2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学模型在生态系统中的应用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学模型在生态系统中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、已知某单种生物种群的增长符合逻辑斯蒂增长模型，其增长方程为$\frac{dN}{dt}=rN\left(1-\frac{N}{K}\right)$，其中$N(t)$是时间$t$的种群数量，$r$是内禀增长率，$K$是环境容纳量。1.求该种群数量$N$随时间$t$的变化规律$N(t)$，假设初始种群数量为$N(0)=N_0$。2.分析当$N\rightarrow0$和$N\rightarrowK$时，种群数量$N(t)$的变化趋势。3.若测得该种群在无环境压力的情况下（$K\rightarrow\infty$，即资源无限）增长符合指数模型$\frac{dN}{dt}=rN$，解释为何在有限环境下逻辑斯蒂模型能更好地描述实际增长。二、考虑一个简单的捕食者-被捕食者系统，其相互作用由以下微分方程组描述：$$\begin{cases}\frac{dX}{dt}=X(a-bY)\\\frac{dY}{dt}=-Y(c+dX)\end{cases}$$其中$X(t)$和$Y(t)$分别代表被捕食者（如兔子）和捕食者（如狐狸）的种群数量，$a,b,c,d$是正的常数。1.求此方程组的所有平衡点（即$\frac{dX}{dt}=0$且$\frac{dY}{dt}=0$的点）。2.分析这些平衡点的生态学意义（即它们代表种群的什么状态）。3.为判断平衡点的稳定性，对上述方程组进行线性化处理，并求出在原点$(0,0)$处的特征方程。讨论特征方程的根的情况与原点稳定性的关系。（提示：只需写出特征方程，无需求解）三、某研究团队对某一区域内两种竞争性植物进行了观察。假设两种植物的种群数量$X(t)$和$Y(t)$满足以下微分方程：$$\frac{dX}{dt}=X(1-0.5X-0.2Y)\\\frac{dY}{dt}=Y(1.5-X-0.5Y)$$其中$X(t)$和$Y(t)$分别代表两种植物的密度。1.求此方程组的所有平衡点。2.分析每个平衡点是否代表一个稳定的共存状态，并解释其生态学含义。3.如果$X(0)>0$且$Y(0)>0$，根据平衡点的稳定性，大致描述哪种植物更有可能在长期内占据优势？四、设一个生态系统的能量流动可以用一个简单的食物链模型来描述：植物（生产者）->兔子（初级消费者）->狐狸（次级消费者）。假设能量传递效率（TrophicTransferEfficiency,TTE）为10%（即初级消费者获得初级生产者10%的能量，次级消费者获得初级消费者10%的能量）。1.如果植物的总初级生产力（净初级生产量）为$10000\,\text{kJ}/\text{m}^2/\text{年}$，求兔子和狐狸的潜在最大生物量（假设它们都处于能量流动的末端，即忽略更高营养级）。2.解释为何实际生态系统中顶级消费者的数量通常远少于初级消费者，即使能量传递效率不为零。3.假设通过实际观测得到狐狸的密度为100只/平方公里，而兔子的密度为2000只/平方公里。结合能量流动模型，讨论这一密度格局可能存在的生态学原因。五、某生态学家为了研究某种昆虫种群的增长规律，在不同时间点对其种群数量进行了抽样调查，得到如下数据（种群数量$N$，时间$t$单位：周）：|周数($t$)|种群数量($N$)||:---------|:-------------||0|20||1|42||2|73||3|119||4|185|该生态学家猜测该昆虫种群的增长符合逻辑斯蒂模型$\frac{dN}{dt}=rN\left(1-\frac{N}{K}\right)$。1.试用最小二乘法（或其他合适的方法）拟合这些数据，估计模型参数$r$和$K$的值。（无需展示详细计算过程，只需给出计算方法或直接给出估计结果）2.基于你估计的参数值，描述该昆虫种群的潜在增长趋势。3.解释在生态学研究中使用逻辑斯蒂模型拟合数据时可能存在的局限性。试卷答案一、1.$\frac{dN}{dt}=rN\left(1-\frac{N}{K}\right)\implies\frac{1}{N(1-\frac{N}{K})}dN=rdt\implies\int\frac{1}{N}+\frac{1}{K-N}dN=\intrdt\implies\lnN-\ln(K-N)=rt+C\implies\ln\frac{N}{K-N}=rt+C$.令$N(0)=N_0$，则$\ln\frac{N_0}{K-N_0}=C$。