022.全国•高三专题练习（理））已知某正四棱锥的体积是也，该儿何体的表面积最小值是我

3

们在绘画该表面积最小的几何体的直观图时所画的底面积大小是邑，则5和邑的值分别是（）

A.3；叵B.4；；C.4；旦D.3；。

4242

【答案】C

【分析】

设该正四棱锥底面边长为/,高为力，由体积得到=①，再算出侧面积和底面积，进而得到该四棱锥

33

的表面积，然后通过基本不等式求得答案.

【详解】

如图，。为底面43C。的中心，E为4C的中点，连接PO,

设该正四棱锥底面边长为/，高为力，且入。＞0,由题意，L/h=^nt2h=4i.

33

易有，PE=/PO。+O炉=/2+：,则S=，

所以，£=21肥+4+/,将人=更代入并化简得：Si=2、S，

1V4t2'V/24

牙口°与fiiiiiiii7

丫4厂4厂4r4厂4厂4厂4厂4厂4

=f+1+肃+/“d,.涓.涓/=4

1r

当旦仅当《4/24—1_］时，取〃=，，

易知，此时底面ABCD直观图的面积S2=1xJxsin45。）=¥.

故选：C.

14.（2022•江西•新余市第一中学模拟预测（理））以A8C为底的两个正三棱锥尸-A8c和ABC内接于

同一个球，并且正三棱锥尸-A8C的侧面与底面ABC所成的角为45。，记正三楂锥P-ABC和正三楂锥

Q-ABC的体枳分别为匕和匕，则》=

V2

【答案】T##0.25

4

【分析】

作图后由二面角的定义与勾股定理，列方程求出正三棱锥高与球的半径之比，再得两个三棱锥的高之比

【详解】

如图，

正三棱锥P-ABC和正三棱锥Q-ABC内接于同一•个球，

设P到底面ABC的距离为九，。到底面A8C的距离为生,

匕It

则音=:，取A4的中点例，连接PM,CM,PQ,记PQ与平面A8C的交点为R,

由两个正三棱锥P-4BC和Q-A8C内接于同一个球，故尸Q一定为球。的直径，

记其中点为0,且由题意可知，R为正三角形48c的中心，

因此，PR,QR分别为止三棱锥P-A8c和正三棱锥。-ABC的高％,%,

由P4=P8，QA=QB,C4=C8，且例为AB的中点，可得/W_LA8,QMJMB,CMLAB,

则4WR为正