2025年大学《数理基础科学》专业题库- 优化算法在生产调度中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——优化算法在生产调度中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、简述生产调度问题的基本要素及其相互关系。以单机调度问题为例，说明其典型目标函数和常见约束条件。二、比较线性规划（LP）与整数规划（IP）在建模和求解生产调度问题时的主要区别。举例说明何时使用LP模型是合适的，何时必须考虑使用IP模型。三、描述遗传算法（GA）在解决生产调度问题时通常采用的编码方式。列举并解释GA的三个主要遗传算子（选择、交叉、变异）及其在搜索过程中的作用。四、简要介绍模拟退火（SA）算法的核心思想。说明SA算法中“退火温度”和“降温速率”这两个关键参数对算法性能的影响。五、考虑一个包含3个任务需要在2台机器上加工的流水车间调度问题（FSP），任务加工顺序固定。假设任务1、2、3的加工时间分别为2、3、2单位时间。请：1.建立该问题的以最小化最大完工时间（Cmax）为目标的线性规划模型。2.若使用最短加工时间优先（SPT）规则进行贪心调度，请给出具体的调度顺序和对应的Cmax值。六、某公司有4个待处理的订单（任务），需要分配给2部相同的机器加工。每个任务在不同机器上的加工时间已知如下表所示（单位：小时）：|任务\机器|机器1|机器2||:----------|:-----|:-----||任务1|3|4||任务2|2|3||任务3|5|2||任务4|1|5|请使用贪心算法（如按单机加工时间总和最小或按任务间切换成本最小等规则）设计一个分配方案，并计算该方案下所有任务在机器1和机器2上完成的总时间（假设机器可并行工作，任务一旦开始加工不得中断）。七、假设你需要设计一个遗传算法来解决一个复杂的流水车间调度问题。请简述你在设计该算法时需要考虑的关键环节，包括：1.如何设计合适的编码方案？2.如何确定种群规模和遗传算子的参数（交叉率、变异率）？3.如何设计适应度函数来评价解的质量？4.需要考虑哪些终止条件？八、比较遗传算法（GA）、模拟退火（SA）和粒子群优化（PSO）这三种智能优化算法在解决生产调度问题时各自的优缺点。在哪些类型的调度问题或问题规模下，你更倾向于选择其中某一种算法？请说明理由。试卷答案一、生产调度问题的基本要素通常包括：决策变量（如任务加工顺序、开始时间、资源分配等）、目标函数（如最小化总完工时间、最大延迟、总成本等）、约束条件（如加工顺序约束、资源能力约束、时间限制等）。这些要素相互关联，目标函数的优化需要在满足所有约束条件的前提下进行。二、线性规划（LP）假设决策变量是连续的，其模型求解结果可能不是整数，这在需要任务分配数量为整数时是不合适的。整数规划（IP）通过增加整数约束（或二元约束），强制决策变量取整数值，能够处理需要离散决策的任务分配、机器选择等问题。当调度问题涉及如机器分配、人员安排等必须取整数的决策时，必须使用IP模型。三、遗传算法中常用的编码方式有：顺序编码（如排列编码，直接表示任务的加工顺序）、染色体编码（将问题特征表示为二进制串或实数串）。遗传算子及其作用：1.选择：根据适应度函数值，从当前种群中挑选优良个体参与下一代的生成，模拟自然选择，保留优秀基因。2.交叉：将两个父代个体的基因片段进行交换，产生新的子代个体，模拟生物的有性繁殖，实现基因重组，增加种群多样性。3.变异：以一定的概率随机改变个体基因片段的值，模拟生物的突变，防止算法陷入局部最优，维持种群多样性。四、模拟退火（SA）算法的核心思想是模拟物理系统中物质的退火过程。它允许在搜索过程中接受比当前解更差的解，其接受概率与温差（退火温度）和解的改善程度（或恶化程度）有关。通过初始时较高的温度，使得算法能够探索广阔的解空间，接受较差解；随着温度逐渐降低，算法逐渐聚焦于当前较好的解区域，最终收敛到全局最优解（或近优解）。关键参数“退火温度”决定了初始搜索范围和多样性，“降温速率”影响算法的收敛速度和解的质量，过快的降温可能导致过早收敛到局部最优。