天津市河西区2024-2025学年高一年级下册期末质量检查数学试卷（含答案解析）

天津市河西区2024-2025学年高一下学期期末质量检查数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列调查方式合适的是（）

A.要了解一批节能灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式

B.要调查某个班级同学的身高，采用抽样调查的方式

C.调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式

D.调查全市高中生每天的睡眠时间，采用全面调查的方式

2.如图所示，在三楂台中，截去三棱徘小-48C,则剩余部分是（）

C.三棱柱D.三棱锥

3.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀

后随机摸出一个球，记卜.颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳

定在0.4,则袋中约有黑球（）

A.6个B.7个C.8个D.9个

4.已知长方体的长、宽、高分别为3,2,1且长方体的所有顶点都在同一个球面上，则

这个球的表面积为（）

A.14nB.2v,r|4iC.56元D.4而X

5.已知一组数据为92,93,90,87,91,89,90,94,则这组数据的)

A.极差为6B.中位数为90C.第70%分位数为92D.平均数为90.25

6.设，〃，〃是两条不同的直线，a,B，》是三个不同的平面，给出下列命题:

①当aJ,。时，若£I【y,则a_l_y；

②当"_1_。时，若。〃0,则加〃“：

试卷第I页，共4页

③当阳l。，"u。时，a//p,则加，〃是异面直线;

④当〃?〃〃，〃J_。时，若mt-a,则aJ.。

其中正确命题的个数是()

A.IB.2C.3D.4

7.甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别

123

为彳,三.一且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为

()

I7II17

A.-B.C.—D.—,

▲242424

8.圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,母线长为4.已知P为该圆台某条母线的中点，

若一质点从点尸出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P,则该质点运动的最短路径

9.在各校长均为1的正三棱柱力3C-n81G中，。、E分别为8济、的中点，过力、。、

E三点的截面将三棱柱分成上下两部分，记体积较小部分的体积为匕，另一部分的体积为人,

B-杀C一

A.D.

试卷第2页，共4页

二、填空题

10.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名.现用分层抽样的

方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级

的学生中应抽取的人数为.

11.已知事件/、8互斥，尸（.41阳=1,且P（/）・2P伊）,则P（8）=.

12.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的外接球体枳

为.

13.棱长为2的正四面体的表面积是；体积是.

14.从1,2,3,4,5中任取3个不同数字，这3个数字之和是偶数的概率为.

15.如图，在正方体力8。。-小&G3中，E、F分别为BC,CG的中点，则直线4田与E/

所成角的大小为:直线CQ与平面OE/所成角的正弦值为.

三、解答题

16.某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学

生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量〃）进行统计，按照[50,60）、

[60,70）,[70,80）,[80,90）、回,1001的分组作出频率分布直方图，已知得分在150,60）、

[90,100]的频数分别为8、2.

试卷第3页，共4页

《天津市河西区2024-2025学年高一下学期期末质量检查数学试卷》参考答案

题号123456789

答案CBCACCDAB

1.C

【分析】根据全面调查与抽样调查的定义逐项判断即可.

【详解】对于A,了解一-批节能灯的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查，

而不能将整批节能灯全部用于实验，故A错误：

对于B,要调查某个班级同学的身高，采用全面调查的方式，故B错误；

对于C,调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式，故C正确：

对于D,调查全市高中生每天的睡眠时间，采用抽样调查的方式，故D错误.

故选：C.

2.B

【分析】根据多面体性质即可得出结论.

【详解】易知三棱台48C-4当G截去三极锥小-48C,

剩余部分为以4为顶点，以四边形BCGBi为底面的四棱锥.

故选：B

3.C

【分析】利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4,进而分析求解.

【详解】设袋中黑球有x个，

利用频率估计概率，可知唾机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4,

由题意可得：丁二一=04,解得x=8,

所以袋中约有黑球8个.

故选：C.

4.A

【分析】求出长方体的体对角线长即为外接球的直径，再由球的表面积公式计算可得

【详解】因为长方体的长、宽、高分别为3,2,1,

则长方体的体对角线长为JF；2y.p-,

又长方体外接球的直径即为长方体的体对角线，设外接球的半径为R，

答案第I页，共10页

则2A二、X，所以R_空

所以外接球的表面积S=4ft/?2=14兀.

