双曲线及其标准方程（讲义）-人教A版高中数学选择性必修第一册（解析版）

专题3.4双曲线及其标准方程（举一反三讲义）

【人教A版】

题型归纳

【题型I双曲线的定义及辨析】..................................................................1

【邈型2曲线方程与双曲线】....................................................................3

【题型3双曲线的标准方程的求解】.............................................................5

【题型4根据双曲线方程求〃、b、c}..............................................................................................................8

【邈型5求双曲线的轨迹方程】.................................................................9

【题型6双曲线中焦点三角形问题】............................................................11

【题型7利用双曲线定义求点到焦点的距离最值】................................................14

【题型8双曲线中线段和、差的最值问题】......................................................16

举一反三

知识点1双曲线的定义

1.双曲线的定义

双曲线的定义：平面内与两个定点E,自的距离的差的钮值等于非零常数（小于IEBI）的点的轨迹叫作双

曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.

【题型1双曲线的定义及辨析】

[例1]（24-25高二上・云南・曲靖•期末）双曲线＞2一。二1上一点P到它的一个焦点的距离为4,那么点P到

16

另一个焦点的距离为（）

A.2B.6C.2或6D.4

【答案】B

【解题思路】根据双曲线的定义求出点P到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值.

【解答过程】双曲线为2-1=1，Q=L

16

设双曲线的两个焦点为尸2，已知仍居|=4,由双曲线定义||PFi|-|PF2||=2a=2xl=2,即|4一

俨段11=2.

当4一伊尸2|=2时，可得|PFz|=4-2=2；

当4一|PFz|=-2时，可得仍尸2|=4+2=6.所以|PFz|=6或2.

在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为C-Q.

对于双曲解-冬=1,可得c="+42="+16=g.

那么c-Q=g-l,因为6%=4,V17>VT6,所以我一1>4一1=3>2.

这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为2,所以要舍去|PF2|=2这个值.

因比仍尸2|=6,即点P到另一个焦点的距离等于6.

故选：B.

【变式（24-25高二上•广东•期中）已知双曲线C:9-3=l的两个焦点分别为吊，尸2,双曲线C上有

一点P,若|尸与|=5,则|PFzl=（）

A.9B.1C.1或9D.11或9

【答案】A

【解题思路】根据双曲线定义可求得IPF2I，再根据IPF2I>c+Q或IPF2I>c-a,即可得解.

【解答过程】根据双曲线定义可得||PF1|一IPF2II=2a=4,又|PF1|=5,

所以IPF2I=1或|P尸21=9,

又C2=a2+b2=16,c=4,

而IPBl>c+a=6或IPF2I>c-a=2,

所以IPF2I=9.

故选:A.

【变式1-2]（24-25高二上•北京延庆•期末）已知P是双曲线C:。一<=1上的动点，则P到双曲线两个焦

412

点距离之差的绝对值为（）

A.±4B.4C.8D.4V3

【答案】B

【解题思路】根据双曲线定义可得P到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为2a,即可得解.

【解答过程】由。-《=1可得。2=4,即Q=2；

412

再由双曲线定义可得"到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为2a=4.

故选：B.

【变式1-3]（24-25高二上•山东蒲泽•阶段练习）已知点M为双曲线。:三一马二1左支上的一点，乙户2分别

916

为C的左、右焦点，则囚尸/+|&尸2|一叫以=（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解题思路】由双曲线的定义即可求解.

【解答过程】囚为M为双曲线1左支」-的一点，与,尸2分别为C的左、右焦点，

所以IMF21—IMF/=2a,故|MFJ+|^^2|-\MF2\=2c-2a,

由于Q=3,b=4,c=Va2+b2=5,

所以IMF/+IF/2I-\MF2\=2c-2a=10-6=4.

故选：B.

