有理数的乘方-2023学年七年级数学上册高分突破（人教版）

1.5有理数的乘方

卜I知识梳理

考点一.乘方的概念

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做鬲.在中，a叫做底数，n叫做指数。

考点二:乘方的性质

(1)负数的奇次鬲是负数，负数的偶次鬲的正数。

(2)正数的任何次哥都是正数，0的任何正整数次鬲都是0。

考点三：.有理数的混合运算

做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：

(1)先乘方，再乘除.最后加减；

(2)同级运算，从左到右进行；

(3)如有括号，先做括号内的运算,按小括号，中括号，大括号依次进行。

考点四：科学记数法

题型一：科学记数法

1.（2022・全国•七年级专题练习）据《长江日报》报道：“2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会，在北京隆

重开幕二现场观众累计约为人次，将用科学记数法表示为（）

A.0.423X107B.4.23x106C.42.3x105D.423x104

2.（2022・全国•七年级专题练习）2021年2月19日9：00时，我国首枚火星探测器“天问一号”距离地球20500万千

米，其中20500万千米用科学记数法表示为（）

A.2.05x1"千米B.2.05x109千米

C.20.5x107千米D.20.5x108千米

3.（2022•山东・日照市北京路中学七年级期末）截至2021年6月10日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建

设兵团累计报告接种新型病毒疫苗89277万剂次，其中89277万剂次用科学记数法表示为（）

A.89277x107剂次B.8.9277x108齐ij次

C.0.89277x109剂次D.8.92777x109剂次

题型二：有理数塞的计算

A.1个B.2个C.3个D.4个

题型三：有理数的乘方（逆）运算

7.（2022•浙江•七年级单元测试）下列计算中正确的是（）

A.—B.-C.—D.

2233

题型四：乘方运算的符号规律

10.（2D22・江苏•七年级专题练习）下列各式小三、C2、|x+2|中，值一定是正数的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

A.5B.-1C.1D.-5

A.1B.1C.2021D.2021

题型五：有理数四则混合运算

13.（2022.河北承德.七年级期末）老师设计了计算接力游戏,规则是每名同学只能利用前面一个同学的式子，进一

步计算,将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题.过程如下:

自己负责的哪一步错误的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

14.（2。22・浙江•七年级阶段练习）计算：

⑵18・6：（-2）x|-1|；

4

15.（2022•浙江•七年级专题练习）用简便方法计算

题型六：近似数

16.（2022・河南•商水县希望初级中学七年级期末）用四舍五入法对2021.89（精确到十分位）取近似数的结果是（）

A.2（）21B.2021.8C.2021.89D.2021.9

17.（2。22.上海.上外附中七年级期末；下列结论正确的是（）

A.0.12349有六个有效数字B.0.12349精确到0.001为0.124

C.12.349精确到百分位为12.35D.12.349保留两个有效数字为12.35

18.（2022•浙江•七年级专题练习）2019年11月，联合国教科文组织正式宣布，将每年的3月14日定为“国际数学

日”.国际数学日之所以定在3月140,是因为“3.14”是圆周率数值最接近的数字.将圆周率“”用四舍五入法取近

似值3.14,是精确到（）

A.个位B.十分位C.百分位D.千分位

随堂演练

一、单选题

19.（2023・江苏•七年级单元测试）按照如图所示的计算程序,若x:2,则输出的结果是（）

A.16B.26C.-16D.-26

A.4315B.431.5C.43.15D.4.315

21.（2022.全国•七年级专题练习）2021年安徽省粮食总产量为817.5亿斤,创历史新高.“817.5亿”可用科学记数

法表示为（）

A.817.5xiosB.8.175x|0oC.8.175x|O,0D.8.175x10”

22.（2022・河北・安新县第二中学七年级阶段练习）有理数小〃在数轴上分别对应点M、N,则下列式子结果为负

数的个数是（）

ON'

A.1个B.2个C,3个D.4

A.2个B.3个C,4个D.5个

A.1B.-1C,0D.2

25.（2021•全国•七年级专题练习）写出下列用科学记数法表示的数的原数：

（1）2.0152017x1。；（2）1.23456x105；（3）6.18x102；（4）2.xl伊.

26.（2020•福建省连江第三中学七年级期中）计算与化简：

工一面分与破

—:选择题

A.-39B.7C.15D.47

A・2个B.3个C.4个D.5个

A00612R.6120C000612D

30.（2021.全国•七年级课时练习）一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六

次后剩下的绳子长度为（）

32.（2021•江苏徐州•七年级期中）2019年I月3日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类

有史以来首次成功登陆月球背面.已知月球与地球之间的平均距离约为km,把km用科学记数法可以表示为（）

A.38.4xl04kmB.3.84x105kmC.0.384x106kmD.3.84x106km

A.1B.1C.0D.2018

二、填空题

35.（2020.新疆.乌鲁木齐市第7（）中七年级阶段练习）用四舍五入法取近似数：2.7982=（精确到0.01）.

