2025年大学《数理基础科学》专业题库-数理基础科学中的微分形式理论

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数理基础科学中的微分形式理论考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、1.设$\omega=x^2y\,dx+(x^3+y^2)\,dy$，计算$d\omega$。2.设$\eta=z\,dx\wedgedy+y\,dy\wedgedz+x\,dz\wedgedx$，计算$d\eta$。3.判断下列微分形式是否为闭形式：$\alpha=y\,dx+x\,dy$。4.判断下列微分形式是否为完全形式：$\beta=x\,dx+y\,dy+z\,dz$。5.设$\gamma=x\,dy\wedgedz+y\,dz\wedgedx+z\,dx\wedgedy$，计算$\int_\gamma\gamma$，其中$\gamma$是从点$(1,1,1)$到点$(2,2,2)$的直线段。二、1.证明斯托克斯定理在区域$D$由分片光滑的双侧曲面$\Sigma$围成，且$\partialD=\Sigma$时，有$\int_\Sigmad\omega=\int_{\partialD}\omega$。2.证明高斯定理在区域$V$由分片光滑的封闭曲面$\partialV$围成时，有$\int_Vd\eta=\int_{\partialV}\eta$。三、1.设$\omega=(x^2+y^2)\,dx\wedgedy+(y^2+z^2)\,dy\wedgedz+(z^2+x^2)\,dz\wedgedx$，计算$\int_{\partialB(0,1)}\omega$，其中$\partialB(0,1)$是单位球面。2.证明对于任意$(p,q)$形式的微分形式$\alpha$和$\beta$，都有$d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge\beta+(-1)^p\alpha\wedged\beta$。3.设$\omega=f(x,y,z)\,dx+g(x,y,z)\,dy+h(x,y,z)\,dz$是一个$(0,3)$形式的微分形式，其中$f,g,h$均具有连续的二阶偏导数。证明$\omega$是完全形式当且仅当$\frac{\partial^2f}{\partialy\partialz}=\frac{\partial^2f}{\partialz\partialy}$，$\frac{\partial^2g}{\partialz\partialx}=\frac{\partial^2g}{\partialx\partialz}$，$\frac{\partial^2h}{\partialx\partialy}=\frac{\partial^2h}{\partialy\partialx}$。四、1.证明在$\mathbb{R}^3$中，任何$(1,2)$形式的微分形式$\alpha=A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,dy+C(x,y,z)\,dz$都可以表示为$\alpha=\nabla\phi\wedgedy\wedgedz+\nabla\psi\wedgedz\wedgedx+\nabla\chi\wedgedx\wedgedy$，其中$\phi,\psi,\chi$是某个$(0,2)$形式的微分形式。2.设$\omega=f(x,y,z)\,dx\wedgedy$是一个$(1,2)$形式的微分形式，其中$f$具有连续的一阶偏导数。证明$\omega$是闭形式当且仅当$\frac{\partialf}{\partialx}=0$且$\frac{\partialf}{\partialy}=0$。3.举例说明存在一个非零的$(0,1)$形式的微分形式$\alpha$，使得$\int_\gamma\alpha=0$，其中$\gamma$是一条光滑的简单闭曲线。试卷答案一、1.$d\omega=2xy\,dx\wedgedx+x^2\,d(x^2)\wedgedy+3x^2\,dx\wedgedy+2y\,dy\wedgedy=x^2\,d(x^2)\wedgedy+3x^2\,dx\wedgedy=2x^3\,dx\wedgedy+3x^2\,dx\wedgedy=(2x^3+3x^2)\,dx\wedgedy$。2.$d\eta=d(z\,dx\wedgedy)+d(y\,dy\wedgedz)+d(x\,dz\wedgedx)=dz\wedged(dx\wedgedy)+y\,d(dy\wedgedz)+x\,d(dz\wedgedx)=dz\wedge0+y\,(d(dy)\wedgedz+dy\wedged(z))+x\,(d(dz)\wedgedx+dz\wedged(dx))=0+y\,(0+dy\wedged(z))+x\,(0+dz\wedge0)=y\,dy\wedgedz$。3.$d\alpha=d(y\,dx+x\,dy)=d(y)\wedgedx+y\wedged(dx)+d(x)\wedgedy+x\wedged(dy)=dy\wedgedx+y\wedge0+dx\wedgedy+x\wedge0=dy\wedgedx+dx\wedgedy=-(dx\wedgedy)+(dx\wedgedy)=0$。因此，$\alpha$是闭形式。4.$d\beta=d(x\,dx+y\,dy+z\,dz)=d(x)\wedgedx+x\wedged(dx)+d(y)\wedgedy+y\wedged(dy)+d(z)\wedgedz+z\wedged(dz)=dx\wedgedx+x\wedge0+dy\wedgedy+y\wedge0+dz\wedgedz+z\wedge0=0+0+0+0+0+0=0$。因此，$\beta$是完全形式。5.直线段$\gamma$的参数方程为$(x,y,z)=(1+t,1+t,1+t)$，其中$t\in[0,1]$。$dx=dy=dz=dt$。因此，$\int_\gamma\gamma=\int_0^1[(1+t)\,dt\wedgedt+(1+t)\,dt\wedgedt+(1+t)\,dt\wedgedt]=\int_0^13(1+t)\,dt=3\int_0^1(1+t)\,dt=3\left[t+\frac{t^2}{2}\right]_0^1=3\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{2}$。二、1.证明：由斯托克斯定理的表述，$\int_\Sigmad\omega=\int_{\partialD}\omega$。由于$\omega$是闭形式，即$d\omega=0$，因此$\int_\Sigmad\omega=\int_\Sigma0=0$。另一方面，$\int_{\partialD}\omega=\int_{\partialD}0=0$。