知识点2双曲线的标准方程

1.双曲线的标准方程

双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系:

4/

双曲线在坐标

系中的位置

22

%-8=l(a>0,6>0)■^2—^2=13>0,b>。)

标准方程

焦点坐标6(-c,0),K(c,0)F\(0,~c),Fz(0,t?)

a、b,c的关系c2=a2+b2

2.双曲线方程的求解

(I)用定义法求双曲线的标准方程

根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.

(2)用待定系数法求双曲线的标准方程

用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在X轴还是)，轴上，设出标准方程，再由条件确定,A

斤的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为「一/=2。于0)

或巾x?-ny2=1(""?>0),再根据条件求解.

【题型2曲线方程与双曲线】

【例2】(25-26高二上•全国・单元测试)已知方程/一三二1表示双曲线，则m的取值范围为()

3+mm+5

A.(—5,—3)D.(―8,—5)U(-3,十8)

C.(3,5)D.(—co,3)U(5,+00)

【答案】B

【解题思路】利用双曲线的标准方程即可得到结果.

【解答过程】因为方程三一痣=1表示双曲线，所以(3+m)・(m+5)>0,解得mV-5或m>-3,

故武的取值范围为(-8,-5)U(-3,+8).

故选：B.

的形式，即可判断：对C,当。=学时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对D,变形后结合椭圆的标

准方程的形式，即可判断选项.

【解答过程】对A,当a=0,即sina=0时，，曲线。的方程为/=1,无=±1,

此时曲线C为两条平行的直线，故A错误；

对B,若a为负角，即一]工。<0，则sinaV0,

此时曲线。为双曲线，故B正确；

对C,若a为正角，即0Va"，当。时，sina=1,

则曲线C的方程为M+V=],是圆，故c错误：

对D,若。为椭圆，则0<5也。<1,」一>1,又/+丫2$也。=1可变形为/+毕=1,

sinaJ

sina

则C为焦点在y轴上的椭圆，故D错误.

故选：B.

【题型3双曲线的标准方程的求解】

【例3】（24-25高三上•河北•期中）已知双曲线经过点4（2&,V5）,B（-2V5,-V5）,则其标准方程为（）

A.应—日=1

43B・£”】

D.£3=1或&9=1

c・H=】

【答案】A

【解题思路】设双曲线方程为m/+ny2=i（nm<o）,然后代点计算即可求得m,n,从而求解.

【解答过程】设双曲线方程为m/+ny2=i（nm<o）,

[(2或评+(⑹2.1

7"JI7,Wr1\f

).(-2-/3)m+(—­/6)7n=11

n=-3

所以双曲线的标准方程为1-!=1.

43

故选；A.

【变式3-1】（24-25高二上•新疆克孜勒苏•期末）已知双曲线的中心在原点，两个焦点0,尸2分别为（-遍，0）

和0）,点P在双曲线上，且P&_LP&,△尸&尸2的面积为1，则双曲线的方程为（）

，

AA.-A----y-=11B.土一匕二1

2332

C.%2_?=1D.^-y2=l

【答案】D

【解题思路】根据双曲线的定义确定a,b的值，可得双曲线的标准方程.

【解答过程】不妨设点P在第一象限.

设|PF]|=t],|PF2|=t2,

ft?4-t?=20

根据题意：I,：1,

(/也=1

2=222

所以Qi—t2)=5—2txt24-tf16,即(2a)2=16,所以a?=4,b=c—a=5—4=1,

所以双曲线的方程为：^-y2=l.

故选：D.

【变式3-2](24-25高二上•辽宁铁岭•期中)求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(l)a=2V5,经过点4(2,-5),焦点在y轴上；

⑵过点4(3,2)和8(17,12).

【答案】(底一(=1

(2)x2-4=1

2

【解题思路】(1)依题意设双曲线的标准方程为《一忘=1(。>0,6：>0),将点的坐标代入求出b,即可得

解；

(2)设双曲线方程为-ny2=1(3>o),代入点的坐标得到方程组，解得血、n即可.

【解答过程】(1)因为双曲线的焦点在y轴上，

所以可设双曲线的标准方程为白捺=l(a>0,b>0),

由a=2次,经过点4(2,-5),

可得，芸—$=1，解得b=4.

