有理数的乘除运算（知识点+题型+强化训练）原卷版-2025-2026学年北师大版七年级数学上册

第05讲有理数的乘除运算（知识点+题型+强化训练）

。目录

知识梳理

1.有理数乘法法则2.倒数3.有理数乘法法则的推广

4.有理数乘法的运算律5.有理数除法法则6.有理数的乘除混合运算

题型巩固

一、两个有理数的乘法运算二、多个有理数的乘法运算

三、三理数乘法的实际应用四、倒数五、有理数乘法运算律

六、有理数的除法运算七、有理数除法的应用

八、有理数乘除混合运算九、有理数乘除中的简便运算

十、十理数四则混合运算H、有理数四则混合运算的实际应用

十二、根据点在数轴的位置判断式子的式负十三、数轴上的翻折

强化训练

单选题（7）填空题（8）解答题（8）

知识点L有理数乘法法则

类型运算法则运算步骤示例

同号两数同号得正，并把绝对值相乘（1）先看有无为0的因数，若(+5)x(+3)=15,

有，则乘积为0；(-5)x(-3)=15

异号两数异号得负，并把绝对值相乘⑵如果没有为0的因数，则先(-5)x(+3)=-15,

确定乘积的符号，再求乘积的(+5)x(-3)=-15

一个因数为0任何数与0相乘，积仍为0绝对值(-5)x0=0,0x(+3)=0

知识点2.倒数

1.定义如果两个有理数的乘积为1,那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互

为倒数.

2.互为倒数与互为相反数的异同

项目互为倒数互为相反数

不特点不同两数之积等于1两数之和等于0

同性质不同互为倒数的两个数的符号相同互为相反数且不等于0的两个数的符号一正一负

点范围不同只有0没有倒数任意一个数都有相反数

⑴都是指两人有理数之间的一种关系；

相同点⑵都具有规定性(可规定其中任意一个数是加另一个数的倒数或相反数)、相对性(倒数或

相反数是相对于另一个数而言的)、成对性(倒数或相反数是成对出现的)

知识点3.有理数乘法法则的推广

1.几个不等于o的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积的符号为负,

当负因数有偶数个时，积的符号为正，即“奇负偶正”.

图示：

2.几个有理数相乘，有一个因数为0,结果就是0；反之，若几个有理数的乘积为0,则至少有一个因

数为0.

图示：

多个有理数相乘,一[乘积为。]

其中有因数为0,

知识点4.有理数乘法的运算律

运算律内容用字母表示示例

乘法交换律两个数相乘，交换因数的位置，积不变ah=ha6x(-8)=(-8)x6

乘法结合律三个数相乘，先把前两个数相乘或先把后(ab)c=a(be)[3x(-4)]x(-6)=

两个数相乘，积不变3x[(-4)x(-6)]

乘法对加法的一个数与两个数的和相乘，等于把这个数a(b+c)=ab-^ac4x(—3+5)=

分配律同两个数分别相乘再把积相加4x(—3)+4x5

知识点5.有理数除法法则

1.法则(一)

⑴两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.

例如：

同号得正异号得负

II+II*

(-12)+(-3)=+(12+3)=4][(-0.5)+0.25=-(0.5子0.25)=巨|

IIGI14

绝对值相除绝对值相除

(2)0除以任何非0的数都得0.注意：0不能作除数.

2.法则二

⑴除以一个数等于乘这个数的倒数.即：a4-b=aXl/b(b丰0).

例如：

除法变乘法

(+2T)^(-1T)=Tx(-f)=-2

]了

除数变为其倒数

⑵运算步骤：先将除号变为乘号，将除数变为其倒数，再运用有理数乘法法则进行计算.

知识点6.有理数的乘除混合运算

1.有理数的乘除混合运算顺序

按照从左到右的顺序计算，有括号的，先计算括号里面的.

2.有理数的乘除混合运算法则

有理数乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照多个有理数相乘的法则计算.

题型巩固

题型一、两个有理数的乘法运算

(1、

L计算：-15x4的结果是()

A.1B.-1C.5D.-6

2.计算:

(1)(一：x0.25+(-3)x(-1.34)-2x53x0=.

(2)(-8)x<-ll^+(-7)x^-ll^+^15>112.4x5=.

