四川省成都市某中学2024-2025学年高一年级下册第二阶段（期中）考试数学试卷（含答案解析）

四川省成都市实验外国语学校2024-2025学年高一下学期第二

阶段（期中）考试数学试卷

学校：姓名：__________班级：___________考号：___________

一、单选题

1.cos2700+4sin00+9tan00+2cos360°的值为()

A.2B.1C.-1D.-2

2.已知z=；i,则|N|=()

1+1

A10无

A.-B.——C.1D.2

22

3.已知向量1=(1,一2),B=(l,1),若R+")，鼠则2=()

ABC.—D.1

-5-72

4.将一个长、宽、高分别5,4,3的长方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大

零件的表面积为（）

A.25兀B.16兀C.9〃D.4TI

5.在V48c中，已知6="，A：=45。，C=75°,则c=()

A.V6+V2B.2亚C.3D.后+1

6.若非零向量3满足同二归-4，则£+3在Z方向上的投影向量为（）

一5r

A.bB.—bC.2bD.—b

2

7.在V/18C中，a,b,。分别为/力，NB,NC的对边，R2b=a+c,/8=30。，NABC

3

的面积为:，那么力等于（）

A.上3B.1V3

+C.D.2+6

22

8.已知正〃边形的边长为“，内切圆的半径为，外接圆的半径为凡下列选项正确的是（）

A.(7?-r)-tan-=aB.(7?-r)-2tan—=a

2n2〃

C.(/?+r)-tan—=t/D.(/?+r)-2tan—=a

2n2〃

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.已知a,6为不垂直的异面直线，。是一个平面，则如〃在a上的射影有可能是()

A.两条平行直线B.两条互相垂直的直线

C.同一条直线D.一条直线及其外一点

10.函数/(x)=4sin("x+。)(<y>0,J>0,0<兀)在一个周期内的图象如下图，则下

B./(0)=V2

c.若将函数y=/(x)的图象像右平移:个单位得到函数y=g(x)的图像，则函数

y=g(x)为奇函数

D.满足条件/(X)-/[-三J>0的最小正整数x为1

11.已知同一平面内的单位向量或，鼻，则下列说法正确的是()

­•r—•—*

A.若G,6夹角为彳，则弓一6=1

B.,-e2｝生的最小值是0

C.若[,鼻，则％-6-勾的最大值为亚+1

D.若,+1与与不共线，,i+6+6卜1,x,y,R,xe[+ye[+ze3=0,x+y+z=2025,

则上+上+上=2

x+yx+zy+z

三、填空题

⑵已知则”一

试卷第2页，共4页

13.设函数/(x)=sin"+^在区间(0,冗)恰有三个极值点、两个零点，则。的取值范围

k3)

是____________

+S5+S6

14.如图，面积为S-邑,邑，凡，S,§6的6个正方形，则的值为.

5S]+S2+S3

四、解答题

15.已知向量G,B,满足同=2,刊=3,万与6的夹角为年.

⑴求忸+可的值；

⑵若(21+5)//%5)，求实数％的值.

16.(1)已知sin(a-Q)cosa-cos(a-£)sina=1,夕是第三象限角，求sin(夕+,)的值;

(2)已知tan®=2,〃=(sin6-cos。,sin。)，5=(sin6^+coscos6^),求［g的值；

17.在①COSZB-N/JSHI4+2=0,〃是锐角；®2bcosC=2a-c；③。=管”^三个条件

aV3sinJ

中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知V/8C的内角4,B,。所对的边分别

zt：ci»htc»»

⑴求证：8=］；

(2)求cosJ+cosC的取值范I韦1；

⑶若a+c=2b,则V/18C是否为等边三角形？若是，写出证明：若不是，说明理由.

/、

18.已知函数/(x)=4sinx-sin2++cos2x.