(2V5)杨

故双曲线的标准方程为《一盘=1；

(2)依题意设双曲线方程为m/-ny2=l(mn>0),

则晨瞪一曾11解得产

所以双曲线方程为/一1=1.

2

【变式3-3](24-25高二•全国•课后作业)根据下列条件，求双曲线的标准方程：

(1)半焦距为遥，经过点(-5,2),且焦点在不轴上；

(2)两个焦点的坐标分别为a(0,-5),尸2(0,5),双曲线上一点P到&,尸2的距离之差的绝对值等于6；

(3)与双曲线(一9=1有公共焦点，且过点(3或,2).

【答案】（1注一y2=i

*4=】

【解题思路】（1）可设双曲线的标准方程为捺-三=1（0</<6）,将点（-5,2）代入，求得。2,即可得

出答案；

（2）设标准方程为、一琶二1（。>0,匕>0）,根据题意可得a,c求得炉，即可得解；

（2）方法一：设双曲线的标准方程为、一《=1（。>0）>0）,利用待定系数法求得Q2/2,即可得解；

方法二：设双曲线的标准方程为W-£=1（-4Vk<16,且kHO）,将点（3企,2）代入方程，求得k,

即可得解.

【解答过程】（1）因为半焦距为遥，且焦点在工轴上，

所以可设双曲线的标准方程为5-焉=1（0<a2<6）,

因为双曲线经过点（一5,2）,所以与一义二1,

z

Q/6-a

解得Q2=5或=30（舍去）.

于是双曲线的标准方程为9-y2=1；

（2）因为双曲线的焦点在y轴上，

所以设它的标准方程为1=l（a>0,b>0）,

222

因为2Q=6,c=5,所以Q=3»b=c—a=16.

于是双曲线的标准方程为?一盘二1；

（3）方法一：设双曲线的标准方程为《一3=1（。>0为>0）,

点出②2）在双曲线上，故耳箕一尚=1.

又标+庐=16+4=20,所以出=12,b2=8,

则双曲线的标准方程为［-1=1.

128

方法二：设双曲线的标准方程为工一土=1（-4V/cV16,且k00）,

将点（3班,2）代入方程，解得k=4或上=一14（舍去），则双曲线的标准方程为卷一9=1.

【题型4根据双曲线方程求*Zud

【例4】（24-25高二上•辽宁葫芦岛•期末）已知双曲线三-9=1的一个焦点坐标为（4,0）,则m的值为（）

A.24B.25C.7D.8

【答案】D

【解题思路】由双曲线标掂方程得。2=巾一1/2=9,然后根据Q,b,c关系求得m.

【解答过程】由题意M=TH—1,Z?2=9,a2+/?2=m—1+9=42,/n=8,

故选：D.

【变式4-1]（24-25高二上•河南驻马店•期中）若椭圆。+《=1的焦点与双曲线（一上二1的焦点重合，

372m

则m的值为（）

A.4B.-4C.-2D.2

【答案】D

【解题思路】求出椭圆的半焦距，利用双曲线1-日=1与该椭圆半焦距相等，以及a,b,c之间的关系，即

2m

可求出结果.

【解答过程】由题知，椭圆9+9=1的半焦距为2,

所以"2+m=2,解得zn=2.

故选：D.

【变式4-2]（24-25高三上•广东肇庆•阶段练习）已知双曲线贮+叱=1的上焦点为2（0,1）,则（）

mn

A.m+n=1B.m—n=lC.m+n=—1D.n—m=l

【答案】D

【解题思路】根据双曲线的焦点位置可得标准方程，即可得解.

【解答过程】因为知双曲线式+^=1的上焦点为r（0,1）,

mn

所以立+工=1可化为"一二二1.

znnn-m

故7i—m=c2=1.

故选：D.