五、1.线性规划模型：*决策变量：设$x_{ij}$为任务$i$是否在机器$j$上加工（0-1变量）。*目标函数：Minimize$Z=C_{max}$*约束条件：*每个任务恰好被一台机器加工：$\sum_{j=1}^{2}x_{ij}=1$(对所有的$i=1,2,3$)*每台机器同时只能加工一个任务：$\sum_{i=1}^{3}x_{ij}\leq1$(对所有的$j=1,2$)*加工时间累积：$S_j+\sum_{i:x_{ij}=1}p_i\leqC_{max}$(对所有的$j=1,2$)，其中$S_j$是机器$j$开始加工时的最早时间（$S_1=0$，$S_2$可设定为某个大于等于任务1开始时间的值，或隐含在Cmax中），$p_i$是任务$i$的加工时间。*任务顺序约束（流水车间）：$x_{12}\leqx_{21}$,$x_{23}\leqx_{32}$(若任务1必须在任务2前在机器1加工，任务2必须在任务3前在机器2加工，则此约束需添加)。*非负性：$x_{ij}\geq0$且为整数。2.贪心调度（SPT规则）：*计算各任务在两台机器上的加工时间：任务1(1,2),任务2(2,3),任务3(5,2),任务4(1,5)。*按加工时间升序排列：任务4(1,5),任务1(1,2),任务3(5,2),任务2(2,3)。*分配顺序（机器1,机器2）：*机器1：先加工任务4（时间1），再加工任务1（时间1+2=3），总时间3。*机器2：先加工任务2（时间3），再加工任务3（时间3+3=6），总时间6。*调度顺序：机器1:4->1；机器2:2->3。*Cmax=max(机器1总时间,机器2总时间)=max(3,6)=6。六、使用贪心算法（按单机加工时间总和最小规则）：*计算所有任务在两台机器上的加工时间总和：*机器1：3+2+5+1=11*机器2：4+3+2+5=14*选择加工时间总和较小的机器1先进行任务分配。*按任务在机器1上的加工时间升序排列：任务4(1),任务2(2),任务1(3),任务3(5)。*分配顺序（机器1,机器2）：*机器1：任务4（时间1），任务2（时间1+2=3），任务1（时间3+3=6），任务3（时间6+5=11）。机器1总时间11。*机器2：任务1（时间6），任务3（时间6+2=8），任务2（时间8+3=11）。机器2总时间11。*总完成时间=机器1总时间+机器2总时间=11+11=22小时。七、设计遗传算法解决流水车间调度问题时需考虑：1.编码方案：采用能清晰表示任务加工顺序的编码方式，如使用排列编码（PermutationEncoding），直接将N个任务编号排列表示一个解。2.种群规模：选择合适的种群大小，过大增加计算量，过小影响多样性。通常根据问题规模经验选择，如50-500。3.遗传算子参数：*交叉率(CrossoverRate)：决定进行交叉操作的概率，如0.6-0.9。选择单点交叉、多点交叉或均匀交叉等策略。*变异率(MutationRate)：决定进行变异操作的概率，如0.01-0.1。变异有助于维持种群多样性，防止早熟。4.适应度函数：设计能准确衡量解（调度方案）优劣的函数。通常基于目标函数的倒数或负值，如使用最小化Cmax问题，适应度函数可为$f(x)=\frac{1}{C_{max}(x)}$或$f(x)=-C_{max}(x)$，并可能需要加入罚函数处理约束违规情况。八、遗传算法（GA）、模拟退火（SA）、粒子群优化（PSO）优缺点及选择：*GA：优点是全局搜索能力强，不易早熟，可处理复杂非线性问题。缺点是参数调优较复杂，收敛速度可能较慢，编码方式选择影响大。*SA：优点是能以较高概率找到全局最优解，尤其在初始解较差时。缺点是参数（温度、降温速率）敏感，收敛速度受温度影响，实现相对复杂。*PSO：优点是概念简单，参数较少，收敛速度通常较快，尤其适合连续优化问题。缺点是在离散优化问题（如调度顺序）中可能需要特殊处理（如离散粒子概念），处理复杂约束能力相对弱，后期可能陷入局部