3.(25-26七年级上•全国•课后作业)计算：

⑴沁)⑵13加0.

⑶(-0.125)x(-8).(4)0X(-13.52).

题型二、多个有理数的乘法运算

4.(25-26七年级上•全国•课后作业)下列算式中，积为负数的是()

A.0x(-5)x3B.4x(-0.5)x(-10)

题型五、有理数乘法运算律

15/5、1

11.（25-26七年级上•全国•课后作业）计算--x2^的结果是（）

20285

A.—B.—C.0D.—

7514

12.（25-26七年级上•全国•课后作业）计算：

（1）（-2）x（-7）x（-5）x卜;卜.

（2、

（2）-0.75x0.4x-I-=

I3J-------

13.（24-25七年级上•天津宁河•阶段练习）用简便方法计算：

题型六、有理数的除法运算

14.（24-25七年级上•全国•随堂练习）下列等式成立的是（）

91

c・2—X—D.

52II117

I（71

15.（24-25七年级上•湖北襄阳•阶段练习）新定义一种运算，。助=—+-f.则（-3A4）A2的值

a\b）

是

16.（24-25七年级上•吉林白城,阶段练习）计算:

题型七、有理数除法的应用

17.（24-25七年级上•四川眉山•阶段练习）有一栋居民住宅楼，每两层楼之间的楼梯都是由17级台阶组成

的，小明一口气从一楼一级台阶一级台阶地跑到最高一层，紧接着又一级台阶一级台阶地回到一楼，他一

边数一边跑，当他数到238时，恰好回到了一楼，那么这栋楼有（）

A.7层B.8层C.6层D.9层

24

18.（24-25七年级上•吉林松原•阶段练习）小英用:小时走了n千米，则小英行走的速度是每小时

千米.

19.（24-25七年级上•四川眉山・期中）中国高铁设订标准高，行驶稳定，是中国发展的张独特而亮丽的“名

片”.至2022年底，中国高铁运营里程超过4.3万千米，位居世界第一，高铁的票价是按"票价=每千米乘

车价钱X乘车路程〃的方法计算的，已知A站至G站的里程为2000千米，全程票价为800元，沿途各站的路

程如图.李老师从C站上车，购买了一张80元的票，他可能会在哪一站下车？请列式说明.

ABCDEFG

0200400600100016002000

题型八、有理数乘除混合运算

20.（24-25七年级上•全国•课后作业）计算（-1）/-0卜（-；）的结果是（）

I1

A.7B,3C,--D.-

21.（24-25七年级上•全国•课后作业）计•算：（-1）+（-弓上3=.

题型九、有理数乘除中的简便运算

/157、

22.（25-26七年级上•全国•周测）计算：-72x---+—+（-2）.

14912Jv,

23.（23-24七年级上•广东河源•期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题:

①卜2T+力

②（一奸卜卜后,•

下面是小刚和小明做的过程：

小刚：解：①原式=（一;+24）=8-12+6=2.

小明：解：②原式=卜春卜（-3+2-4）=（-/x-5）=套.

请回答：

⑴小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程；

⑵小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果,

即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？

⑶如果你认为小华是正确的，请试着计算：岛上（卜小a却（卜卜小/卜7?•

题型十、有理数四则混合运算

24.（25-26七年级上•全国•周测）要使算式6-1-3口2）勺计算结果最小，口中应填入的运算符号是（）

A.+B.-C.xD.+

题型十一、有理数四则混合运算的实际应用

25.（24-25七年级上•新疆乌鲁木齐•期末）根据如图可知，某地2023年人均年收入（）元.

26.（24-25七年级上•湖北十堰•期末）甲、乙两人同时从A地出发前往相距270千米的B地，甲每小时比乙

多走10千米.甲到达4地后立即返回A地，在距4地30千米处与乙相遇，则甲出发_小时甲乙第一次相遇.

27.（2025七年级上•浙江宁波•专题练习）有一个长方体容器，底部有一块挡板（垂直于底面，厚度忽略），

将容器下面分成力、4两部分，3部分有一个漏洞，水可以往下漏.C是用来测量水面高度的尺子，。是进

水管，每秒进水0.75升.如图记录的是开始注水后水面高度随时间变化的情况.请回答:

25cm15cm

(1)£表示多少？

⑵漏洞每秒钟漏出多少升水？

(3/、G各表示几？

题型十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负

28.(25-26七年级上•全国•课后作业)有理数a,b在数轴上的位置如图所示,则a+b的值()

0b

A.大于0B.小于0C.等于0D.无法确定

29.如图，力、〃两点在数轴上表示的数分别为。、b,下列式子成立的是.(填序号).