故选：A.

5.C

【分析】将数据按升序排列，根据极差、中位数、百分位数以及平均数的定义运算求解.

【详解】将数据按升序排列可得:87,89,90,90,91,92,93,94,

对于选项A：极差为94—87=7,故A错误；

对于选项B：中位数为二芸=905,故B错误：

对于选项C：因为8x70%=5.6,

所以第70%分位数为第6位数92,故C正确：

对于选项D：平均数二;(87+89*90+90+91+92*93a*=9075.故D错误.

故选：C.

6.C

【分析】根据线面平行和垂直关系逐项分析判断即可得解.

【详解】对于①，互相平行的两个平面，一个垂直于一个平面，则另一个也垂直于这一个平

面，①正确：

对于②，由mJLa,。〃氏得利_1_氏而〃_1_氏因此〃〃/7,②正确；

对于③，a//p,mla,〃u6,则〃?，〃可以是平行直线，也可以是异面直线，③错误：

对于④，由〃〃_L。，得又mua,则a_L。成立，④正确.

故选：C.

7.D

【分析】分情况讨论：三人中恰有两人获得一等奖、三人都获得一等奖，根据独立事件的概

率乘法公式求解山对应概率即可.

【详解】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是"(山=:尸(8)=1.AC)=；

234

-||2I3I

则不获•等奖的概率分别是■彳1-；・小

则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：

「(彳8C)+P(ASC)♦P(ABC)=f(不nB)P(C)+P(/)卅所&CH

答案第2页，共10页

P(A)P(B)P(C)--x-x-4--xLLLxML上

2；42142；424

这三人都获得一等奖的概率为/YIHC二Pl.lg削P(「)'•；•'1.

所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率?=1+[=[

24424

故选:D.

8.A

【分析】利用侧面展开结合图形求解最短距离.

【详解】尸为圆台母线力3的中点，Oi,。？分别为上下底面的圆心，把圆台扩成圆锥，如图

所示，

由O/,有S/=4,S8=8,SP=6,

圆锥底面半径Oz5=2,底面圆的周长为4n，母线长S8=8,

所以侧面展开图的扇形的圆心角为==即上4s4=：,如图所示,

质点从点尸出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P,则运动的最短路径为展开图弦

PP,

答案第3页，共10页

上尸W=.S产=6,有"万.

故选：A

9.B

【分析】延长。E与CG相交于点。，反向延长线交C8于点G,连接/P交4a于点尸，

连接£尸，得到截面FED4,由题意可得小F=2PG，由此可求出匕，匕，进而求解.

【详解】如图，延长OE与CG相交于点P,。/?反向延长线交。于点G,连接力P交小G

于点尸，连接封，得到截面人ED4,由题意得小户=2FC-

在各棱长均为1的正三棱柱49C—4SG中，AB=BC=AAt=1,

因为加;，08=；,£.=；,%；=；，丁颖1曲n60@g

所以匕=VfTGCT，PT；EC、TJGB，

xsin6O°x--lx-x|xlxsinl2(Fxl=^^

・？222?2M22122

G23GI3V3

所以I;=I-丁E=K

匕13

所以亡•五.

故选:B.

10.8

【解析】假设共抽取人数N,根据高一所占总共人数比例以及所抽出的人数，可得结果.

in

【详解】设样本容量为、,叫、•h=6'=I；

答案第4页，共10页

高二所抽人数为14・；：X.

故答案为：8

【点睛】本题主要考查分层抽样，属基础题.

4

11.

【分析】由已知事件力、8互斥，且P（/l）二20（8）,可求尸（8）,

进而根据对立事件概率公式得到答案.

【详解】解：：事件力、B互斥，且P（4）=2P（4）,

vP（/l8）=P（/）+P（B）=3尸（阴=（

:解得〃（团［,

,・.户（可

故答案为：

12.返区

66

【分析】由旋转体定义首先确定外接球球心位置，再计算出其半径即可求解体积.

【详解】易知将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周可以得到一个底面半

径为1,高为1的圆柱；

易知其外接球的球心为圆柱中心，因此外接球半径为"、।

因此外接球的体积为士他N

??£6

故答案为：也

6

13.4五苧

【分析】利用面积公式可求正四面体的表面积，求出正四面体的高后可求其体积.

