山东省青岛某中学2024-2025学年学高三年级上册期末数学试卷（含答案解析）

山东省青岛第二中2024-2025学年学高三上学期期末数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={X|-14XW2},B={x|lgx4O},则()

A.[-U]B.[1,2]C.(0,2]D.(0J]

2.娄7-I|||IlZ在复平面内对应的点位于()

右7-1一+…21则

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.设向量。=(4,0),。=卜1,6),则〃在/)上的投影为()

A.-1B.-2C.1D.2

已知tan(0+1卜岑，则tan(26+得)=()

4.

A.一述D,史

D.-------

115115

5.在RtVA3c中，CA=I,C4=2.以斜边48为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何

体的内切球的体积为()

A四兀R8&兀「327r4兀

338181

6.已知函数/*)的定义域为R,且/(X+3)为奇函数，八2-%)为偶函数，记/*)的导函

数为广。)，则下列函数为奇函数的是()

A.f(x—X)B.fX-x+3)C.f(x+2)D.f(x)

x+2asiiu+；的最大值为4,则正实数”的值为()

7.已知函数/3=COS《Tkos停+

A.gB.2C.-2或2D.2或百

x4—+2,x<0

8.已知函数/")='%,若存在实数，，使得方程/")=/有4个不同的实数根

5v-2|,x>0

则矍手的取值范围为()

/、士、.5、x4»且内〈士〈43<4，

A-,2,4|B.,*7(11(|A

C.-1,--D.--,0

1，\/

二、多选题

9.已知（2x—1严=a0+4（x-l）+%（x-l）2+.+40*-1尸，则下列说法正确的是（）

A.4=1

B.%=4

C.q+2%+34+—+10。［0=20x3。

D.S+W+W++骼=1024

22?2三

2",〃为奇数,

10.记S”为数列｛q｝的前〃项和,已知凡„则)

N〃为偶数'

A.2025是数列｛%｝中的项

B.数列｛%-｝是公比为2的等比数列

C.SA=51

D.若q,=%”，则数列‘•的前〃项和小于;

2

[Vn+lJ

11.已知点Q在圆尸：（x-2）2+V=l上，4（—2,0）,动点/,满足：在qAP/中，

tanZPAF=sinZPFA.则（）

A.记/）的轨迹方程为轨迹：y2=8x（x^0）B.NPAQ的最大值为1

C.局的最小值是1D.|4。|刊。。|（点O为坐标原点）的最小

值为7

三、填空题

12.设。是定义域的子集，对内,七€。，将|/（内卜/（工2）|的最大值称为/（X）在。上

的振幅，记作S[g/（x）.若曲线〃X）=*+尿（00力〉0）在点（1,〃1））处的切线斜率为3,

且瑞止）=2,则匕=.

13.如图，椭圆。1：「+与=1（。”>0）的右顶点A是抛物线。2：/=2川的焦点，过A作

crb~

x轴的垂线交G于点&线段80与G交于点。，尸是G焦点，。/〃A8则C1的离心率

试卷第2页，共4页

14.三名运动员练习射击，甲、乙、丙三人的中靶概率分别为0.8,0.4,0.5,若三人各射击

一次，则甲、乙、丙三人都中靶的概率为；至少有两人中靶的概率为.

四、解答题

15.已知向量〃?=JJsinJl,〃=cos4，cos24I

I4JI44J

⑴求时+"2的取值范围;

⑵记/(x)="〃，在VABC中，角A8,C的对边分别为且满足(2〃-c)cos3=Z?cosC,

求函数/(A)的值域.

16.在三棱柱A8C—A8£中，AB1AC,印7_1,平面A8C.

(1)证明：平面A84.

⑵已知AB=2,AC=B]C=2yf3.4G上是否存在一点M,使得平面MAQ和平面A4QC夹

角的正切值为-：?若存在,确定M位置：若不存在,说明理由.

2

17.已知定义在R上的函数/(x)满足/(T)—/(X)=0.且/(x)=log2(2'+l)-"，

g(x)=〃x)+x.

⑴若不等式g(4'-a2+2)>g(-2)恒成立，求实数。的取值范围；

⑵设人(x)=x、;dn..2/nr+l,若对任意的用40,3],存在使得g(内"/?(&),

《山东省青岛第二中2024-2025学年学高三上学期期末数学试卷》参考答案

题号1234567891()

答案DCBACABCACACD

题号11

答案ACD

1.D

【分析】先求出集合。的解奥.再根据集合的运算可求出结果.