(1)求函数/(X)的最小正周期；

(2)设常数o>0,若y=/3x)在区间卜小勺］上是增函数，求出的取值范围：

(3)将/(X)的图像向下平移一个单位，所有纵坐标缩短为原来的一半得到函数g(x).若

g2(x)+a-g£+，|+<JNl+cosx对一切KGR恒成立，求实数a的取值范围.

试卷第3页，共4页

《四川省成都市实验外国语学校2024-2025学年高一下学期第二阶段(期中)考试数学试

卷》参考答案

题号12345678910

答案ACBCDBBDABDACD

题号11

答案AC

1.A

【分析】直接利用任意角的三角函数值进行求解.

【详解】cos270°+4sin00+9tan00+2cos360°=0+0+04-2x1=2.

故选：A.

2.C

【分析】先根据己知条件求出复数z,再根据复数的模的计算公式求出|z|.

【详解】由题意，2==噌f=W=

l+i(l+i)(l-i)2

所以|z|=J()2+(_])2=],

故选：C.

3.B

【分析】由平面向量线性运算的坐标表示以及垂直向量的坐标表示，打得答案.

【详解】由题意可得"苏=(1+4,-2+4),由(万+法/5,则仅+汨3=0,即

1+4-2+4=0,解得2」.

2

故选：B.

4.C

【分析】由题意知，此球是棱长为3的正方体的内切球，根据正方体的特征求得球的直径,

再由球的表面积公式求解即可.

【详解】要将长方体铁块磨制成一个球体，则球体直径最大不超过长方体的最短棱长，

又长方体的最短棱长为3,则此球是棱长为3的正方体的内切球，

根据正方体的几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为3,

所以球的半径为日，其表面积是S=4兀X(TJ=9兀.

故选：C

答案第1页，共12页

5.D

【分析】根据两角和差的正弦公式计算sin75。，再结合正弦定理即可.

【详解】由题意可知,8=180-45o-75'=60’,

又sin75'=sin（30>459=-x—+—x—=+,

\,22224

则由正弦定理一勺二一—可得，0=后/女'=在x贝:“YT心

sinBsinCsin604J3

故选：D

6.B

【分析】先对.卜口-q进行平方，得到与E『的关系，再根据投影向量的计算公式求解

即可.

【详解】•雨叩一阳雨2=1”取第2/2-2]〃箱.〉2=例2,

.・.£+「在」方向上的投影向量为（"+：>'「=±^「=2忖:M%上.

可附W2

故选:B.

7.B

【分析】利用面积公式得到"=6,结合2/）=a+c和余弦定理即可求出/）的值.

113

【详解】由SDABC=~ACsinB=—acsin30°=—,

222

可得ac=6,

又2人=。+c,

Kb2=a2+c2-laccos5={a+c）--2ac-2accos5，

^Z>2=4Z>2-12-12x—,

2

所以从=4+2庠（6+1『，

贝1」方=6+1.

故选：B

8.D

【分析】根据正“边形的内切圆与边的切点结合外接圆半径找出直角三角形关系，利用直角

答案第2页，共12页

三角形三角函数值的关系即可得证.

【详解】设。是内切圆圆心，08、04分别是内切圆半径、外接圆半径,

则OB=r,OA=R,:.a=—,AB=—

n2

/./?=-

在我必048中，sina=——,即.nC-兀，

OAsin-=2sin-

nn

flcos—

OB口Hr71

，n

cosa=——BJcos—=—,..r=R-cosr

OAnR2一si-n—花

n

acos-a\1+cos—2acos2—

nanV/2la

r・兀c・兀r,兀A兀九兀

2sin—2sin—2sin—4sin―cos—2tan—

nnn2i2i2?

即（H+r）-2tan—=t/.

2〃

故选：D.

9.ABD

【分析】以正方体为例，找出满足题意的两条异面直线和平面然后判断选项的正误.