36.（2018.湖北武汉.七年级阶段练习；已知（〃+1）2+心+5|=〃+5,且则帅=.

38.（2022・全国•七年级课时练习）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一

个钉头形代表1,一个尖头形代表10,在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同,

最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是

三、解答题

42.（2020・全国•七年级课时练习）计算：

43.（2021•全国•七年级）探究：22-21=2x2-1x21=，）

23-22==2<）,

24-23==2<）,

（1）请仔细观察，写出第4个等式；

（2）请你找规律，写出第〃个等式；

⑶计算：2L22+23+...+22⑴9_22。2。.

44.（2019.全国.七年级单元测试）已知〃互为相反数，c,d互为倒数，卜-1|=2,求竺+（〃+〃）x-R的值.

X

45.（2019.山东聊城.七年级期中）计算

46.（2022•全国七年级）求1+2+22+23+...+22016的值,

令S=1+2+22+23+…+220叱贝|J2s=2+22+23+…+22016+220%

因此2S-S=22°i7_1.S=2^7-I.

参照以上推理，计算5+52+53+…+52。3的值.

1.B

【分析I科学记数法的表示形式为4X10〃的形式，其中号间＜10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时,

小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值21()时，〃是正数；当原数的绝对值＜1

时，〃是负数.

【详解I解：用科学记数法表示为：4.23x106.

故选：B.

【点睛I此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO〃的形式，其中1W间＜10,〃为整数，表

示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

2.A

故选：A.

3.B

【分析I将89277万转换为892770000,而892770000等于8.9277x100000000,将100000000变为10*即可.

故选：B.

【点睛I本题考查用科学记数法表示较大的数，在表示的过程中，能够数清数位是解决本题的关键.

4.D

故选：D.

【点睛I此题主要考查了有理数的乘法、有理数的乘方，解答此题的关键是要明确乘法、乘方的含义.

5.C

【分析I根据乘方的写法即可求解.

故选C.

【点睛I此题主要考查乘方的表示，解题的关键是熟知乘方的计算方法.

6.A

【分析I根据乘方的意义：限表示n个a相乘，分别计算出结果，根据结果判断即可.

正确的有：①I个.

故选：A.

【点睛I本题主要考查了乘方的意义，能正确进行计算是解此题的关键，注意计算时应先确定结果的符号.

7.C

【分析I根据有理数的乘法、除法和乘方的运算法则即可求解.

故选C.

【点睛I本题考查了有理数的混合运算，涉及了有理数的乘法、除法以及乘方运算，熟练掌握各运算的运算法则是

解题的关键.

8.A

二2刘5

故选：A.

【点睛I此题考查有理数的混合运算，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键.

9.D

【分析I根据有理数的乘方运算、乘方运算的逆用即可得.

2

"3'

故选：D.

【点睛I本题考查了有理数的乘方运算、乘方运算的逆用，熟记各运算法则是解题关键.

10.B

［分析］根据有理数的乘方、绝对值的性质进行解答即可.

【详解I解：x不一定是正数；/不一定是正数；

L一定是正数；9+2一定是正数；

\x\

|x+2|不一定是正数；

所以值一定是正数的有2个，

故选：B.

【点睛|本题考查了非负数，绝对值.掌握非负数的性质是解题的关键.

11.B

【分析I根据绝对值以及偶次方的非负性求出外〃的值即可得出结果.

故选：B.

【点睛I本题考查了绝对值的非负性以及偶次方的非负性，有理数加法，根据题意得出。涉的值是解本题的关键.

12.B

【分析I根据绝对值和平方的非负性，可解得x、y的值，进而得到代数式的值.

故选：B.

【点睛I本题考查绝对值和平方的非负性，属于常考题型.

13.C

【分析I根据有理数的混合运算法则进行判断即可.

【详解I解：（4963）+7=49：763K

=79

=2

••・出错的是丙.

故选：C.

【点睛I本题考查有理数的混合运算，解题关键是掌握有理数混合运算法则.

14.(1)18.5

3

⑵%

4

(3)3.3

(4)26

【分析I(1)根据加法的交换律和结合律可以解答本题；

(2)先算乘除法，再算减法即可；

(3)根据乘法分配律计算即可；

(4)先把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律计算即可.

(1)

=22+3.5

=18.5；

(2)

(3)

=3.3；

(4)

=2720+21

=26.

【点睛I本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用.

15.(1)4

⑵18

【分析I(1)先把括号里面的利用乘法分配律展开讲行计算,再讲行有理数的加减混合运算.最后根据有理数的除

法除以5即可；

(2)先根据同号得正异号得负进行符号运算，然后逆运用乘法分配律，提取|,并利用加法结合律计算，最后进

行有理数的乘法运算即可得解.