【变式4-3]（24-25高三上•上海虹I」•期中）若椭圆二+芍=1与双曲线三一《二1有相同的焦点，则实数。

4azaL2

为（）

A.IB.V3C.±1D.±V3

【答案】C

【解题思路】由双曲线方程可知焦点在X轴匕结合椭圆方程和双曲线方程列式求解即可.

【解答过程】由双曲线马一(=1可知焦点在X轴上,

a22

由题意可得：4-a2=a2+2,解得a=±1.

故选：C.

【题型5求双曲线的轨迹方程】

【例51(24-25高二上•山东•阶段练习)动点M(x,y)与定点”3,0)的距离和它到定直线=：的距离的比

是号则动点M的轨迹方程为()

x

AA.-4-----y---=l1B.-------y---=1iC.立一乃=1D.A—j

544549

【答案】B

【解题思路】利用直接法求解.

【解答过程】解：由题意可得辱当平=：

X-J2

化简得1_4=1

45

故选：B.

【变式5-1](24-25高二上・江西•阶段练习)若动圆过定点4(2,0),且和定圆C:(X+27+y?=i外切，则

动圆圆心P的轨迹方程为()

A.x2-^=l(x>i)B・/一JD

D/-等对）

C.4>一答=小心)-4=11

【答案】D

【解题思路】根据动圆与定圆外切得出|PC|-|P*=1<\AC\=4,再由双曲线定义判断动点轨迹，写出

方程即可.

【解答过程】定圆的圆心为。(-2,0),与4(2,0)关于原点对称.

设PA\=r,由两圆外切可得|PC|=1+r,所以|PC|-|PA|=1<\AC\=4,

所以，点P的轨迹为双曲线的右支.

设双曲线的方程为三—2=1(Q>0,b>0),则a=：,c=2,b2=c2—a2=

bL24

所以，点P的轨迹方程为4/一整=11

故选：D.

【变式5-2](24-25高二上刊川成都•期末)相距1400m的A,8两个哨所,听到炮弹爆炸声的时间相差3s,

已知声速是340m/s,炮弹爆炸点一定在曲线()的方程上.

A.嬴一看二1(工4―510)B.看一蒲=1(*2510)

C.y=0(x<-700或%>700)

260100229900

【答案】D

【解题思路】根据双曲线的定义进行求解即可.

【解答过程】设炮弹爆炸点为P,

由题意可知：||P川一|PB||二3x340=1020<1400,

显然点P的轨迹是以A,B的焦点的双曲线,因此有2a=1020,2c=1400,

可得：Q=510,C=700,于是有力=&2-。2=0490000-260100=<229900,

根据四个选项可知，只有选项D符合，

故选：D.

【变式5-3](24-25高二上•四川绵阳・期中)已知A(-1,0),8(1,0),直线力M,BM相交于点M,且直线AM与

直线8M的斜率之积为1,则点M的轨迹方程为()

A.x2+y2=l(x*±1)B.x2-y2=l(x*±1)

C.x2--=l(x¥：±l)D.x2+—=l(x*±1)

22

【答案】R

【解题思路】设点M(x,y),根据题意建立方程，化简即得点M的轨迹方程，同时要注意条件％装±1的满足即

得.

【解答过程】设点M(x,y),则心

化笥即得：x2-y2=l(x*±l).

即点M的轨迹方程为：x2-y2=l(xH±1).

故选：B.

知识点3双曲线的焦点三角形

1.双曲线的焦点三角形

(1谁点三角形的搜念

设P是双曲线上一点，心生为双曲线的焦点，当点P£尸2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角

(2)求双曲线中的焦点三角形△尸尸尸2面积的方法

方法一:①根据双曲线的定义求出||PFiHPBII=2a；

②利用余弦定理表示出|PFi|、-问、旧后|之间满足的关系式；

③通过配方，利用整体的思想求出伊川・|P3|的值；

④利用公式S△*公=^|P司"P尸zIsinNE尸尸2,求得面积.

方法二:利用公式S=%园小〃1，求得面积.