【详解】解：不妨以正方体为例，4。与8G在平面力8C。上的射影互相平行，A正确;

力片与5G在平面/8CQ上的射影互相垂直，B正确:

如果八人在a上的射影是同一条直线，那么心〃共面，C不正确.

DD｝与8G在平面48C。上的射影是一条直线及其外一点，D正确.

故选：ABD.

答案第3页，共12页

10.ACD

【分析】根据两个顶点的横坐标求出周期即可判断A；解析式/(x)=2sin(2x+争即可判断

B,利用图象平移的方式确定平移后的解析式，再利用奇函数的定义进行证明，即可判断C；

求出将不等式转化为[/*)+1]/(幻>0,然后进行求解，得出

-2</(x)<-1或0</(%)<2,只需要研究-2</(x)<-I时的解集即可判断D.

【详解】v7'=2^-f-^1=7I=—,故①=2,A选项正确；

12I12)(0

由图可知：4=2,故/*)=2sin(2x+e),将x=-展代入其中；

/(—^)=2sin2(暇)+0=2,艮|]sin(夕一看)=I,

.'.<p-^=^-+2kn,keZ,,.-0<<p<n,故*=则/(x)=2sin(2x+J),所以

6233

/(0)=2siny=V3,B选项错误；

将函数歹=/。)的图象像右平移:个单位得到函数

y=g(x)=/(x-$=2sin2工一?+§■=2sin2x,定义域关于原点对称，

J\J/J

g(-x)=2sin(-2x)=-2sin2x=-g(x),故函数y=g(x)为奇函数，C选项正确；

通过计算得/卜弓)=-l，/(-：)=0,fe[/(A-)+l]/(x)>0,解得：或/(x)>0,

又•.•/(》)4-2,2],

故一24/(工)〈一1或0</㈤W2,

当时，令=则2sin(2x+,)=—l,解得：x=：+E或x=勺+4兀，

-2"(x)<-l的解集为：住+伍屏精h2,当左=0时，、£住,当，

(412J1412；

故满足条件/(幻-/(-个勺最小正整数x为I，D选项正确；

故选：ACD.

11.AC

【分析】A选项利用向量模的运算公式进行计算：B选项利用向量数量积的运算律进行化简,

答案第4页，共12页

再利用夹角的范围进行求解；C选项利用平面向量的模长不等式即可求得最大值；D选项计

^.(x+y+z)[e1+e2+e3y通过变形得到y+z=2025,x+z=2025,x+y=2()25,从而得

解.

【详解】对于A选项，丁卜】卜卜2卜]，a,1夹角为：，•••1刍=同同31=3，

2

e}-e2=-2e}-e2+e2=^1-2x^+1=1,故A正确；

对于B选项，设M，I的夹角为a,2,1的夹角为夕，

cos

.•.(1一项£=徘cos-E岑|P=cos-cosp,

vcosa,cos^,

.,.当cosa=-l,cosP=1H,[(ei-^2)-e3=-2,故B错误；

L''」min

对于c选项，_1_6，q=°，「.1+司=诟『+国W+昼'=£，

根据平面向量模长不等式可得，国-1-4卡-同+国+可=i+&

当且仅当名与q+g反向时取等号,

H司的最大值为应+1，故C.正确;

对于D选项，,/xex+ye2-ze3=0,x+y+z=2025,|^+e2+=1,

.♦.(x+j，+z)(a+w+a)

=xei+ye,+zei4(y+^4(x+^e>-(x+e,

即2025((?1+e2+6)=(y+z)q+(x+z)e2-^x+i)ev

,.,q+4与％不共线，，色，名不共线,

y+z=2025,x+z=2025,x+y=2025,

7.yx7yxr4-y+7

----+——+----=----F—_F---=------=k2,故D错误.

x+yx+zy+z2025202520252025

故选：AC.

12.-1-i

【分析】根据复数的除法求出z,再求共挽狂数即可.