因此，$\int_\Sigmad\omega=\int_{\partialD}\omega$。2.证明：由高斯定理的表述，$\int_Vd\eta=\int_{\partialV}\eta$。由于$\eta$是完全形式，即存在一个$(0,3)$形式的微分形式$\omega$使得$\eta=d\omega$，因此$\int_Vd\eta=\int_Vd(d\omega)=\int_V0=0$。另一方面，$\int_{\partialV}\eta=\int_{\partialV}d\omega$。由于$\partialV$是封闭曲面，其边界为空，即$\partial(\partialV)=\emptyset$。由斯托克斯定理的特殊情况，$\int_{\partialV}d\omega=d\int_{\partial(\partialV)}\omega=d\int_{\emptyset}\omega=0$。因此，$\int_Vd\eta=\int_{\partialV}\eta$。三、1.由于$\omega$是$(2,1)$形式的微分形式，且$\Sigma$是单位球面，可以使用斯托克斯定理将曲面积分转化为曲线积分。由于$\omega$是闭形式，即$d\omega=0$，根据斯托克斯定理，$\int_\Sigmad\omega=\int_{\partial\Sigma}\omega=0$。2.证明：对任意$(p,q)$形式的微分形式$\alpha=\sum_{i=0}^pa_i\,dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}$和$(r,s)$形式的微分形式$\beta=\sum_{j=0}^rb_j\,dy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1}$，其中$i+k-1\leqq$且$j+l-1\leqs$。计算$d(\alpha\wedge\beta)$，注意到外微分$d$是线性的，因此可以将$d(\alpha\wedge\beta)$展开为对每个$a_i$和$b_j$的项的求和。对于每一项$a_ib_j(dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}\wedgedy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1})$，应用外微分的莱布尼茨规则，得到$d(a_ib_j)\wedge(dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}\wedgedy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1})+a_ib_j\wedged(dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}\wedgedy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1})$。第一项可以进一步展开为$b_jd(a_i)\wedge(dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}\wedgedy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1})+a_ib_j\wedged(dx^i)\wedge(dx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}\wedgedy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1})+\cdots+a_ib_j\wedge(dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1})\wedged(dy^j)\wedge(dy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1})$。注意到$d(dx^i)=0$，$d(dy^j)=0$，因此除了第一项和最后一项之外，其他项都为零。第一项为$b_jd(a_i)\wedge(dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}\wedgedy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1})$。由于$d(a_i)=\sum_{k=0}^{i}\frac{\partiala_i}{\partialx^k}\,dx^k$，因此$d(a_i)\wedge(dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1})=\sum_{k=0}^{i}\frac{\partiala_i}{\partialx^k}\,dx^k\wedge(dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1})$。当$k=i$时，这一项为$\frac{\partiala_i}{\partialx^i}\,dx^i\wedge(dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1})=0$。当$k\neqi$时，这一项为$\frac{\partiala_i}{\partialx^k}\,dx^k\wedge(dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1})$。因此，$d(a_i)\wedge(dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1})=\sum_{k\neqi}\frac{\partiala_i}{\partialx^k}\,dx^k\wedge(dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1})$。同理，最后一项为$(-1)^pa_ib_j\wedge(dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1})\wedged(dy^j)\wedge(dy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1})=(-1)^pa_ib_j\wedge(dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1})\wedge(dy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1})$。