(3)焦点三角形的常用结论

若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，尸I,尸2分别为双曲线的左、右焦点，则必"小=£，其

tan彳

中。为乙RP&.

【题型6双曲线中焦点三角形问题】

【例6】(25-26高二上•全国・单元测试)已知双曲线=i的上、下焦点分别为吊,尸2,过户i的直线，与

4

双曲线C的上支交于A,B两点,若［48|=2,则A/18F2的周长为()

A.14B.12C.10D.8

【答案】B

【解题思路】利用双曲线的定义可求得△力8F2的周长.

【解答过程】如图，由题意可得出=4=2a=4,ZkABF2的周长为IAF2I+IBF2I+MBI，

由双曲线的定义可得/引一14引=\BF2\-|5Fi|=4,又MF1|+|BFJ=\AB\=2,

所以MF2I+\BF2\+\AB\=\AF2\-MFJ+|8漫I-|BFJ+2MBi=4+4+4=12,

所以的周长为12.

【变式6-1]（24-25高二上・吉林・期末）已知尸2分别是双曲线C：1一《=1的左、右两个焦点，点P

在双曲线。上，且满足乙居。？2=60。，则AFIPF?的面积是（）

A.1B.V3C.3D.3V3

【答案】D

【解题思路】由双曲线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理及三角形的面枳公式求解.

【解答过程】已知Fi，6分别是双曲线C：二一1二1的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，

则IIP&I—IPF2II=2。=4，IF/2I=2c=2V7,

又乙Fi。0=60°,

则因尸2产=|PF/2+仍尸2/-2|PFI||PF21cos"止尸2，

即28=42+|PF/|P尸2「

即PF1\\PF2\=12,

即△Fig的面积是；x12Xy=3V3.

【变式6-2]（24-25高二上・甘肃白银・期末）已知双曲线。:[一产=1,P是。上的任意一点.

（1）设点A的坐标为（4,0）,求|P川的最小值；

（2）若尸1，尸2分别为双曲线的左、右焦点，NFIPF2=60。，求APFIFZ的面积.

【答案】（1呼；

（2）73.

【解题思路】（1）设出点P的坐标为（与,％）,表示出|P川，利用点P再双曲线上，借助二次函数知识计算即

可：

（2）由双曲线的定义及余弦定理表示出IP&IIPFZI-4,结合面枳公式计算即可.

【解答过程】（1）

2

则山川2=g-4）2+据=（q-4）2+?-1=-8x0+15=|（x0-1）+协

因为|々|之企，所以当&=轲，IP川取得最小值亨.

（2）由双曲线的定义知||PF/—|PF2||=2•①，

由余弦定理得（26）2=|P吊|2+|PF2|2_2|PF/|PF21cos60。②，

根据①②可得iPF/lPFzl=4,所以S“RFz=1|PF1||PF2|sin60。=：x4乂日二B.

【变式6-3X25-26高二上•全国・单元测试）己知双曲线C:^-'=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为

（1）若双曲线C与椭圆9+y2=1有共同的焦点，且双曲线C过点Q（2,l）,求该双曲线的标准方程；

（2）若b=1,点P在双曲线右支上，且4&。户2=］求△&PF2的面积.

【答案】（1m—y2=i：

（2）73.

【解题思路】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程.

（2）利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解.

【解答过程】（1）椭圆9+y2=i的焦点为（遮,0）和（一百,0）,

41

依题意，看一直二1,解得优=3所以双曲线C的标准方程为三一y2=i.

la2+b2=35=12

(2)设|PF1|=m,|PFz|=几，则由双曲线的定义得m—九=2Q,

222222

在APF1七中，4c2=m+n-2mncosz.F1PF2=m+n-mn=(m-n)+mn=4a+mn,

则nui=4c2—4a2=4b2=4,所以△RPF2的面积S=1mnsin^=1x4x=V3.

【题型7利用双曲线定义求点到焦点的距离最值】

【例7】(24-25高二上•河南南阳•期中)已知P为曲线C:x=Jl+1上任意一点,做一时,0),F(0,V22),

则|P川+|P3|的最小值为()

A.24-/15B.5

C.4V3D.7

【答案】D

【解题思路】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可.