(1)

=(45-28+33-30)-5

=(78-58)+5

=20:5

=4

（2）

=18.

【点睛I本题考查了有理数的除法与乘法运算，注意利用乘法分配律运算是解题的关键.

16.D

【分析I对百分位数字9四舍五入即可.

【详解I解：用四舍五入法对2021.89（精确到十分位）取近似数的结果是2021.9,

故选：D.

【点睛I本题考查了近似数：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示.一般有，精确到哪一位，保留几个

有效数字等说法.

17.C

【分析I取近似数的时候，要精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入，据此进行判断即可.

【详解】A、0.12349有5个有效数字，所以A选项错误；

B、0.12349=0.123（精确到0.001）,所以B选项错误;

C、12.349确到百分位为12.35,所以C选项正确；

D、12.349保留两个有效数字为12,所以D选项错误.

故选：C.

【点睛I本题考查了近似数与有效数字，从左边第一个不是0的数开始数起，到精确的数为止，所有的数字都叫做

这个数的有效数字，最后一位所在的位置就是精准度.

18.C

【分析I根据近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，即可求解.

【详解I解：将圆周率““用四舍五入法取近似值3.14,是精确到百分位.

故选：C.

【点睛I本题主要考查运用“四舍五入”法求一个数的近以数，解题的关键是要看清精确到哪一位，就根据它的下一

位上数是否满5,再进行四舍五入.

19.D

【分析I将x的值代入程序图中的程序按要求计算即可.

【详解I解：当“2时，10・始=10・4=6>0,不输出；

当x=6时，1。-/=10-36二-26<0,符合题意，输出结果，

故选：D.

【点睛I本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，本题是操作型题目，按程序图的要求运算是解题的关

键.

20.A

【分析I将小数点向右移动3位即可得出原数.

故选A.

【点睛I本题主要考查科学记数法一原数，科学记数法6IO〃表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把。的小数

点向右移动〃位所得到的数.若科学记数法表示较小的数还原为原来的数，需要把〃的小数点向左移动〃

位得到原数.

21.C

【分析I科学记数法的表示形式为。xio”的形式，其中号同<10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成“时,

小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值多()时，〃是正整数.

【详解I解：817.5亿=81750000000=8.175x1()1。.

故选：C.

【点睛I此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax1。"的形式，其中号同<10,〃为整数，表

示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

22.B

【分析I根据数轴，可得〃?<0<〃，而且|/川>|力据此逐项判断即可.

【详解I解:V/M<0<H,而且网>间,

m+n<0,

・••①的结果为负数；

'：m<Q<n,

-/;<0,

・••②的结果为负数；

V/n<O<n,而且|闻>|川,

-n>0,

•••③的结果为正数；

Vm<0<n,而且|〃?|>|川，

・••④的结果为正数；

*：m<Q<n,

・•・⑤的结果为正数，

・•・式子结果为负数的个数是2个：①、②.

故选：B.

【点睛I此题主要考查了数轴的特征和应用，以及正数、负数的特征和判断，要熟练掌握.

23.C

【分析I先根据去括号法则、有理数的乘方法则、绝对值的性质化简各数，再根据负数的定义即可得.

则负数的个数是4个，

故选：C.

【点睛I本题考查了化简多重符号、有理数的乘方、绝对值、负数，熟练掌握各运算法则和定义是解题关键.

24.B

【分析I原式利用乘方的意义和绝对值的性质化简，计算即可得到结果.

=1

故选：B.

【点睛I此题考查了有理数的混合运算，泵练掌握运算法则是解本题的关键.

25.(1)20152.017；(2)；(3)618；(4).6

【分析I用科学记数法表示为axl0〃的形式的数，其中1二同<10,〃为正整数.确定原数时，看的值，再把。的

小数点句右移动〃位，不足有0补齐，〃的值与小数点移动的位数相同.

【详解I解：(1)2.0152017x104=20152.017；

(2)1.23456x105=;

(3)6.18x102=618；

(4)2.xl0<,=.6

【点睛I本题考查科学记数法，解题关键是熟练掌握用科学记数法表示为4X10〃的形式的数.

26.(1)9；(2)26；(3)-26.

【分析I⑴根据有理数的加减运算法则计算即可；

(2)先运用乘法分配律去括号，再计算加减即可；

(3)先评算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算加减.

【详解】(1)12-(-6)+(-9)

=12+6+(-9)

=18+(-9)

二9；

157

二(・48)X(--)+(-48)X(--)+(-48)X—

2o12

=24+30-28

=26；

⑶-3"(-2)2X|・l；|X6+(-2)3.