故$\ln\frac{N}{K-N}=rt+\ln\frac{N_0}{K-N_0}\implies\frac{N}{K-N}=\frac{N_0}{K-N_0}e^{rt}\impliesN=\frac{KN_0e^{rt}}{K+(N_0-K)e^{rt}}$.2.当$N\rightarrow0$时，$N(t)\rightarrow0$。当$N\rightarrowK$时，$(N_0-K)e^{rt}\rightarrow-\infty$，分母趋向于$-\infty$，故$N(t)\rightarrowK$。3.指数模型$\frac{dN}{dt}=rN$假设资源无限，环境容纳量$K\rightarrow\infty$。逻辑斯蒂模型考虑了环境限制，即存在最大承载量$K$。当种群数量较小时，资源相对丰富，接近指数增长；当种群数量接近$K$时，资源竞争加剧，增长率下降，最终趋于稳定在$K$附近。因此，逻辑斯蒂模型能更好地反映有限环境下的实际增长现象。二、1.令$\frac{dX}{dt}=0$和$\frac{dY}{dt}=0$。从第一式$X(a-bY)=0$，得$X=0$或$Y=\frac{a}{b}$。从第二式$-Y(c+dX)=0$，得$Y=0$或$X=-\frac{c}{d}$。平衡点为$(0,0)$,$(0,\frac{a}{b})$,$(-\frac{c}{d},0)$,$(-\frac{c}{d},\frac{a}{b})$。2.$(0,0)$：代表两个种群数量都为零的状态，即系统空状态。$(0,\frac{a}{b})$：代表捕食者存在，但被捕食者数量为零的状态。此时$\frac{dY}{dt}=0$，但$\frac{dX}{dt}=-b\frac{a}{b}Y=-aY<0$（$Y>0$），所以被捕食者会从零开始增长。$(-\frac{c}{d},0)$：代表被捕食者存在，但捕食者数量为零的状态。此时$\frac{dX}{dt}=0$，但$\frac{dY}{dt}=-cX=-c(-\frac{c}{d})>0$（$X>0$），所以捕食者会从零开始增长。$(-\frac{c}{d},\frac{a}{b})$：代表两个种群都处于其各自零平衡点状态。分析其中一个（如捕食者），$\frac{dY}{dt}=-cX=-c(-\frac{c}{d})>0$（$X>0$），所以捕食者会从零开始增长。该点通常不是稳定的。3.线性化：将$X(t),Y(t)$在平衡点$(X_0,Y_0)$附近进行泰勒展开，只保留一阶项，得到线性化方程组：$\begin{pmatrix}\frac{\partialf}{\partialX}&\frac{\partialf}{\partialY}\\\frac{\partialg}{\partialX}&\frac{\partialg}{\partialY}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\DeltaX\\\DeltaY\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$，其中$f(X,Y)=X(a-bY)$,$g(X,Y)=-Y(c+dX)$。在原点$(0,0)$处，$\frac{\partialf}{\partialX}=a$,$\frac{\partialf}{\partialY}=-b\cdot0=0$,$\frac{\partialg}{\partialX}=-d\cdot0=0$,$\frac{\partialg}{\partialY}=-c$。线性化方程组为$\begin{pmatrix}a&0\\0&-c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\DeltaX\\\DeltaY\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$。特征方程为$\text{det}\begin{pmatrix}a-\lambda&0\\0&-c-\lambda\end{pmatrix}=0\implies(a-\lambda)(-c-\lambda)=0$。特征值为$\lambda_1=a$,$\lambda_2=-c$。由于$a>0$,$c>0$，特征值一正一负，故原点$(0,0)$不稳定。三、1.令$\frac{dX}{dt}=0$和$\frac{dY}{dt}=0$。从第一式$X(1-0.5X-0.2Y)=0$，得$X=0$或$1-0.5X-0.2Y=0$。从第二式$Y(1.5-X-0.5Y)=0$，得$Y=0$或$1.5-X-0.5Y=0$。解得平衡点：$(0,0)$,$(0,3)$,$(1.5,0)$,$(1,1)$。2.$(0,0)$：两个种群都为零，空状态。$(0,3)$：$X=0$，$\frac{dY}{dt}=Y(1.5-0-0.5\cdot3)=Y(0)=0$。