【解答过程】由％=Jl+f，得好一?=1(%21),所以C为双曲线>2一9=1的右支，

4(-75,0)为该双曲线的左焦点.设右焦点为A,则|P川一|PA|=2Q=2,

所以|P川=\PAf\+2.所以|PA|十\PB\=\PAr\十\PB\+2>\BA'\+2=5+2=7,

当且仅当点P在线段AB上时，等号成立，所以|PA|+|PB|的最小值为7.

故选：D.

【变式7-1](2025•青海玉树•模拟预测)已知尸2为双曲线C:9-1=1的左、右焦点，点P是C的右

支上的一点，则寓的最小值为()

IP6I

A.16B.18C.8+4近D.9+—

2

【答案】A

【解题思路】利用双曲线的定义表示|PFJ,结合基本不等式求解最小值.

【解答过程】因为片，尸2为双曲线。:彳一?二1的左、右焦点，P是。的右支上的一点，

所以|P月|=|PF2|+4,

g、"&|2_(俨七1+4)2_|PF，2|2+8|P&|+16

所以|PFzl一|PFzl-iPFzl

=PFzl+磊+8工2代+8=16,当且仅当上尸2|=蒲，即|PFzl=4时，等号成立；

|rr2|IHr2l

因为c=7a2+52=短,所以6：-。=述一2<4,所以IPF2I=4成立，•的最小值为16.

故选：A.

【变式7-2](24-25高二上•河南驻马店•阶段练习)已知定点4B,且[48|=8,动点P满足|P川一|PB|=4,

则241的最小值是.

【答案】6

【解题思路】根据动点P满足|P*-|P8|=4V以0=8,得到点P的轨迹是以A,3为焦点的双曲线的一

支，不妨设焦点在x轴上，写出双曲线方程，设PGo，yo)，利用两点间距离公式求解.

【解答过程】因为动点P满足|P*-|PB|=4<\AB\=8,

所以点P的轨迹是以4,3为焦点的双曲线的一支，

则2Q=4,2c=8,即Q=2,c=4,b2=12,

不妨设焦点在x轴上，则双曲线方程为1(%>2),

左焦点为力(一4,0),右焦点为8(4.0),

设P(%o,Vo),(%o22),则手一羽=1,

所以|P川=JOo+4)2+尢2={4(/+1)2=2(x0+1)>6,

所以|P川的最小值是6,

故答案为：6.

【变式7-3](24-25高二上•山东潍坊•阶段练习)已知双曲线C1一4=1的左焦点为尸，且P是双曲线上

916

的一点，则|PF|的最小值为.

【答案】2

【解题思路】设P&,%)，且蒸一2=1,通过吠|2=(和+5)2+羽可求得最小值.

【解答过程】设P8),yo),旦目一总=1,尸(一5,0),

2

又PF\=(&+5尸+羽=瑶+10x0+25+16(勺-1)=G々+3)\

又<一3或％。>3,

所以IP臼min=||x(-3)+3|=2

即Pr|的最小值为2,当点P为双曲线左顶点时取最小值.

故答案为:2.

【题型8双曲线中线段和、差的最值问题】

【例8】（24-25高二上•江西•阶段练习）已知双曲线C:9-/=1的右焦点为尸?，点尸在。的右支上，且Q

则|PQ|+|PFzl的最小值为（）

A.4-2V3B.T17-2V3

C.V15-2V3D.苧-275

【答案】D

【解题思路】利用双曲线的定义将|PQ|+IPF2I的最小值转化为|PQ|+|PF1|的最小值即可.

由题知，a2=3,b2=1,所以c?=4,

设双曲线C的左焦点为Fi，则后（-2,0）,尸2（2,0）,因为点。在C的右支上，

由双曲线的定义知|PR|-IPF2I=2a=2百，

2

所以|PQ|+\PF2\