2025年大学《数理基础科学》专业题库- 线性规划在经济学研究中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——线性规划在经济学研究中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题3分，共15分。请将正确选项的字母填在括号内。）1.某经济模型包含三个部门，其产出分别为x₁,x₂,x₃，投入系数矩阵为A，最终需求向量为b。若要使得总产出恰好满足最终需求，则下列哪个表达式正确地描述了这个问题？（）A.Ax=bB.Aᵀx=bC.(I-A)x=bD.(I+A)x=b2.在一个线性规划问题中，若某个约束条件的右端项系数增加5，最优解发生改变，而最优值并未改变。根据对偶理论，可以推断该约束条件对应的对偶变量（影子价格）在增加前（）。A.必定为0B.必定大于0C.必定小于0D.无法判断其符号3.若一个线性规划问题的单纯形表中，非基变量的检验数有大于0的，且该非基变量对应的系数列向量所有元素均非正。则该线性规划问题（）。A.有唯一最优解B.有无穷多最优解C.目标函数无界D.无可行解4.某线性规划问题的对偶问题是“极大化”问题，则原问题是（）。A.“极大化”问题B.“极小化”问题C.目标函数无界D.无可行解5.在线性规划问题中，如果增加一个新的约束条件，且该约束条件对原问题的最优解有影响，那么新最优解的目标函数值（）。A.必定增大B.必定减小C.可能增大，也可能减小D.保持不变二、填空题（每小题4分，共20分。请将答案填在横线上。）6.线性规划问题的基本解是指满足所有约束条件的解，但其中至少有______个变量取值为0。7.若线性规划问题的最优解是基本解，则该最优解对应的基是______基。8.在单纯形法中，选择进入基的变量时，通常选择使检验数______的非基变量。9.影子价格（对偶变量）的经济含义是，对应资源增加一个单位时，最优目标函数值的______。10.若一个线性规划问题的约束条件包括“x₁+2x₂≤8”和“x₁+2x₂≥6”，则这两个约束条件在可行域边界上______。三、简答题（每小题7分，共21分。）11.简述线性规划问题数学模型包含的五个基本要素。12.解释单纯形法迭代过程中，如何判断已找到最优解？13.什么是线性规划的对偶问题？简述其对偶定理的主要内容。四、模型建立题（每小题10分，共20分。）14.某公司生产两种产品A和B。生产每单位产品A需要消耗原材料1公斤和劳动力3小时，利润为2元；生产每单位产品B需要消耗原材料2公斤和劳动力1小时，利润为3元。公司现有原材料100公斤，劳动力120小时。请建立线性规划模型，使公司总利润最大。15.假设一个经济体只有两个部门：农业（A）和工业（I）。农业部门每单位产出消耗自身产出0.1单位，消耗工业产出0.3单位，最终需求为10单位。工业部门每单位产出消耗自身产出0.2单位，消耗农业产出0.4单位，最终需求为20单位。请建立线性规划模型，求各部门的总产出水平。五、计算与求解题（每小题10分，共20分。）16.已知某线性规划问题的标准型为：MaxZ=3x₁+5x₂s.t.x₁+x₂≤42x₁+x₂≤6x₁,x₂≥0（1）写出该问题的初始单纯形表（系数矩阵、右端项、目标函数值等）。（2）若用单纯形法求解，请写出第一步迭代后的单纯形表的主要结构（包括基变量、非基变量、目标函数系数、系数矩阵、右端项等），无需进行完整计算。17.某线性规划问题的最终单纯形表如下（部分信息）：|基变量|x₁|x₂|s₁|s₂|RHS|Z||-------|-----|-----|-----|-----|------|----||Z|0|0|2|3|24|||x₂|0|1|1/2|0|6|||x₁|1|0|-1/4|1/4|2||（1）该问题的最优解是什么？（写出变量值）（2）目标函数的最大值为多少？（3）分析s₁和s₂（即原问题的约束条件资源）的影子价格，并解释其经济意义。（4）若目标函数变为MaxZ=4x₁+3x₂，最优解是否改变？请简要说明。六、综合应用题（共15分。）18.某农场有土地100亩，劳动力200人。计划种植两种作物：作物X和作物Y。每亩作物X需要劳动力30人，可获得利润500元；每亩作物Y需要劳动力20人，可获得利润300元。由于市场需求限制，作物Y的种植面积不能超过50亩。农场希望获得最大利润。请建立线性规划模型求解该问题，并分析如果劳动力增加到250人，最大利润会发生什么变化（仅需根据模型变化进行定性分析或写出新的目标函数值表达式）。试卷答案一、选择题1.C2.B3.C4.B5.C二、填空题6.所有7.基本可行8.最大9.增加10.重合三、简答题11.线性规划问题的数学模型包含五个基本要素：决策变量、目标函数、约束条件（通常用线性等式或不等式表示）、非负约束（决策变量非负）以及问题的具体背景描述。12.在单纯形法迭代过程中，若所有非基变量的检验数（在目标函数行中对应系数）都小于或等于0，则已找到最优解。13.线性规划的对偶问题是指从原问题（称为原始问题）中推导出的另一个线性规划问题，其变量和约束条件与原始问题有特定的对应关系。对偶定理主要包括：强对偶定理（原始问题最优值等于对偶问题最优值）、对偶互补松弛定理（原始解的某个松弛变量非零当且仅当对偶解的相应检验数非零）等。四、模型建立题14.设生产产品A的数量为x₁，生产产品B的数量为x₂。MaxZ=2x₁+3x₂s.t.x₁+2x₂≤100(原材料约束)3x₁+x₂≤120(劳动力约束)x₁+x₂≤50(产品Y产量上限约束，由市场需求得出)x₁,x₂≥0(非负约束)15.设农业部门总产出为x₁，工业部门总产出为x₂。MinW=x₁+x₂(求总产出最小，因为产出满足需求即最优)s.t.0.1x₁+0.3x₂≥10(农业最终需求)0.2x₁+0.4x₂≥20(工业最终需求)x₁,x₂≥0(非负约束)五、计算与求解题16.（1）初始单纯形表（标准型）：|基变量|x₁|x₂|s₁|s₂|RHS|Z||-------|-----|-----|-----|-----|------|----||Z|-3|-5|0|0|0|||s₁|1|1|1|0|4|||s₂|2|1|0|1|6||（2）第一步迭代后的单纯形表主要结构：|基变量|x₁|x₂|s₁|s₂|RHS|Z||-------|-----|-----|-----|-----|------|----||Z|0|-3|0|0|12|||x₂|1|1|1|0|4|||s₂|0|-1|-2|1|2||17.（1）最优解：x₁=2,x₂=6,s₁=0,s₂=0。（2）目标函数的最大值：Z=24。（3）s₁的影子价格为2，s₂的影子价格为3。s₁和s₂分别代表原问题的两个资源，影子价格2和3表示当这两个资源分别增加一个单位时，目标函数值（最优利润）分别增加2元和3元。（4）若目标函数变为MaxZ=4x₁+3x₂，最优解可能改变。因为检验数（对应x₁和x₂的系数）可能会变为正数，需要重新进行单纯形迭代，新的最优解可能不再是x₁=2,x₂=6。六、综合应用题18.原模型：MaxZ=2x₁+3x₂s.t.x₁+2x₂≤1003x₁+x₂≤120x₂≤50x₁,x₂≥0劳动力增加到250人后，模型变为：MaxZ