【详解】因为z=3，

答案第5页，共12页

所以名二六二2i0+i)2i-2

=-1+i

(”i)(l+i)~T~

所以1=,

故答案为：-1-i.

【分析】根据题意，结合正弦函数的图象和性质即可求解.

【详解】由题意，当0<0时，不能满足在（0,兀）上极值点比零点多,

当。>0时,因为>€（0,乳）,所以5+,€（：0冗+.）,

/\

要使函数/（x）=sin“x+g在区间（0,兀）恰有三个极值点、两个零点,

由^=$m工的部分图象如下图所示：

九

O7C\^_^27I：3HX

则:<5+-3兀，解得:即诋（二3,

236363

1-5Q

故答案为：（SA〕.

63

14.3

【分析】根据余弦定理进行求解应用.

【详解】记正方形面积为$52,3,5435,56的边长分别为。/4,/4/,

三角形力〃。对应的三边分别为％b,c,

2

由余弦定理可得，d?=a?+〃-2R）cos（4一。）=/+b+2ahcosCy

同理可得，e2=b2+c2+2bccosA»f2=a2+c2+laccosB,

222

\^S1+S2+S3=a+b+c,

222222

S4+S$+$6=d+e+f=2(^a+b+c)+2abcosC+2accosB+2bccosA,

由余弦定理，2abcosC=a2+b2-c2,2accosB=a2+C1-b2i2hccos,A=b2+c2-a

年旧S4+S$+S(、

所以W+S2+S3=3

答案第6页，共12页

S6

故答案为：3

15.(1)713

⑵〃二一2

【分析】（1）由|2G+可2=侬+石丫，利用数量积的运算即可求解;

(2)由(2d+B)//(，ka-h］,即存在实数，使得%-1=42。+比对应系数相等解出即

可.

【详解】（1）由题意有|26+坂［=（22+6/=412+4小5+52=4村2+44||辰今，］

=4x4+4x2x3x+9=13,

所以忸+〃卜而'；

（2）由侬+*/（依—有存在实数％,使得%—小2（2方+办

4=2/1

即《解得太=一2.

-1=X

7B

16.（1）—；（2）1.

10

【分析】（1）由两角差的正弦公式、诱导公式可得出sin。的值，再利用同角三角函数的基

本关系以及两角和的正弦公式可求得"夕+篇的值；

（2）利用平面向量数量积的坐标运算与弦化切可求得的值.

3

【详解】(1)因为sin(a-£)cosa-cos(a-£)sina=sin(a-£-a)=-sin/?=-,故

sin〃=-|,

4

因为尸是第三象限角，则cos'=_J1_sin?0=-=--，

5

答案第7页，共12页

.(_571_.5H3fs/2}(4}(JI]7^2

所rCH以1s叫〃n+7j=sin/7cosq+cos〃si,=—H--I+|^—N--I；

(2)因为tan0=2,〃=(sin8-cos6,sin0),=(sin+cos0,cos0),

所以a•B=(sin0-cos0)(sin0一cos0)+sin0cos0=sin，0-cos20+sin0cos0

sin*2。-cos?9+sin6cos6

222

_sin<9-cos<9+sin0cos,0_COSQ

sin2^+cos20sin2^+cos20

cos20

2

—_ta_n__^__+_t_a_n_^__-l_—4+2-1—,I

tan2^+14+1

17.(1)证明见详解

呢』

(3)是iF三角形，讦明见详解

【分析】(1)选①，利用二倍角降哥公式求出sinA,进而求解；选②，由正弦定理边化角，

再根据三角恒等变换化简求得C0S8得解；选③，由正弦定理边化角，再根据三角恒等变换

化简求解.

(2)由(1),可得力+。=与，代入cos4+cosC消去角C,利用三角恒等变换化简，根据

三角函数求值域得解；

(3)由4=g结合。+c=26,利用余弦定理求得。=c,得证.