但$\frac{dX}{dt}=X(1-0.5\cdot0-0.2\cdot3)=X(1-0.6)=0.4X>0$（$X>0$），所以$X$会增长。该点不稳定。$(1.5,0)$：$Y=0$，$\frac{dX}{dt}=X(1-0.5\cdot1.5-0.2\cdot0)=X(1-0.75)=0.25X>0$（$X>0$），所以$X$会增长。该点不稳定。$(1,1)$：代入检查，$\frac{dX}{dt}=1(1-0.5\cdot1-0.2\cdot1)=1(1-0.5-0.2)=0.3>0$，$\frac{dY}{dt}=1(1.5-1-0.5\cdot1)=1(1.5-1-0.5)=0$。所以$(1,1)$不是平衡点。（修正：需重新检查$(1,1)$）重新检查$(1,1)$：$\frac{dX}{dt}=1(1-0.5\cdot1-0.2\cdot1)=1-0.5-0.2=0.3\neq0$。$\frac{dY}{dt}=1(1.5-1-0.5\cdot1)=1.5-1-0.5=0$。确实$\frac{dY}{dt}=0$但$\frac{dX}{dt}\neq0$。所以$(1,1)$不是平衡点。（再次修正：需重新求解平衡点）重新求解平衡点：$1-0.5X-0.2Y=0\impliesY=\frac{1-0.5X}{0.2}=5-2.5X$。$1.5-X-0.5Y=0\impliesY=\frac{1.5-X}{0.5}=3-2X$。联立$5-2.5X=3-2X\implies2=0.5X\impliesX=4$。代入$Y=3-2X=3-2\cdot4=3-8=-5$。此解无生态意义（种群数量为负）。联立$5-2.5X=3-2X\implies2=0.5X\impliesX=4$。代入$Y=5-2.5X=5-2.5\cdot4=5-10=-5$。此解无生态意义。检查原方程：$\frac{dX}{dt}=X(1-0.5X-0.2Y)$$\frac{dY}{dt}=Y(1.5-X-0.5Y)$平衡点需满足$X(1-0.5X-0.2Y)=0$且$Y(1.5-X-0.5Y)=0$。可能的解集：$X=0$且$Y(1.5-X-0.5Y)=0\impliesY=0$或$Y=3$。得到$(0,0),(0,3)$。或$Y=0$且$X(1-0.5X-0.2Y)=0\impliesX=0$或$X=1.5$。得到$(0,0),(1.5,0)$。或$1-0.5X-0.2Y=0$且$1.5-X-0.5Y=0$。解联立方程：$1-0.5X-0.2Y=0\impliesY=5-2.5X$。代入$1.5-X-0.5Y=0\implies1.5-X-0.5(5-2.5X)=0\implies1.5-X-2.5+1.25X=0\implies0.5X-1=0\impliesX=2$。代入$Y=5-2.5X=5-2.5\cdot2=5-5=0$。得到$(2,0)$。再次检查$(2,0)$：$\frac{dX}{dt}=2(1-0.5\cdot2-0.2\cdot0)=2(1-1)=0$。$\frac{dY}{dt}=0(1.5-2-0.5\cdot0)=0$。$(2,0)$是平衡点。最终平衡点：$(0,0)$,$(0,3)$,$(1.5,0)$,$(2,0)$。2.分析平衡点稳定性：$(0,0)$：$\frac{\partialf}{\partialX}=1$,$\frac{\partialf}{\partialY}=-0.2$,$\frac{\partialg}{\partialX}=-0$,$\frac{\partialg}{\partialY}=-0.5$。矩阵$J=\begin{pmatrix}1&-0.2\\-0&-0.5\end{pmatrix}$。特征值$\lambda_1=1$,$\lambda_2=-0.5$。一正一负，不稳定。$(0,3)$：$\frac{\partialf}{\partialX}=0$,$\frac{\partialf}{\partialY}=-1$,$\frac{\partialg}{\partialX}=-2$,$\frac{\partialg}{\partialY}=-0.5$。$J=\begin{pmatrix}0&-1\\-2&-0.5\end{pmatrix}$。特征方程$\text{det}(J-\lambdaI)=\lambda^2-0.5\lambda+2=0$。判别式$\Delta=(-0.5)^2-8<0$。特征值为两个正实部复数。不稳定。$(1.5,0)$：$\frac{\partialf}{\partialX}=0.5$,$\frac{\partialf}{\partialY}=0$,$\frac{\partialg}{\partialX}=-1$,$\frac{\partialg}{\partialY}=0$。$J=\begin{pmatrix}0.5&0\\-1&0\end{pmatrix}$。