【详解】集合8={x|Igx40}={x[0<xWl},

又集合A=*|-14x42},

二.AB={x|O<x<l}.

故选：D.

2.C

【分析】利用复数的四则运算化简求出复数z,求得其共扼复数，利用复数的儿何意义即可

判断.

—i—i(—1—2i)—2+i-?I

【详解】由z=1=；1=一^,可得z=-J—

-l7+2Ti(-1+2i)(-l-2i)555

故I在复平面内对应的点位于第三象限.

故选：C.

3.B

【分析1根据已知条件，结合向量的投影公式，即可求解.

【详解】Va=(4,0),b=(7,⑹,

A«/?=4x(-l)+0xV3=-4,忖=5(-1尸+(扬2=2,

ci,b-4—

，a在b上的投影为W=Y=-2

故选：B.

4.A

【分析】根据已知角的正切值，利用正切函数的二倍角公式以及和角公式，可得答案.

厂(、2tan(0+()

【详解】由tan(6+2]=9,则tan26+?=——1,

I4J―an?(吗)

答案第1页，共14页

/、/、tan/2c0八+兀—]+tan兀-

所以tan(26>+N]=tan(2e+E+2]=―1「⑺、—―56

Im143Ji-tanf26>+-ltan-~TT

l4)3

故选：A.

5.C

【分析】根据旋转体的概念得出该旋转体是两个共底面的圆锥的组合体，作出轴截面，得出

内切球于心0位于对称轴人4上，由平行线性质求得球半径，•后可得球体积.

【详解】由题意该几何体是两个共底面的圆锥的组合体，如图是其轴截面,

由对称性知其内切球球心。在AB上，。到CAC3的距离。£。尸相等为球的半径，设其为广,

因为。是直角，所以。国才是正方形，即b=CE=r,

2

由0F//C4得OF/=B3F，即r:二2矢-解得，•=；,

CADC12

球体积为V=g五产=g兀X(g)3=1^7C.

故选：C.

【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性，结合导数运算法则逐项判断即可.

【详解】因为/(1+3)为奇函数，〃2-”为偶函数,

所以〃T+3)=-〃x+3),/(x+2)=/(2-x),

所以/(x+2)为偶函数，故C错误;

又对/(-x+3)=—/(x+3)两边求导，得一/'(一x+3)=-T(x+3),

即r(—+3)=r(x+3),所以f'(T+3)是偶函数,故B错误；

由/(一x+3)=—/(x+3),可得/(x+6)=-/(-x),

I±l/(x+2)=/(2-x),可得〃x+d)=/(T),

答案第2页，共14页

所以f(x+6)=-/(x+4),即/(1+2)=-/(工)，即得f(x+4)=〃x),

所以/(x)是周期为4的函数，则/(x+3)=/(xT),所以/(x-1)是奇函数，故A正确;

由/(—x+3)=—/(x+3),可得/[一(工-1)+3]=—/["-1)+3],即/(4—x)=—/(x+2),

又由/(x+6)=-〃x+4),可得〃x+4)=-/(x+2),

所以/(4r)=f(4+x),即f(x+4)为偶函数,所以〃力为偶函数,故D错误.

故选：A.

7.B

【分析】利用三角恒等变换的知识化简/(x),根据二次函数的性质求得正数〃的值.

8sR218s住+小2.喉+，

【详解】/(-v)=

UJUJ2

cos—cosx+sin—sinxYcos-cosx-sin-sinx>|+2dsinx+

44人44)2

—(cosx+sinx)(cosx-sinx)+2asinx+—

22

—(cos2.r-sin2x)+2asinx+，

2V72

=-^(l-sin2x-sin2x)+2asinx+]

=—sin2x+2asinx+1.

令/=sinxjq-1,1],则)，=-「+2〃+i,ref-lj],

开口向下，对称轴为x二。，

当OvaW1时，则丁2=rJ+2ax〃+1=/+I=4,cJ=3：无解.

当a>]时，贝ljymax=T?+2ax1+1=2a=4,a=2.

综上所述，〃的值为2.

故选：B

8.C

【分析】作出函数/(x)与)，=/的图象，由图可得出分析可知关于x的方程

一卜+2+J=t的两根分别为巧、

/，利用韦达定理可得出芭+W关于，的表达式,由

四-2bH-2|=i可得出父、5。关于，的表达式，进而可得出去今关于，的函数关系式,

答案第3页，共14页

结合函数单调性可求得结果.

