河南理科考试题目及答案

河南理科考试题目及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.函数\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(2\pi\)B.\(\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(3,-1)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)等于（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(5\)D.\(-5\)3.抛物线\(y^{2}=8x\)的焦点坐标是（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((0,2)\)D.\((0,-2)\)4.若复数\(z=3+4i\)，则\(\vertz\vert\)等于（）A.\(5\)B.\(7\)C.\(\sqrt{7}\)D.\(25\)5.已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=5\)，\(a_{5}=9\)，则\(a_{7}\)等于（）A.\(11\)B.\(12\)C.\(13\)D.\(14\)6.函数\(f(x)=x^{3}-3x\)的单调递增区间是（）A.\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)B.\((-1,1)\)C.\((-\infty,-\sqrt{3})\)和\((\sqrt{3},+\infty)\)D.\((-\sqrt{3},\sqrt{3})\)7.已知\(\cos\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第四象限角，则\(\sin\alpha\)等于（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(-\frac{3}{5}\)8.直线\(3x+4y-12=0\)与\(x\)轴、\(y\)轴围成的三角形面积是（）A.\(6\)B.\(12\)C.\(24\)D.\(18\)9.从\(5\)名男生和\(3\)名女生中选\(3\)人参加活动，至少有\(1\)名女生的选法有（）A.\(56\)种B.\(46\)种C.\(36\)种D.\(26\)种10.已知\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，则\(z=2x+y\)的最大值是（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(6\)答案1.A2.A3.A4.A5.C6.A7.B8.A9.B10.C二、多项选择题（每题2分，共20分）1.以下哪些是偶函数（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^{3}\)2.下列关于直线方程的说法正确的是（）A.点斜式\(y-y_{0}=k(x-x_{0})\)适用于不垂直于\(x\)轴的直线B.斜截式\(y=kx+b\)适用于不垂直于\(x\)轴的直线C.两点式\(\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)适用于不垂直于坐标轴的直线D.截距式\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)适用于不过原点的直线3.已知\(\{a_{n}\}\)是等比数列，公比为\(q\)，则（）A.若\(q\gt1\)，则\(\{a_{n}\}\)是递增数列B.若\(a_{1}\gt0\)，\(0\ltq\lt1\)，则\(\{a_{n}\}\)是递减数列C.\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)D.\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}(q\neq1)\)4.以下哪些是椭圆的标准方程（）A.\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)B.\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)C.\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)D.\(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\)5.对于空间向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)，下列说法正确的是（）A.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)B.\((\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}\)C.若\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则\(\vec{a}\perp\vec{b}\)D.若\(\vec{a}=\lambda\vec{b}\)，则\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)共线6.下列函数中，值域为\(R\)的是（）A.\(y=\lgx\)B.\(y=2^{x}\)C.\(y=x^{2}\)D.\(y=\tanx\)7.已知函数\(f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A\gt0\)，\(\omega\gt0\)），则（）A.\(A\)决定函数的振幅B.\(\omega\)决定函数的周期C.\(\varphi\)决定函数的初相D.函数的最大值为\(A\)8.下列导数公式正确的是（）A.\((x^{n})^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^{x})^\prime=e^{x}\)9.从\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)中任取\(2\)个不同的数，则（）A.取到的两个数都是奇数的概率为\(\frac{3}{10}\)B.取到的两个数都是偶数的概率为\(\frac{1}{10}\)C.取到的两个数之和为偶数的概率为\(\frac{2}{5}\)D.取到的两个数之积为偶数的概率为\(\frac{7}{10}\)10.关于函数\(y=\log_{a}x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)），下列说法正确的是（）A.当\(a\gt1\)时，函数在\((0,+\infty)\)上单调递增B.当\(0\lta\lt1\)时，函数在\((0,+\infty)\)上单调递减C.函数的图象恒过点\((1,0)\)D.函数的值域为\(R\)答案1.AB2.ABC3.BCD4.AB5.ABD6.AD7.ABC8.ABCD9.ACD10.ABCD三、判断题（每题2分，共20分）1.空集是任何集合的真子集。（）2.若\(a\gtb\)，则\(a^{2}\gtb^{2}\)。（）3.函数\(y=\tanx\)的定义域是\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)。（）4.若直线\(l_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\)与\(l_{2}:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\)平行，则\(\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}\neq\frac{C_{1}}{C_{2}}\)。（）5.复数\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）的虚部是\(bi\)。（）6.已知\(\{a_{n}\}\)是等差数列，\(S_{n}\)是其前\(n\)项和，则\(S_{n}\)，\(S_{2n}-S_{n}\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)仍成等差数列。（）7.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的离心率\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)。（）8.函数\(f(x)\)在\(x=x_{0}\)处可导，则\(f(x)\)在\(x=x_{0}\)处连续。（）9.从\(n\)个不同元素中取出\(m\)（\(m\leqn\)）个元素的所有组合的个数，叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的组合数，记作\(C_{n}^{m}\)，且\(C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)。（）10.若事件\(A\)与\(B\)互斥，则\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）答案1.×2.×3.√4.√5.×6.√7.√8.√9.√10.√四、简答题（每题5分，共20分）1.求函数\(y=x^{2}-2x+3\)的对称轴和顶点坐标。答案对于二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)，对称轴公式为\(x=-\frac{b}{2a}\)。此函数\(a=1\)，\(b=-2\)，则对称轴为\(x=1\)。把\(x=1\)代入函数得\(y=2\)，所以顶点坐标为\((1,2)\)。2.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。答案因为\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=-\frac{4}{5}\)。\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{3}{4}\)。3.求过点\((1,2)\)且斜率为\(3\)的直线方程。答案根据直线的点斜式方程\(y-y_{0}=k(x-x_{0})\)（其中\((x_{0},y_{0})\)为直线上一点，\(k\)为斜率）。已知点\((1,2)\)，斜率\(k=3\)，则直线方程为\(y-2=3(x-1)\)，整理得\(3x-y-1=0\)。4.已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(d=3\)，求\(a_{5}\)和\(S_{5}\)。答案等差数列通项公式\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)，则\(a_{5}=a_{1}+4d=2+4×3=14\)。前\(n\)项和公式\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d\)，所以\(S_{5}=5×2+\frac{5×4}{2}×3=40\)。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数\(y=\frac{1}{x}\)在定义域内的单调性。答案函数\(y=\frac{1}{x}\)定义域为\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。在\((-\infty,0)\)上，任取\(x_{1}\ltx_{2}\lt0\)，\(f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}}\gt0\)，即\(f(x_{1})\gtf(x_{2})\)，所以在\((-\infty,0)\)单调递减；同理在\((0,+\infty)\)也单调递减。2.已知直线\(l\)过点\(P(2,1)\)，且与\(x\)轴、\(y\)轴正半轴分别交于\(A\)、\(B\)两点，求\(\triangleAOB\)面积最小时直线\(l\)的方程。答案设直线\(l\)方程\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1(a\gt0,b\gt0)\)，因为过点\(P(2,1)\)，则\(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1\)。\(\triangleAOB\)面积\(S=\frac{1}{2}ab\)，由\(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1\geq2\sqrt{\frac{2}{ab}}\)，得\(ab\geq8\)，当且仅当\(\frac{2}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\)时取等号