4

=-94-4XjX6+(-8)

94

二--X—X6+(-8)

43

=(-18)+(-8)

=-26.

【点睛I本题主要考查了有理数的混合运算，熟记有理数的运算法则和混合运算的顺序是解题的美犍.

27.D

【分析I利用乘方的意义化简各式，确定出4c的值，原式去括号后代入计算即可求出值.

=4+27+16

=47

故选：D

【点睛I本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的乘方法则和去括号法则是解题的关键.

28.A

【分析I分①a>0,b>0,@a>0,b<0,③a<0,b<0,@a<0,b>0,4种情况分别讨论即可得.

【详解I由分析知：可分4种情况：

®a>0b>0,此时ab>0,

②a>0b<0,此时ab<0,

③a<0b<0,此时ab>0,

@a<0b>0,此时ab<0,

故选A.

【点睛I本题考查了绝对值的运用，熟知绝对值都为非负数并且运用分类讨论思想是解题的关键.

29.C

【分析I绝对值小于I的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为ax|()n,与较大数的科学记数法不同的是其

所使用的是负指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

［详解］6.12x10-3=000612,

故选C.

【点睛I本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlOT其中七间<10,n为由原数左边起第一个不为

考的数字前面的0的个数所决定.

30.C

【分析I根据乘方的意义和题意可知：第2次后剩下的绳子的长度为(g)2米，那么依此类推得到第六次后剩下的绳

子的长度为(；卜米.

【详解I・门3=3,

・••第2次后剩下的绳子的长度为(g)2米；

依此类推第六次后剩下的绳子的长度为(方)6米.

故选C.

【点睛I此题主要考查了乘方的意义.其中解题是正确理解题意是解题的关键，能够根据题意列出代数式是解题主

要步骤.

31.C

/.a=l,b=2

故选：C.

32.B

【分析|科学记数法的表示形式为“XI。的形式，其中以〃为整数.确定n的值时，要看杷原数变成a时,

小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时，〃是正数；当原数的绝对值<1

时，〃是负数.

［详解］科学记数法表示：5=3.84x105g

故选：B.

【点睛I此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为4X1①的形式，其中岸间<10,〃为整数，表

示时关键要正确确定4的值以及〃的值.

33.B

【分析I根据偶次方的非负性、绝对值的非负性列式计算即可.

【详解I解：由题意得：al=0,b2=0；解得：a=l,b=2

【点睛I本题主要考查了非负数的应用，初中解答涉及到得非负数有绝对值、偶次方和算术平方根.

34.C

故选：C.

【点睛I本题考查有理数的运算，解题的关键是模仿题目中给出的计算方法进行计算.

35.2.80

【分析I精确到0.0L则要把千分位上的数字8进行四舍五入即可.

【详解I丁8>5,

工2.7902.80（精确到0.01）.

故答案为：2.80

【点睛I本题考查了近似数，经过四舍五入得到的数叫近似数；精确到哪一位，就要把下一位的数进行四舍五入.

36.2或4.

【详解I解：根据平方数是非负数，绝对值是非负数的性质可得：心电0,I什5网・・・（。+1）2+洋+5|="5,

・・・。+5*，I.（a+1）2+b+5=b+5,J（。+1）2=0,解得折―1,Z>>-5,\'\2a-b-1|=1,1|=1,

/.|b+3|=l,/.Z?+3=±l,.•.6=-4或-2,・••当〃=一2时，ab=2；

当。=-1,-4时，ab=4.

故答案为2或4.

点睛：本题主要考查了绝对值是非负数，偶次方是非负数的性质，根据题意列出等式是解题的关键.

37.0.

【分析I由他<0可得。、。异号，庄。+力)0可得，正数的绝对值较大，再分两类讨论.①。>0,)<0,②。<0,

b>0,在这两种情况下对7a+2Hl=-|A-a|进行化简，最后计算出所求式子的值即可.

【详解1・.・而<0,〃+〃>().••・"、•异号,且正数绝对值较大，

①当"O〃<0时，a+b>0,则7a+2b+l>0,\b-a\<0,

则此情况不存在；

②当4<0,〃>0时，b-a>0,\b-a\=b-a,

7a+2b+1=-{b-a)=a-b,

1

・•・2ai+b=—,

3

(2a+〃+g)•(a-b)=0.

故答案为().

【点睛I本题关键在于分类讨论，结合有理数的运算法则去绝对值对式子进行化简.

38.25

【分析I根据所给图形可以看出左边是2个尖头，表示2个10,右边5个钉头表示5个1,由两位数表示法可得结

论.

【详解I根据图形可得：两位数十位上数字是2,个位上的数字是5,

因此这个两位数是2x10+5x1=25,

故答案为：25.

【点睛I此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的数字的表示法是解本题的