【详解】作出函数/（X）与y=i的图象如下图所示:

由图可得0<fwi,

当x<。时，/（加=^11=（x^=_W=r+2+1y

由题意可知，关于％的方程-x+2+g）=/的两根分别为王、/，

即关于x的方程/+。+2卜+1=0的两根分别为巧、x2,由韦达定理可得内+9=一。+2），

由图可得（）工巧<1。852<4，

由〃七）=〃兀）=/得"，2b"-2卜/,贝Ij2_5*=5'_2=/,

可得5-=2T，5。=，+2,所以，32.3勺=立=处江，

5M2-t

-一（/+2）=-2二/+2-4二］4

所以，52。/0+2）2,+2t+2r+2,

2-t

因为函数在（（）1］上为增函数，

4］

故当0</41时，-1<1----因此，会•的取值范围为

1+23

故选：C.

【点睛】关键点点睛：求解函数零点个数以及范围的问题，关键是画出函数图象，根据题意

分析交点间的关系，并结合函数的性质，利用数形结合求解，属r难题.

9.AC

【分析】利用给变量赋值可得系数关系，即可判断AD,对于B就得用构造的二项式展开式，

利用展开式通项公式可求得指定项系数再来判断，对于C就得用等式两边求导思想，再赋

值就可得到结果.

【详解】令x=l,代入（2工一1尸=4+6（1-1）+%*-1）、・.+40（工一1尸得：4=1,故选项

A正确的；

答案第4页，共14页

10

由(2x一1严=4+4(x—l)+%。一1)，+4-tz10(x-I)

210

[l+2(x-1)]=aG+a}(x—l)+a2(x—I)++«10(x-I),

66

所以7J=C：0[2(XT)]4=16C：°(A1)“，7；＜0[2(X-1)]=64C？0(X-1),

即2=16，，〃6=64C；O,由于C：)=C3所以仆工/，故选项B是错误的；

102

由(2x—I)=a1)+a｝(x—1)4-f/2(X—I)++《()(尤—1尸两边求导得：

29

10(2x-l)9.2=q+2«2(x-l)+3a3(x-l)++10al0(x-l),

再令x=2,代入上式得：q+2%+3%+…+10qo=20x39,故选项C是正确的；

再令X=]，代入(2X-1严=%+4(工-1)+生(工-1)2+.-4o(x-»。可得：

《)+A墨+枭++翳=2*1024,

因为4=1，所以?+墨+墨++瑞=1024-1=1023,故选项D是错误的；

故选：AC.

10.ACD

【分析】由｛q｝的通项公式即可判断AC：由咏=4即可判断B：由裂项相消即可判断D.

a2n-l

【详解】对于A,当〃为偶数时，令3+l=2O25n〃=4O48,符合题意，故A正确；

对于B,由题知，生“=22-，/e=22".|?34,

a

2,r-1

故数列｛%“.)是公比为4的等比数列，故B错误；

对于C,由题知，％=2,%=2,4=8,%=3,%=32,%=4,

所以§6=4+々2+6+44+6+4=51,故C正确；

1_1_11

对于D,2=%“=彳+1”+1,G^=(〃+I)(〃+2)=E

设数列,」一的前〃项和为「，

lVn+lJ

则+」--^=7--故D正确；

2334〃+1n+22〃+22

故选：ACD.

11.ACD

答案第5页，共14页

【分析】根据题意作出示意图，设点尸坐标，然后表示出tan/PA冗sinNPEA,即可建立方

\y\

程，求得尸的轨迹方程，判断A选项：设点尸在一象限，化简tan/尸4尸二丹，由基本不

等式求得tan/PA尸的最值，从而得到角的范围，判断B选项；由抛物线的性质化简得

默=cosNPAN,由NPA/的范围求得结果判断C选项；由图可知当。在圆与“轴的左交

点处时，此时|AQ|,|OQ|同时取最小，即可判断D选项.

【详解】由题意可知尸（2,0）,设P（x,），）（），工（）），过点尸作PN_Lx轴于点N,如图:

则3"二犒"悬sinZPE4=-^

阳而+卜―2)2

lyl\y\

222

***|x+2|=卜+(]2)2»即(、+2)2=y+(x-2),/.y=8x(xh0),A选项正确;

.W）'_2后一2x/2

•・.由对称性可假设点。在一象限，则3一；71一瓦「"，,■

\[x

2

4X+-^=>2=2及，当且仅当石即x=2时取等号,

所以tan/胡尸二不"二”

，如。哼B选项错误;

陶=瑞=—.置=8S/W吟日,C选项正确;

当Q在圆与X轴的左交点处时，此时|八。,|。0同时取最小，同。+4|0。=3+4=7,・・・

|AQ+4|区的最小值为：7,D选项正确.