特征值$\lambda_1=0.5$,$\lambda_2=0$。正实部特征值，不稳定。$(2,0)$：$\frac{\partialf}{\partialX}=0$,$\frac{\partialf}{\partialY}=-0.4$,$\frac{\partialg}{\partialX}=-2$,$\frac{\partialg}{\partialY}=0$。$J=\begin{pmatrix}0&-0.4\\-2&0\end{pmatrix}$。特征方程$\lambda^2+0.8\lambda=0\implies\lambda(\lambda+0.8)=0$。特征值$\lambda_1=0$,$\lambda_2=-0.8$。一个零特征值，不稳定。结论：所有的平衡点$(0,0)$,$(0,3)$,$(1.5,0)$,$(2,0)$都是不稳定的。生态学意义：这个竞争模型暗示，当两种植物竞争时，如果没有外部干扰，它们中的一个最终会完全取代另一个，或者说会趋向于一个一维的竞争排斥线。没有稳定共存的内稳态点。这与某些竞争模型（如Amida模型）的结论一致。3.根据Gause定律（竞争排斥原理），在没有环境容纳量限制或存在环境容纳量但只有一个物种能完全适应的情况下，两个生态位完全相同的物种不能长期稳定共存。本模型（即使考虑了环境容纳量$K$，只要$K$有限，且两个物种的竞争系数不同）暗示了竞争的强烈性，使得一个物种会最终排挤掉另一个。长期来看，取决于初始条件，最终会趋向于$(0,3)$或$(2,0)$这样的状态（其中一个物种存在，另一个消失），或者如果模型允许，可能趋向于某个一维的竞争边界（例如，某种空间格局）。$(1,1)$不是平衡点，说明在这一点上系统状态是不稳定的，两个物种的密度都会发生变化。四、1.植物总初级生产力$P=10000\,\text{kJ}/\text{m}^2/\text{年}$。初级消费者（兔子）的潜在最大生物量约为$P\timesTTE=10000\times0.1=1000\,\text{kJ}/\text{m}^2/\text{年}$。次级消费者（狐狸）的潜在最大生物量约为兔子潜在最大生物量$\timesTTE=1000\times0.1=100\,\text{kJ}/\text{m}^2/\text{年}$。（注：这里的“潜在最大生物量”通常指基于能量输入计算的理论最大量，实际生物量还会受生长效率、季节性等多种因素影响）。2.能量传递效率通常较低（10%-20%），且在食物链中逐级传递，能量损失巨大。顶级消费者所处的食物链环节最长，需要消耗大量能量来维持自身生命活动，可利用的能量相对较少。同时，顶级消费者的数量受其捕食者的数量（次级消费者）和猎物的数量（初级消费者）等多种因素制约，生态位较窄，生存压力较大。因此，即使能量传递效率不为零，顶级消费者的数量也通常远少于初级消费者。3.观测到狐狸密度（次级消费者）为100只/平方公里，兔子密度（初级消费者）为2000只/平方公里，符合典型的金字塔结构。原因：狐狸需要消耗大量的兔子才能维持生存，而兔子需要消耗大量的植物才能维持生存。能量沿食物链逐级递减，导致能够支持的高级消费者数量远少于初级消费者。2000只兔子的总生物量或能量需求，需要远大于100只狐狸的总生物量或能量需求。这种密度格局是能量流动和生态位分化的自然结果。五、1.方法一：直接积分逻辑斯蒂方程两边。$\int\frac{1}{N(K-N)}dN=\intrdt$。令$u=\frac{N}{K}$，则$N=Ku$,$dN=Kdu$。$\int\frac{1}{ku(ku-ku+K)}Kdu=\intrdt\implies\frac{1}{K}\int\frac{1}{u(1-u)}du=\intrdt$。$\frac{1}{K}\left(\int\frac{1}{u}du+\int\frac{1}{1-u}du\right)=rt+C\implies\frac{1}{K}(\lnu-\ln(1-u))=rt+C$。$\ln\frac{u}{1-u}=K(rt+C)\implies\frac{u}{1-u}=e^{K(rt+C)}=Ae^{Krt}$（其中$A=e^{KC}$）。$\frac{N}{K}=\frac{Ae^{Krt}}{1+Ae^{Krt}}\impliesN(t)=\frac{KAe^{Krt}}{1+Ae^{Krt}}$。利用初始条件$N(0)=20$，得$20=\frac{KA}{1+A}\implies\frac{N}{20}=\frac{A}{1+A}$。利用$N(1)=42$，得$42=\frac{KAe^{Kr}}{1+Ae^{Kr}}$。将第一式变形为$A=\frac{N}{20(1-\frac{N}{20})}=\frac{N}{20-N}$。代入第二式：$42=\frac{K\frac{N}{20-N}e^{Kr}}{1+\frac{N}{20-N}