【详解】(1)若选①，cos28-6sin4+2=0,则1—2siM8—6sin8+2=0,

.•.2sin25+V3sinB-3=0,解得sin3=^或-石(舍)，

2

又〃是锐角，则8

若选②,2bcosC=2a-C,由正弦定理,得2sin8cosc=2sin/-sin。，

.,.2$m8以)5。=2$m(8+4)-5m。，化简整理得$出。=25中。858,

又0<。<兀，sinCwO,故cos8=1,

2

又0<〃<兀，所以8=1.

,bcosA+l,―――sinBcosB+1

若选③，—=q」则由正弦定理，得一;=丁.，，0<A<n,sin月工0,

aV3sinJsinAJ3sin/

答案第8页，共12页

上式化简得百sin8-cos8=l,即2sinB--=1,

sinB--1=,0<B<TI,故8=色.

k23

(2)由(1),8==,则>+C=",

33

cosJ+cosC=cos+cosf—\=旦in4+Los4=sin(4+7?

I3J22I6)

因为0<4<如，则四<力+二<2,

3666

/.sinA+—G)—,1L,所以cosX+cosCe—,1.

I6J12」(2_

(3)由8=m，a+c=2b,由余弦定理力=2accos5,

/.b2=(4+c)2-3ac,即b2=ac♦

a+c

=ac,化简得("c)~=0,得。=c,

F>

又8=g,所以V/18C是正三角形.

18.(1)2兀

(3)(-°o,-2]U[l,+oo)

【分析】(1)化简可得/(x)=2sinx+l,根据周期公式可得结果；

(2)先求出/(s)的递增区间，乂因为函数y=/(s)在区间-与当上是增函数，当k=()

时，有「后，当解不等式即可求出答案；

_23J32(o_

(3)根据图象变换得到g(x)=sinx,代入不等式并化简得cos2x+(”q)cosx-/wo,换

元，令Lcosx,则将原不等式转化为r+(1-〃)”/K()在/句一川上恒成立，由二次函数

的图象性质即可求解.

【详解】(1)

兀x、

/(.r)=4sinx-sin2—+—+cos2x=2sinx1-cos\x卜cos2x

42；_12

答案第9页，共12页

=2sinx(l+sinx)+l-2sin2x=2sinx+lr=—=2n.

1

/c、r/.I.兀，,兀心2“7t兀，，24兀71._

(2)y=f(6Av)=2sincox+1,由2kit—4coxW2kit+一得：--------Wx4----F—,ksZ,

22co2(oco2co

所以/(GX)的单调递增区间为一■—二二---+~^~，RwZ,

co2(oco2(o_

=/(C0X)在区间一；，刀上是增函数，.当％=()时，有一不丁土»

232326926y

69>0

解得（）<族:,•一的取值范围是[（）,1.

2co24V4

兀2兀

--2—

[2（o~3

（3）由题意，可得g（x）=sinx,代入不等式得：sin2x-^-acosx+a2>I+cosx»即

cos2x+(l-a)cosx-t/2<0,

令Z=cosx,则ze[—1,1],需”+（1-。）/一/40在/4一]1]上恒成立，

由二次函数的性质可知，只需端点处满足不等式即可，即1+1-4-/4（）且1+4-1_/40,

当，=-1时，需满足或。21；当/=1时，需满足〃4-2或

综上，可得实数a的取值范围是（F「2]U[1,+8）.

19.⑴x2履《x<2$7r+2阮(ZwZ)»；

(2)5a>-

(3){*=加兀,mwZ}.

【分析】（1）由正弦函数为性质解不等式即可;

3

(2)设，=sinx+cosx=\/2sinlx+:则可转化为-a4f+7对于任意的/巨1.夜]恒成立.

根据对勾函数的单调性即可求解:

（3）由题意可得sin（h+U）=7sin（弱），由三角函数的有界性可得要使

sin（h+A»）=7sin（Ax）成立，只有7=