故选：ACD.

答案第6页，共14页

12.3-e

【分析】根据题意，由振幅的定义可得$濡/⑴二八“心一/⑴…再由导数的几何意义

可得r(i)=3,然后联立方程，即可得到结果.

【详解】滞/⑺巾㈤-/⑸L=fGLx,

当〃>0,g0时，〃r)单调递增，所以.S器〃x)=〃l)一〃0)=e"+”7=2,

。=1

则e"+h=3，又/(力=。*+〃，则/⑴=朋"+〃=3,两式联立得6=3Y.

故答案为：3-e

13.V2-I

【分析】设尸(c，0)，利川给定条件，求出点。,8的坐标，再借助比例式建立方程求出离心

率.

【详解】令尸(血直线小x，在椭圆G：》a中,令…，得吟,

点吗。，在抛物线。2：/=2〃氏中，令“=#,得吗,p),

b2

由四上

=2,得2比=//=4：一不，即/+2&-1=0,而0<e<l,

M©

解得6=及-1，所以G的离心率6=忘-1.

故答案为：V2-1

43

14.0.16/—0.6/-

255

【分析】第一空，直接利用独立事件的概率公式求解即可，第二空，根据独立事件和互斥事

件的概率公式求解即可

【详解】甲、乙、丙三人的中靶概率分别为0.8,0.4,0.5,

则甲、乙、丙三人都中靶的概率为0.8x0.4x0.5=0.16,

至少有两人中靶的概率为0.8x0.4x0.5x2+(l-08)x04x0.5+0.8x(l-04)x0.5=06,

故答案为：0.16,0.6

15.(1)[3,4]

答案第7页，共14页

【分析】(1)根据题意，求得,『+忖2=卜。§2二_]j+3,结合二次函数的性质，即可求

解;

(2)根据题意，求得/(A)=sin(1+邪;，再由(2…)cos8=AosC,利用正弦定理求

得cos4=:，得到4二三，得到0<A<§,进而求得sin传的取值范围.

233\267

【详解】(1)(1)因为机=

c.，X,。工4Xoli2-^|i2工4

可得=3sm~—+l+cos~—+cos—=31-cos—+1+cos—+cos—

444I44

=cos4-2cos27+4=(cos2--11+3,

44I4J

因为cos]w[0,1],所以w|~+|/?|'G[3,4].

(2)解：由题意得/(x)=〃?〃=6sin1,lcos—X,cos2—=VA3s.m—*cos—X+cos2—X

k44)444

gmW-x兀1可得/⑷i(露卜;,

—+—+-,

2222226J2

因为(加一c)cosB=bcosC,由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,

所以2sinAcos£?-cosBsinC=sinBcosC,所以2sinAcosB=sin(B+C),

又因为A+8+C=TT,则sin(/3+C)=sinA,且sinAwO,所以cos8=5,

因为壮(0,兀)，所以8=4,所以0<A<?,则如—W，

336262

则?<sin伶+[]<I,所以函数/⑷的值域是(1,1

2126yz\2J

16.(1)证明见解析

(2)存在,M是片G的中点.

【分析】(1)由4c，平面A8C得3c1A3,又A"_ZAC,即可证A8_L平面,由A8u

平面A/叫即可得证；

(2)建立空间直角坐标系，设AM=2a,分别求平面9CC的法向量和平面M41c的法向

量，利用夹角公式即可表示出含〃的方程解出即可.

答案第8页，共14页

【详解】（1）证明：已知6cl平面48C,A4u平面A8C,・・・4C_LA8.

VAB1AC,ACcgC=C,,AB_L平面4cA.

又A3U平面ABB-，平面AB，1平面ABB、.

（2）过。作人B的平行线作为大轴，以AC所在直线为），轴，以所在直线为Z轴（。为

坐标原点，AC为正方向〕建立如图所示的空间直角坐标系.

由AB1AC,AB=2,AC=2G，4C=J"?+AC?=4，即与G=BC=4,ZAC8=30°

设用W=2〃(O«a<2),

则4(0,-2x/3,0),A(-2,0,26),与(0,0,26)，网2,-2e,0),加卜“疯八2&),C(0,0,0),

CC、=BB[=(-2,2瓜2吟,C4=((),一2月,0).

n-CCj=-2x(+2有片+2也z、=0

设平面AACC的法向量为"=（$）"）,则有，令

nCA=_24yl=0

易得平面AAG。的一个法向量为〃=（百，。，1「

平面MAC的法向量为m=（七,％,Z2）,

CM=(-fl,V3^,2x/3),C\=(-2,0,273),

m-CM=一at,+6ay、+2疯?=0

■「'，令Z=l,

m-C\=-2X2+2\]3Z2=0

・•・平面MAC的一个法向量为机=（G，2

1——J.