因此，$d(\alpha\wedge\beta)=b_jd(a_i)\wedge(dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}\wedgedy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1})+(-1)^pa_ib_j\wedge(dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1})\wedge(dy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1})=b_j\sum_{k\neqi}\frac{\partiala_i}{\partialx^k}\,dx^k\wedge(dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}\wedgedy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1})+(-1)^pa_ib_j\wedge(dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1})\wedge(dy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1})$。由于$dx^k\wedgedx^i=0$当$k=i$时，因此$\sum_{k\neqi}\frac{\partiala_i}{\partialx^k}\,dx^k\wedge(dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}\wedgedy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1})=\sum_{k\neqi}\frac{\partiala_i}{\partialx^k}\,dx^k\wedgedx^{i}\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}\wedgedy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1}$。因此，$d(\alpha\wedge\beta)=\sum_{k\neqi}\frac{\partiala_i}{\partialx^k}b_j\,dx^k\wedgedx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}\wedgedy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1}+(-1)^pa_ib_j\wedgedx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}\wedgedy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1}$。将$a_i$的所有项相加，得到$\sum_{i=0}^p\sum_{j=0}^ra_ib_j\left(\sum_{k\neqi}\frac{\partiala_i}{\partialx^k}\,dx^k\wedgedx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}\wedgedy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1}+(-1)^pa_ib_j\wedgedx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}\wedgedy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1}\right)$。对于第一个求和符号，交换求和顺序，将$a_i$的求和放在外面，得到$\sum_{j=0}^rb_j\sum_{i=0}^pa_i(-1)^p\wedgedx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}\wedgedy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1}=\sum_{j=0}^rb_j\sum_{i=0}^p(-1)^pa_i\,dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}\wedgedy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1}$。对于第二个求和符号，交换求和顺序，将$a_i$的求和放在外面，得到$\sum_{j=0}^rb_j\sum_{i=0}^p(-1)^pa_i\,dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}\wedgedy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1}$。因此，$d(\alpha\wedge\beta)=\sum_{j=0}^rb_j\sum_{i=0}^p(-1)^{p+1}a_i\,dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}\wedgedy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1}=\sum_{j=0}^r\sum_{i=0}^p(-1)^{p+1}a_ib_j\,dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}\wedgedy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1}=\sum_{i=0}^p\sum_{j=0}^r(-1)^{p+1}a_ib_j\,dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}\wedgedy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1}=\sum_{i=0}^p\sum_{j=0}^r(-1)^{p+1}a_ib_j\,dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}\wedgedy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedgedy^{j+s-1}=\sum_{i=0}^p\sum_{j=0}^r(-1)^{p+1}a_ib_j\,dx^i\wedgedx^{i+1}\wedge\cdots\wedgedx^{i+q-1}\wedgedy^j\wedgedy^{j+1}\wedge\cdots\wedged