2025年大学《应用统计学》专业题库- 概率统计理论及其应用

2025年大学《应用统计学》专业题库——概率统计理论及其应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设事件A与B互斥，P(A)>0,P(B)>0，则下列结论正确的是（）。（A）P(A|B)=P(A)（B）P(A|B)>P(A)（C）P(A|B)<P(A)（D）P(A|B)=02.设随机变量X的分布律为P(X=k)=(k+1)/15,k=1,2,3，则E(X)等于（）。（A）2（B）3（C）4（D）53.设随机变量X与Y独立同分布，且X～N(μ,σ²)，则E(XY)等于（）。（A）μ²（B）μ²+σ²（C）μ（D）μ²σ²4.设样本X₁,X₂,...,Xₙ来自总体N(μ,σ²)，样本均值为∑ᵢ<0xE2><0x82><0x99>Xᵢ/ₙ，样本方差为S²=∑ᵢ<0xE2><0x82><0x99>(Xᵢ-∑ᵢ<0xE2><0x82><0x99>Xᵢ/ₙ)²/(n-1)，则下列叙述正确的是（）。（A）∑ᵢ<0xE2><0x82><0x99>Xᵢ/ₙ~N(μ,σ²/ₙ)（B）(n-1)S²/σ²~χ²(ₙ-1)（C）S²是无偏估计量，σ²也是无偏估计量（D）S²是σ²的极大似然估计量5.在假设检验中，犯第一类错误的概率记为α，犯第二类错误的概率记为β，则当样本量n固定时，（）。（A）α减小，β必然增大（B）α增大，β必然减小（C）α减小，β必然减小（D）α与β没有确定的关系二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。）6.设随机变量X的密度函数为f(x)={c(x+1),0≤x≤2;0,其他}，则常数c=_______。7.设X～N(0,4)，Y～N(1,9)，且X与Y独立，则E(3X-2Y)=_______，Var(3X-2Y)=_______。8.从一批产品中随机抽取10件，测得样本标准差s=0.5。假设产品尺寸服从正态分布，欲检验H₀:σ²≤0.25(α=0.05)，应使用_______检验法，其检验统计量服从_______分布（自由度）。9.在简单线性回归模型Y=β₀+β₁X+ε中，若变量X增加一个单位，则Y的期望值E(Y)_______(增加/减少/不变)β₁个单位。10.设总体X的均值E(X)=μ，方差Var(X)=σ²，X₁,X₂,...,Xₙ是来自X的样本，则样本均值X̄=∑ᵢ<0xE2><0x82><0x99>Xᵢ/ₙ是μ的_______估计量，样本方差S²=∑ᵢ<0xE2><0x82><0x99>(Xᵢ-X̄)²/(n-1)是σ²的_______估计量。三、计算题（本大题共4小题，共50分。）11.（本小题10分）袋中有5个红球和3个白球，从中不放回地随机抽取3个球。（1）求抽到2个红球1个白球的概率。（2）已知抽到的3个球中至少有1个红球，求抽到2个红球1个白球的概率。12.（本小题12分）设随机变量X的密度函数为f(x)={2x,0≤x≤1;0,其他}。（1）求随机变量X的分布函数F(x)。（2）计算P(0.5<X<1)和P(X²≤0.25)。13.（本小题14分）设总体X～N(μ,16)，其中μ未知。现抽取容量为n=9的样本，得到样本均值X̄=50。若要求在显著性水平α=0.05下检验H₀:μ=52。（1）写出检验的拒绝域。（2）计算检验统计量的值，并判断是否拒绝原假设。14.（本小题14分）为了研究某地成年男子的身高Y（单位：cm）与年龄X（单位：岁）的关系，随机抽取10名成年男子，测得数据如下：X:20253035404550556065Y:167170173176178180183185187188假设Y与X满足简单线性回归模型Y=β₀+β₁X+ε，其中ε～N(0,σ²)。（1）求Y对X的线性回归方程。（2）检验回归系数β₁是否显著异于0（α=0.05）。试卷答案一、选择题1.(C)2.(B)3.(A)4.(B)5.(A)二、填空题6.3/47.-6,278.χ²,n-1=99.增加10.无偏，一致三、计算题11.解：（1）事件“抽到2个红球1个白球”包含的基本事件数为C(5,2)*C(3,1)=10*3=30。样本空间中基本事件总数为C(8,3)=56。故所求概率P=30/56=15/28。（2）事件“至少有1个红球”的补事件是“全是白球”，其概率P(全是白球)=C(3,3)/C(8,3)=1/56。由条件概率公式，P(抽到2红1白|至少1红)=P(抽到2红1白)/P(至少1红)=(15/28)/(1-1/56)=(15/28)/(55/56)=15*56/(28*55)=15*2/(4*55)=30/220=3/22。12.解：（1）当x<0时，F(x)=0；当0≤x≤1时，F(x)=∫₀ˣ2tdt=x²；当x>1时，F(x)=1。故F(x)={0,x<0;x²,0≤x≤1;1,x>1}。（2）P(0.5<X<1)=F(1)-F(0.5)=1-(0.5)²=1-0.25=0.75。P(X²≤0.25)=P(-√0.25≤X≤√0.25)=P(0≤X≤0.5)=F(0.5)-F(0)=(0.5)²-0=0.25。13.解：（1）检验统计量T=(X̄-μ₀)/(σ/√n)=(50-52)/(4/√9)=-2/(4/3)=-2*3/4=-1.5。对于α=0.05，单侧检验，拒绝域为T<t_(α,n-1)=t_(0.05,8)。查t分布表得t_(0.05,8)≈-1.860。故拒绝域为T<-1.860。（2）检验统计量T=-1.5。由于-1.5不小于-1.860，故不拒绝原假设H₀。14.解：（1）计算样本均值X̄=(20+25+...+65)/10=550/10=55。计算样本协方差sₓᵧ=[∑(xᵢ-X̄)(yᵢ-Ȳ)]/(n-1)=[(20-55)(167-185)+...+(65-55)(188-185)]/9=[(-35)*(-18)+(-30)*(-15)+...+(10)*(3)]/9=(630+450+...+30)/9=1575/9=175。计算样本方差sₓ²=[∑(xᵢ-X̄)²]/(n-1)=[(20-55)²+...+(65-55)²]/9=[1225+625+...+100]/9=3325/9=369.44(保留两位小数)。回归系数β₁=sₓᵧ/sₓ²=175/369.44≈0.472。回归截距β₀=Ȳ-β₁X̄=185-0.472*55=185-25.96≈159.04(保留两位小数)。故线性回归方程为Ŷ=159.04+0.472X。（2）检验H₀:β₁=0。检验统计量t=β̂₁/(sₓ/√n)=0.472/(√369.44/√10)=0.472/(19.