2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 图论中的图的特征与结构分析

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——图论中的图的特征与结构分析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题3分，共15分。请将正确选项的字母填在题后的括号内）1.设图G=(V,E)是具有n个顶点的简单无向图，若G是连通图且边数m=n-1，则G一定是（）。A.完全图B.树C.二分图D.平面图2.在一个无向图中，如果存在经过每条边恰好一次的简单回路，则该图（）。A.一定有欧拉回路B.一定有哈密顿回路C.一定是连通图D.顶点数一定是偶数3.下列关于无向图G的度数序列的叙述，正确的是（）。A.任何度数序列都能构成一个无向图B.任何度数序列都能构成一个连通无向图C.任何度数序列满足握手定理，都能构成一个无向图D.度数序列(3,3,3,3)可以构成一个无向图4.设T是连通图G的生成树，e是G中一条属于T的边，则将e从T中删除后，所得的子图（）。A.仍连通且是生成树B.不再连通C.仍连通且是T的生成子图D.可能是连通图，也可能不是5.下列关于二分图的叙述，正确的是（）。A.每条边连接两个不同顶点的图一定是二分图B.每个顶点的度数都相同的图一定是二分图C.如果一个连通无向图存在一个点着色方案，使得最多用两种颜色，则该图一定是二分图D.完全二分图K_3,3是平面图二、填空题（每小题4分，共20分。请将答案填在题后的横线上）1.若一个无向连通图G有n个顶点，e条边，且G是树，则根据欧拉公式，n-e=________。2.在有向图中，如果存在经过每条边恰好一次的有向回路，则该图（填“是”或“不是”）有向欧拉回路。3.设图G=(V,E)是具有n个顶点的简单无向图，若G是k-连通图（k≥1），则G至少有________条边。4.设无向图G的顶点集为V={v₁,v₂,v₃,v₄}，边集为E={{v₁,v₂},{v₁,v₃},{v₂,v₄},{v₃,v₄}}，则图G中顶点v₁的度数deg(v₁)=________。5.一个简单无向图的色数p≤________。三、计算题（每小题8分，共24分）1.给定一个无向图G的顶点集V={v₁,v₂,v₃,v₄,v₅}，边集E={{v₁,v₂},{v₁,v₃},{v₂,v₄},{v₃,v₄},{v₄,v₅}}。(1)计算图G中每个顶点的度数。(2)判断图G是否是连通图。若是，请给出一种生成树的边集表示。若不是，请说明理由。2.设有向图G=(V,E)，其中V={v₁,v₂,v₃,v₄}，E={(v₁,v₂),(v₁,v₃),(v₂,v₄),(v₃,v₄)}。(1)写出图G的所有基本路径。(2)判断图G是否是强连通图，并说明理由。3.设无向图G的度数序列为(6,6,6,6,4,4)。问是否存在这样的简单图？若存在，请说明其可能的结构特点（例如，是否为树、是否为完全图、是否为二分图等）。若不存在，请说明理由。四、证明题（每小题10分，共20分）1.设T是连通图G的生成树，e是G中一条属于T的边。证明：边e也是G的割集。2.证明：任何无向连通图至少存在一个生成树。---试卷答案一、选择题1.B2.A3.C4.C5.C二、填空题1.12.是3.k4.25.n三、计算题1.(1)deg(v1)=2,deg(v2)=2,deg(v3)=2,deg(v4)=3,deg(v5)=1(2)图G是连通图。生成树的边集表示之一为E'={{v1,v2},{v1,v3},{v2,v4}}或E'={{v1,v2},{v3,v4},{v4,v5}}等。2.(1)基本路径有：v1v2,v1v3,v2v4,v3v4。(2)图G不是强连通图。理由：不存在包含所有顶点v1,v2,v3,v4的基本路径。例如，顶点v2无法通过基本路径从其他任何顶点到达。3.存在。该图可能是树（例如，一条路径），可能是完全图K₆，也可能是非完全的简单图。关键在于度数序列满足手拉手定理（所有度数之和为偶数，且可以构成图），但不存在环，因此可能是树或非环图。具体结构需更多边信息确定，但存在性可由Havel-Hakimi定理验证。四、证明题1.证明思路：利用割集定义和树性质。设S为G的一个割集，其分割顶点集U和V。若边e∈T，则T在U和V之间必有唯一的路径P。若P存在另一条不经过e的路径Q，则T+e包含U到V的路径，与T是生成树矛盾。若P是唯一的，则移除e后，U和V之间无路径，S包含e，故e是割集。2.证明思路：使用构造性方法。对连