…㈱—aJ

设平面M4C和平面/UCC夹角为。，则由平面MAC和平面AAGC夹角的正切值为方，

答案第9页，共14页

即tan6=—=sin6=-cos。,又sin?0+cos‘0=1,解得cos?0=一,

225

cos20=-=,解得。=1,即M是6c的中点.

5

17.⑴（—,4）；

131）

⑵不+-,+00I

22）

【分析】(1)根据/(r)-/(x)=0可得k=;，进而可得函数g(x)=log2(2'+l)+；x,根

据函数的单调性可得4、-+2>-2,分离参数求最值即可；

(2)由题可得g(x)由=1,进而得/?*)=./+xlnx-2〃zr+141,然后参变分离，求函数的

最值即得.

xt

【详解】（1）由题意知，log2（2-+l）+Aiv-log2（2+l）+^=0,

2T4-

A1|

即-2kx=Iog2（2-+l）-log2（2、+1]=log,）、+]=log2—=-x,

所以心

故〃力=1%（2'+1）-3，

,g（x）=/（x）+x=log,（2,+l）+-.r

因为函数)，=2、+1为增函数，函数y=log2x在其定义域上单调递增,

所以y=log2(2'+l)单调递增，又y=为增函数,

所以函数g(x)在R上单调递增,

所以不等式g(4,-a•2'+2)>g(-2)恒成立等价于4、_a.2V+2>-2.

即〃<土4/上+14恒成立,

21

设，=2;则/>0,当且仅当r=2,即x=l时取等号,

所以。<4,

故实数a的取值范围是一24；

答案第10页，共14页

(2)因为对任意的为任［0,3］,存在々£卜,/］,使得以片)2/7(9),

所以g(x)在［0,3］上的最小值不小于〃(X)在［4叫上的最小值,

因为g⑴=log［(2］+1)+：x在［0,3］上单调递增，

所以当xe［0,3］时，g(xL=g(O)=l,

/i(x)=x4+xInx-2nix+1<1,即存在xt[e,e],使〃?>—x3+-Inx成立,

令/(文)=3工3+g]nx,xe标储],

因为)，=：d在[&/]上单调递增，y=Jinx在[e,/]上单调递增,

・・・/(x)在[e,/]上单调递增，

3

/.z\(x)/mi.n=r(xe)/=-e+—2,

mN—e'H—,

22

ii、

所以实数〃?的取值范围是-e3+-,oo.

-22.+7

【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如卜.规则转化:

一般地，已知函数y=/(x),xe[a,可,y=g{x\xe[c9d]

⑴若％小,可,VX24cM，总有/(X)Vg(W)成立，故/(%)皿<8(%)由；

⑵若V%斗肉，+同C,d］,有fa)vg(z)成立,故/(“2<屋电)2；

(3)若书&[a,b],

玉24cM，有r&)<g(w)成立,故/(力.<8(0小

若％e[a,b]

(4)f叫牛、，4有了a)=g(x2),则f(x)的值域是g(x)值域的子集.

18.⑴/上=1

4

(2)存在，P(»,0)

【分析】(1)根据题意列出关于。力的等式，结合离心率即可求得。力，可得双曲线方程;

(2)判断出符合题意的点存在，并判断其位于刀轴上；然后进行说明理由，设直线线方程，

并联立双曲线方程，得到根与系数的关系，结合NOQ4=NO配可得附、总的斜率之和为0,

列出等式并化简即可求得参数的值，从而说明结论成立.

答案第11页，共14页

【详解】（1）设F（c,0）,由条件知产M的斜率等于一夕

a

即又7e=£=逐，c1-cr+b2,

caci

；,b=2,a=l.

.,•双曲线C的方程为：x2-^-=\.

4

（2）存在点尸满足NOA4=NO依恒成立，且点P在x轴上.

理由如下:设点也0）,过点尸（右,0）,•,.设直线/:4=小+后,

x=iny+逐

22

由，.v，消去x得（4〃?2一1）），2_]_86〃V+16=0,A=64（/n+1）>0,

x2-2-=l

4

设A（XpM）,5（巧,必）

由韦达定理得y+%=—义£巴，①，）「为=着1,②

4/7r-14〃r-I

・・•/OPA=40PB,:.PA,PB的斜率之和为0,

+

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