(l)\a+b\=a+b-(2)\a-h\=b-n；(3)(Z)-l)(cf-1)>0；④(b-l)(a+l)>0

I4I,B

-1a01h

30.如图，A.B、C三点在数轴上对应的数分别为八b、

ABC

0h

（1）若-a=5,|力|=5,-=—,则a=_____；b=_____；c=_____.

c10

,,AAcIZ?Ia

（2）化面：—+—--：

klb\a\

（3）在（1）的条件下，氏C两点同时出发向点/运动，结果同时到达，求点儿点C的运动速度关系是

VB=VC.

题型十三、数轴上的翻折

31.（24-25七年级•河南开封•期末）一个长方形月3CQ在数轴上的位置如图所示，AB=3,AD=2,若此长

方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1,求翻转2018次后，

点8所对应的数（）

B3A

CD01234

A.5040B.5042C.5043D.5044

32.（25-26七年级上•全国•周测）如图，在纸上有一条数轴.折叠这张纸，使-3对应的点与1对应的点重

合，则3对应的点与对应的点重合.

-5-4-3-2-1012345

33.（25-26七年级上•全国•周测）已知在纸面上有一数轴（如下图所示）.

-5-4-3-2-1012345

⑴折叠纸面，使表示1的点与表示-1的点重合，则表示-3的点与表示的点重合.

⑵折叠纸面，使表示-1的点与表示3的点重合，回答以下问题：

①表示5的点与表示的点重合；

②若数轴上48两点之间的距离为11（点4在点8的左侧），且48两点经折叠后重合，求48两点表示

的数.

强化训练

一、单选题

1.--X24-I--|x2=()

212；

A.2B.-1C.1D.4

2.计算4乂卜：)的结果是()

A.-1B.1C.-2D.2

Io+/?|I—ba-b

3.有理数m6在数轴上对应的位置如图所示，那么口--T-E+L的值是()

aa+bb-a

ab

-------1i»

-10I

A.4B.2C.0D.-2

4.下列算式中，正确的是()

A.(24x?+(-6)=-4!B.-3.5+2

\78I4「

//八659(4M_5)=~r

C.(-6)+(-4)+—=-D.——+

V7V75416I

5.如果对于任意两个非零有理数〃、b定义运算③如下:。③力=：-L则(-4)③3的结果是()

b

74

A.-12B.--C.-13D.——

3

6.已知。力是有理数，且。<0,ab<0,4+b<0,下列结论：①〃（a+b）v0；②〃<-“；③中+高-%；

④若|〃-6|=6,。是有理数，且满足M-C|=2,则,-。|=8.其中正确的是（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

7.下列计算正确的是（）

A.(-24)x[-!---]=-24x--24x—

[34)34

B.信+升(-35)=(-35)x(T卜(一35)其

C.(33-99)x—=33x—+(-99)x—

111111

D.304-f|=304---304--

154j54

二、填空题

8.计算：dx5x：x2=____.

k4J3

9.计算：--x-2-=:(-5)-(_)=1.

10.计算：

41s]

(2)0.7xl—+2-x^—15)+0.7x—+—x^—15)=.

11.-5的倒数是_______:比较大小：一!_________(用"、＞或=〃连接)

34

=21x()x()x(-10)(利用乘法交换律)

=[21x()]x()](利用乘法结合律)

)X()=

14.已知a为有理数，{〃}表示不大于。的最大整数，{（）.5}=0,{1.6}=1,{-0.4}=-1,{-3.5}=-4等，则

计算{-7.5}-{6.2}x{-0.89}>{4.3}=

15.某面粉厂生产一种面粉，每袋以5kg为标准质量，现抽检5袋面粉的质量，其与标掂质曷的差值情况如

下表所示：（超过5kg记为“+〃，穴足5kg记为“一〃）

袋数12345

差值3-0.15-0.100+0.10-0.15

这5袋面粉的平均质量是kg.

三、解答题

16.