【详解】楂长为2的正四面体的表面积为4.订・：2：4万.

4

如图，设△8。的中心为O,连接力0,8。，延长80交CD于E,

则AO±平面6CQ且HE•2-行，

答案第5页，共10页

故正四面体的高为.1。IlI。二1'():

所以『」为川述二辿

3433

故答案为；4Vl2.

14.1/0,6

【分析】先计算从这5个数中任意选3个的情况总数，再计算当3个数之和为偶数的情况数,

然后利用古典概型的概率计算方法求解即可.

【详解】总共5个数字，选3个，总共C；=10种选法，3个数之和是偶数，

则为两个奇数一个偶数，共有C；C；=6种选法，

故从这5个数中选3个不同的数目和为偶数的概率为；-1.

故答案为：—.

n1

15——

31

【分析】做新助线，分析可知直线与石厂所成角为上力8G(或其补角)，即可得结果：

利用等体枳法求点C到平面QEb的距离，进而可求线面夹角.

【详解】连接小G*G，

答案第6页，共10页

因为E、F分别为BC,CC,的中点，则£///8G，

可知直线与£户所成角为上小8G(或其补角)，

又因为48=4G=4G，可知V48G为等边三角形，

可得上《故；=：,所以直线小8与七尸所成角的大小为£；

设正方体ABCD-4与G"的边长为2,点C到平面DEF的距离为d,

因为。£打、反"&，

则△。切的面积S,“，Ml俘)十

131]2

又因为Vc-DEF=I'F-DCE»即；"*,=?x।'x।*2，解得“二；，

2

所以直线C。与平面。以所成知的正弦值为d3।.

CD2%

故答案为：।；；.

16.(1)50,0.03,0.004

(2)71,70.6

【分析】(1)根据第一组的频数、频率求出样本容量，再根据第五组的频数、频率求出x；

(2)设中位数为〃，，根据中位数左边的矩形面积之和为0.5列力程可求出〃，的值，由将矩

形底边的中点值乘以相应矩形的面积，再将所得结果相加可得平均数.

【详解】(1)由题意可知，样本容量为4='=77^77=0004»

0八0八1：6x10/50x10

:x=0.1-0.016-0.04-0.01-0.004=0.03；

(2)设中位数为小

：(0.016+0.03)x10<0.5<(0.016+0.03+0.04)x10,则加£[70,80],

答案第7页，共10页

由题意可得：（0.016+0.03）x10+（m-70）x0.04=0.5,解得〃i=71,

所以本次竞赛学生成绩的中位数为71：

由频率分布直方图可知，本次竞赛学生成绩的平均数为

x=55x0.16+65x0.3+75x0.4+85x0.1+95x0.04=70.6,

所以本次竞赛学生成绩的平均数为70.6.

17.（1!]

（2）;

⑶*

【分析】（1）分析可知甲连得2分，根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解，注意发

球人：

<2）分析可知甲连得2分，根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解，注意发球人：

（3）分析可知第一、二球甲输赢各一个，第三、四球均为甲赢，根据题意结合独立事件概

率乘法公式运算求解，注意发球人.

【详解】（1）设甲以11:9获得比赛胜利的事件为4

双方比分为9:9时，轮到由乙发球，则"I）'-'1.

4

（2）设甲以12:10获得比赛胜利的事件为8,

双方比分为1（）：1（）时，轮到由甲发球，则

（3）设再打4个球后甲获得比赛胜利的事件为C,

双方比分为10:10时，轮到由甲发球，再打4个球后甲获得比赛胜利的情况为第一、二球甲

输赢各一个，第三、四球均为甲赢,

21211

-X-X-9—

[2)3232326

18.（1）证明见解析

（2）证明见解析

唔

[分析】（1）在平面BED内找到直线OE，使FGHOE,即可证直线R7//平面8EO.

（2）在三角形△49。中，由余弦定理可证5。_L4。，又平面/EQJ_平而/18C。，可证8□工

平面,4E。，从而可得平面〃芯O_L平面，住D.

答案第8页，共10页

(3)过点力作